CONTROL ROBUSTO QFT DE UN HELICÓPTERO DE 3 GDL

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1 CONTROL ROBUSTO QFT DE UN HELICÓPTERO DE GDL I.Egaña, M.Iribas,. Moa,. Casilljo, P.Vial,.Villanuva, M. Barrras, M. García-Sanz Dparamno d Auomáica y Compuación, Campus d Arrosadía, 6 - Pamplona. igor.gana@unavarra.s Rsumn S propon l disño d un conrolador robuso mdian la écnica QFT aplicado a un prooipo d hlicópro d laboraorio d grados d librad. El disño sá compuso por dos lazos n cascada para l conrol dl avanc dl hlicópro y oro indpndin para la lvación. S musran los rsulados xprimnals d la implmnación ral dl conrolador. Palabras Clav: Conrol Robuso, QFT, Sismas d Ralimnación. INTRODUCCIÓN Dsd los años 5 y duran oda la década d los 6, l Profsor I. Horowiz [6-8] profundizó n los fundamnos d la ralimnación y ahondó n las capacidads qu d lla s drivan, dando lugar a la llamada Toría d la Ralimnación Cuaniaiva (QFT, Quaniaiv Fdback Thory). Esa s una écnica qu, basada n l uso d la ralimnación, busca l cumplimino d unas olrancias dsadas d funcionamino dl sisma, a psar d la incridumbr d la plana y las prurbacions dl sisma. A parir d los brillans cominzos d Horowiz, s ha dsarrollado oda una oría qu raa dsd l conrol d sismas monovariabls [6, 8] hasa los mulivariabls más compljos [9,,, 4,, 4], pasando por los no linals [5] y por procsos con grands rardos variabls [5], nr oros. No obsan, QFT no ha qudado solamn n l ámbio académico. Tal y como s rlaa n l libro rcinmn publicado por Houpis y Rasmussn [], las aplicacions indusrials son numrosas. En s rabajo s xpon la rsolución d un caso prácico ral [] por mdio d una maqua d laboraorio d un hlicópro d grados d librad: la D Hlicopr Exprimn, fabricado por Quansr Consuling. El prooipo s musra n la Figura. Figura : Maqua dl Hlicópro D Hlicopr Exprimn, d Quansr Consuling. MODELO DEL HELICÓPTERO Tal y como s ha comnado, l procso a conrolar s l hlicópro d la Figura. Consa d grados d librad mdidos mdian oros anos ncodrs absoluos: la lvación (alura qu alcanza l curpo dl hlicópro y qu vin a rsular l giro n orno a un j horizonal), l pich (cabco n orno al j longiudinal dl aparao) y l avanc (giro n orno a un j prpndicular al sulo). Por ora par, los acuadors s rducn a dos moors lécricos d nsión coninua acoplados a cada lado dl j longiudinal qu juno con sndas hélics producn una furza proporcional a la nsión d nrada, y forman par dl curpo dl sisma. En s arículo s considra l conrol d la lvación por una par, y l dl ángulo d pich para lograr l avanc dsado, al y como s dalla posriormn. Para prsnar l conrol d sos js, n s aparado s prsna l modlo mamáico dl hlicópro.. ECUACIONES DIFERENCIALES A coninuación s xponn dalladamn los grados d librad considrados, las cuacions difrncials qu dscribn las dinámicas, así como los parámros qu s incluyn.

2 .. Ángulo d Elvación Tal y como s musra n la Figura, l prooipo bascula rspco al j prpndicular al plano d la figura sgún l ángulo. M l r r l h Figura : Gomría dl ángulo d la lvación l F F La acuación sobr l sisma s la suma d las furzas provocadas por las hélics accionadas por los dos moors lécricos, y la salida s l ya mncionado ángulo d lvación,. Tal y como s pud dducir a parir d las cuacions d Lagrang, l modlo mamáico s l siguin, ( F F ) l m g [ ( h d ) sn l cos ] M g ( l l cosθ ) cos M g ( l sn h) sn b ' '' d m () sindo h, d, l, l y l, longiuds dl sisma; m, la suma d la masa d los dos moors y M la masa dl conrapso; b, l rozamino dinámico d la lvación; g, la aclración d la gravdad. m p [ l ( d c) ] m g snp ( c d ) ( F F ) l p sindo l y c, longiuds dl sisma; b p, l rozamino dinámico dl pich; l rso d parámros son los dfinidos anriormn. F r m r F l p d r F r m Figura : Gomría dl ángulo d pich La linalización d sa cuación difrncial n orno a p, da como rsulado, m p l b p F [ l ( d c) ] m g p ( c d ) ( F F ) l p.. Ángulo d Avanc b p c () a (4) Sgún s musra n la Figura 4, l prooipo gira rspco al j prpndicular al plano d la figura. m Tal y como s obsrva, s raa d una cuación difrncial qu s ncsario linalizar n orno al ángulo d lvación. ( F F ) l '' b ' [ m g ( h d) M g ( h l snθ )].. Ángulo d Pich () Como s musra n la Figura, l prooipo cabca n orno al j longiudinal prpndicular al plano d la figura. La acuación sobr l sisma sá consiuida por las furzas F y F provocadas por las accions d las hélics impulsadas por los dos moors lécricos, y la salida s l ángulo d pich, p. Tal y como s pud dducir a parir d las cuacions d Lagrang, l modlo mamáico s l siguin, M d Figura 4: Gomría dl ángulo d avanc, sgún la visa znial La acuación sobr l sisma s la proycción sobr l plano horizonal d las furzas F y F aplicadas n las masas m', provocadas por las hélics impulsadas por los dos moors lécricos. La salida s l ángulo d avanc,. Tal y como s pud dducir a parir d las cuacions d Lagrang, l modlo mamáico s l siguin, ( F ) p l b F sn g (5) d m

