TRABAJO Y ENERGIA 1. Para un objeto que se mueve en una dimensión, el trabajo W hecho sobre el objeto por una fuerza constante aplicada F es

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1 TRABAJO Y ENERGIA 1 TRABAJO Y ENERGIA La primera figura muestra un esquiador que partiendo del reposo desciende por una superficie uniforme Cuál será la velocidad del esquiador cuando llegue al final de la bajada? La respuesta se puede hallar calculando la aceleración aplicando la segunda ley de Newton. Podemos calcular esta velocidad si el esquiador baja por una pendiente irregular como la mostrada en la segunda figura? Como la pendiente esta cambiando continuamente a la aceleración le ocurre lo mismo. Las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado no son aplicables. Sin embargo mediante dos nuevos conceptos(trabajo y energía) podemos calcular la velocidad del esquiador en el segundo caso sin necesidad de emplear la segunda ley de Newton. Estos dos conceptos nos permitirá dar respuesta a muchos otros problemas que se nos irán presentando en la práctica TRABAJO Todos tenemos un concepto intuitivo del termino trabajo. Subir un mueble por una escalera implica trabajo. A medida que es mueble es mayor, o la escalera más alta, el trabajo que se ha de hacer es mayor. Empujar un coche parado implica trabajo. Este trabajo es mayor conforme aumenta la masa del coche o la distancia a recorrer. La definición exacta de trabajo refleja estas intuiciones. Para un objeto que se mueve en una dimensión, el trabajo W hecho sobre el objeto por una fuerza constante aplicada F es W = F x x Siendo F x la componente de la fuerza en la dirección del movimiento del objeto y x el desplazamiento realizado La fuerza F no tiene que ser la fuerza resultante. Si estamos interesados en calcular el trabajo que hemos de realizar para arrastrar una maleta por el suelo, la fuerza F es la fuerza que nosotros aplicamos para arrastrar la maleta sin tener en cuenta las otras fuerzas que puedan actuar sobre la maleta. En el SI la unidad de trabajo es el joule y se define como el trabajo realizado por una fuerza de un newton cuando se desplaza un metro en su dirección. 1 J = 1 N x 1 m

2 TRABAJO Y ENERGIA 2 Según la definición de trabajo al empujar el coche el trabajo es igual a la fuerza aplicada por el desplazamiento, pero para la persona que arrastra la maleta solo hace trabajo la componente horizontal de la fuerza que aplica. En el caso de un camarero que transporta unas bandeja el trabajo que realiza es cero porque la fuerza aplicada sobre la bandeja es perpendicular al desplazamiento y su componente en la dirección del desplazamiento es cero EJEMPLO Un elevador de coches Un elevador de coche levanta un coche de 1300 kg hasta una altura de 2,3 m a velocidad constante. Calcular el trabajo realizado por el elevador. Razonamiento Para calcular el trabajo realizado por el elevador se necesita conocer la fuerza que ejerce sobre el coche. Como el coche es elevado a velocidad constante la aceleración es cero y la fuerza resultante también es cero. Como sobre el coche solo actúan dos fuerzas, la fuerza ejercida por el elevador hacia arriba y la fuerza de la gravedad hacia abajo, ambas ha de ser de igual valor. Por tanto, la fuerza ejercida por el elevador vale mg y con el mismo sentido que el movimiento del coche. Así el trabajo realizado por el elevador será W = F x =mg x Cálculo W = 1300kg. 9,8 m/s 2.2,3m =2, J 1. Que trabajo realizas al empujar con una fuerza de 95 N un carrito de 30 kg un trayecto de 14 m a lo largo de un pasillo de un supermercado. 2. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,21, que trabajo realizas cuando deslizas una caja de 50 kg a velocidad constante a lo largo de 4,8 m? 3. La cascada más alta del mundo es la Cherun-Merun en Venezuela con una altura de 980 m. Que trabajo realiza la gravedad sobre cada metro cubico de agua que cae? EJEMPLO Arrastrando una maleta Un viajero baja de un taxi una maleta con ruedas y la arrastra hacia la oficina de facturación ejerciendo una fuerza de 60 N que forma un ángulo de 60 0 con la horizontal Qué trabajo realiza el viajero si la distancia recorrida desde el taxi hasta la oficina de facturación es de 45 m?

