ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 1

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 1 A) Enunciar el conjunto solución de las ecuaciones e inecuaciones dadas. Representar gráficamente. 1) x = x ) x 5 = - 3 x ) 3 x < 1 4) -. 3 x -1 5) 1 x 3 x > 1 6) 3 x + 1 B.1) A partir de los siguientes gráficos, leer las imágenes solicitadas: 1) f ( - 3) ) f (- ) 1) g ( - 3) ) g (-1) 3) f ( -1) 4) f ( 0 ) 3) g ( 1) 4) g () 5) f (1.5) 6) f ( 3 ) 5) g ( 3) 6) g (3.5) B.) La gráfica de y = f (x) está dada en la figura a) Cuál es el dominio de f? b) Cuál es la Imagen de f? c) Qué valores de y son imagen de un solo valor de x?- Expresar dicho conjunto. B.3) Indicar si los siguientes puntos pertenecen o no a la función y = x -3 1) P (, 1) ) Q ( 3, 5) 3) T ( 5, 3)

2 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja B.4) Hacemos una excursión en bicicleta a un bosque que está a 44 Km. de nuestro pueblo. Para llegar hay que seguir un itinerario con subidas y bajadas. Mirando las gráficas, contestar las siguientes preguntas: Qué significa cada cuadradito en el eje horizontal de la gráfica tiempo-espacio? Y en el eje vertical? 1. A qué hora salimos?. Cuántos Km. hay, aproximadamente, desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima? Cuánto tiempo tardamos en subirla? 3. Cuántos Km. hay de bajada? Qué tiempo se tarda? 4. Qué distancia hay desde la hondonada hasta el bosque? Cuánto tardamos en recorrerla? 5. Cuánto tiempo estamos descansando en el bosque? 6. Describir el viaje de vuelta. 7. Cuánto tardamos en ir del pueblo al bosque? Y del bosque al pueblo? A qué crees que puede deberse la diferencia? B.5) Expresar el área de un triángulo equilátero en función de la longitud L de uno de sus lados. B.6) Una empresa necesita envasar un producto en recipientes de lata cilíndricos, de manera tal que el diámetro de la base sea la mitad de la altura. a) Encontrar una fórmula que permita calcular el volumen de la lata en función de la altura. b) Con que dimensiones construyen la lata si ésta debe tener una capacidad de 350 cm 3? B.7) La ecuación de una recta es 3 x + 4 y = -1. Hallar la longitud del segmento de recta que se encuentra entre la intersección con los ejes coordenados.

3 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 3 B.8) Se sabe que la cantidad de sustancia radiactiva que queda en un objeto decae exponencialmente. Suponer que una determinada sustancia, sigue el modelo: M(t) = M 0. e -0. t ( t en días). a) Si la masa inicial es de 38mg. Cuánta sustancia radiactiva se tendrá al cabo de un mes? b) Cuántos días deben transcurrir para tener la mitad de la masa inicial? B.9) Para producir un artículo se pueden emplear dos maquinas, una que cuesta $.000 y cada artículo se puede fabricar a un costo de $1 por unidad y la otra que vale $13000, pero cada artículo lo produce a un costo de $5. Se quiere decidir cual conviene de acuerdo a la cantidad de artículos que se necesitan. B.10) En una habitación a 0º C hemos retirado del fuego medio litro de agua hirviendo. Construir una gráfica que muestre la variación de la temperatura en función del tiempo. Interpretar. C.1) Graficar las siguientes funciones elementales. Hallar dominio e imagen. 1) y = - /3 x 3 ) z = ln x 3) w = x 1 / 4) t = x 3 5) h = x 1 / 3 6) s = sen x 7) l = cos x 8) j = 1 / x 9) r = 1 / x 10) d = x 11) y = e x 1) r = tg x C.) A partir de los gráficos de las funciones elementales dadas en el ejercicio C.1, graficar mediante desplazamientos las siguientes funciones y escribir la ecuación correspondiente, luego verificar con el software Winfun: a) la función que resulta de desplazar a z dos unidades hacia la derecha. b) la función que resulta de desplazar a z dos unidades hacia arriba. c) la función que resulta de desplazar a t tres unidades hacia la izquierda. d) la función que resulta de desplazar a d una unidad hacia la derecha y dos hacia abajo. Graficar con Winfun o Geogebra y analizar los desplazamientos: h 1 (x) = x -4 h (x) = (x-4) h 3 (x) = (x+1) - f 1 (x) = x 1/ - f (x) = (x-) 1/ g 1 (x) = ln(1+x) g (x) = lnx+1 C.3) Dada la expresión de f(x) en cada caso, encontrar la formula de las funciones desplazadas. Indicar Dominio e Imagen para cada una de ellas.

