Ejercicios de Algebra Lineal. Curso 2010/2011

Transcripción

1 Ejercicios de Algebra Lineal Curso 2010/2011 Versión

2 Índice general 1. Espacios vectoriales Cuestionestest Problemas Matrices y aplicaciones lineales Cuestionestest Problemas Traza y determinante Cuestionestest Problemas Sistemas lineales Cuestionestest Problemas Diagonalización. Autovalores y autovectores Cuestionestest Problemas Formas cuadráticas Cuestionestest Problemas Convexidad de conjuntos y funciones Cuestionestest Problemas

3 Capítulo 1 Espacios vectoriales 1.1. Cuestiones test 1. Sean u 1, u 2, u 3 y u 4 = u 1 3 u 2 vectoresnonulosder 3 ydistintosentresí.entoncesseverifica que: a) { u 1, u 2, u 3, u 4 }sonlinealmentedependientes. b) { u 1, u 2, u 3, u 4 }sonlinealmenteindependientes. c) { u 1, u 2, u 4 }sonlinealmentedependientes. d) { u 1, u 2, u 3 }sonlinealmenteindependientes. 2. ElconjuntoW ={(x,y,z) R 3 /x+y+z=0, 2x y=a}verificaque: a) paratodoa ResunsubespaciovectorialdeR 3 dedimensión1. b) paraa=0esunsubespaciovectorialder 3 dedimensión1. c) paraa=3,noesunsubespaciovectorialr Sean W 1 yw 2 subconjuntosder 3 definidospor: W 1 ={(x,y,z) R 3 :x+y=0}; W 2 ={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0} Entoncesseverifica:que W 1,W 2 y W 1 W 2 sonsubespaciosder 3 a) W 1 W 2 noessubespaciovectorial. b) W 1 W 2 ={(x,y,z) R 3 :z=0}. c) W 1 W 2 ={(x,y,z) R 3 :x+y=0,z=0}. 4. Elconjuntodevectores M={ u 1 =(1,1,2,1), u 2 =(0,2,3,1), u 3 =(2,0,a,1)} verificaque: a) M es un conjunto de vectores linealmente independiente para cualquier valor de a b) paratodoa Relrangodelamatriz a esiguala c) paraa=1,l(m)={(x,y,z,t) R 4 / y+t=z, x+y=2t},quetienedimensión2. d) M es un conjunto de vectores linealmente dependiente para cualquier valor de a. 5. Estudiar, razonando las respuestas, si las siguientes afirmaciones son verdaderas. 2

4 a) SeaW elsubespaciovectorialder 3 generadoporelsiguienteconjuntodevectores: EntoncesW =R 3. G={(1,2,1), (0,1,0), (1,0, 1), (1,1, 1)}. b) El conjunto W = {(x,y,z,t) R 4 / x+y+z = 0, x y+z = 0, x z = 0} es un subespaciovectorialder 4 dedimensión1. c) Sean u 1, u 2, u 3, u 4 R 3 cuatrovectoresnonulosydistintosentresí.seaw elsubespacio generadoporesoscuatrovectores.entoncesseverificaquew =R 3. d) SeaW elsubespaciovectorialgeneradoportresvectores u 1, u 2, u 3 R 4 ysea v R 4 tal que v= u 1 + u 2 + u 3 y v=2 u 1 u 3.EntoncesseverificaquedimW SeaS={ v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 }unsistemadegeneradoresdeunespaciovectorialv dedimensión 3. Entonces: a) B={ v 1, v 2, v 3 }esunabasedev. b) Los vectores de S son linealmente dependientes. c) S esunsistemadegeneradoresdev ylosvectoresdes sonlinealmenteindependientes. 7. SeanW = { (x,y,z) R 3 :x+y+z=0 } ylamatriz entonces se verifica que: A= a) elsistemadeecuacioneslinealesa x= bescompatibleparatodo b W. b) elsistemaa x= b,con b=(1,1, 1)esincompatible. c) L{( 1,2, 1),(0,1, 1),(1, 2,1)}=W Problemas 1. Dibujar los vectores ( 4, 2),(2,1) de R 2 y (1,3,2),(5,1, 4) de R 3. Hallar el ángulo que forman. 2. Losvectores uy vder 2 formanunángulode60 o yelmódulode ues3.determinarelmódulo de vparaque v useaortogonala u. 3. SeaR 3 [x]elconjuntodepolinomiosenunaindeterminadaxconcoeficientesrealesdegrado 3. ProbarqueR 3 [x]esunespaciovectorialconlasoperaciones:sumadepolinomiosyproducto deunpolinomioporunnúmeroreal. EselsubconjuntoH={p(x) R 3 [x]:grado(p(x))=3} unsubespaciovectorialder 3 [x]? 4. AveriguarsilossiguientesconjuntossonsubespaciosvectorialesdeR 4 : A={(x,y,z,t) 2x+z=0}, B={(x,y,z,t) x+y=0, z t=0}, C={(x,y,z,t) 2x+y=3}, D={(x,y,z,t) x+y=0óz t=0}, E={(x,y,z,t) t 0}, F ={(x,y,z,t) x= y, z=2t, x+y=0}. G={(x,y,z,t) xy=0}. 3