3 TRABAJO Y ENERGIA 3 Razonamiento La componente horizontal de la fuerza que arrastra la maleta es: F x =F cos θ, así que el trabajo realizado será W = F cos θ x Cálculo W = 60N cos m =2.200 J 4. Una grúa eleva una viga de 500 kg verticalmente hacia arriba hasta 12 m. y luego la desplaza horizontalmente 6,0 m. Que trabajo ha realizado la grúa?. Despreciar el rozamiento y suponer que la viga ha sido desplazada a velocidad constante. 5. Dos personas empujan un coche parado. Cada personas aplica una fuerza de 330 N empujan en cada puerta del coche de manera que la dirección de la fuerzas forma un ángulo de 25 0 con la dirección del desplazamiento, tal como se indica en la figura. Que trabajo realiza cada persona si desplazan el coche 6,2 m? 6. Si empujas un coche aplicando una fuerza 650 N con un ángulo de 18 0 con la dirección del desplazamiento y realizas un trabajo de 990 J. Hasta que distancia has empujado el coche? 7. Un piano de 450 kg es empujado por una rampa a velocidad constante hasta una altura de 1,9 m. Si el coeficiente de rozamiento entre el piano y la rampa vale 0,62, calcular el trabajo realizado por el operario que empuja el piano siendo el ángulo que forma la rampa con la horizontal a) 15 0 b) 30 0.Suponer que la fuerza aplicada es paralela a la rampa. El trabajo puede ser positivo o negativo. El trabajo es positivo cuando la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento tiene igual sentido que este. En caso contrario, es decir, cuando la fuerza se opone al desplazamiento el trabajo será negativo: Si la dirección de la fuerza es perpendicular al desplazamiento el trabajo será nulo. EJEMPLO Levantando y bajando pesas

4 TRABAJO Y ENERGIA 4 Un elevador de pesas en un banco tal como se indica en la figura, levanta una pesa de 710 N. Levanta la pesa hasta una altura de 0,65 m por encima de sus brazos, y luego la baja la misma distancia. Si la pesa es subida y bajada a velocidad constante. Calcular el trabajo hecho por el gimnasta sobre la pesa a) durante la subida y b)en la bajada.. Razonamiento Para calcular el trabajo debemos conocer la fuera ejercida por el gimnasta. Como la pesa sube y baja a velocidad constante la fuerza resultante sobre la pesa es cero. y consecuentemente, la fuerza ejercida por el gimnasta será opuesta al peso, es decir, 710 N hacia arriba. Durante la fase de subida la fuerza ejercida por el gimnasta y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido. Sin embargo, en la bajada la fuerza y el desplazamiento tienen igual dirección pero sentidos opuestos. Por tanto, el trabajo de subida es positivo y el trabajo de bajada es negativo. Cálculo: Trabajo de subida W = 710 N. 0,65m = 460 J Trabajo de bajada W = -460 J 8. El coeficiente de rozamiento cinético entre los neumáticos de un coche y una carretera horizontal mojada es de 0,21. El coche tiene una masa de 1500 kg. que trabajo realiza la fuerza de fricción sobre el coche en un deslizamiento de 54 m? 9. Un coche de 1200 kg está subiendo por una rampa de 5,0 0, como se ilustra en la figura. La fuerza total de rozamiento es f = 5, N. La fuerza que ejerce el suelo sobre el coche y lo hace subir por la rampa es F. Además de estas dos fuerzas sobre el coche actúan : el peso (m g) y la norma F N. La longitud de

