Simposio d Mrología 4 5 al 7 d Ocubr MODELACIÓN NUMÉRICA DE LAS VARIABLES TEMPERATURA Y PRESIÓN EN EL PATRÓN NACIONAL DE FLUJO DE GAS PARA DETERMINAR LOS GRADIENTES GENERADOS DURANTE LA MEDICIÓN Juan José Mrcado Pérz Cnro Nacional d Mrología Dircción d Mrología Mcánica División d Flujo y Volumn 44 5 al 4 x. 384 jmrcado@cnam.mx Rsumn Los parons nacionals ipo campana para mdición d flujo d gas cunan con un lmno snsiivo d mpraura n l inrior d la campana cuya ubicación vin prsablcida por l fabrican dsconocindo si la mpraura punual indicada por l sisma d mdición s la rprsnaiva dl mnsurando nindo como principal dsvnaja l dsconocimino d los gradins érmicos gnrados duran una mdición. Un problma similar ocurr con l lmno snsiivo d prsión. En s rabajo s dduc l modlo físico qu simula l fnómno s ncunra l modlo mamáico dl cual s dmusra la xisncia y unicidad d solución; y finalmn s obin l modlo discro y s rsulv mdian l méodo d lmno finio. S mpla l sofwar ANSYS para simular numéricamn l fnómno y los valors s comparan con los obnidos mdian xprimnación.. Inroducción En s documno s informan los rsulados d los rabajos d modlación numérica d las variabls d prsión y mpraura qu s han ralizado sobr l Parón Nacional d Flujo d Gas con la finalidad d disminuir la incridumbr d mdición. El dsplazamino d la campana s raliza a un nivl d prsión solo ligramn suprior a la prsión amosférica gracias al acoplamino d un conrapso cuya masa s ligramn infrior a la d la campana. Dsd un puno d visa puramn mrológico s sumamn dsabl qu l dsplazamino d la campana s ralic bajo condicions d prsión y mpraura quasiconsans y minimizando los gradins spacials qu sas dos variabls pudan xhibir. En s rabajo s dsarrolla l modlo físico dl sisma (un rmo-fluido) posriormn uilizando l méodo d sub-difrncials [] s sablc la formulación variacional dl modlo acoplado para dmosrar xisncia y unicidad d solución [] una vz hcha la dmosración s oma l modlo variacional global débil l cual s coninuo y los spacios d solución son d dimnsión infinia a s problma no s conoc una manra d rsolvrlo analíicamn por ano s discriza hacindo uso dl méodo d lmno finio nconrando una bas finia d solución; la discrización s spacial como mporal [3] [4] y [8]. En l caso d la discrización mporal s oma l cririo qu uiliza ANSYS [5]. S incluyn los rsulados obnidos d la simulación uilizando l sofwar d ANSYS y s comparan con los rsulados obnidos n forma xprimnal.. Modlo físico d un rmo-fluido La mcánica dl mdio coninuo s susna n una sri d posulados o principios gnrals qu s suponn válidos simpr. Enr ésos s ncunran los dnominados Posulados d consrvación balanc qu son los siguins Consrvación d masa. [6] Balanc dl momnum linal (canidad d movimino). [6] Balanc dl momnum angular (momno d la canidad d movimino). [6] Primra ly d la rmodinámica. [7] Sgunda ly d la rmodinámica. [7] En s rabajo s considra qu l procso d circulación dl fluido (air) s isnrópico dbido a las caracrísicas propias dl problma; so s l fnómno s considra rvrsibl ya qu la canidad d calor ransfrida hacia o dsd l sisma s dsprciabl. Esa s la razón por la cual para nconrar l modlo dl rmo-fluido no s considrará la sgunda ly d la rmodinámica ya qu s saisfac auomáicamn.