5 5. EnR 3 seconsideranlossubconjuntos: W 1 ={(x,y,z) R 3 x=0} ; W 2 ={(x,y,z) R 3 y z=0,3x+2y 2z=0}. a) DemostrarqueW 1 yw 2 sonsubespaciosvectorialesder 3. b) Hallarlossubespaciosvectoriales:W 1 W 2,W 1 +W Estudiarsielsistemadevectores{(1, 1,2),( 1,1,2),(0,0,1)}generanR Encontrar un sistema de generadores de los subconjuntos del ejercicio 4 que hayan resultado sersubespaciosvectorialesder Sonlosvectores(1,2,3),(1,1,1)combinaciónlinealdelosvectoresdelsistemaS={(1,0,2),(0,2,2)}? 9. Estudiar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes: (a) (1,2),(2,3),(5,8) (d) (1, 2,1,1),(3,0,2, 2),(0,4, 1,1) (b) (1,2,3),(2,0, 1),(0,4,7) (e) (1,2,3,0),(1,0,0,1),(1,0,0, 1),(0,2,3,1) (c) (1,2,1)(3,1,1)(1,0, 1) 10. Encontrar subconjuntos de vectores linealmente independientes de los conjuntos de vectores del ejercicio anterior que hayan resultado ser linealmente dependientes. 11. Encontrar los subespacios vectoriales generados por los conjuntos de vectores del ejercicio a) Si u, v y w son vectores linealmente dependientes. Se puede asegurar que u depende linealmentede v y w? Yqueunodelostresvectoresescombinaciónlinealdelosotros dos? b) Si{ u, v, w} son linealmente independientes. Estudiar si{ u+ v, u+ w, v+ w} son linealmente independientes o no. 13. Encontrarunabasedelossubconjuntosdelejercicio 4queseansubespaciosvectorialesdeR 4 y dar la dimensión. 14. Se considera el conjunto de vectores B={ u 1 =(1,1,1,1), u 2 =(1,1, 1, 1), u 3 =(1, 1,1, 1), u 4 =(1, 1, 1,1)}. a) ProbarqueB esunabaseortogonalder 4. b) Escribir v=(1, 3,5,6)comocombinaciónlinealde u 1, u 2, u 3, u 4. c) Hallarlascoordenadasdeunvectorarbitrario v=(a,b,c,d)enlabaseb. d) ObtenerunabaseortonormaldeR 4 apartirdeb. 15. Dados U = {(x,y,z,t) R 4 / y 2z+t = 0} y V = {(x,y,z,t) R 4 / x = t, y = 2z} subespaciosvectorialesder 4,hallarunabaseyladimensióndeU,V,U V yu+v. 16. SeconsideranlassiguientesbasesdeR 2 :B={(1,2); (2,3)}yB ={(1,3); (1,4)}.Hallar: a) lascoordenadasdelosvectoresdelabasebrespectodelabaseb, b) lascoordenadasdelosvectoresdelabaseb respectodelabaseb. 4

6 17. SeconsideranlossubespaciosvectorialesdeR 4 siguientes: V 1 ={(x,y,z,t)/x+y z=0} V 2 =L{(1,1,1,1),(1,2,3,4)} V 3 =L{(1,1,0,1),(1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)} Pertenece el vector(1, 0, 1, 2) a dichos subespacios? En caso afirmativo calcular las coordenadas de dicho vector con respecto a alguna base de dichos subespacios. 18. a) ProbarqueH ={(x,y,z,t) R 4 /x+y =0, z+t=0}esunespaciovectorialder 4. CalcularunabaseyladimensióndeH. b) SeaLelsubespaciovectorialdeR 4 generadopor(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1).calcular unabaseyladimensióndeh LydeH+L. 5

