ENCUENTRO NACIONAL DE METROLOGÍA ELÉCTRICA 15, 16 Y 17 de Junio del 2005.

Transcripción

1 METODOLOGÍ PR EL CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE J. ngel Moreno Centro Naonal de Metrología, Laboratoro de Impedana km 4,5 Carretera a los Cués, 764, El Marqués, Qro., Méxo +5 (44) 05 00, +5 (44) 05 48, jmoreno@enam.mx Resumen: De auerdo a la norma ISO/IEC 705:999 un laboratoro de albraón o de ensayos debe tener y aplar un proedmento para estmar la nertdumbre de medón. Generalmente, estos proedmentos requeren el uso de hojas de álulo eletrónas, que en muhas oasones son entendbles solo para la persona que las elaboró. Organsmos reonodos en el mundo han establedo el uso de una Tabla de Cálulo de Inertdumbre. Esta tabla ontene los elementos neesaros para poder alular el resultado de una medón y su nertdumbre ombnada de manera ordenada y onsstente on el método propuesto por la Guía BIPM/ISO para la Expresón de la Inertdumbre en las Medones (Guía ISO). gregando nformaón a esta tabla es posble alular además la nertdumbre expandda. En este trabajo se presentará la metodología de álulo de nertdumbre de auerdo a la Guía ISO empleando la Tabla de Cálulo de Inertdumbre, aplado a un aso senllo de albraón de un resstor patrón. INTRODUCCION El apartado de la norma ISO/IEC 705:999 [] señala que un laboratoro de albraón o de ensayos, que realza sus propas albraones, debe tener y aplar un proedmento para estmar la nertdumbre de medón para todas las albraones y tpos de albraón. Generalmente, uando un laboratoro elabora sus proedmentos de albraón nluye en éstos la nformaón e nstruones neesaras para llevar a abo el álulo de nertdumbre de medón orrespondente. Esta nformaón provene de un análss de sstemas de medón, patrones de referena y fatores de nfluena, realzado on base en el método sugerdo por la Guía BIPM/ISO para la Expresón de la Inertdumbre en las Medones (GUM por sus sglas en Inglés Gude to the Expreson of Unertanty n Measurement )[]. La GUM establee reglas generales de evaluaón y expresón de nertdumbre, sn embargo no establee formatos de álulo espeífos. Debdo a esto, los laboratoros dseñan sus propas hojas de álulo, por lo general eletrónas, generándose así una gran dversdad de hojas de álulo, que en muhas oasones son entendbles solo para la persona que las elaboró. nte esta stuaón, organsmos reonodos en el mundo, prnpalmente europeos, omo la European o-operaton for redtaton (E) y el Deutsher Kalbrerdenst (DKD), han establedo en su doumentaón omo el E-4/0 y el DKD-3 [3, 4] el uso de una Tabla de Cálulo de Inertdumbre (TCI), onoda en el doma nglés omo Unertanty Budget. Esta tabla permte a los laboratoros y a los grupos evaluadores entender de mejor manera dho álulo. Para los organsmos antes menonados, el uso de la TCI es oblgatoro para efetos de aredtaón, sn embargo su utldad ha sdo probada en otras nstanas, por ejemplo en omparaones nternaonales, nluso muhos laboratoros naonales la han adoptado. Debdo a la nfluena que tenen las publaones ténas nternaonales que usan este reurso, exsten en Méxo laboratoros que ya haen uso de la TCI, sn embargo muhos de ellos requeren onoer mayores detalles sobre la onformaón de la TCI. METODOLOGÍ Conforme a la GUM, se llevan a abo 6 pasos para enontrar la nertdumbre de una medón:. Elaboraón de un modelo (matemáto) de la medón. B. Identfaón de fuentes de nertdumbre. C. Evaluaón de nertdumbre estándar. D. Determnaón de nertdumbre estándar ombnada. E. Determnaón de nertdumbre expandda. F. Expresón de resultados. La TCI ontene los elementos neesaros que permtrán determnar la nertdumbre estándar ombnada, y agregando una olumna adonal se logra tener la nformaón neesara para determnar la nertdumbre expandda.