5 TRABAJO Y ENERGIA 5 rampa que el coche recorre es de 3, m. Cual es el valor de la fuerza F si el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el coche vale J? TRABAJO Y PRODUCTO ESCALAR El trabajo es una magnitud escalar pues queda completamente definida mediante un número. No obstante implica una relación de dos vectores (la fuerza F y el desplazamiento r) Si el ángulo entre estos dos vectores es θ, entonces la componentes de la fuerza en la dirección del desplazamiento es Fcosθ y el trabajo es W = (Fcosθ)( r) = F r cosθ Esta ecuación es una generalización de la definición de trabajo dada al inicio de la unidad. Así el trabajo lo definimos como el producto de los módulos de los vectores F y r y el coseno del ángulo determinado por ambos vectores. Este operación de vectores se denomina producto escalar. El producto escalar de dos vectores A y B se define como A.B = ABcosθ Es fácil demostrar que el producto escalar en función de las componentes es igual A.B =A x B x + A y B y EJEMPLO Trabajo realizado sobre un coche estacionado Empujas un coche estacionado en punto muerto mediante una fuerza F 490i j Ny le das al coche un desplazamiento r = 1,77 i + 1,90 j m. Calcula el trabajo que has realizado Razonamiento Este problema es una aplicación inmediata del producto escalar Cálculo W = F. r =(490i j).( 1,77 i + 1,90 j ) = (490N)(1,77m) + (230 N)(1,90m) =1,3kJ 10.Calcular el trabajo realizado por una fuerza F = 67 i + 23 j N que actúa sobre un cuerpo y lo desplaza desde la posición r 1 =16 i + 31 j m a la posición r 2 = 21 i + 10 j m. 11.Un remolcador tira de un transatlántico con una fuerza constante de 830 kn, lo desplaza a,0,38 km y realiza un trabajo de 290 MJ. Calcular el ángulo entre la fuerza realizada por el remolcador y el desplazamiento del transatlántico. TRABAJO Y ENERGIA CINÉTICA

6 TRABAJO Y ENERGIA 6 La mayoría de las personas suponen que si hacen un trabajo es para obtener algo. En física, cuando una fuerza neta realiza un trabajo sobre un objeto siempre hay un resultado de su esfuerzo. El resultado es un cambio de la energía cinética de el objeto. La relación entre el trabajo y el cambio de energía cinética se cono ce como el teorema de la energía cinética. Para establecer el teorema del trabajo y la energía cinética vamos a considerar un caso muy simple: En la figura vemos un avión sometido a una fuerza F que consideraremos como la fuerza neta y para mayor simplicidad será paralela al desplazamiento x (s.en la figura) Según la segunda ley de Newton, la fuerza neta F produce una aceleración a, dada por la expresión a=f/m. A consecuencia de esta aceleración la velocidad del avión cambia de un valor inicial v o a un valor final v f. Multiplicando ambos miembros de la expresión F =ma por el desplazamiento x nos da F x = ma x De la expresión v f 2 = v o 2 + 2a x resulta a x =( v f 2 - v o 2 )/2 y sustituyendo en la anterior F x = m( v f 2 - v o 2 )/2 W = 1 mv 2 2 f 1 mv 2 Al término ½ mv 2 se denomina energía cinética(ec) Por tanto podemos escribir 2 0 W = Ec f - Ec o = Ec La expresión W = Ec constituye la expresión matemática del teorema de la energía cinética. Enunciado con palabras el teorema de la energía cinética nos dice que el trabajo hecho por la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, es igual al incremento de la energía cinética del cuerpo. Aunque este teorema lo hemos deducido de un caso muy simple es aplicable a cualquier circunstancia, como que la dirección de la fuerza no coincida con la dirección del desplazamiento, que la trayectoria sea curvilínea, que la fuerza varíe a lo largo del desplazamiento, etc.. De acuerdo con el teorema un cuerpo tiene energía cinética por que sobre él se ha hecho un trabajo para acelerarlo desde el reposo hasta darle una velocidad. Recíprocamente un objeto con energía cinética puede realizar un trabajo si se le permite empujar o estirar de otro objeto