7 Capítulo 2 Matrices y aplicaciones lineales 2.1. Cuestiones test 1. Sea f :R 2 R 2 talque a) Entoncesf noesunaaplicaciónlineal. f(1,1)=(2,1); f(1,0)=(0,1); f(0,1)=(1,0) b) Entoncesf esunaaplicaciónlineal.talquea= alasbasescanónicasder 2. ( ) es su matriz asociada respecto c) Entoncesf esunaaplicaciónlinealalaquenoesposibleasociarunamatriz. ( ) Sea A = la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de la base B = 1 7 {(1,1), (0,1)}enelespacioinicialylabasecanónicaenelespaciofinal. a) Entoncesseverificaquef(2,2)=(12,2). b) Entoncesf(2,2)=(16,16). c) Elvector(12,2)nopertenecealaimagendelaaplicaciónf. d) Laexpresiónanalíticadelaaplicaciónlinealesf(x,y)=(4x+2y, 6x+7y). 3. Sea f :R 3 R 2 unaaplicaciónlinealconmatrizasociadarespectoalasbasescanónicas ( ) A= entonces a) Setienequedim[Ker(f)]=2. b) Ker(f)={(x,y,z) R 3 /x z=0,y=0}. c) Ker(f)={(α,0,α);α R}. d) dim[im(f)]=1. 4. Sea A= 1 0 b 0 b a) Aesinvertibleúnicamentesib 1. conb R.Entoncesseverificaque: 6

8 b) rg(a)<3únicamentesib=1. c) Aesinvertibleúnicamentesib=1. d) Atieneinversaparacualquierb R Problemas 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales: (a) f(u 1,u 2 )=(3u 1,u 2 /u 1 ) (d) f(u 1,u 2,u 3 )=(u 1 u 2,u u 2) (b) f(u 1,u 2 )=( u 1+2u 2 3,u 2 ) (e) f(u 1,u 2 )=(e u 1,cosu 2 ) (c) f(u 1,u 2,u 3 )=(3u 1 +4,u 3 7u 1 ) (f) f(u 1,u 2,u 3,u 4 )=( u 1,u 3 +u 4 ). 2. Calcular la expresión matricial(en las bases canónicas) de las siguientes aplicaciones lineales: (a) f(x,y,z)=(4x+5y,z x) (d) f(u 1,u 2,u 3 )=(u 1 u 2 u 3,0,u 3 ) (b) f(u 1,u 2 )=( u 1+2u 2 3,u 2,u 1 2u 2 ) (e) f(x,y)=(x,y) (c) f(u,v,w)=(u w,u,v 1 2 u) (f) f(x,y)=(x y,x 2,y 2,x+y). 3. Calcular los subespacios núcleo e imagen de las aplicaciones lineales del ejercicio 2. Indicar su dimensión. 4. Seaf :R 3 R 2 laaplicaciónlinealtalquef(1,1,1)=(2,2),f(0,1,1)=(1,1)yf(0,0,3)= (0,3).Darf(x,y,z)paracualquiervector(x,y,z) R Existealgunaaplicaciónlinealf:R 2 R 2 talquef(2,3)=(0,1),f( 2, 3)=(1,0)? 6. Seaf :R 3 R 3 laaplicaciónlinealf(x,y,z)=(ax+3y+4z,3x+ay,4x+az),cona R.Se pide: a) Encontrarlamatrizasociadadef respectodelasbasescanónicasder 3. b) Calcular la dimensión del subespacio vectorial Im f y determinar los valores del parámetro aparalosqueimf R Seconsideranlasaplicacioneslineales: f(x,y,z)=(4x y,z+x,x) y g(x,y,z)=(y,2z+3x,z). Calcularlasaplicacioneslinealesf 2g,f g,g f ysus matricesasociadasrespectodelas bases canónicas. 8. Calcularlamatrizasociadaalaaplicaciónlinealf enlasbasesb 1 yb 2 delosespaciosinicial yfinalresp.,paracadaunodelossiguientescasos: a) f(x,y)=(x 2y,y); B 1 ={(1,2),(1,1)},B 2 ={(1,0),(0,1)} b) f(x,y,z)=(z+y,x y); B 1 ={(1,2,0),(1,0,1),(0,0,3)},B 2 ={(1, 1),(0,1)} c) f(x,y,z,t)=(x+y+z+t,0); B 1 ={(1,2,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,2),(0,0,0,2)},B 2 = {(1,0),(0,1)} d) f(x,y,z)=(x 2y,2y,z x); B 1 ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},B 2 ={(1,2,0),(1,0,1),(0,0,3)} e) f(x,y,z)=(2x,z+y,3y); B 1 ={(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)},B 2 ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} f) f(x,y,z)=(x y z,2z+y, y); B 1 ={(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)},B 2 ={(1, 1,0),(0,2,0),(0,2,5)} 9. Sea M BB (f) la matriz asociada a la aplicación lineal f en las bases B y B. Calcular la aplicación f en cada uno de los siguientes casos: 7