3 Al igual qu con los casos anriors, s linaliza n orno al ángulo p, ( F ) l b F (6) p g sindo b, l rozamino dinámico dl avanc;, la inrcia dl conjuno rspco al j d avanc; l rso d parámros son los dfinidos anriormn.. MODELO FRECUENCIAL PARAMÉTRICO A parir d las cuacions difrncials linals (), (4) y (6), los modlos considrados son los d las Figuras 5a y 5b, sgún las funcions d ransfrncia d las cuacions (7), (8) y (9), sindo F suma y F dif la suma y la difrncia d las furzas F y F rspcivamn. a) b) Figura 5: Funcions d ransfrncia d los sismas linals considrados E( F ( suma s P( F ( dif s b s m F suma ( l [ m g ( h d) M g ( h l snθ )] m b [ l ( d c) ] [ l ( ) ] d c T( P( P ( l s Fsuma( g b s s g E( F dif ( P( T( P p ( P ( g ( c d ) ( d c) [ l ] La única objción qu cab formular rspco al anrior modlo afca a la cuación (9), dado qu la función d ransfrncia dpnd d la variabl F suma. No obsan, s ncsario sñalar qu dado qu l sisma va a volucionar n orno a una lvación -ángulo rspco a la horizonal- nula, la variabl F suma in n gnral un valor consan d quilibrio para mannr l hlicópro n dicha posición. A parir d los parámros físicos als como longiuds, masas y rozaminos simados, s pud dducir l modlo con incridumbr rprsnado por las funcions d ransfrncia (), () y (), y (7) (8) (9) la Tabla. Las variabls d nrada d las funcions d ransfrncia qu s incluyn a coninuación son la suma d las nsions aplicadas a los moors y la difrncia d las mismas, con la noación V suma y V dif, nindo n cuna qu la rlación nr la nsión y la furza gnrada por l conjuno dl moor s proporcional a ravés d un valor d k m.46 N/V. E( k ω n () V ( s ξ ω s ω suma P( k ω p n () V ( s ξ ω s ω dif p n np ( T s ) n np T( k () P( s Parámro Mínimo Máximo k..99 ξ..6 ω n k p.9.7 ξ p.9.97 ω np.9.8 k.75. T 6 6 Tabla : Inrvalos paraméricos dl modlo DISEÑO DEL CONTROLADOR En la prsn scción, s incluy primramn una brv dscripción dl procso d disño dl conrolador sgún la modología QFT sguida por la Toolbox d Malab, y dsarrollada por Borghsani al. [], para incluir posriormn las spcificacions dl disño y l procso d disño d cada uno d los lazos d conrol.. METODOLOGÍA DE DISEÑO SEGÚN QFT La Toría QFT sá basada n l análisis frcuncial dl fco d la ralimnación, para rducir la influncia n l sisma ano d las prurbacions xrnas como d la incridumbr dl modlo, y sabilizar l sisma n caso ncsario. Saca provcho d la uilización d un prfilro n lazo abiro dlan dl lazo d ralimnación para ajusar l comporamino dnro d las olrancias d sguimino d rfrncia n su caso, disñándos así un sisma d Grados d Librad. El disño par d un modlo dl sisma qu incluy la posibl incridumbr, ya sa paramérica, no