Simposio d Mrología 4 5 al 7 d Ocubr. Fluidos nwonianos. Balanc d nrgía La fricción n los sismas d circulación d fluidos gnralmn s manifisa con furzas corans las cuals rardan l movimino rlaivo d las parículas dl fluido. La mdida dl movimino rlaivo d las parículas dl fluido sá dada por l gradin d vlocidad [6] L= grad v... Ecuación consiuiva La cuación consiuiva qu caracriza al fluido por sus propidads marials s d la forma T= π I+ µ D. (.) dond Primr principio d la rmodinámica La variación d nrgía qu xprimna s igual al rabajo qu ralizan las furzas qu acúan sobr mas la canidad d calor inrcambiada o rcibida por. du d d = u d = d T D d+ r d q n d T D= ( L+ L ). (.) u = Enrgía inrna La consan scalar µ s llamada la viscosidad cinmáica dl fluido. Sin mbargo n s rabajo s asum qu los cambios d viscosidad cinmáica son dsprciabls... Ecuación d Navir-Sos La cuación consiuiva s complmnada con la cuación d movimino y la condición d incomprsibilidad v + ( grad v) v = div T+b (.3) Usando la idnidad ( v + grad v v = µ v grad π +b div v =. ) dond q = K gradθ rprsna l flujo d calor. T Tnsor d sfurzos (simérico) = Dnsidad du = C & θ y & θ= θ + gradθ v d D = ( grad T v+gradv ) Tnsor simérico d vlocidad K = Conducividad érmica (.6) r = Función scalar spacial qu dscrib l calor gnrado por funs inrnas. div v T = div v rsula.. Ecuación consiuiva (.4) Las cuacions d Navir Sos consiuyn un sisma d cuacions difrncials parcials no linals para la vlocidad v y la prsión π d la forma v + ( grad v) v= υ v grad π +b div v =. la xprsión anrior corrspond a una rprsnación paramrizada d las cuacions d Navir-Sos n las qu µ υ = π π = b = b La cuación consiuiva la conforma la ly d Fourir (conducción d calor). [7] q x = K gradθ x (.7).3 Ecuación d volución (mporal) érmica. Obsérvs qu div K gradθ = K div grad θ ) (.8) Suponindo qu K s consan y susiuyndo la nrgía inrna y l nsor d sfurzos aplicando l orma d localización y dividindo nr la dnsidad rsula ( π I µ D) D K C θ + C gradθ v + = r+ θ. (.5) ( (.9) hacindo
Simposio d Mrología 4 5 al 7 d Ocubr µ π υ = p = K = rcordando qu ID = div v= y dividindo nr C v= n [ T ] ( ) = ˆ n [ ] ( ) = v n div v x v v x T (.) nmos dond R θ + ( gradθ v) = + ξ θ C v vlocidad n dond b = b R = r+υ DD ξ = b furzas d curpo por unidad d volumn C π R p = omando Q = y susiuyndo s obin C ˆv s la condición d vlocidad prscria sobr d θ ξ θ + gradθ v = Q (.) v s la condición inicial d vlocidad n..4 Sisma acoplado A coninuación s prsna l modlo físico dl sisma l cual s un sisma acoplado. Srá uilizado n s rabajo para obnr l modlo variacional qu prmi aproximar al sisma d cuacions difrncials qu dscrib al modlo mdian la discrización dl spacio solución. θ = ˆ θ n θ = θ n o.5 Modlo subdifrncial Siguindo l procdimino sugrido por Alducin [] s llga a la formulación primal global fur v ( ) ( ) { υ div gradv u v d { ( ) + grad ( ) ( ) + grad p( ) v = Q n [ T ] ( ) x [ T ] (.) { u v ( x; n) { γu γv θ ξ θ + gradθ Dond ˆ θ s la mpraura sobr d θ s la condición inicial n s una rgión rgular T s un inrvalo d impo [ ] s la fronra d ˆv vlocidad prscria sobr ˆ θ Tmpraura prscria sobr. y la Ecuación (.) s pud rscribir como v + gradv v= υ v grad p +b [ T ] n v v v b d+ d () u dond ( Ψ ) ( Ψ ) = D D θ = ( ) u () V ( V ) γ u() u() = n div (){ () () = v ˆ ξ div θ η θ d { θ () θ() v() () { η() θ() + Q d () n{ () () θ γη γθ d () η dond 3