7 TRABAJO Y ENERGIA 7 EJEMPLO Una sonda espacial Una sonda espacial de masa 5, kg se desplaza a través del espacio y un instante tiene una velocidad v 0 =1, m/s. Calcular la velocidad alcanzada por la sonda cuando se haya desplazado 2, m si la única fuerza que actúa sobre ella es la producida por su reactor, que es constante y paralela al desplazamiento de valor 4, N Razonamiento: Como la fuerza F es paralela al desplazamiento s, el trabajo es positivo e igual a Fs. Este trabajo produce un cambio de la energía cinética de la sonda espacial. Mediante el teorema de la energía cinética calcularemos la energía cinética final, y a partir de ella la velocidad final Cálculo: W = F s cos θ. = 4, N x 2, cos 0 0 =1, J W = Ec = Ec f - Ec i ; Ec f = Eci + W Ec f = 1, J + ½ (5, kg)( m/s) 2 = 4, J v f = 12 2Ec f 2.( 4, J 4 = 4 = 12710,. m/ s m 50010,. kg 12.Un esquiador acuático cuya masa es de 70,3 kg tiene una rapidez inicial de 6,10 m/s. Mas tarde, la rapidez pasa a ser de 11,3 m/s. Determinar el trabajo hecho por la fuerza neta que actúa sobre el esquiador. 13.Una flecha de 0,075 kg es lanzada horizontalmente. La cuerda del arco ejerce una fuerza media de 65 N sobre la flecha en un trayecto de 0,90m. Con que velocidad sale la flecha del arco? 14.La rapidez de un disco de hockey sobre hielo disminuye de 45,00 a 44,67 m/s en un deslizamiento de 16 m sobre hielo. Calcular el coeficiente de rozamiento entre el disco y el hielo. 15.Un coche ante un posible choque frena bruscamente y sus ruedas dejan marcas en el suelo de la carretera de 65 m de longitud. El coeficiente de fricción entre las ruedas y el suelo es 0,71. Qué velocidad tenía el coche en el instante antes de frenar? En el ejemplo anterior el trabajo es realizado por una sola fuerza. Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas hay que calcular la fuerza resultante. El trabajo realizado por la

8 TRABAJO Y ENERGIA 8 fuerza resultante es igual a la variación de la energía cinética. El teorema de la energía cinética no se puede aplicar al trabajo realizado ninguna fuerza individual, excepto cuando solo actúa una fuerza. EJEMPLO Un esquiador deslizándose Un esquiador de 58 kg se desliza por una pendiente tal como se indica en la figura. La fuerza de rozamiento cinético es de 70 N. En la parte superior de la pendiente la velocidad del esquiador tiene un valor de 3,6 m/s. Despreciando la resistencia del aire determinar el valor de la velocidad del esquiador cuando se haya deslizado 57 m. Razonamiento: Como la variación de la energía cinética es igual al trabajo de la fuerza resultante, lo primero que hay que hacer es considerar todas las fuerzas que actúan y sumarlas. En la figura se han dibujado el diagrama de las fuerzas que actúan sobre el esquiador. La fuerza normal(f N )está equilibrada por la componente del peso del esquiador perpendicular a la superficie de deslizamiento(mgcos25 0 ). Por tanto, la fuerza resultante en la dirección del deslizamiento es igual F=mgsen f R. El trabajo hecho por esta fuerza lo calcularemos multiplicando la por el deslizamiento, que será positivo porque la fuerza y el desplazamiento tiene igual dirección y sentido (cos 0 0 =1). Según el teorema de la energía cinética este trabajo es igual a la variación de la energía cinética. A partir de esta variación calculamos la energía cinética final porque la inicial se calcula directamente de los datos del enunciado. De la energía cinética final se calcula el valor de la velocidad. Cálculo: F = mgsen25 0. f R = 58 kg.9,8m/s 2 sen25 0 =170 N W = F s cosθ = 170 N. 57 mcos 0 = 9700 J Ec f = W + Ec i = 9700J + ½ (58kg)(3,6m/s) 2 = J v f = 2Ec m f = 2x10100J 58kg = 19 m/s

9 TRABAJO Y ENERGIA 9 16.Mediante una fuerza horizontal de 100 N tiramos de una trineo de 10 kg de masa. El trineo parte del reposo y se desliza por una suelo horizontal un trayecto de 3m. Si el coeficiente cinético de rozamiento entre el trineo y el suelo vale 0,4, calcular: a)el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento b)el trabajo realizado por la fuerza aplicada. c)la variación de la energía cinética del trineo d)el valor de la velocidad del trineo después de recorrer los tres metros. 17.Un objeto de 5 kg descansa en el suelo. Mediante una cuerda lo elevamos hasta una altura de 6 m con una aceleración de 3 m/s 2.Calcular: a)la tensión de la cuerda b)el trabajo hecho por la gravedad y por la tensión de la cuerda. c)la energía cinética del objeto si partió del reposo. 18.Las figuras muestran un satélite moviéndose alrededor de la Tierra en una órbita circular y en una órbita elíptica. La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria. Determina si la energía cinética del satélite variará en cada caso. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE LA GRAVEDAD