4 paramérica o mixa. A parir d s puno s calcula la rspusa para un conjuno significaivo d planas dnro d odas las posibls dl spacio d incridumbr, y a unas frcuncias igualmn rprsnaivas d la dinámica dl procso. Cada uno d los conjunos d rspusas a una frcuncia dada s lo qu s conoc como mpla. A coninuación, las spcificacions frcuncials xigidas, s convirn n una sri d zonas prmiidas y prohibidas para cada frcuncia n l diagrama d Nichols. Las línas qu dlimian sas zonas son los llamados bounds. Para garanizar la robusz dl disño, sos cálculos s ralizan omando n considración la incridumbr dl sisma. En la apa d disño, dnominada loop-shaping s aprovchan las propidads dl diagrama d Nichols y s raza l produco d la plana por l conrolador -inicialmn igual a la unidad- para l caso d una d las planas (plana nominal). El Ingniro d Conrol, basándos n su xprincia añad lmnos al conrolador: n l momno n qu cada uno d los punos d dicha rprsnación frcuncial yazca sobr la zona prmiida por l bound a su corrspondin frcuncia, l disño s considra saisfacorio. El disño s compla con la sinonización d un prfilro. Para llo s ajusa la rspusa dl lazo d ralimnación a las olrancias dfinidas por las spcificacions d sguimino.. DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL A coninuación s dalla l procso complo sguido hasa alcanzar l conrolador dl hlicópro... Disño dl lazo d lvación Las spcificacions para l lazo d lvación son las siguins: sabilidad robusa: mínimos márgns d ganancia y fas (no simulánamn) igual a.74 (4.68 db) y 4º, calculados sgún [], quivaln a imponr, P G P G.4 spcificación d rducción d la snsibilidad: s s P G s 4 s.5 () (4) limiación dl sfurzo d conrol: la máxima nsión aplicabl a cada moor s d 5 V para l ancho d banda d la plana n l caso d máximo rror d lvación considrado, d 5º (.65 rd),, G P G (5) spcificacions d sguimino: s impon una banda d olrancia n odo l ancho d banda d la plana dfinida por, a Y/R ( j ω ) b (6) sindo Y/R la función d ransfrncia nr la rfrncia y la salida, y a(ω) y b(ω) las coas suprior infrior qu dfinn la olrancia mdian las siguins funcions, 5 a ( (7) s s 5.5 b ( (8) s.5 A parir dl modlo dfinido por la cuación () y los parámros d la Tabla, s pudn calcular los mplas d la Figura ω.4646 ω.95 ω.598 ω ω.668 ω ω.544 ω Fas (º) Figura 6: Tmplas d la plana d lvación A parir d las spcificacions comnadas, la apa d disño concluy sgún la Figura 7, n la qu s musran los bounds y l produco d la plana por l conrolador rsulan. En dicha figura, la rspusa a una frcuncia dada db prmancr por ncima d los bounds coninuos y por dbajo d los disconinuos, y n l xrior d los bounds crrados (coninuos y disconinuo. El conrolador disñado s l siguin,

5 8.899 s s 9.79 G (9) s s spcificacions d sguimino: siguindo la formulación d la cuación (6), s impon una banda d olrancia dlimiada por,- ω. 9 a ( (4) s.8 s ω.7 ω.77 ω.7 ω.59 ω.46 b ( (5) s 6 s A parir dl modlo dfinido por la cuación () y los parámros d la Tabla, s pudn calcular los mplas d la Figura 8. - ω. ω Fas (º) Figura 7: Loop-shaping dl conrolador d lvación ω.544 ω.786 A parir d s puno l disño dl prfilro s rivial y da como rsulado la siguin función d ransfrncia,.5767 s.46 s. Pf () s.66 s.8 s ω. ω ω.668 ω.4646 ω.95 ω ω.. Disño dl lazo d pich Las spcificacions para l lazo d pich son las siguins: sabilidad robusa: análogamn al lazo anrior, Fas (º) Figura 8: Tmplas d la plana d lvación El loop-shaping corrspondin al conrolador d ralimnación dl pich s pud aprciar n la Figura 9. P G P G.4 () ω. ω. ω.77 spcificación d rducción d la snsibilidad: s.6 s P G s. s.9 ().6 5 ω. ω.59 ω.46 ω limiación dl sfurzo d conrol: s considra convnin una máxima nsión aplicabl a cada moor d.5 V para l ancho d banda d la plana n l caso d máximo rror d lvación considrado, d 6º (.5 rd), Fas (º) Figura 9: Loop-shaping dl conrolador d pich G P G () El conrolador así disñado s l siguin, s 5.86 s G p s.97 s (6)