4 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 4 a) f(x) = x 1/ b) f(x) = x c) f(x) = 1/x d) f(x) = x 1/3 C.4) Un comercio de la zona, decidió que la función y = 0 x + 50, era el modelo matemático más adecuado para realizar la liquidación de comisiones a sus vendedores de telefonía celular. Realice la gráfica correspondiente y determine: a) Si un vendedor no realiza ninguna venta percibirá alguna comisión? b) Qué tipo de función se utiliza? Observando dicha gráfica, Qué debería hacer el vendedor para percibir al menos $150 de comisión? C.5) Se tienen rectángulos de 150 cm de superficie a) Completar la siguiente tabla: Largo del rectángulo (cm) Ancho del rectángulo (cm) b) Buscar una fórmula que permita calcular el ancho de estos rectángulos en función del largo. c) Graficar la función hallada en el inciso b. C.6) La expresión general de la función que modela la Ley de enfriamiento de Newton es Donde: T = T A - (T C T A ) e - k t T es la temperatura del cuerpo en función del tiempo k es la constante que define el ritmo de enfriamiento T A es la temperatura del ambiente T C es la temperatura actual del líquido o del cuerpo t es el tiempo transcurrido

5 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 5 Considerar que la temperatura del ambiente es º, k =. Qué se puede decir respecto al enfriamiento de una taza de agua que se encuentra a 50º y de otra que está a 100º? Graficar ambas situaciones en un mismo gráfico. C.7) Una fábrica de pinturas confecciona envases cilíndricos para sus productos. Una de sus máquinas arma todos los envases con una altura de 0,4 m y puede variar la base circular, tal como muestran los dibujos Otra máquina arma todos los envases con la misma base circular de 0,5 m de radio pero puede variar la altura, tal como se muestra en los dibujos siguientes: En cada caso, el radio de la base de los primeros cilindros coincide con la altura de los segundos a) Encontrar una fórmula que represente la variación del volumen de los envases que arma cada máquina. b) Determinar analíticamente si existe algún envase armado por la primera máquina de volumen y radio respectivamente iguales al volumen y la altura de algún envase armado por la segunda. c) Graficar. C.8) Dos empresas inauguradas el mismo año estiman sus ganancias, en millones de pesos, de acuerdo con las siguientes funciones: 3 f ( x) = 35x 5x y g( x) = 5x.( x 1) respectivamente, donde x es el tiempo transcurrido desde la puesta en funcionamiento de la planta, expresada en años. a) Graficar ambas funciones en un mismo sistema cartesiano ( utilizar WinFun) b) Determinar un dominio acorde con el problema. c) cuál de las dos empresas obtiene mayor ganancias en el primer año? Justificar d) A partir de qué momento cada empresa da pérdidas? e) En qué año la ganancia de la primera empresa supera en 80 millones la ganancia de la segunda? D.1) Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1.- y = x y = 1 / ( x + x 3 )