10 TRABAJO Y ENERGIA 10 La fuerza gravitatoria es una fuerza conocida por todos que puede hacer trabajo positivo o negativo, y la figura adjunta nos muestra como puede determinarse este trabajo. Esta figura muestra una pelota de basket de masa m que se mueve verticalmente hacia arriba, la fuerza de la gravedad que vale mg, es la única fuerza que actúa sobre la pelota. La altura inicial es h 0, y la altura final h f, ambas distancias medidas desde la superficie de la tierra. El desplazamiento hacia arriba es s es igual a h f h 0. Aplicando la definición de trabajo (W=Fcosθxs), y al ser θ =180º (cos180=- 1), el trabajo W gravedad hecho sobre la pelota será W gravedad = -mg(h f - h 0 ) =mg(h 0 h f ) Vamos a calcular el trabajo hecho por la fuerza gravitatoria cuando una pelota pasa desde la posición A a la posición B por los dos caminos indicados por las flechas en la figura A mg h mg β s d ϕ B En el primer camino la pelota pasa del punto A al punto B por el plano inclinado un ángulo ϕ con respecto la horizontal. y longitud s. En este caso el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es W gravitatoria = mg.s cos β al ser el ángulo β complementario de ϕ la expresión anterior se puede escribir como s sen ϕ es igual a h W gravitatoria = mg.s sen ϕ

11 TRABAJO Y ENERGIA 11 W gravitatoria = mg h En el segundo camino la pelota pasa del punto A al punto B bajando por el lado vertical h y por el lado horizontal d. El trabajo hecho por la fuerza gravitatoria será W gravitatoria = W gravitatoria lado h + W gravitatoria lado d = mg h cos mg d cos 90 0 al ser cos 0 0 =1 y cos90 0 =0 W gravitatoria = mgh Esta ecuación es válida para cualquier camino que lleve la pelota de una posición a la otra como se muestran en la figura porque se pueden considerar como pequeños planos inclinados. El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es mgh siendo h la diferencia de altura entre el punto más alto y el más bajo (h 0 - h f ). Como el trabajo solo depende de la diferencia de altura entre la posición inicial y la posición final, las alturas de estos puntos se pueden tomar desde cualquier nivel (suelo de un piso, nivel del mar,. etc.) EJEMPLO Saltando en una cama elástica Un gimnasta (m = 48,0 kg) salta en una cama elástica que está a 1,20 m y alcanza una altura máxima de 4,80 m. Todas las alturas medidas desde el suelo. Despreciando la resistencia del aire, calcular : a) la velocidad inicial v 0 con que el gimnasta abandonó la cama elástica y b) la velocidad que tenía al caer y pasar por la altura 3,50 m. Razonamiento: La velocidad del gimnasta se determina mediante el teorema de la energía cinética, calculando previamente el trabajo hecho por la fuerza de la gravedad. Esta fuerza es la resultante por ser la única que actúa. El trabajo realizado será W gravitatorio = mg(h 0 - h f )