Simposio d Mrología 4 5 al 7 d Ocubr ( Φ ) ( Φ γ ) = D D { η V ([ T] ) () ˆ V R γη θ = =. Aplicando la fórmula d Grn [] corrspondin al oprador divrgncia a la formulación primal global fur s obin la formulación global débil ( v ( ) p( ) θ ( ) ) υ () { () () ( v θ ) b y = gradθ v y θ y W y v V b ( grad ) vvy = v vy vy V. Son ri-linals y coninuos. El siguin problma buscarmos dmosrar qu ( v θ ) V W ( ) + + ( v ) a θ y θ y b gradθ y = Qy y W gradv gradu gradv d a + + b ( grad ) { () + ( grad () ) () + grad p() ( ) v v v b by y V. u v d { () () ξ θ() { η() θ() d (.3) { θ () θ() () + Q() { η() θ( ) { η p div v ( ) v d.7 Modlo discro. u 3 = u() H ( V ) u() = vˆ div u() = n y [ T] () { η() ( ) γη() ˆ θ [ ] η vy v y v vy = in una única solución ano para l caso homogéno como para l caso no homogéno. Una vz dmosrada la xisncia y unicidad d solución para l modlo n bas a [] s roma l problma variacional débil para obnr un modlo discro l cual s pud rsolvr aplicando un algorimo d solución numérica. El problma dl modlo variacional débil s coninuo y los spacios d solución son d dimnsión infinia y no s conoc aun una manra d rsolvrlo n forma analíica. = H R = y T..7. Discrización spacial..6 Exisncia y unicidad d solución Tomando l modlo sub-difrncial y llvándolo a la forma dl Lma.6. [] s dmusra la xisncia y unicidad d solución. Dbido a lo xnso d sa dmosración s sugir s rvis la rfrncia [9]. Lma.6. Los opradors a W W R y a V V R [] dfinidos rspcivamn como a θ y = ξ gradθ grady θ y W a vy = υ gradv grady vy V. Son bi-linals lípicos y coninuos Los opradors b W V W R y b V V V R son dfinidos como A lo anrior s rquir rplanar l modlo coninuo y obnr un modlo discro β % [ R] β { α β H ( β) β { α β m h [ B] ˆβ { [ C] β { b { α β α mh α β α β m h mh α R uh = α jqj h = mh { q j bas d V j= h (.4) 4
Simposio d Mrología 4 5 al 7 d Ocubr β % h { ( i i) ( j j) ( j j) { β qi + ( βiqi) vh Q ( α jqj) ( β jqj) ξ β q α q β q d α % h mh { α ( α ) ˆ jq j θh % = R n =. dond [ ] ij υ { { d ( β ) i j ij d R = q q H = [ ] ˆ q qi qj d B β = ij [ ] { b = ( j ) d. j b q q q d C = q q d i j ij i j En s rabajo s prsnan los rsulados d la modlación para rs posicions d la campana (bajo mdio alo) y con rs caudals disinos (bajo mdio alo). La mpraura más ala dl gas s ocurr cuando s in la campana n la posición baja con l caudal más alo; minras qu la mpraura mas baja s prsna cuando la campana sá n la posición ala y cuando l caudal s l mnor. Considrando l caso d qu la campana sé n la posición inrmdia a un caudal alo s pud dcir qu la configuración qu prsna la mnor disprsión n los valors d mpraura corrspond a la configuración d nrada plana para la cual la dsviación sándar d los daos d mpraura (para los 36 nodos) s d 56 K..7. Discrización mporal La discrización n l impo s labora bajo un squma d difrncia n rrocso para valuar la drivada rascndn. El paso dl impo acual s n l n simo y la xprsión nvulv los dos prvios impos rsulans [5]. ( φ) 4 ( φ) 3 ( φ) φ n n = + n. (.5) Es cririo d discrización s aplicara a la R m h vrsión. Fig. Tmpraura nodal para un flujo alo n la posición mdia d la campana (configuración plana) 3. Rsulados En los párrafos subscuns s musran algunos d los rsulados obnidos d la simulación y los rsulados xprimnals. 3.. Simulación numérica Para la ralización d la simulación numérica s combinaron las siguins condicions La mpraura n l inrior d la campana s uniform (935 K) y qu no xis gradin alguno ans d suminisrar l flujo. Las condicions ambinals son las normalizadas ( 35 Pa y 935 K). La mpraura dl fluido qu nra a la campana s K mayor qu la mpraura dl inrior. Fig. Línas d corrin para un flujo alo n la posición mdia d la campana 3.. Prubas xprimnals Para conocr las variacions d mpraura n l inrior d la campana s colocaron cinco snsors n l parón nacional d flujo d gas (vr figura 3) rs d llos s siuaron n l inrior d la campana. En la Gráfica s musra qu la máxima difrncia d mpraura n l inrior d la campana s dl 5
