por DANIEL R. HERNÁNDEZ1 y RICARDO G. PERROTTA1, 2,

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1 REV. IVES. DESARR. PESQ. º 9: ODIICACIÓ DEL AÁLISIS DE COHORES DE POPE PARA EXEDER SU APLICACIÓ A U RAGO ÁS APLIO DE VALORES DE ORALIDAD AURAL Y ORALIDAD POR PESCA* por DAIEL R. HERÁDEZ y RICARDO G. PERROA Insiuo acional d Invsigación y Dsarrollo Psquro IIDEP Paso Vicoria Ocampo Escollra or B76HSA - ar dl Plaa Argnina corro lcrónico: danilh@inidp.du.ar Dparamno d Cincias arinas aculad d Cincias Exacas y aurals Univrsidad acional d ar dl Plaa UdP uns 335 B76AYL - ar dl Plaa Argnina SUARY Pop s Cohors Analysis modifid o xnd is applicaion o a widr rang of naural moraliy and fishing moraliy ra valus. Pop s Cohors Analysis was modifid o xnd is applicaion o a widr rang of naural moraliy and fishing moraliy ra valus. h modifid mhod mainains h simpliciy of h on sablishd by Pop and dos no rquir o rsolv any non linal quaion in ach cohor rconsrucion procss. h rlaiv rrors obaind whn simaing h numbr of individuals pr ag maximum and man in absolu valu showd accpabl lvls wihin h fiv domains and pairs of valus analyzd in his work. h nw mhod can b adapd o a paricular siuaion and valus rang simply solving an opimizaion problm minimizaion of h maximum rlaiv rror absolu valu asily achivd using a calculaion sh or considring h approximaion corrsponding o any of h domains hrin analyzd. RESUE El Análisis d Cohors d Pop s modificó para xndr su aplicación a un rango más amplio d valors d asas insanánas d moralidad naural y por psca. El méodo modificado consrva la simplza dl crado por Pop y no rquir qu s rsulva ninguna cuación no linal n l procso d rconsrucción d cada cohor. Los rrors rlaivos obnidos al simar l númro por dad máximo y mdio n valor absoluo s manuviron n nivls acpabls dnro d los cinco dominios pars d valors d y analizados n s rabajo. El nuvo méodo podrá adapars a una siuación paricular rango d valors d y rsolvindo simplmn un problma d opimización minimización dl valor absoluo dl rror rlaivo máximo qu s logrará fácilmn con una planilla d cálculo o considrando la aproximación corrspondin a alguno d los dominios qu aquí s analizan. Ky words: Cohor analysis moraliy ra virual populaion analysis sock assssmn. Palabras clav: Análisis d cohor asa d moralidad análisis d poblacions viruals valuación d rcursos. *Conribución IIDEP º 56 El Dr. Ricardo G. Prroa fallció l 6 d marzo d 8.

2 4 REV. IVES. DESARR. PESQ. º 9: IRODUCCIÓ AERIALES Y ÉODOS El Análisis d Poblacions Viruals APV s un méodo basado n daos d capura por dad n númro C qu prmi rconsruir la hisoria d cada una d las cohors qu componn una población calculando la abundancia y las asas insanánas d moralidad por psca a la qu fu somida la cohor a lo largo dl impo. El méodo s dsarrolló n la URSS a parir d los rabajos d Drzhavin 9 fu rdscubiro lugo por ry 949 y modificado posriormn por Gulland 965 ésa vrsión s la qu s uiliza n la acualidad. Conocida la asa insanána d moralidad naural s rconsruy la cohor dsd la dad mayor calculando paso a paso las abundancias y las asas insanánas d moralidad por psca d las dads anriors. En cada paso s ncsario rsolvr una cuación no linal n. Si l númro d años y d dads involucrados n l análisis s alo noncs dbrán rsolvrs un gran númro d cuacions no linals. Si bin n la acualidad la rsolución d s ipo d cuacions no dbría prsnar mayors problmas dadas las facilidads oorgadas por las compuadoras y los algorimos d cálculo. o obsan algún ipo d simplificación no dja d sr inrsan y vnajosa. Pop 97 dsarrolló un méodo simplificado d cálculo basado n una aproximación numérica conocido como Análisis d Cohors l cual ha sido y sigu sindo muy uilizado. Sin mbargo és méodo para brindar una aproximación saisfacoria rquir ciras rsriccions sobr los valors d y sindo válido para < 3 y <. En és rabajo s ha modificado la aproximación d Pop a los fcos d podr xndr l rango d aplicación dl méodo n lo qu hac a los valors d y admisibls buscando mannr l rror gnrado por la aproximación dnro d límis razonabls. El nfoqu propuso incluy a la formulación d Pop como caso paricular. Análisis d Poblacions Viruals y Análisis d Cohors d Pop El APV s basa n las siguins dos cuacions: C sindo: : númro d individuos d dad n la cohor. C : númro d individuos d dad n la capura. : asa insanána d moralidad naural. : asa insanána d moralidad por psca mdida n unidads año-. Esas cuacions son ampliamn conocidas y ciadas n la bibliografía Pop 97; Hilborn y Walrs 99; Sparr y Vnma 997. En paricular la cuación s la cuación d capura y s válida cuando C rprsna la capura xacamn n la dad. En caso qu C rprsn la capura n la úlima dad y odas las dads mayors noncs s sigu considrando la cuación n la forma: C asumindo qu: AX 3 sindo ahora l númro d individuos d dad y odas las dads mayors. Sgún s pud vr n Pop 97 las cuacions y prmin obnr:

3 HERÁDEZ Y PERROA: ODIICACIÓ DEL AÁLISIS DE COHORES DE POPE 5 C 4 a b / 8 sindo C la capura oal d individuos d dad n númro y: 5 El Análisis d Cohors d Pop surg d considrar la aproximación: El considrar funcions d la forma 8 surg al nr n cuna las siguins propidads d dada por la xprsión 5: A para > fijo. A cuando para fijo. / 6 A3 / la cual para < 3 y < prmi obnr una aproximación con un rror mnor al 4% Pop 97. D sa forma susiuyndo 6 n 4 s obin: C / 7 dond con s rprsna la aproximación dada por la fórmula d Pop al corrspondin valor obnido a parir d las cuacions y. Para iniciar l procso d paso hacia arás a parir d la fórmula 7 s ncsia considrar la cuación d capura 3 para la úlima dad y odas las dads mayors d la cohor y fijando un valor d rminal * dspjar l valor d y a parir d la fórmula 7 calcular para las dads - -. La simplificación gnrada al considrar la cuación 7 d Pop n lugar d las cuacions d Gulland s oal ya qu l uso d la cuación 7 no rquir la rsolución d cuacions no linals. Análisis d Cohors modificado La modificación al méodo d Pop qu s propon s basa n considrar una aproximación difrn a la función. Concramn considramos funcions d la forma: para < 3 y <. Por su par para la función dada por la xprsión 8 s in qu: B. B cuando para a > y b >. / B3 para a b. En paricular la propidad B3 dic qu l considrar la fórmula 8 para aproximar a incluy como caso paricular la aproximación d Pop. Error d aproximación d la numrosidad por dad Cuando s susiuy n la xprsión 4 por s sá aproximando la xprsión 4 por la xprsión: C 9 y por lo ano n lugar d obnr los valors d abundancia qu s obndría a parir dl méodo

4 6 REV. IVES. DESARR. PESQ. º 9: d APV s obinn valors aproximados. Inrsa por lo ano calcular d qu forma la aproximación d por rprcu n l rror asociado a la aproximación d por. Supongamos noncs qu parimos d un valor d rminal *. Ya sa para l APV como para l Análisis d Cohors d Pop modificado n paricular l Análisis d Cohors d Pop l valor d * lo obndrmos a parir d la cuación 3. D sa forma s in inicialmn. D aquí n más los valors d y n gnral difrirán dbido a la difrncia nr y. Si s dfin l rror rlaivo al aproximar por n 4 n la forma: - s v qu s función d y y qu no sá dfinido mamáicamn n l conjuno d valors d y al qu y ya qu no sá dfinida. Para los valors d y n dond sá dfinida s pud scribir: Γ sindo: Γ Ahora bin s pud dmosrar vr Apéndic A qu xis l lími d la función Γ dado por: lim Γ y lim Γ para > y d sa forma s pud rdfinir: Así dfinida la función s coninua n cualquir dominio Ω d la forma: Ω: Μ sup sup a los fcos d simplicidad s scribirá Ω: Μ sup sup sindo sup y sup los máximos valors d los inrvalos considrados para y al dfinir l dominio Ω. Hcha sa aclaración con rspco a la dfinición d s pud dmosrar vr Apéndic B qu: - - n Ω sindo: l rror rlaivo al aproximar por. Aplicando la cuación rcurrnmn y nindo n cuna lo dicho con rspco a qu s in qu: 3 > > 3 Como s pud vr n la fórmula 3 l rror