2 Para mostrar ómo se lleva a abo la onformaón de la TCI, se usará un ejemplo senllo de álulo de nertdumbre de la albraón de un resstor patrón, sn pretender de nnguna forma dsutr los detalles ténos de dha albraón. EJEMPLO DE CONFORMCIÓN DE L TCI Se desea albrar un resstor R on valor nomnal de Ω, el ual se enuentra nmerso en un baño on temperatura ontrolada para mnmzar y desprear los efetos de la temperatura ambente.. Elaboraón del Modelo de la Medón El resstor se mde de manera ndreta. Tal omo se lustra en la fgura, se hae rular por el resstor una orrente nomnal I de 00 m on una fuente de orrente, produéndose en el resstor una tensón nomnal de 00 m que se mde on un vóltmetro. Fuente de Corrente I R óltmetro Baño on temperatura ontrolada Fg. Sstema de medón de un resstor medante un método ndreto. Con el valor de la orrente I y la tensón, se enuentra el valor del resstor R por medo de la ley de Ohm: R = () I La ndaón del vóltmetro I tene un error ε, mentras que la fuente de orrente tene un error de generaón ε I respeto a su ndaón I I, de modo que el modelo matemáto de la medón de R es: R ε = = I () I I ε I I B. Identfaón de Fuentes de Inertdumbre Con base en el modelo matemáto de la medón se dentfan un total de 6 fuentes de nertdumbre: - Respeto a la ndaón del vóltmetro I : ) Resoluón de las leturas I ) Dspersón de las leturas I - Respeto al error de la ndaón del vóltmetro ε : 3) Inertdumbre de albraón de ε 4) Establdad del valor de ε. - La ndaón de la fuente de orrente I I es un valor programado por el usuaro, no orresponde a nnguna medón. La ndaón I I es sólo un parámetro nomnal, por lo ual no tene fuentes de nertdumbre asoadas. - Respeto al error de generaón de la fuente de orrente ε I : 5) Inertdumbre de albraón de ε I 6) Establdad del valor de ε I Con base en la nformaón de los pasos y B de la GUM, es posble onformar las dos prmeras olumnas de la TCI. La prmer olumna llamada ontene la lsta de las 6 fuentes de nertdumbre enontradas, y al fnal de ella se enuentra un renglón remarado que ontene el mensurando de nterés. La segunda olumna llamada Estmado ontene el valor estmado de las 4 varables que ontene el modelo. l fnal de ella se enuentra un renglón remarado que ontene el modelo matemáto que desrbe al mensurando. De auerdo a los resultados del expermento y a la nformaón de los ertfados de albraón de los nstrumentos empleados, se tenen los sguentes datos: - Promedo de 6 leturas de I : 00, m - ε (ertfado): + 39 µ/ = + 3,9 µ - I I : 00 m - ε I (ertfado): - 3 µ/ = -3, µ La tabla muestra las dos prmeras olumnas de la TCI, nluyendo el valor estmado de las varables del modelo matemáto y la evaluaón del msmo. C. Evaluaón de Inertdumbre Estándar Conforme a la GUM la nertdumbre estándar u(x ) se evalúa usando la nformaón provenente de ertfados de albraón, espefaones y araterístas de los nstrumentos, datos