6 Dado qu s lazo s sclavo rspco al d avanc, no prcisa l ajus d un prfilro para l sguimino. Cualquir dinámica d s ipo qudaría absorbida por l conrolador d ralimnación d avanc... Disño dl lazo d avanc Las spcificacions para l lazo d avanc son las siguins: sabilidad robusa: análogamn a los lazos anriors, P G P G.4 spcificación d rducción d la snsibilidad: s.6 s P G s. s.9.6 (7) (8) spcificacions d sguimino: siguindo la formulación d la cuación (6), s impon una banda d olrancia dlimiada por, 9 a ( (9) s.8 s 9 b ( () s 6 s A parir dl modlo dfinido por la cuación () y los parámros d la Tabla, muliplicado por l lazo crrado dl conrol dl pich, s pudn calcular los mplas d la Figura. 7 La Figura musra l aspco final dl loopshaping, qu da como rsulado un conrolador G como l siguin, 4.56 s.7 G () s ω ω.46 ω. ω. ω.46 ω. ω. ω.46 ω Fas (º) Figura : Loop-shaping dl conrolador d avanc Para finalizar l disño, s ajusa un prfilro para l sguimino oporuno d la rfrncia d avanc, 4 s.8 s.54 s.6 s. 4 s.464 s,.68 s.68 s. Pf () 4 PRUEBAS EXPERIMENTALES Para finalizar, s incluyn rsulados xprimnals como conscuncia d la implmnación dl conrolador. La srucura d conrol d odo l sisma s la mosrada n la Figura. Es imporan rsalar qu las órdns d conrol V suma y V dif son aplicadas al sisma ral a ravés d las dos variabls rals V y V, qu s gnran como la smisuma y la smidifrncia d las primras ω. ω.98 ω.5849 ω.696 ω.59 V suma rf a) Pf ( G ( k m P ( - rf Pf ( G ( G p ( - - b) V dif p k m P p ( P ( Fas (º) Figura : Tmplas d la plana d avanc dfinida a parir dl lazo crrado d pich por la rlación nr s y l avanc ω Figura : Esrucura d conrol final con l lazo d la lvación (a) y l lazo n cascada dl avanc (b) Tal y como s pud obsrvar n la Figura, l sguimino dl ángulo d pich s rápido y muy prciso, y sá ncaminado a forzar l ángulo d avanc d rfrncia. Por ora par la lvación s

7 alcanza sin ningún ipo d oscilación y con un rror n l sacionario nulo. Avanc, Pich, p V dif,[v] V sum, [V] Elvación, Timpo [s] Figura : Prubas xprimnals dl sisma complo d conrol 5 CONCLUSIONES S ha mosrado una aplicación prácica d la écnica d Conrol Robuso QFT. En s caso, s ha disñado l conrolador complo d una maqua d laboraorio, incluyndo un conrolador d lvación por una par, y un dobl lazo n cascada para gobrnar l avanc a ravés dl ángulo d pich. Los rsulados prácicos qu s han incluido musran un comporamino robuso qu cumpl prfcamn las spcificacions d funcionamino dsadas. Agradciminos Los auors agradcn l apoyo dado por la Comisión Inrminisrial d Cincia y Tcnología (CICYT) por l proyco DPI'-785. Rfrncias [] Boj, E. y O. D. I. Nwokah (999). Quaniaiv mulivariabl fdback dsign for a urbofan ngin wih forward pah dcoupling. Inrnaional ournal of Robus and Nonlinar Conrol, 9 (), pp [] Borghsani, C., Y. Chai, y O. Yaniv (995). Quaniaiv Fdback Thory Toolbox For us wih Malab. s Ediion. Th Mahworks Inc. [] Chai, Y. y O. Yaniv (99). Muli-inpu/singloupu compur aidd conrol dsign using h Quaniaiv Fdback Thory, Inrnaional ournal of Robus and Nonlinar Conrol,, pp [4] García-Sanz, M. y I. Egaña (). Quaniaiv Non-Diagonal Conrollr Dsign For Mulivariabl Sysms Wih Uncrainy. Acpado para su publicación n la Par dl Isaac Horowiz Spcial Issu, n Inrnaional ournal of Robus and Nonlinar Conrol. [5] García-Sanz, M. y. C. Guillén (999). Lcur Nos, n Conrol and Informaion Scincs, Ed. Springr Vrlag 999. Vol 4. Progrss in Sysm and Robo Analysis and Conrol Dsign, capíulo, pp [6] Horowiz, I., (959). "Fundamnal hory of linar fdback conrol sysms". Transacions on Auomaic Conrol, 4, pp [7] Horowiz,I., (96). Plan adapiv sysms vs ordinary fdbak sysms. Ibid., 7, pp [8] Horowiz, I., (96). Synhsis of Fdback Sysms, Acadmic Prss, Nw York (EEUU). [9] Horowiz, I. (98). Improvd dsign chniqu for uncrain mulipl-inpu mulipl-oupu fdback sysms. Inrnaional ournal of Conrol, 6 (6), pp

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