5 HERÁDEZ Y PERROA: ODIICACIÓ DEL AÁLISIS DE COHORES DE POPE 7 rlaivo al aproximar por s una suma pondrada d los rrors rlaivos d aproximación d por dsd la dad hasa la dad -. omando valor absoluo s in qu: * sindo: 4 l cual xis por sr una función coninua y l dominio Ω un conjuno compaco. nindo n cuna qu n 4 odos los érminos nr parénsis n l sgundo mimbro son posiivos y mnors o iguals qu y qu hay - érminos s in n principio qu: y por lo ano una coa suprior para válida para cualquir sá dada por: * 3 * 5 S pud dmosrar vr Apéndic C qu dado un númro ral ε > cualquira an pquño como s quira n caso qu los valors absoluos d los dsvíos con rspco al corrspondin valor mdio d las asas insanánas d moralidad por psca sén acoados convninmn noncs la coa dada n 5 s pud mjorar omando la forma: * ε 6 Es rsulado s aplicabl n paricular n l caso n qu los valors - san similars. Db obsrvars qu sos rsulados son váli- dos para cualquir función y por lo ano n / paricular para la función corrspondin al Análisis d Cohors. Esimación d los parámros a y b Dado un dominio Ω s podrían dfinir a los parámros a y b como aqullos valors qu minimicn l rror rlaivo máximo n valor absoluo al aproximar por so s qu minimicn la función: 7 Buscando hacr l rror rlaivo d aproximación d por lo mnor posibl. Una aproximación numérica simpl para rsolvr l problma d la minimización d la función ϕ a b s consruir una grilla GΩ Ω suficinmn fina d valors d y n l dominio considrado Ω y aproximar la minimización d ϕ a b mdian la minimización con rspco a los parámros a y b d la xprsión: Ejmplos d aplicación 8 A los fcos d mosrar n la prácica lo dsarrollado óricamn s considraron rs spcis plgonro dl ar dl or rlangius mrlangus Sparr y Vnma 997; caballa dl Alánico Sudoccidnal Scombr japonicus Prroa al. 99 y mrluza dl Alánico Sudoccidnal rluccius hubbsi Bzzi al RESULADOS Y DISCUSIÓ El conjuno d valors < 3; < considrado por Pop 97 s amplió a cinco domi-

6 8 REV. IVES. DESARR. PESQ. º 9: nios difrns fcuando la simación d los parámros a y b d la función n cada uno d llos. En cada dominio s dfinió una grilla con dnro d la cual s calculó l máximo rror rlaivo al aproximar por y l corrspondin rror rlaivo mdio los dos n valor absoluo abla. S pud obsrvar qu n l dominio Ω qu conin al dominio dfinido por Pop 97 l rror rlaivo máximo s d 93%. En l dominio Ω 5 l rror rlaivo máximo pud valorars como alo aunqu si s analiza la disribución d los rrors rlaivos dnro d és dominio s obin qu sólo un 64% d combinacions pariculars d y llvan a gnrar rrors rlaivos con valor absoluo suprior al 5% igura. A su vz l rror rlaivo mdio n valor absoluo n Ω 5 s igual a 9%. En la igura s musran las gráficas d los rrors rlaivos corrspondins al méodo d Pop y al méodo d Pop modificado sgún lo propuso n s rabajo. Los gráficos qu s prsnan corrspondn a los dominios Ω y Ω 5.En és úlimo dominio los gráficos s musran a los fcos comparaivos ya qu l éodo d Cohors d Pop no s rcomndabl fura dl dominio dfinido por s auor. Como s pud aprciar n la igura para valors bajos d la igura. Disribución acumulaiva d los rrors rlaivos porcnuals al aproximar a parir d n l dominio Ω 5 Μ ;. igur. Cumulaiv disribuion of prcnag rlaiv rrors whn is approximad from in h Ω 5 Μ ; domain. asa insanána d moralidad oal Z la aproximación d Pop pud drminar rrors rlaivos mnors qu los corrspondins al méodo modificado sindo so ciro spcialmn para combinacions pariculars d y. o obsan a mdida qu crc l valor d Z los rrors rlaivos dl méodo modificado s hacn mnors. al como lo indica Pop para valors bajos d y Z la aproximación brindada por l Análisis d Cohors caso paricular dl méodo modificado al slccionar a b pud rsular saisfacoria pro n la mdida n qu la mor- abla. Parámros a y b d la función Μ n cada uno d los dominios considrados. áximo rror rlaivo n valor absoluo y rror rlaivo mdio n valor absoluo obnido n cada dominio. abl. Μ funcion a and b paramrs in ach of h domains considrd. aximum rlaiv rror in absolu valu and man rlaiv rror in absolu valu obaind in ach domain. Dominio Ω a b áximo rror Error rlaivo rlaivo mdio % % Ω : Ω : Ω 3 : Ω 4 : Ω 5 :