Simposio d Mrología 4 5 al 7 d Ocubr ordn d K para l rcorrido oal d la campana. Dichas variacions s obsrvan nr la mpraura n la par suprior d la campana y la mpraura n la bas d la campana. mbargo ambién s vidn qu dspués d un dsplazamino dl ordn d 3% rspco d la carrra oal los gradins máximos d mpraura s rducn a 6 K lo cual s raduc n una incridumbr sándar dl ordn d 7 K. Gráfica. Comporamino d la variación d la mpraura n l inrior d la campana. Fig. 3 Posición d los snsors d mpraura duran las prubas xprimnals. La Gráfica musra las variacions máximas d mpraura (difrncia nr los snsors insalados n l inrior d la campana) para difrns vlocidads d dsplazamino d la campana. La difrncia máxima obsrvada s d K y corrspond a un caudal d 35 L/min. 4. Conclusions 4. Tmpraura Los rsulados dl análisis numérico ilusran una difrncia máxima d mpraura igual a 3 K. La dsviación sándar d la mpraura (considrando l oal d nodos) rsuló d 56 K los qu s raduciría n una incridumbr sándar (considrando una población d nodos d 36) d K. Las variacions máximas d mpraura qu s rfljaron n las prubas xprimnals son dl ordn d K lo cual significa qu asumindo una forma d disribución uniform la incridumbr dbido a los gradins d mpraura n l inrior d la campana s dl ordn d 6 K. Sin Gráfica. Comporamino d la variación d los promdios d las mprauras n l inrior d la campana a disinos flujos d opración. 4. Prsión Los rsulados corrspondins a la variabl d prsión (por análisis numérico) musra qu sa s manin consan n casi odo l inrior d la campana y los gradins son nulos pro los análisis xprimnals rfljan un valor d Pa (para flujo máximo) d difrncia n odo l rayco d la campana lo qu produc una incridumbr d 35 Pa. 5. Rcomndacions S rcominda ralizar mínimo cinco corridas con la campana ans d mpzar cualquir mdición con l objivo d lograr condicions d quilibrio érmico y hacr la corrcción por mpraura ya qu l snsor d mpraura in una difrncia dl 3 C con rspco a la mpraura promdio dl msurando y s propon qu s l asign una 6
Simposio d Mrología 4 5 al 7 d Ocubr incridumbr d 7 C so por concpo d los gradins d mpraura n l msurando. S rcominda qu coninún las invsigacions raando con difrns configuracions d la nrada dl fluido a la campana con la finalidad d disminuir los gradins. Rfrncias [] Alduncin (988); Subdiffrnial and variaional formulaios of boundary valu problms Compur mhods in applid mchanics and nginring 7 ( 989) 73-86 Norh-Holland. [5] Ansys (); Ayuda dl sofwar Ansys 7.. [8] Giraul Raviar (986). Fini Elmn Mhods for Navir-Sos Equaions Thory and Algorihms Springr-Vrlag Nw Yor USA. [6] Moron E. Gurin (98). An Inroducion o Coninuum Mchanics Acadmic Prss Inc. San Digo California. [3] Arch W. Naylor R. Sll (98). Linar Opraor Thory in Enginring and Scincs Springr- Vrlag Nw Yor USA. [7] David R. Own (984). A Firs Cours in h Mahmaical Foundaions of Thrmodynamics Springr-Vrlag Nw Yor USA. [] A. J. Rséndiz ( 995). Dscomposición d opradors para la solución d problmas d fluidos incomprsibls y viscosos Insiuo Tcnológico d Quréaro México. [4] Tmam (979). Navir-Sos Equaions Thory and Numrical Análisis Norh-Holland Publishing Company Nhrlands. [9] Mrcado (4). Comporamino dl fluido n l inrior dl Parón Nacional d Flujo d Gas Tsis Masría n Cincias Insiuo Tcnológico d Quréaro Quréaro México. 7