6 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 6 1/ (4 x) y = ( x 3 x ) 1 / y = 1/ 7 (4 + x) 5.- x x 0 y = 6.- ln x x > 0 x y = ( x 1) 1/ x < 1 x y = x + 6 ( ) 5 x 1/ 8.- y = 1/ ( x + 5) x + 4x y = ln ( x + 10 ) 10.- y = log [ ( - x + 5 ) / ( x + 3)] 11.- y = ( ln ( x + ) ) 1 / 1.- y = ln ( - x x ) D.) Un envase de metal, cuyo volumen es de 60 cm 3, tiene la forma de un cilindro circular recto. a. Determinar un modelo matemático que exprese el área de la superficie total del envase como función del radio de la base. b. Cuál es el dominio de la función obtenida en el inciso a? E.1) Analizar si es posible la composición (GoF) x y (FoG) x. Hallar el dominio de la función resultante de la composición. 1) F (x) = x 8 x + 5 G (x) = x 3 ) F (x) = 3 x - x G (x) = 1 / x 3) F (x) = e x + 1 G (x) = ln ( x 1) E.) Cada una de estas funciones se han obtenido componiendo dos o más funciones. Encontrar en cada caso cuáles son las funciones compuestas. 1) f (x) = x + 1 ) f(x) = - x 3) f(x) = sen (x) E.3) En un bosque un depredador se alimenta de su presa, y para las primeras 15 semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de predadores es una función de, el número de presas en el bosque, la cual a su vez, es una función de, el numero de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caza. Si y donde a) Encontrar un modelo matemático que exprese la población de predadores como función del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza. b) Determinar la población de depredadores 11 semanas después del cierre de la temporada de caza F.1) Dadas las siguientes funciones f : A B Analizar si f es inyectiva, suryectiva, biyectiva teniendo en cuenta los conjuntos A y B indicados en cada caso. 1) f : R R / f (x) = x 1

7 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 7 ) f : (-, 0) R / f(x) = 3 x + 3) f : ( -, 0] [0,+ ) / f (x) = ( x + 1) 4) f : [ - π/ ; π/] R / f(x) = cos x F.) Dadas las siguientes funciones f : A B a) Analizar si f es biyectiva b) En caso de no serlo, hacer las mínimas restricciones necesarias c) Hallar f 1. Graficar f y su inversa. d) Clasificar por la forma 1) f : R { 0 } R / f(t) = 1/t ) f : R R / f(z) = z 1 3) f : R + R / f(x) = ( x + 1 ) 1 / 4) f : ( - 1 ; + ) R / f(x) = ln ( x + 1) 5) f : R - R + / f(w) = e w 6) f: [-π/,π/] R / f(x) = senx F.3) 1) Inicialmente se tiene una población de 1000 bacterias que se triplican cada horas. La cantidad de ejemplares después de t horas es B(t)= t/ a) Cuál es la inversa de esta función? b) Al cabo de cuántas horas habrá bacterias? ) a) La función f(x) = 1,8x + 3 expresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius. Sabiendo que el papel arde a aproximadamente 453º F, a cuántos grados Celsius, tendrá que exponer esta práctica para quemarla? Graficar. b) Recíprocamente, obtener la función que da la temperatura en grados Celsius, conocida la misma en grados Fahrenheit. G) a) Analizar el siguiente gráfico que corresponde a la función f y completar con la información pedida:

8 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 8 Dominio..Imagen ceros Intervalos de positividad:.intervalos de negatividad;.. Intervalos de crecimiento:..intervalos de decrecimiento:.. La función..par porque. La función..impar porque.inyectiva,. suryectiva,.biyectiva porque 1 b) Construir los gráficos de f(x) y f(x) H) Representar gráficamente las funciones que se indican, teniendo en cuenta: Dominio Paridad Raíces y ordenada al origen de la función. Comportamiento asintótico de la función. 1) y = x 3 3 x ) y = ( x 1/ 3 ) ( x + ) 3) y = - x 3 + x + 6 x x 4) y = ( ) ( x + 5) y = ln [ - (3/5) x + ] 6) y = x 1 7) y = ( x ) ( x 1) 8) y = x 4 4 x 3) Indicar intervalos de crecimiento, decrecimiento e imagen de las funciones graficadas. I) Graficar con el software Winfun o Geogebra: 1) y = sen ( x ) ) y = tg (3x) 3) y = cos (x + π / ) Observar la gráfica e indicar valores de algunas raíces y período de la función. 1.-Graficar con Winfun o Geogebra cada una de las siguientes familias de funciones en un mismo sistema de coordenadas proponiendo hasta seis valores al parámetro correspondiente. a) y = sen (ax), a (-1.5, 5) b) y = sen(5x) + b, b (-3, 3) c) y = k. sen(5x), k (-0.5,.1).-Graficar otras familias de funciones elementales conocidas, por ejemplo y =(x + b), y = ax 3, y = ln (bx), entre otras.