7 HERÁDEZ Y PERROA: ODIICACIÓ DEL AÁLISIS DE COHORES DE POPE 9 igura. Errors rlaivos n función d la moralidad oal Z corrspondins a la aproximación d la función por la función para l méodo d Análisis d Cohors d Pop y para l méodo d Pop modificado n los dominios Ω Μ ; 5 y Ω 5 Μ ;. igur. Rlaiv rrors in funcion of oal moraliy Z corrsponding o h approximaion of h funcion by h funcion for Pop s Cohors Analysis mhod and Pop s modifid mhod in h Ω Μ ;.5 and Ω 5 Μ ; domains. alidad naural y las moralidads por psca indan a sr mayors s convnin considrar l méodo modificado a los fcos d mannr l rror rlaivo bajo dnro d odo l dominio d posibls valors d y. La igura 3 musra las gráficas d las funcions / y n l dominio dfinido por Pop para valors pariculars d la asa d moralidad por psca. Como s pud aprciar los valors d la función son mjor ajusados por la función qu por la aproximación propusa por Pop /. S pud vr ambién qu la bondad d la aproximación dpnd dl valor d considrado. igura 3. Aproximación d la función a parir d la función / sugrida por Pop y la función Μ con los parámros simados para l dominio Ω dnro dl dominio dfinido por Pop para valors pariculars d la asa d moralidad por psca. igur 3. Approximaion of h funcion from h / funcion suggsd by Pop and Μ funcion wih h paramrs simad for h Ω domain wihin h domain dfind by Pop for fishing moraliy ra spcial valus.

8 3 REV. IVES. DESARR. PESQ. º 9: Ejmplos d aplicación igura 4. Plgonro rlangius mrlangus. Errors rlaivos por dad considrando como rfrncia l méodo d Análisis d Poblacions Viruals corrspondins al Análisis d Cohors d Pop y al Análisis d Cohors d Pop modificado con los parámros d la función Μ corrspondins al dominio Ω Μ 5; 5. igur 4. Plgonro rlangius mrlangus. Rlaiv rrors pr ag considring as rfrnc h Virual Populaion Analysis mhod corrsponding o Pop s Cohors Analysis and Pop s modifid Analysis wih h Μ funcion paramrs corrsponding o h Ω Μ.5;.5 domain. igura 5. Caballa Scombr japonicus. Errors rlaivos por dad considrando como rfrncia l méodo d Análisis d Poblacions Viruals corrspondins al Análisis d Cohors d Pop y al Análisis d Cohors d Pop modificado con los parámros d la función Μ Ω Μ 5; 5. igur 5. Chub mackrl Scombr japonicus. Rlaiv rrors pr ag considring as rfrnc h Virual Populaion Analysis mhod corrsponding o Pop s Cohor Analysis and Pop s modifid Analysis wih h Μ funcion paramrs corrsponding o h Ω Μ.5;.5 domain. Plgonro rlangius mrlangus Los cálculos s han fcuado nindo n cuna la cohor d 974 para l méodo modificado s han ralizado considrando la función con los parámros a y b corrspondins al dominio Ω abla. La asa d moralidad naural uilizada fu Sparr y Vnma 997. La igura 4 musra los rrors rlaivos corrspondins a la simación dl númro d individuos por dad númro d sobrvivins al º d nro d cada año obnidos uilizando l méodo d Pop y l méodo d Pop modificado. Si bin los rrors obnidos por ambos méodos son pquños n érminos rlaivos xis una osnsibl disminución a favor dl éodo d Cohors modificado. Caballa Scombr japonicus Los rsulados qu s musran surgn al considrar la cohor corrspondin al año 97. En la igura 5 s pudn obsrvar los rrors rlaivos corrspondins a la simación dl númro d individuos por dad númro d sobrvivins al º d nro d cada año obnidos uilizando l méodo d Pop y l méodo d Pop modificado. Los cálculos para l méodo modificado s han ralizado considrando la función con los parámros a y b corrspondins nuvamn al dominio Ω abla. S ha considrado una asa d moralidad naural 4 Prroa al. 99. En s caso l méodo d Pop prsna rrors rlaivos mnors no obsan los rrors obnidos son pquños para ambos méodos. S obsrva qu l Análisis d Cohors d Pop gnra simpr sobrsimacions d las numrosidads por dad minras qu l méodo modificado gnra simpr subsimacions. rluza rluccius hubbsi Los rsulados qu s musran son d la cohor corrspondin al año 983. En la