12 TRABAJO Y ENERGIA 12 Según el teorema de la energía cinética W gravitatorio = Ec = Ec f - Ec 0 a)en el punto más alto la velocidad es cero, es decir la Ec f = 0, luego W gravitatorio = - Ec 0 = mv 0 2 b) la velocidad del gimnasta al pasar por la posición de 3,50 m tomando como posición inicial el punto más alto donde la velocidad es cero. W gravitatorio = Ec f = mv f 2 Cálculo: a) W gravitatorio = 48,0kg.9,8 m/s 2 (1,20m - 4,80m) = J El trabajo es negativo porque la fuerza de la gravedad se opone al desplazamiento J = ,0kg.v 0 2 2( 1690J) despejando v 0 = = 8,39 m/s 48, 0kg b) W gravitatorio = 48,0kg.9,8 m/s 2 (4,80m - 3,50m) = 612 J 612 J = ,0kg.v f 2 v f = 2.( 612J) = 5,05 m/s 48, 0kg EJERCICIO 19. Demostrar, mediante el teorema de la energía cinética, que el valor de la velocidad con que un cuerpo ha sido lanzado verticalmente hacia arriba es igual al valor de la velocidad con que regresa al punto de partida. Despreciar la resistencia del aire. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL En el apartado anterior hemos visto que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo al pasar de una posición a otra dependía solo de las alturas de estas posiciones y era independiente. Esta propiedad de las fuerzas gravitatoria hace que se las incluyan en un tipo de fuerzas denominadas fuerzas conservativas. Las fuerzas conservativas son aquellas fuerzas en las que el trabajo realizado sobre un objeto, al pasar de una posición a otra, es independiente del camino. La fuerza gravitatoria es el primer ejemplo de fuerza conservativa que hemos encontrado. Otras fuerzas conservativas son las fuerzas elásticas y las fuerzas eléctricas. 20.Trata de hallar una justificación a esta otra definición de fuerza conservativa: Las fuerzas conservativas se definen también como aquellas fuerzas que al actuar sobre un objeto les produce un incremento de la energía cinética que depende solo de la

13 TRABAJO Y ENERGIA 13 posición final e inicial siendo independiente del camino seguido. 21.En la figura se muestra un carrito que se desliza por una pista cerrada. Por que la variación energía cinética del carrito al volver al punto de partida será cero, si las fuerzas de rozamiento son despreciables? 22. Por que la fuerza de rozamiento no es una fuerza conservativa, es decir es una fuerza no conservativa? Cuando un objeto se lanza hacia arriba en contra de la fuerza de la gravedad la energía cinética disminuye hasta hacerse cero en el punto más alto. Sin embargo cuando el objeto baja después de haber alcanzado el punto más alto la energía cinética aumenta hasta recuperar la que tenía al inicio al alcanzar el punto de partida, si el rozamiento es despreciable Qué le ha ocurrido a la energía cinética al subir llegando a ser cero en el punto más alto? Como la energía no puede desaparecer (principio de conservación de la energía), la energía se ha transformado en otro tipo de energía que denominaremos energía potencial gravitatoria(ep). Esta nueva forma de energía se define como : Ep = -W gravitatorio La variación de la energía potencial gravitatoria es igual al trabajo de la fuerza gravitatoria cambiado de signo. Así, cuando un objeto es lanzado con una velocidad hacia arriba la energía potencial aumenta porque el trabajo de la fuerza gravitatoria es negativo, y cuando baja la energía potencial gravitatoria disminuye porque el trabajo de la fuerza gravitatorio es positivo. Teniendo en cuenta la definición de energía potencial gravitatoria Ep = -W gravitatorio = - mg(h 0 - h f ) Ep = mg(h f - h 0 ) Esta expresión nos da la variación de la energía potencial gravitatoria cuando un objeto pasa de una posición inicial de altura h 0, a una posición final h f Si h f es h y h 0 es cero (las altura se miden desde el punto inicial) la expresión anterior queda Ep-Ep 0 = mgh Arbitrariamente se puede considerar Ep 0 = 0 y obtenemos la expresión Ep = mgh Esta expresión nos da la energía potencial gravitatoria de un cuerpo que se encuentra a una altura h de una posición en la que la energía potencial gravitatoria se ha considerado arbitrariamente nula.