9 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 9 Observar las gráficas obtenidas y concluir. Dadas las siguientes funciones, con uso de Winfun: a) y = sen(3x-π)-x +1 b) y = e x/3 - c) y = (x-4.) 1/3 + d) y = 0.45(x +.3) 3-4(x-) -54.8x+54 e) y = x.sen(1/x) f) y = cos (- x ) g) y = sen (x - π ) h) y = tg (x + π / ) i) Calcular raíces, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. ii) Calcular, si existen, imágenes para distintos valores de x. (Observación: En algunos casos adecuar la escala para obtener mayor precisión) J.1) a) Una partícula se mueve en el plano de tal modo que sus coordenadas (x,y) varían con el tiempo según las ecuaciones : x = ½ t 3 6 t y = ½ t Trazar la trayectoria de la partícula en el intervalo 0 t 4 b) Trazar las graficas de las curvas, con parametrización dada por: x = t x = a.cost 1), 1 t ) y = t 1 y = a. sent Dar las ecuaciones cartesianas correspondientes., t R J.) Dadas las siguientes curvas definidas en forma cartesiana, encontrar distintas parametrizaciones. 1) y = x + 3 ) x = 3 y 3) y + x = 4 J.3) Considerando las ecuaciones paramétricas a) Completar la tabla x = t e y = 1 t t x y b) Marcar los puntos (x,y) generados en la tabla y esbozar la gráfica de las ecuaciones paramétricas. Indicar la orientación de la gráfica. c) Hallar la ecuación rectangular. Comparar la gráfica del apartado b) con la gráfica de la ecuación rectangular. J.4) Esbozar la curva representada por las ecuaciones paramétricas (indicar la orientación de la curva) y hallar la ecuación rectangular correspondiente. a)

10 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 10 b) ; J.5) Determinar en que difieren las curvas planas unas de otras a) b) c) d) Observamos como un hombre y una mujer se despiden y empiezan a alejarse uno del otro. A continuación mostramos una lista de las distancias que han recorrido cada uno de ellos en el mismo tiempo. Hombre metros 4 metros 10 metros 13 metros 18.5 metros 0 metros 7 metros Mujer 1 metro metros 4.85 metros 6.75 metros 9 metros 10 metros metros a) Cuál es el modelo matemático que mejor aproxima los datos? Use el software Winfun para graficar los datos de la tabla. (sugerencia: defina y la distancia recorrida por el hombre y x la distancia recorrida por la mujer.) b) Determinar la ecuación de dicha función. c) Reflexionar sobre algunos pares de puntos por ejemplo (9,18.5) 5) Teniendo en cuenta los datos que figuran en cada tabla de valores, realizar un diagrama de dispersión de estos datos y encuentre y graficar la línea de regresión utilizando el software WinFun a) b) Tiempo ( seg) Altura (m) x y