3 expermentales y las funones de probabldad (FDP) asoadas. Tabla Prmeras dos olumnas de la TCI. Resoluón de I Dspersón de I Inertdumbre de ε Establdad de ε Indaón de I I Inertdumbre de ε I Establdad de ε I R Estmado x I = 00, m ε = + 3,9 µ I I = 00 m ε I = -3, µ ε I =, Ω I ε I I La nertdumbre estándar de las 6 fuentes de nertdumbre dentfadas en nuestro ejemplo se detalla a ontnuaón: ) Resoluón de I : las leturas del vóltmetro dgtal tuveron una resoluón de 0, µ. Consderando una FDP retangular asoada, la nertdumbre estándar de esta fuente de nertdumbre es: 0,µ u(resol. ) = = ± 0,09 µ (3) I ) Dspersón de I : la desvaón estándar de las 6 leturas fue ±,37 µ on una FDP aproxmadamente normal, de modo que su nertdumbre estándar es: ±,37 µ u(dsp. ) = = ± 0,593 µ (4) I 6 3) Inertdumbre de albraón de ε : el ertfado de albraón del vóltmetro nda que la nertdumbre de ε es ± 9 µ/, es der ±,9 µ (relatvo a 00 m nomnales), on un fator de obertura k=,0. Consderando una FDP aproxmadamente normal la nertdumbre estándar es: ±,9 µ u(inert. ε ) = = ± 0,95 µ (5),0 4) Establdad del valor de ε : para este nstrumento no se dspone de un estudo de los resultados de las albraones realzadas anterormente, por lo que se puede usar la espefaón del fabrante omo el dato más representatvo de la establdad del nstrumento. La espefaón del nstrumento es de ± 40 µ/, es der ± 4 µ on una FDP retangular, de modo que la nertdumbre estándar es: ± 4 µ u(estab. ε ) = = ±,3 µ (6) 3 5) Inertdumbre de albraón de ε I : el ertfado de albraón señala que la nertdumbre de ε I es de ± 6 µ/, es der ±,6 µ (relatvo a 00 m nomnales), on un fator de obertura k=,0. Consderando una FDP aproxmadamente normal la nertdumbre estándar orrespondente es: ±,6 µ u(inert. ε ) = = ± 0,8 µ (7) I,0 6) Establdad del valor de ε I : de gual manera que para la establdad del valor de ε, se onsdera la espefaón del fabrante de la fuente de orrente, que es de ± 58 µ/, es der ± 5,8 µ on una FDP retangular, de modo que la nertdumbre estándar es: ± 5,8 µ u(estab. ε ) = = ± 3,3 µ (8) I 3 Con esta nformaón, se onforma la terer olumna de la TCI llamada Inertdumbre Estándar, mostrada en la tabla. Tabla Prmeras tres olumnas de la TCI. Estmado x In. Estándar u(x ) Res. I ± 0,09 µ 00, m Dsp. I ± 0,593 µ In. ε ± 0,95 µ 3,9 µ Estab. ε ±,3 µ Ind. I I 00 m No es F. de In. In. ε I ± 0,8 µ -3, µ Estab. ε I ± 3,3 µ R, Ω D. Determnaón de Inertdumbre Estándar Combnada De auerdo a la GUM, la nertdumbre estándar ombnada u C (y) para magntudes no orrelaonadas, omo en nuestro aso partular, se determna medante la sguente euaón: 3

4 u (y) = u (y) (9) C donde u (y) son las ontrbuones de nertdumbre que se defnen de la sguente manera: u (y) = u(x ) (0) El térmno es llamado Coefente de Sensbldad, y se defne omo: f = () donde f es el modelo matemáto del mensurando. En nuestro aso, las 6 fuentes de nertdumbre están asoadas a tres de las uatro varables del modelo, por lo que habrá 3 oefentes de sensbldad en total. Estos oefentes se defnen y evalúan de la sguente manera: 5 3 R = = = = 9, () I ε I I I R = = = = 9, (3) 4 ε I ε I I R ε = = = I = 9, (4) 6 ε (I ε ) I I I La TCI se ompleta en su forma orgnal on la nlusón de las olumnas Coefentes de Sensbldad y Contrbuón de Inertdumbre. En el últmo renglón de la últma olumna, de manera remarada, se loalza la nertdumbre estándar ombnada, en vrtud de que su valor se alula empleando la nformaón que se enuentra en los renglones anterores. La tabla 3 muestra la TCI, sn nlur la segunda olumna para smplfar su expresón en el presente