9 a) M BB (f)= b) M BB (f)= c) M BB (f)= / / ,B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, B={(1,8,0),(4,0,1),(0,10,1)},B ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},B={(1,0),(0,1)},B ={(2,1,1),( 1,2,0),(1,3,0)} ( ) d) M BB (f)=,b={(1,2,0),(1,0,1),(0,0,3)},b ={(1, 1),(0,2)} e) M BB (f)= 2 1 0,B={(1,2,3),(1,1,0),(0,1,1)} Calcular el rango de las siguientes matrices: 0 5 3/2 ( A= , B= Se consideran las matrices 1 2 A= 1 0, B= ), C=, C= ( Calcular:(a)4A+2C t, (b)(ba) t C, (c)b+ac, (d)ca, (e)(b 2I) 2, (f)(ca) 1. Explicarporquélassiguientesoperacionesnotienensentido:2A B,AB,A 2I yc Calcularlaaplicacióninversaenloscasosenlosqueéstaexista: ).. (a) f(x,y)=(x,y) (b) f(x,y,z)=(x+y+z,x y,2y+z) (c) f(x,y,z)=(x+y,y 2x,z) (d) f(x,y,z,t)=(4x y,y,z t,3t). 13. HallaraybparaqueAsealamatrizinversadeB,siendo 1/ A= a 1 b, B= 5/2 7/ Calcular la inversa(si existe) de las siguientes matrices utilizando el método de Gauss Jordan: A= 3 1 4,B= ,C= 4 1 5,D= Estudiar si alguna de las siguientes matrices es triangular, simétrica o antisimétrica: 1/ A= 1 1 1, B= 5/2 7/2 0, C= 0 7 5,

10 D= 1 5/2 0 5/ , E= , F = 16. DarunejemplodeunamatrizA M 2 2 talquea 2 =A 3 =0peroA Estudiar si alguna de las siguientes matrices es ortogonal, idempotente, unipotente o nilpotente: ( ) ( ) A= , B=, C=, D=

11 Capítulo 3 Traza y determinante 3.1. Cuestiones test 1. SeanA,Bdosmatricescuadradasdeordenn.Severificaentoncesque: a) tr ( A+B T) =tr(a) tr(b). b) tr ( A+B T) =tr(a)+tr(b). c) det ( A+B T) =det(a) det(b). d) det ( A+B T) =det(a)+det(b). 2. SeaA= ( a b c d a) Btienerango2. ) unamatriztalque A 0yB= b) B =2bc 2ad= 2 A 0. c) Btienerango3. 3. SeanlasmatricesA= 1 2 a b a) A = B paratodoa,b R. yb= ( 2b d d 2a c c 1+a 1 a b 3 b b) Sia= 1yb=3entonces B =0ysinembargo A 0. c) A =4 B paratodoa,b R. ). Entonces se verifica que: cona,b R.Severificaque: 4. SeaA M n n talque A 0entonces αaa 1 A t paracualquierα Rverificaque: a) b) c) d) αaa 1 A t =α AA 1 A t =α A A 1 A t 1 =α A A A =α A αaa 1 A t =α n AA 1 A t =α n A A 1 A t =α n 1 A A A =αn A αaa 1 A t =α AA 1 A t =α ( A + A 1 + A t ) =α( A A + A )=α A αaa 1 A t =α n AA 1 A t =α n( A + A 1 + A t ) =α n ( A A + A )=α n A 10

12 3.2. Problemas 1. DadaslasmatricesA,B,C,D,E yf,calcularsutraza(siexiste) ( ) A = B= C= D = E= ( ) F = ( Dadaslasmatricesdelejercicio1,calcularlatraza(siexiste)deA+2B,A+3Dy125E 14F DadalamatrizA= calcular αa, tr(a), tr(αa) y establecer la relación entre tr(a)ytr(αa). 1 4 ( ) 4. DadaslasmatricesA= yb= calcular tr(ab), tr(ba) y establecer la relación entre tr(ab) y tr(ba). 5. SeaI 3 lamatrizidentidad.calculari 2 3 =I 3I 3 ydeducirque,engeneral:tr(ab) tr(a)tr(b). 6. Calcular el determinante de las siguientes matrices de orden 2 utilizando la definición: ( ) ( ) ( ) ( ) A=, B= C= D= Calcular el determinante de las siguientes matrices orden 3 utilizando la regla de Sarrus: A= B= C= DadalamatrizA= calcular: a) Losmenorescomplementariosdeloselementosa 13,a 22,a 11. b) Losadjuntosdeloselementosdelasegundafila. c) El determinante A, desarrollando por los elementos: 1) delaprimerafila 2) delasegundacolumna 3) delaterceracolumna 4) delaprimeracolumna 5) delatercerafila Indíquese cual de estos métodos ha resultado ser más eficiente(rápido) para calcular el valor de A. ) 11

