UIVERSIDAD TECOLOGICA ACIOAL -ACULTAD REGIOAL ROSARIO Departamento de Ingenería Químca Cátedra: Integracón IV Tema: Modelado de Equpos de Separacón Multcomponente en Cascadas Contracorrente Múltple Etapa Alumnos: Damán Match Marcos Boss y Juan M. Pgnan Profesores: Dr. colás Scenna Dr. Aleandro Santa Cruz y Dra. Sona Benz Año de cursado: 999 Problema : Para el método rguroso de apthal y Sandholm para smular columnas de destlacón plantear un relaamento para la hpótess que asume la ausenca de reaccones químcas. Qué debe modfcarse en este caso y qué nuevos datos necesta para plantear el modelo? Escrba el sstema de ecuacones resultantes. SV v v l - f v Etapa l Q SL l El modelo de apthal y Sandholm consdera el caso de una columna de platos que separa componentes en donde es el plato de tope y el de fondo. Tambén asume la exstenca de extraccones de correntes laterales de líqudo (SL) y vapor (SV). L y V representan los fluos molares totales de líqudo y vapor del plato. La temperatura T y los caudales de vapor y líqudo (v y l ) para cada etapa para cada componente son las varables ndependentes. Las modfcacones que se deben realzar para relaar la hpótess que ndca la ausenca de reaccones químcas son: Balance de energía para cada etapa (...) E ( SV ) HV v ( SL ) HL l HV v HL l H f Q Hr Balance de matera por componente (... ) para cada etapa () M SV ) v ( SL ) l v l f RE * Vol ( Relacones de equlbro para cada componente () en cada etapa () η K Vl ( η ) v V E v L V
Donde: m a- RE r ν (m es el número de reaccones)son los moles reacconados o producdos por undad de tempo y de volumen de reaccón por cada componente en cada etapa; ν los coefcentes estequeométrcos. La expresón r (velocdad para cada reaccón) resulta: r K D α I ( x ρ ) K ( x ρ ) (con... m). Sendo α y β los β exponentes de reaccón que podrán o no concdr con los coefcentes estequeométrcos. K D es la constante drecta de la reaccón y K I la constante de reaccón nversa. La funconaldad de las constantes de reaccón con la temperatura pueden ser expresadas según: K K D I K K D I E D exp R T E I exp R T K D y K I son los factores pre-exponencales de ambas constantes respectvamente en cada reaccón y E D y E I son las energías de actvacón de la reaccón drecta e nversa respectvamente. b- Hr es la varacón de la entalpía de reaccón para cada etapa: Hr c H P υ c H R υ H P es la entalpía de formacón de los productos H R la entalpía de formacón de los reactvos y υ los coefcentes estequeométrcos de las reaccones químcas. Los nuevos datos que se necestan para plantear el modelo de apthal y Sandholm con la relaacón de la hpótess de ausenca de reaccones químcas son: K D K I E D E I α β ν ρ suponendo que el programa consta de subrutnas para calcular la entalpías de formacón. Las modfcacones que sufre el método son: en el balance de matera por el térmno RE Vol y en el balance de energía por Hr. Problema : Cómo se puede tener en cuenta el calor ntercambado a través de las paredes de la columna consderando el cálculo de los respectvos coefcentes pelculares? Complca esto el método de solucón del sstema de ecuacones? Balance de energía: E ( SV ) HV v ( SL ) HL l HV v HL l H f Q Q P
Donde: -... etapas de separacón. - Q es el calor entregado o extrado. - QP U A ( T Ta ) es el calor ntercambado a través de las paredes con T a temperatura externa. A - ; h h ; h es el coefcente pelcular nterno h el coefcente pelcular UA h h A externo A el área de transferenca nterna y A el área de transferenca externa. El método de solucón del sstema de ecuacones no se modfca sustancalmente pero la convergenca del sstema se hace más dfcultosa porque el coefcente pelcular nterno h h (x y T ). Problema 3: Cómo se puede contemplar en el modelo un extractor líqudo-líqudo? Es necesaro modfcar sustancalmente el modelo ya dscutdo? Y para un sstema que contene dos fases líqudas y una vapor? Para contemplar el modelo de un extractor líqudo-líqudo se puede utlzar el modelo desarrollado por apthal y Sandholm. En efecto basta con asgnar los símbolos v HV y SV a la segunda corrente líquda por eemplo la menos densa que sale del extractor líqudo-líqudo. Obvamente ahora la constante de equlbro K será la de reparto de cada espece entre las dos fase líqudas y deberá ser calculada en forma adecuada utlzando correlacones fscoquímcas apropadas. S exste por las condcones de la almentacón y las de operacón del equpo la posbldad de que se presente la exstenca de una fase vapor en equlbro con dos fases líqudas (esto es equlbro L-L-V) debe ncorporarse al modelo planteado (para el caso L-V) las ecuacones correspondentes al equlbro líqudo-líqudo y el balance de matera para cada fase. Por lo tanto en las condcones planteadas el modelo no es váldo. Problema 4: Los métodos rgurosos dscutdos