14 TRABAJO Y ENERGIA 14 EJEMPLO Un ingeniero (m= 55kg) sale de su oficina situada en el piso 33 de un rascacielo y toma un ascensor hasta el piso 59. Más tarde baja a la calle. Si el ingeniero toma la oficina como el cero de energía potencial gravitatoria y la altura de cada piso es de 3,5 m, cuál es la energía potencial gravitatoria del ingeniero a) en su oficina, b) en el piso 59, y c) en la calle? Razonamiento: Para responder cada una de las cuestiones utilizamos la expresión Ep = mgh a) En la oficina la energía potencial gravitatoria es cero por que así se ha convenido. b) En el piso 59 será igual al incremento que su energía potencial gravitatoria ha experimentado al subir desde el piso 33 Ep 59 = Ep 59 - Ep 33 = mg(h 59 - h 33 ) = 55 kg. 9,8 m/s 2.26 piso.3,5 m/piso = 49 kj c) La energía en el suelo será igual al incremento de su energía potencia al bajar desde el piso 33 Ep suelo = Ep suelo - Ep 33 = mg(0 - h 33 ) = 55 kg. 9,8 m/s 2.(-33 piso).3,5 m/piso = -62 kj 23.Realiza el mismos ejemplo anterior tomando como cero la energía potencial gravitatoria del suelo. 24.Un plano inclinado forma un ángulo θ con la horizontal. Hallar la expresión de la energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m situado en el plano inclinado a una distancia x a lo largo del plano inclinado. Considerar que la energía potencial gravitatoria en la base del plano inclinado es cero. 25.Un escalador (m=60 kg) está subiendo una montaña de 1250 m. Si su energía potencial gravitatoria es de -2, J y se toma como cero la energía potencial gravitatoria en la cima de la montaña, a qué altura se encuentra el escalador? EL PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA En la mayoría de las situaciones la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es la suma de fuerzas conservativas (la fuerza gravitatoria por ejemplo) y fuerzas no conservativas (la fuerza de fricción por ejemplo). Así el trabajo total lo podemos considerar W=W C +W nc, donde W C es el trabajo realizado por las fuerzas conservativas y W nc el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. De acuerdo con el teorema de la energía cinética W C +W nc = ½ mv f 2 - ½ mv i 2 Si la única fuerza conservativa es la fuerza de la gravedad W C =W gravitatoria = mg(h o - h f ) mg(h o - h f ) +W nc = ½ mv f 2 - ½ mv i 2

15 TRABAJO Y ENERGIA 15 W nc = ½ mv f 2 - ½ mv i 2 + mg(h f - h o ) W nc = Ec f - Ec i + Ep f -Ep i = Ec + Ep Esta ecuación nos indica que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al incremento de la energía cinética mas el incremento de la energía potencial. La expresión anterior se puede escribir también W nc = Ec f - Ec i + Ep f -Ep i = Ec f + Ep f - Ec i +Ep i Llamando energía mecánica(em) a la suma de la energías cinética y potencial obtenemos la expresión W nc = Em f - Em i = Em El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al incremento de la energía mecánica.de esta expresión deducimos el principio de conservación de la energía mecánica. Si W nc = 0 entonces Em =0 se decir Em f - Em i =0 por tanto Em f = Em i Si el trabajo realizado sobre un cuerpo por las fuerzas no conservativas es cero, la energía mecánica se conserva. Este principio nos permite resolver problemas que con las leyes de Newton no podemos, como a continuación veremos. EJEMPLO Deslizándose por una pendiente ondulada Qué velocidad alcanza un esquiador en uina bajada de 10 m si parte del reposo? Despreciar cualquier tipo de rozamiento Razonamiento: Como no hay rozamiento (trabajo de las fuerzas conservativas nulo) aplicaremos el principio de conservación de la energía mecánica teniendo en cuenta que la energía cinética inicial es cero porque parte del reposo, y la energía potencial al final de la bajada es cero porque tomaremos esta posición como origen de altura. Em i = Em f Ec i +Ep i = Ec f + Ep f como Ec i = 0 y Ep = 0 Ep i = Ec f Calculo: mgh = ½ mv 2 v = 2 gh 2 v= 210. m. 98, m/ s = 14 m/s

16 TRABAJO Y ENERGIA Un motorista salta desde un barranco a través de una hondonada tal como se muestra en la figura. Salta desde el barranco con una velocidad inicial de 38,0 m/s. Despreciando la resistencia del aire, hallar la velocidad con que el motorista alcanzará la roca del otro lado del barranco. 27.Una roca se deja caer desde una altura de 20,0 m. Despreciando la resistencia del aire determinar la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía mecánica de la roca en cada una de las siguientes alturas: 20,0 m, 15,0 m, 10,0 m, 5,0 m y 0 m. 28.Una pequeña bola de metal se desliza por una rampa, tal como se indica en la figura. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular la velocidad de la bola en el punto A, si al llegar al punto B es lanzada verticalmente hacia arriba alcanzando una altura de 4,00 m. 29.Un esquiador situado en la cima de una colina se desliza partiendo del reposo hacia otra colina tal como se muestra en la figura. La segunda colina es circular con una radio r = 36 m. Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire, determinar la altura de la primera colina para que el esquiador pierda contacto con la nieve al llegar a la cima de la segunda colina. 30.Determinar el ángulo mínimo ϕ para que al dejar en libertad el péndulo, el hilo se rompa, teniendo en cuenta que la máxima tensión que aguanta el hilo es de 16 N. La masa del péndulo es de 1 kg y la longitud del hilo 25 cm. 31.Un bloque de 1 kg se deja caer desde el punto A sobre una pista constituida por un cuadrante de circunferencia de radio 1,5 m. El bloque resbala y A cuando llega al punto B tiene una velocidad de 3,6 B C