13 ( DadaslasmatricesA= 2 1 ) ( 2 1,B= 0 1 ) deducirque A+B A + B. 10. Probar, sin efectuar su cálculo, que los determinantes de las siguientes matrices son nulos: a b+c A= 1 b c+a B= c a+b Calcularelrangodelamatriz A= Estudiarladependencialinealdelosvectores(4,0,1),(1,5,1),(7, 5,1).Calcularelsubespacio generado por los mismos y determinar su dimensión. 13. Determinarlosvaloresdelparámetroaparalosquelamatriz a A= a tienerangocompleto.paraa=2calcularlamatrizinversaa Calcular el determinante de las siguientes matrices A= B= C=

14 Capítulo 4 Sistemas lineales 4.1. Cuestiones test 1. SeaA= ( a 1, a 2, a 3, a 4 ) unamatrizcuadradadeorden4,dondea 1, a 2, a 3 ya 4 son suscolumnasytalquea 4 =2a 1 +a 2.Entoncesseverificaque: a) el sistema Ax = 0 es compatible indeterminado. b) elsistemaax=0escompatibledeterminado. c) elsistemaax=0esincompatible. 2. Dadaunamatriz A M m n ydosvectores b, c R m,sielsistema A x = b escompatible determinadoentoncesseverificaqueelsistemaa x = c,con c 0, c b es: a) siempre compatible determinado. b) compatibledeterminadosólosim=n. c) podría ser incompatible. 3. Dadoelsistemalineal: Entonces se verifica que: 3x+y+z=2 az=0 2y+z= 1 cona R a) Esincompatiblecuandoa=0. b) Escompatibledeterminadoparacualquiervalordea R. c) Tienesoluciónúnicacuandoa 0. d) Escompatibleindeterminadoparaa= Dada la matriz A= y los sistemas A x= 0 ya x= b se verifica que para cualquiervector b R 3 : a) Ambossonsiemprecompatiblesdeterminadosparacualquiervector b R 3. b) El sistema A x = 0 es compatible indeterminado. ) c) rg(ã =3=rg(A),paracualquiervector b R 3. d) ElsistemaA x= bpodríaserincompatibleparaalgún b R 3. 13

15 4.2. Problemas 1. Un agente de bolsa debe comprar 60 acciones entre la empresa Potato y la empresa Pepito; cada acción de Potato cuesta 6 euros y la de la empresa Pepito 1 euro. El agente de bolsa dispone de 130 euros. Cuantas acciones ha comprado de cada empresa? 2. Hallar la solución general (en el caso de que exista) de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: { { { x 3y = 4 2x+y = 3 4x+2y = 1 i) ii) iii) 4x+2y = 6 6x+2y = 6 12x+6y = 1 3. Resolver los siguientes sistemas homogéneos de ecuaciones lineales: x+y z = 0 { x y+7z t = 0 i) 2x 4y+3z = 0 ii) 2x+3y 8z+t = 0 5x+13y 10z = 0 4. Considereelsistema 2x 3y+5z=0 x+7y 3z=0 4x 11y+Kz=0 QuévalordeK haráqueelsistematengasolucionesnotriviales? 5. Hallar el subespacio vectorial de las soluciones de los sistemas x+3y+2z = 0 x+y+z+t = 0 i) x+5y+3z = 0 ii) x 2z+3t = 0 3x+7y+4z = 0 x 2y 8z+7t = 0 Calcular la dimensión de dicho subespacio. 6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 2x+3y z+5t = 0 3x y+2z 7t = 0 i) ii) 4x+y 3z+6t = 0 iii) x 2y+4z 7t = 0 x 2y+z+t = 2 3x+2z 2t = 8 4y z t = 1 x+6y 2z = 7 iv) 3x+4y 5z+7t = 0 2x 3y+3z 2t = 0 4x+11y 13z+16t = 0 7x 2y+z+3t = 0 x 2y+z+t = 2 3x+2z 2t = 8 4y z t = 1 5x+3z t = 0 7. Sealaaplicaciónlinealf(x,y,z)=(4x y,2z+x,x).estudiarsi(1,3,0)perteneceaimf. 8. Resolver los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer x 2y+z = 7 2x+3y z = 1 i) 2x y+4z = 17 ii) 3x+5y+2z = 8 3x 2y+2z = 14 x 2y 3z = 1 9. Determinar los valores de k para que los siguientes sistemas tengan: a) solución única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución. 2x+y z = 3 x+y z = 1 x+2y+3z = 2 i) 2x+3y+kz = 3 ii) x y+kz = 1 x+ky+3z = 2 3x+2y+2z = 2 14