aseguran convergenca cualquera sea el punto de ncalzacón utlzado? Teórcamente cuando la mezcla es no-deal puede demostrarse que la ncalzacón que toma un perfl lneal es menos adecuada que una estmada resolvendo el sstema con métodos sem-rgurosos? Para sstemas altamente no-deales la estmacón del punto ncal para generar la secuenca teratva es de suma mportanca ya que una mala ncalzacón puede provocar un gran tempo extra de cómputo o eventualmente la falta de convergenca. Las alternatvas de ncalzacón más comunes son: A perfl constante: se gualan las composcones asumdas o especfcadas ya sean de tope y fondo en todos los platos para cada componente; tanto para líqudos como para vapores. Metodología lneal: consste en tomar como composcones del tope y fondo tanto para líqudos como para vapores a los valores estmados y/o especfcados para establecer un perfl lneal en funcón del número de platos entre los valores extremos para cada componente en cada fase. 3
Otra estratega supone utlzar un método sem-rguroso de la matrz trdagonal para calcular el prmer perfl de composcones (asumendo comportamento deal K f(t)) no dependendo de las composcones de líqudo y vapor. O sea dado el perfl ncal de temperaturas se obtene el de composcones. Es de destacar que no exste un método efcente para todos los casos y no puede asegurarse convergenca (o mayor efcenca) aplcando una estratega de ncalzacón para todos los casos posbles de encontrar en la práctca. Problema 5: Plantear un dagrama de fluos para confecconar un programa que calcule una torre de destlacón por el método propuesto por apthal y Sandholm. Suponer que se dspone de subrutnas para la estmacón de las propedades fscoquímcas necesaras al gual que los métodos numércos de resolucón de sstemas de ecuacones algebracas. Sean y : [...... ] [...... ] donde es el vector de varables ndependentes correspondentes al plato ordenado de la sguente manera: [ v v v T l l l ]....... Esto es en prmer lugar las varables pertenecentes a los caudales molares de vapor de cada componente en la etapa luego la temperatura de la etapa y por últmo lo caudales molares de líqudo pertenecentes a la etapa. Por otra parte es el vector de funcones dscrepanca asocadas al plato ordenado de la sguente manera: [ E M M M E E E ]....... Esto es prmero el balance de energía y luego las ecuacones correspondentes a los balances de matera y relacones de equlbro respectvamente. Ingresar de los parámetros del equpo y especfcacones sobre los caudales Ingresar el vector de ncalzacón Calcular Base de datos fscoquímcos Por medo de un método numérco proponer un nuevo valor para o Satsface el error S Mostrar Parar 4
5 En el método propuesto por apthal y Sandholm las ecuacones se resuelven smultáneamente en forma teratva por el método de Mewton-Rapshon generándose una sere de valores para las varables de teracón hasta que las funcones de dscrepanca de matera (M) equlbro (E) y energía (E) son llevadas a cero dentro de un margen de toleranca s la sere resulta convergente. Método de ewton-raphson: ( ) ( ) [ ] J con J Jacobano Estructuralmente la matrz Jacobana se compone de valores que representan las dervadas de las funcones masa energía y equlbro para cada etapa y componente respecto a todas las varables ndependentes (composcones líqudo-vapor de cada componente y temperatura en cada etapa). Cada elemento [ / ] del Jacobano es una submatrz de dmensones ( x ) esto es las varables ndependentes pertenecentes a cada etapa. En efecto cada submatrz resulta: Esto es submatrces cuadradas de orden ( x ) que agrupan las funcones y varables pertenecentes a cada etapa de la cascada. Debe notarse que las funcones de cada plato nvolucran sólo varables de los platos - e. Luego las dervadas parcales de las funcones del plato con respecto a otras varables dstntas a las msmas son nulas. Consecuentemente la matrz Jacobana adopta la estructura trdagonal en bloques: [ ] [ ] [] [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [] [] [ ] [ ] A B C B A C B Cada bloque o submatrz A B o C representan una submatrz de orden ( x ) correspondente a las dervadas parcales de las funcones del plato con respecto a las varables de los platos - e respectvamente. En otras palabras el sstema contene submatrces en su mayoría nulas. Consecuentemente para resolver el sstema de ecuacones se debe nvertr una matrz ( ) J de dmensones [ x ( x )] pero ordenada de tal forma que resulta poco densa y trdagonal en bloques. Por lo tanto el sstema de ecuacones puede tratarse medante el algortmo de Thomas para una matrz trdagonal en bloques (para más detalles sobre el método de ewton-raphson o el algortmo de Thomas para matrces trdagonales en bloque consultar el Capítulo IV del lbro Modelado smulacón y Optmzacón de Procesos Químcos ).