17 TRABAJO Y ENERGIA 17 m/s. El bloque para al llegar al punto C después de haber recorrido 2,7 m sobre la superficie horizontal distancia de B a C). a) Cuál es el coeficiente de rozamiento sobre la superficie horizontal? b) Que trabajo realizan las fuerzas no conservativas cuando el bloque pasa del punto A al B. 32.Un proyectil de 3,00 kg es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial que le permite alcanzar una altura máxima de 1, m a pesar de que la resistencia del aire (fuerza no conservativa) realiza un trabajo de -89, J sobre la proyectil. Que altura habría alcanzado el proyectil si no hubiese habido la resistencia del aire? POTENCIA En muchas situaciones, el tiempo empleado en realizar un trabajo es tan importante como la cantidad de trabajo. Consideremos dos coches idénticos en todo excepto en el reprise. El coche con mayor reprise puede pasar de 0 a 27 m/s en 4 segundos, mientras que el otro coche necesita 8 segundos para alcanzar la misma velocidad. Cada motor realiza el mismo incremento de energía cinética y por tanto el mismo trabajo(w = Ec, pero en diferentes tiempos. El motor que necesita menos tiempo en realizar el trabajo se dice que es más potente. La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo P = W t Si F es la fuerza que realiza el trabajo en la dirección del desplazamiento s (cos ϕ =0), la expresión de potencia se puede expresar también. Siendo v m la velocidad media P W Fs. = = = Fv. t t m Como el trabajo y el tiempo son magnitudes escalares, la potencia también lo es. En el SI la unidad de potencia es el watio que equivale a un joule por segundo. Otra unidad de potencia es el caballo de vapor (HP) que equivale a 745 W. EJEMPLO La potencia de aceleración de un coche Un coche de 1,10x10 3 kg que está en reposo acelera a 4,60 m/s 2 durante 5,00 s. Determina la potencia media generada por la fuerza resultante que acelera al vehículo. Razonamiento: Determinaremos la potencia media mediante la expresión P =F.v m,en la que F es la fuerza resultante y v m la velocidad media. La fuerza neta la determinaremos a partir de la segunda ley de Newton, y la velocidad media mediante las ecuaciones de cinemática.

18 TRABAJO Y ENERGIA 18 Cálculo: F = ma= 1,10x10 3 kg. 4,60 m/s 2 = 5060 N Como el movimiento es con aceleración constante, la velocidad media es la media aritmética de la velocidad inicial y la velocidad final. v m = ½(v o + v) como parte del reposo v 0 =0 v m = ½ v siendo v = at v = 4,60 m/s 2. 5,00 s = 23,0 m/s v m =11,5 m/s La potencia media será P =F.v m = 5060 N. 11,5 m/s = 5, W 33.La compañías eléctricas utilizan el kwh como unidad de energía. Halla la equivalencia entre el kwh y el joule y trata de justifica la utilización de esta unidad de energía por parte de las compañías eléctricas. 34. Qué consume más energía, un secador de pelo con una potencia de 1,2 kw funcionando durante 10 min. o una bombilla de 7 W encendida 24 h? 35.Un coche en reposo acelera uniformemente partiendo y alcanza 29 m/s en 12 s en una carretera recta y plana. Despreciando el rozamiento determinar la potencia media del coche si el peso del coche es de 1, N 36. Que datos necesitas para calcular la potencia desarrollada por una persona que trepa verticalmente por una cuerda?

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