16 10. Hallarlacondiciónquedebenverificara,bycparaquelossiguientessistemasseancompatibles: x+2y 3z = a x+y+z = 2 i) 2x+6y 11z = b ii) 2x+y+3z = 5 x 2y+7z = c x 2y+az = b 11. La Consejería de Pesca proporciona tres tipos de alimento a tres especies de peces protegidas que habitan en un lago. Cada pez de la especie 1 consume por semana un promedio de una unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 del alimento C. Los de la especie 2, 3 unidadesdelalimentoa,4delby5delc.ylosdelaterceraespecie,consumencadasemana 2unidadesdelalimentoA,1unidaddelBy5delC.Cadasemanaseviertenenellago unidades del alimento A, del alimento B y del alimento C. Suponiendo que toda la comida se consuma, cuantos ejemplares de cada especie pueden convivir en el lago? Y si se vierten15.000unidadesdela,10.000delby35.000delc? 15

17 Capítulo 5 Diagonalización. Autovalores y autovectores 5.1. Cuestiones test 1. SeaA M 3 talquea u=2 uya v=3 vparaciertosvectoresnonulos u, v R 3.Entonces a) A es siempre diagonalizable. b) A es siempre no diagonalizable. c) Aesdiagonalizablesiademáselrg(A)fuera2yaque A =0y0seríaotroautovalorde A. 2. SeaAunamatrizcuadradadeorden3yseanu,vywautovectoresdeA.Entoncesseverifica que: a) B={u,v,w}essiempreunabasedeR 3. b) Si A 0 B={u,v,w}esunabasedeR 3. c) SilosautovectoresestuviesenasociadosaautovaloresdistintosdeA B={u,v,w}es unabaseder SeaAunamatrizcuadradadeorden3talque A =0,tr(A)=1yλ=1esunautovalorde A. Entonces se verifica: a) dim(v(1))=1. b) dim(v(1))=2. c) dim(v(0))=1. 4. SeaAunamatrizcuadradadeordenn.EntrelassiguientescaracterísticasdeA: (1) A es simétrica, (2) A es diagonalizable, (3) A tiene n autovalores diferentes, se verifican las siguientes implicaciones: a) (1)= (2), (2)= (3). b) (1)= (2)y(3)= (2). c) (1)= (2)= (3). 5. SeaAunamatrizcuadradadeordenntalqueelsistemaA x= b escompatible.siλ=0es autovalordea,entonceselsistemaa x= bes: 16

18 a) compatible indeterminado. b) compatible determinado. c) No podemos asegurar su compatibilidad. 6. Sea A una matriz de orden 4 con λ 1 =1autovalor de multiplicidad algebraica 2 yλ 2 = 1 autovalor de multiplicidad algebraica 1. Si sabemos que A = 2 y traza(a) = 3 podemos decir que: a) Lamatrizesdiagonalizableyaquetiene3autovaloresdistintos:λ 1 =1doble,λ 2 = 1y λ 3 = 2. b) Losautovaloresdelamatrizsonλ 1 =1,λ 2 = 1yλ 3 =2. c) La matriz no es diagonalizable porque no hay cuatro autovalores distintos. d) No podemos asegurar que la matriz sea diagonalizable ya que desconocemos la dimensión delsubespaciodeautovectoresasociadosaλ 1 = Problemas 1. Dadas las aplicaciones lineales: (a) f 1 (x,y,z)=(x,2y,2y+z) ; (b) f 2 (x,y,z)=( 3x 8y+4z,3y,3z 2x) ; (c) f 3 (x,y,z)=(x+2y,y+3z, estudiarsiparacadaunadeellasexisteunabaseb talquelamatrizasociadarespectodeb enlosespaciosdepartidaydellegadaseaunamatrizdiagonald.encasoafirmativohallarb yd. 2. Estudiar si las aplicaciones lineales del ejercicio anterior tienen como autovalores y autovectores asociadoslosqueseseñalan: (a) λ=2, u 1 =(0,1,2) ; (b) λ=3, u 2 =(4,0,3) ; (c) λ= 1, u 3 =(2,0,0). 3. Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal tal que f(1,0,0) = (3, 2,1), f(0,1,0) = (4, 3,2), f(0,0,1)=(0,0,0). a) Calcular los autovalores de f y los subespacios de autovectores asociados a cada autovalor. b) Calcular ker(f) e Im(f). 4. Estudiar si son diagonalizables las matrices siguientes, calculando, cuando sea posible, las matricesp i yd i paralasqueseverificaa i =P i D i P 1 ( ) 5/7 16/7 a) A 1 = 12/7 9/ b) A 2 = c) A 3 = d) A 4 = i. 17

