Pág. de 6 Representa las siguientes funciones racionales: y 5 + 7 es raíz del denominador y no lo es del numerador, es asíntota vertical. Veamos la posición de la curva respecto a ella estudiando sus signos en valores próimos a, por la derecha y por la izquierda: f() < 0 f() > 0 f() @ 8 f() +@ 8 + y 5 + 7 3 +. La recta y 3 es asíntota. Observamos que, para valores grandes de, /( ) es positivo. Por tanto, la curva queda por encima de la asíntota. y 3 Puntos singulares Observando el bosquejo, vemos que hay un máimo relativo a la izquierda de y un mínimo relativo a la derecha de. Obtengámoslos: ( 5) ( ) ( f'() 5 + 7) 4 + 3 ( ) ( ) f'() 0 ï 4 + 3 0 ï 3, ; f (3), f () 3 Los puntos singulares son (3, ) y (, 3). Hay un mínimo relativo en (3, ) y un máimo relativo en (, 3). Cortes con los ejes La curva no corta al eje, ya que 5 + 7 0 no tiene soluciones. Corta al eje en (0, 7/). Representación 5 + 7
Pág. de 6 y 3 + 3 + + La recta y es asíntota. Para valores grandes de, la curva queda por debajo de la asíntota, y para valores muy pequeños, la curva queda por encima. No tiene asíntotas verticales. Puntos singulares 3 f'() ( + ) 3 ( + ) ( + 3) ( + ) f'() 0 ï 0 o + 3 0 ï 0 Único punto singular: (0, 0). Cortes con los ejes Salvo en (0, 0), no corta a los ejes coordenados en ningún otro punto. Obtenemos más puntos: (; 0,5), (;,6), (3;,7) ( ; 0,5), ( ;,6), ( 3;,7) Representación 3 + 3 y + El denominador tiene dos raíces: 0,. Son asíntotas verticales. Veamos la posición de la curva respecto a ellas: 8 0 f() +@ 8 0 + f() @ 8 f() @ 8 + f() + @ 0
Pág. 3 de 6 Como + y +, tiene asíntota horizontal en y. 8 +@ 8 @ Para valores grandes de, la curva va por encima de la asíntota, y para valores muy pequeños, la curva se acerca a la asíntota por debajo. Bosquejo de la curva y Puntos singulares Observando el bosquejo, podemos deducir que la curva tendrá un mínimo a la izquierda de 0 y un máimo entre 0 y. Veamos su localización, así como si hay otros puntos singulares además de estos. ( f'() ) ( + ) ( ) ( ) + ( ) f'() 0 ï 5 + 5 + 0 ï,6, 0,6 f (,6) 0,6, f (0,6),6 Los únicos puntos singulares son (,6; 0,6) y (0,6;,6). Representación + 4 y + 3 + + f () @; f () +@ 8 es asíntota vertical. 8 8 + + 3 + + 9 + + 8 y + es asíntota oblicua. + Para valores grandes de, la curva va por encima de la asíntota, y para valores pequeños de, la curva va por debajo. y +
Pág. 4 de 6 f'() + 8 0 8, 4 ( + ) Máimo en ( 4, 5); mínimo en (, 7). 8 4 0 0 4 8 0 0 + 3 + + 5 y + 3 + f () +@; f () @ 8 es asíntota vertical. 8 8 + y + 3 + 8 y + es asíntota oblicua. + + y + Para valores grandes de, la curva va por debajo de la asíntota, y para valores pequeños de, la curva va por encima. Cortes con los ejes (0, 0) y ( 3, 0) ( + 3) ( + ) ( f'() + 3) + + 3? 0 ( + ) ( + ) 8 4 0 0 4 8 0 0 + 3 +
Pág. 5 de 6 6 y + f () 8 y es asíntota horizontal. 8 @ Tanto para valores grandes como para pequeños de, la curva va por debajo de la asíntota. ( f'() + ) ; f'() 0 ï 0 ( + ) ( + ) Mínimo en (0, 0). 4 4 + 7 y + f () 0; 8 +@ 8 @ f () 0 8 y 0 es asíntota horizontal. Tanto para valores grandes como para pequeños de, la curva va por encima de la asíntota. f'() ; f'() 0 ï 0 ( + ) Máimo en (0, ). 4 +
Pág. 6 de 6 8 y + 0 y son asíntotas verticales. f () +@; f () @ 8 0 8 0 + 8 f () @; f () ; 8 +@ 8 + 8 @ f () +@ f () 8 y es asíntota horizontal. Para valores grandes de, la curva va por encima de y, y para valores pequeños, la curva va por debajo. f'() 4 + 4 ± ; f'() 0 ï ( ) 0,73,73 Máimo en (0,73;,73). Mínimo en (,73; 0,73). + 4