9 HERÁDEZ Y PERROA: ODIICACIÓ DEL AÁLISIS DE COHORES DE POPE 3 COCLUSIOES igura 6. rluza rluccius hubbsi. Errors rlaivos por dad considrando como rfrncia l méodo d Análisis d Poblacions Viruals corrspondins al Análisis d Cohors d Pop y al Análisis d Cohors d Pop modificado con los parámros d la función Μ corrspondins al dominio Ω 4 Μ ; 5. igur 6. Hak rluccius hubbsi. Rlaiv rrors pr ag considring as rfrnc h Virual Populaions Analysis mhod corrsponding o Pop s Cohors Analysis and Pop s modifid analysis wih h Μ Ω Μ.5;.5 domain. igura 6 s musran los rrors rlaivos d la simación dl númro d individuos por dad númro d sobrvivins al º d nro d cada año obnidos uilizando l méodo d Pop y l méodo d Pop modificado. Los cálculos para és úlimo méodo s han ralizado considrando la función con los parámros a y b dl dominio Ω 4 abla. S ha considrado una asa d moralidad naural 58 Bzzi al uvamn los rrors obnidos por ambos méodos son pquños sin mbargo xis n érminos rlaivos una imporan disminución d los mismos a favor dl éodo d Cohors modificado. S obsrva al igual qu n la caballa qu l Análisis d Cohors d Pop gnra simpr sobrsimacions d las numrosidads por dad minras qu l méodo modificado gnra simpr subsimacions. La fórmula prsnada n s rabajo in como caso paricular la fórmula dl Análisis d Cohors d Pop considrando a b y no gnra ninguna complicación adicional n l procso d rconsrucción d una cohor pudiéndos admás fcuar los cálculos sin ncsidad d rsolvr ninguna cuación no linal. El méodo propuso prmi riplicar l rango d valors d y duplicar l rango d valors d dfinido por Pop sgún l dominio considrado dnro d los cinco dominios analizados n s rabajo. Los rrors rlaivos obnidos máximos y mdios furon n odos los dominios razonablmn bajos. Por ora par l usuario dl méodo pud calcular sus propios valors d a y b y con llo spcificar la función. Para so basa con fijar un valor d o un rango d valors d y un rango d valors d qu considr adcuado y aplicar l procdimino d cálculo d los parámros a y b sobr l dominio paricular slccionado. Para valors bajos d y s pud coninuar uilizando la fórmula d Pop mannindo l rror rlaivo acpablmn bajo pro para valors d y supriors a los spcificados por Pop la modificación propusa prmi obnr rrors mnors. BIBLIOGRAÍA BEZZI S. CAÑEE G. PEREZ. REZI. & LASSE H Rpor of h IIDEP Working Group on Assssmn of Hak rluccius hubbsi orh of 48º S Souhws Alanic Ocan. IIDEP Doc. Cin. 3 8 pp. DERZHAVI A h slla surgon Acipnsr sllaus Pallas a biological

10 3 REV. IVES. DESARR. PESQ. º 9: skch. Byulln Bakinskoi Ikhiologichskoi Sansii : -393 n ruso. RY.E.J Saisics of a lak rou fishry. Biomrics 5: GULLAD J.A Esimaion of moraliy ras. Annx o Aric ishris Working Group Rpor. ICES Council ing paprs. Hamburgo V: 3. HILBOR R. & WALERS C.J. 99. Quaniaiv fishris sock assssmn: choic dynamics and uncrainy. Chapman and Hall uva York 57 pp. PERROA R.G. ORCIII L. COUSSEAU.B. & HASE J.E. 99. Caballa Scombr japonicus. Par. Cálculo d los parámros d crcimino simación d asas d moralidad y análisis d oros aspcos biológicos dl fcivo marplans. En: COUSSEAU.B. Ed.. usro biosadísico d dsmbarqu dl puro d ar dl Plaa. Príodo Conrib. Ins. ac. Invs. Dsarr. Psq. ar dl Plaa º 585: POPE J.G. 97. Invsigaion of h Accuracy of Virual Populaion Analysis Using Cohor Analysis. ICA Rs. Bull. 9: SPARRE P. & VEEA S.C Inroducción a la valuación d rcursos psquros ropicals. Par. anual. AO Documno écnico d Psca. º 36. Roma AO 4 pp. Rcibido: --5 Acpado: -6-7 APÉDICE A para > Por l orma dl valor mdio aplicado a la función - s in qu: D sa forma: Si llamamos: con Γ g noncs s in qu: Γ g g g A A A3 A4 Ahora bin g sá dfinida y s coninua para odo > y y sá dfinida y s coninua n paricular n l inrvalo < <. D sa forma nmos qu: para odo númro ral ε > xisn númros δ > y δ > al qu si < δ y < δ noncs: g g g < < g S prsnan los linaminos gnrals d la dmosración ya qu l problma n sí s un jrcicio d cálculo d funcions d varias variabls. Dmosración qu: lim Γ Γ < con lo qu quda dmosrado. Dmosración qu: ε A5