19 e) A 5 = f) A 6 = g) A 7 = h) A 8 = ParalasmatricesA i delejercicioanteriorqueseandiagonalizables,calculardet(a i ),det(d i ), tr(a i ),tr(d i )yrelacionarlos. 6. Hallarunamatrizcuadradadeorden2quetengacomoautovaloresλ 1 =1yλ 2 = 2ycomo autovectoresasociadosv 1 =(1,0)yv 2 =(3,1)respectivamente. 7. Dadalamatriz A= ( 1 a 3 b Calcularlosvaloresdelosparámetrosaybparalosque a) elvector( 1,1)seaunautovectorasociadoalautovalorλ 1 =4delamatrizA. b) elvector(1,1)seaunautovectorasociadoalautovalorλ 1 =5delamatrizA. 8. Estudiarsiexistena,byctalesquelamatriz a 3 3 A= b c tengacomopolinomiocaracterístico λ 3 +3λ 2 +λ Hallarunamatrizcuadradadeorden3conautovaloresλ 1 =2,λ 2 = 3talquelossubespacios de autovectores asociados vengan dados por V(λ 1 =2)={(x,y,z) R 3 /y= z} V(λ 2 = 3)={(x,y,z) R 3 /x=y=z} 10. DeterminarlosvaloresdeaybparalosquelamatrizA= elvector(2,2, 2). ) 1 2 b 0 2 a Estudiar para qué valores de los parámetros son diagonalizables las matrices a 2 2 a) A 1 = tiene como autovector

20 b) A 2 = c) A 3 = 1 a a 0 0 b Diagonalizar las siguientes matrices simétricas calculando una matriz de autovectores ortogonal a) A 1 = b) A 2 = Calcular los autovalores de las matrices inversas de: a) A 1 = b) A 2 = CalcularA n conn Nparalassiguientesmatrices a) A 1 = b) A 2 = Los informativos nocturnos de las cadenas de televisión WW y R7 compiten por la audiencia en la misma franja horaria. Diversos estudios muestran que, el 60% de los telespectadores del informativo de WW lo siguen siendo el día siguiente, mientras que el 40% restante pasan a verelder7.además,delosespectadoresdelinformativoder7,el70%continúansiéndoloel díadespués,mientrasqueelotro30%prefierenvereldeww.sisesuponequelaaudiencia total permanece constante y que hoy se han repartido la audiencia al 50%, determinar los porcentajes de espectadores de cada informativo al cabo de una semana. 19

21 Capítulo 6 Formas cuadráticas 6.1. Cuestiones test 1. Sea q 1 ( x) = x A x con A simétrica una forma cuadrática definida positiva. Entonces q 2 ( x) = x A 1 xes: a) definida positiva. b) definida negativa. c) semidefinida positiva. 2. SeaAunamatrizcuadradadeorden3,noinvertibleysimétrica,talquetr(A)=2.Entonces laformacuadráticaq( x)= x A x verificaque: a) sirg(a)=1 lamatrizatieneunautovalornulodemultiplicidad2yelotroautovalor 2 de multiplicidad 1. b) sirg(a)=1 essemidefinidanegativa. c) sirg(a)=1 esindefinida. 3. Seaq( x)= x T A xunaformacuadráticaconlamatrizaasociadasimétricadeorden3talque A =0ytr(A)=3yqueademássabemosqueλ 1 =2esunautovalordeA.Entonceslaforma cuadrática es: a) semidefinida positiva. b) no hay datos suficientes para clasificarla. c) Indefinida. 4. Seanq 1 yq 2 dosformascuadráticasenr n talesqueq 1 esdefinidapositivayq 2 essemidefinida positiva,entoncesseverificaqueq 1 +q 2 : a) es una forma cuadrática semidefinida positiva. b) es una forma cuadrática definida positiva. c) engeneral,noesunaformacuadrática. d) nosepuedeclasificarenfuncióndelaclasificacióndeq 1 yq Sea q( x) = x T A x una forma cuadrática siendo A una matriz simétrica de orden 3 tal que A = 1.Ademásλ 1 = 1esunautovalordeA.Entonceslaformacuadráticaqesdefinida negativa. 20