11 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja ) Un biólogo desea encontrar una relación entre el número de chirridos de los grillos y la temperatura ambiente, para lo cual decide realizar algunas observaciones. De su experiencia de campo obtuvo los datos que se muestran en la siguiente tabla. Temperatura Nro. de Chirrido a) Cuál de las variables te parece que puedes elegir como independiente y cual como dependiente? Por qué? b) Realizar la gráfica correspondiente a partir de este gráfico notas alguna tendencia en los datos? c) Utilizando el Winfun determinar la curva de regresión y la ecuación correspondiente. 7) En la tabla se registran alturas ganadoras en salto con garrocha en olimpiadas del siglo XX. Año Altura(pies) Año Altura(pies) a) Hacer un diagrama de dispersión de los datos. b) Determinar y grafique una línea de regresión. c) Usar el modelo de regresión lineal para predecir la altura del salto vencedor en la Olimpiada de 000. d) Es razonable usar el modelo para predecir el salto con el que se obtendrá la medalla de oro en la Olimpiada del 100? EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS: 1) Encontrar el conjunto solución de las ecuaciones e inecuaciones dadas. Representar gráficamente. x 1 x + 3 a) > b) < 5 3 x x c) 9- x = 7 d) ( x -1) < 4

12 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 1 e) x + 3 <5 f) 3x-4 7 x ) El peso medio de los chicos desde que nacen hasta los 0 años viene dado por el siguiente gráfico: Observando el mismo responder: a) Cuál es el peso medio de los varones de 9 años? b) A qué edad tienen las mujeres un peso medio superior a 40 Kg.? c) En qué período el peso medio de las mujeres supera al de los varones? 3) Una compañía que renta autos ofrece unidades a $40 por día más 15 centavos por kilómetro. Los autos de su competidora se rentan $50 por día más 10 centavos por kilómetro. Para cada compañía escriba una formula para hallar el costo de rentar un automóvil por un día en función de la distancia recorrida. En los mismos ejes trace las graficas de ambas funciones. Cuál compañía es mas barata? 4) Un artesano ha podido establecer que por x pares de aros vendidos la ganancia en pesos está dada por la función g(x) = x + 3x a) Cuántos pares de aros debe vender para ganar 10, 18 y 3 pesos? b) Si para otro artesano la función de ganancia está dada por g(x) = 7x, hallar el número de pares de aros para el cual ambos artesanos obtienen la misma ganancia. 5) Hallar el dominio de las siguientes correspondencias de R R para que sean funciones: 1 x a) y = - 4 b) y = x ( x ) c) 1/ y = ( x + 5) d) y = + 4 1/ ( x x ) e) x + 6 y = f) y = x 5 x x( x )

13 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 13 g) x 3 y = h) y = log( x x + 1) x 49 ln( x + 7) + x + 5 i) y = j) ) ( x 1/ 4) ln( x + 7 y = x 16 x x < 3 x k) g ( x) = l) f ( x) = 0.5x + 4 x > 1 + x 6 x x > x 6) Encontrar si es posible (GoF) (x) y (FoG)(x). Hallar el dominio de la función resultante de la composición: a) F(x) = 3x G(x) = x 1/ b) F(x) = (x 1) G(x) = ln (x+1) c) F(x) = ln x G(x) = x d) F(x) = x+ G(x) = x + 1 7) Dadas las siguientes funciones f : A B a. Decir si f 1 es función b. En caso de que no lo sea realizar las restricciones necesarias c. Graficar f(x) y hallar analítica y gráficamente f 1 i) f: R R / f(x) = 7-5x ii) f: [1,+ ) R/ f(x) = ln x iii) f: R R + 3x / f(x) = e iv) f: [3, + ) R / f(x) = (x-) v) f: R R + / f(x) = sen x vi) f: R-{0} R / f(x) = 1/ x 1/ 8) Representar gráficamente las siguientes funciones teniendo en cuenta: Dominio Paridad Ordenada al origen y raíces o ceros de la función. Comportamiento asintótico de la función. a) y = x + x + 3 b) y = ln (x+4) 1/ c) y = (x + 5) 1 d) y = (1 x ) x + 4 e) y = 3 x f) y = log (3x-)

14 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA I : FUNCIONES Hoja 14 g) y = ( x + 3 ) ( x 1) h) y = log ( x 1) 9) Encontrar distintas parametrizaciones de las curvas siguientes y graficar: a) y = x ( 1 x/4) b) y = x /3