11 HERÁDEZ Y PERROA: ODIICACIÓ DEL AÁLISIS DE COHORES DE POPE 33 Considrmos nuvamn l orma dl valor mdio pro ahora aplicado ambién a la función - como función d. En principio s in qu: y lim Γ con < < A6 Dmosración qu: APÉDICE B - - n Ω S divid la dmosración considrando rs casos: con < < Caso > D sa forma: D acurdo con la cuación 4 s in qu: Γ A7 C B Ahora bin si s llama: ϕ ϕ - y ϕ las funcions ϕ ϕ yϕ 3 sán dfinidas y son coninuas para cualquir valor d sus rspcivos argumnos y s pud comprobar con un poco d cálculo qu: Γ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 3 - ϕ ϕ 3 ϕ - ϕ ϕ ϕ A8 Enoncs d acurdo con lo dicho con rspco a ϕ ϕ yϕ 3 y nindo n cuna qu cuando sus argumnos indn a cro ϕ ϕ yϕ 3 indn a s pud vr obviando dalls écnicos qu xisn númros δ > y δ > al qu si < δ y < δ noncs: 3 sindo: Por su par la corrspondin cuación dl Análisis d Cohors modificado aproximando por sá dada por: C B El rror rlaivo al aproximar por por dfinición sá dado por: B3 Γ < ε con lo qu quda dmosrado. A9 nindo n cuna B y B s in:

12 B4 Ahora bin por dfinición: B5 pro la asa * saisfac la cuación y noncs s in: B6 Admás s in: B7 sindo: l rror rlaivo d aproximación d por Μ. Ahora bin saisfac la cuación y noncs nindo n cuna la dfinición d s in: B8 D sa forma nindo n cuna B4 B5 B6 B7 y B8 s obin: C C C C 34 REV. IVES. DESARR. PESQ. º 9: B9 qu s lo qu s quría dmosrar. Caso En s caso para odo y noncs por dfinición: D sa forma por un lado s in qu: y por oro lado: y noncs l primr y sgundo mimbro d B9 coincidn con lo qu quda dmosrado lo qu quríamos. 3 Caso por la cuación y por la cuación 7 nindo n cuna qu implica qu C. D sa forma s fácil vrificar qu: B Lugo l primr mimbro d B9 s y l sgundo mimbro s: >

13 l valor mdio d las asas insanánas d moralidad por psca. Por la coninuidad d g nmos qu para odo númro ral ε > xis un númro ral δδε> al qu si: < C3 noncs s in qu: C4 y n paricular s ndrá qu: C5 Ahora bin nindo n cuna la dfinición d la función g dada n C s in qu: C6 Pro la sumaoria qu figura n l sgundo mimbro d C6 s una sri gomérica y su suma s igual a: Por lo ano: D sa forma nindo n cuna C5 s in qu: g g ε g g ε g g δ j j 35 HERÁDEZ Y PERROA: ODIICACIÓ DEL AÁLISIS DE COHORES DE POPE y por lo ano por B coincidn con lo qu quda dmosrado ambién n s caso lo qu quríamos. D sa forma considrando los casos y 3 quda dmosrado qu: APÉDICE C Dmosración qu bajo ciras condicions d acoación sobr las asas insanánas d moralidad por psca. En principio sgún fu sablcido n 4: C Por ora par db obsrvars qu la función: C s una función coninua y sa: 3 g 3 * * ε. n Ω

14 36 REV. IVES. DESARR. PESQ. º 9: g - ε < ε C7 Por úlimo nindo n cuna C C y C7 s obin: * < ε C8