22 a) Verdadero,como A =λ 1 λ 2 λ 3 = 1<0ycomoelnúmerodeautovaloresesimpar,entonces es necesario que todos sean negativos. Por lo tanto, por el criterio de los autovalores, la forma cuadrática q es definida negativa. b) Falso, no hay datos suficientes para clasificarla. c) Verdadero,pueslosautovaloresλ 1 = 1,λ 2 = 1,λ 3 = 1verificanlashipótesis,ypor el criterio de los autovalores, la forma cuadrática q es definida negativa Problemas 1. Hallar la matriz simétrica asociada a las siguientes formas cuadráticas: q 1 (x 1,x 2,x 3 ) = 2x 2 1 x 1 x 3 +x 2 2+4x 2 x 3 4x 2 3 q 2 (x 1,x 2,x 3 ) = x 2 1+2x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 2+5x 2 x 3 x 2 3 q 3 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 3x x 1x 4 +x x 2x 3 +4x 2 x 4 +6x 3 x 4 +2x x DadaslasmatricesA 1,A 2 ya A 1 = 2 1 1, A 2 = , A 3 = ylaformacuadrática q(x 1,x 2,x 3 )=2x 2 1 2x 1x 2 +x 2 2 2x 1x 3 x 2 x 3 +3x 2 3,sepide: a) Comprobarque q(x)=x t A 1 x=x t A 3 x=x t A 3 x paratodox=(x 1,x 2,x 3 ) R 3. b) ObtenerlamatrizsimétricaQtalque q(x)=x t Qx yrelacionarqya 1,A 2,A Clasificar las formas cuadráticas siguientes: a) q 1 (x 1,x 2,x 3 )=2x x2 2 +x2 3 4x 1x 2 b) q 2 (x 1,x 2,x 3 )= 3x x 1x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 2 6x 2x 3 +7x 2 3 c) q 3 (x 1,x 2,x 3,x 4 )=2x 2 1 +x2 2 +3x2 3 +8x 1x 3 3x 2 4 d) q 4 (x 1,x 2,x 3 )=2x x 1x 2 +x x 2x 3 +3x 2 3 e) q 5 (x 1,x 2,x 3 )= x x2 2 +4x 1x 3 2x 1 x 2 +3x 2 3 f) q 6 (x 1,x 2,x 3 )=3x x 1x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 2 6x 2x 3 +7x 2 3 g) q 7 (x 1,x 2,x 3 )= 4x x 1x 2 x 2 2 9x2 3 +6x 3x 4 x 2 4 h) q 8 (x 1,x 2,x 3 )= 3x x 1x 2 4x Clasificarlasformascuadráticasenfuncióndelosvaloresdelosparámetrosayb: a) q 1 (x 1,x 2,x 3 )=ax 2 1 +ax2 2 +ax2 3 +6x 1x 2 +8x 1 x 3 b) q 2 (x 1,x 2,x 3 )=x 2 1 +ax2 2 +x2 3 2bx 1x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 c) q 3 (x 1,x 2,x 3 )=ax 2 1 +ax2 2 +ax2 3 +2x 1x 2 +2x 1 x 3 21

23 Capítulo 7 Convexidad de conjuntos y funciones 7.1. Cuestiones test 1. Sean los conjuntos B 1 = { (x,y) IR 2 /y x 3 0 },B 2 = { (x,y) IR 2 /2x+y 3, },B 3 = { (x,y) IR 2 /x 0 } entoncesseverificaque a) B=B 1 B 2 B 3 = { (x,y) IR 2 /y x 3 0, 2x+y 3,x 0 } esconvexo. b) B 1 esconvexo. c) B 1 B 2 esconvexo. 2. Dados los conjuntos se verifica que: a) S T esunconjuntoconvexo. S={(x,y) R 2 /xy 1} y T ={(x,y) R 2 /x 0}, b) S T noesunconjuntoconvexo. c) S esconvexo. 3. Sea la función f :R 2 Rdada por f(x,y)=x 2 +bxy con b R. Entonces se verifica que f(x,y)es:. a) esunafunciónconvexaenr 2 paratodovalorb R. b) esunafuncióncóncavaenr 2 paratodovalorb R. c) Parab=2,lafunciónnoesnicóncavaniconvexaenR Problemas 1. RepresentarlossiguientesconjuntosdeR 2 eindicarcuálessonconvexos: a) S 1 ={(x,y) R 2 :x 0,y 0} b) S 2 ={(x,y) R 2 :(x 1) 2 +y 2 4} c) S 3 ={(x,y) R 2 :2 x 4,x+2y 8} 2. Estudiar cuáles de los siguientes conjuntos son convexos: a) M 1 ={(x,y) R 2 :3x 2 +2xy+2y 2 30} 22

24 b) M 2 ={(x,y,z) R 3 :x+y+z 2,x 0,y 0} 3. Estudiar cuáles de los siguientes funciones son convexas o cóncavas: a) f(x,y)=x+3xy 6x 2 +y 2,(x,y) R 2 b) f(x,y)=ax 2 +by 2 +cxy+x+y+2,(x,y) R 2 c) f(x,y,z)= x+y+z,(x,y,z) R 3 ++ d) f(x,y,z)=ln(xy+z),(x,y,z) R