La ventaa de este procedmento no sólo se nota en la rapdez y sencllez del cálculo sno tambén en el consumo de memora tempo y errores por truncamento y redondeo. Además debe remarcarse que la forma que adopta la matrz de coefcentes es dependente no sólo de la forma en que se ordenan las funcones y varables sno de la topología del equpo (ver Problema 6) Problema 6: Se complca el planteo del modelo s se quere resolver sstemas de columnas acopladas cualquera sean las conexones entre ellas? Según su crtero cuál es el problema más mportante a resolver? Provene de agregar nuevas varables o está asocado a la representacón estructural del sstema? S se quere resolver un sstema de columnas acopladas cualquera sean las conexones entre ellas el planteo del modelo se complca. El problema está asocado a la representacón estructural del sstema ya que dfíclmente la matrz Jacobana adopte la estructura trdagonal en bloque; lo cual a su vez mplca crteros de resolucón más compleos para lograr efcenca en el cómputo. Problema 7: Cuál es la razón por la cual puede esperarse que una columna de destlacón tenga más de un estado estaconaro? Qué puede hacer para comprobar s son reales? Dado que el sstema de ecuacones pertenecente al modelo que representa a los equpos de separacón multcomponentes en cascada múltple etapa son por lo general fuertemente no lneales no debera extrañar la posbldad de obtener múltples solucones. Los sguentes factores ncden fuertemente en la posbldad de encontrar múltples solucones: Los coefcentes de los térmnos no-lneales. El tpo de modelo fscoquímco utlzado para la estmacón de las propedades. La ncalzacón. S encontramos múltples solucones debemos suponer que todas ellas son solucones al modelo (no al sstema real) planteado. S hacemos que el modelo sea cada vez más rguroso (próxmo al comportamento real) y las solucones aún subssten debemos deducr que exsten muchas posbldades acerca de la exstenca de múltples estados estaconaros. La únca manera de dentfcar múltples estados estaconaros para un sstema dado es recurrendo a la expermentacón hecho que debe realzarse en una planta ploto. Problema 8: Cuándo se ustfca el empleo de modelos smplfcados para estmar costos de columnas de destlacón? 6
El empleo de modelos smplfcados para estmar costos de columnas de destlacón se ustfca para sstemas relatvamente deales y cuando las volatldades relatvas permanecen práctcamente constantes ya que esta últma es una de las hpótess que emplean los sstemas smplfcados. Tambén para sstemas relatvamente deales pero cuyos componentes dferen bastante en volatldad la suposcón puede dar lugar a errores consderables pero ya que tales sstemas son fáclmente separables y requeren pocas etapas el error puede que no sea mportante desde el punto de vsta práctco. Para separacones dfcultosas o ben para altas purezas lo contraro es váldo. Problema 9: Puede utlzar el modelo dscutdo (estaconaro) para verfcar la performance de un lazo de control? Y para dseñar una columna batch? o se puede utlzar el modelo estaconaro para verfcar la performance de un lazo de control ya que para esto se necesta plantear un sstema de ecuacones dferencales (estado dnámco) para poder estudar la dnámca de proceso. Tampoco se puede utlzar para dseñar una columna batch ya que por defncón para una columna de este tpo toda la operacón es en estado transente. Problema : Suponer que debe dseñar una columna con relleno y dspone de un smulador con módulos como los dscutdos en el Capítulo V del lbro Modelado Smulacón y Optmzacón de Procesos Químcos. Cómo debe proceder? Para modelar una columna de relleno con un smulador que consdera etapas la solucón consste en ntroducr el concepto de altura equvalente de relleno de la etapa teórca o plato teórco de tal manera de defnr una equvalenca entre éste y el volumen de relleno que cumpla la msma tarea de separacón aunque los mecansmos dfusvos de retencón de líqudo y/o las pérddas de carga etc. respondan a mecansmos totalmente dferentes para ambos casos. Esta es solo una aproxmacón ya que las caídas de presón etc. complcan la equvalenca en el dseño. Lo deal sería utlzar un smulador que contemple drectamente la exstenca de rellenos y no utlce etapas. 7