doumento. La olumna de Contrbuón de Inertdumbre permte dentfar fuentes de nertdumbre rítas en el proeso de medón. Para este aso, las fuentes de nertdumbre de mayor mpato son la establdad del error de la fuente de orrente y la establdad del error del vóltmetro. Para mejorar lo anteror se podrían llevar a abo aones orretvas, por ejemplo, estmar la establdad de ambos nstrumentos medante el análss del hstoral de albraones en ada aso, o emplear nstrumentos on mejor espefaón. Tabla 3 Determnaón de la nertdumbre estándar ombnada por medo de la TCI. In. Estándar u(x ) Coef. de Sens. Contr. de Inert. u (y) Res. I ± 0,09 µ ± 0,9 µω 9, Dsp. I ± 0,593 µ ± 5,93 µω In. ε ± 0,95 µ ± 9,50 µω - 9, Estab. ε ±,3 µ ± 3,00 µω Ind. I I No es Fuente de Inertdumbre In. ε I ± 0,8 µ ± 8,00 µω 9, Estab. ε I ± 3,3 µ ± 33,00 µω R ± 4,5 µω E. Determnaón de Inertdumbre Expandda Conforme a la GUM, la nertdumbre expandda se alula multplando la nertdumbre estándar ombnada por un fator de obertura k: U = k u (y) (5) La seón 6 de la GUM señala que el fator de obertura se elge on base en el nvel de onfanza requerdo de la medón. En general, k tomará valores de ó 3 s se requere un nvel de onfanza de aproxmadamente 95 % ó 99 % respetvamente, sn embargo exste la posbldad de que el valor de k sea subestmado. Para tener una mejor aproxmaón del valor de k, el anexo G de la GUM propone determnar este valor por medo de la dstrbuón t para un número de grados efetvos de lbertad υ eff, los uales pueden estmarse medante la sguente expresón onoda omo Fórmula de Welh-Satterthwate : υ eff u (y) 4 u υ 4 (y) (6) donde υ es el número de grados de lbertad de ada ontrbuón de nertdumbre. 4

5 Las olumnas hasta ahora onformadas forman parte de la TCI orgnal. Con la nformaón ontenda en éstas se puede alular la nertdumbre estándar ombnada. S se adona una olumna que ontenga el número de grados de lbertad de ada ontrbuón de nertdumbre se puede alular el número de grados efetvos de lbertad, y on éste determnar el valor del fator de obertura adeuado para el nvel de onfanza requerdo. Para determnar los grados de lbertad para ada ontrbuón de nertdumbre se usa la nformaón dsponble, omo datos expermentales, onfanza adqurda on la experena, et. Para nuestro aso partular, tal determnaón se detalla a ontnuaón: ) Resoluón de I : se tene ompleta segurdad de que la resoluón de las leturas del vóltmetro dgtal fue la msma. Por ello, el número de grados de lbertad de esta ontrbuón es nfnto ( ). Sn embargo, para efeto del uso de hojas de álulo eletrónas, es sufente usar un número grande, por ejemplo ) Dspersón de I : se realzaron un total de 6 medones, de modo que el número de grados de lbertad en este aso es 5 (n-). 3) Inertdumbre de albraón de ε : el ertfado de albraón nda que el fator de obertura es k=,0 para un nvel de onfanza de aproxmadamente 95 %. Reurrendo a una tabla de dstrbuón t, el número de grados de lbertad mínmo para obtener dho fator de obertura es aproxmadamente 60, sn embargo para no onsderar el peor de los asos se propone usar 00 grados de lbertad. 4) Establdad del valor de ε : en nuestro aso no se onoe el nvel de onfanza n el fator de obertura de la espefaón del fabrante. Por ello se propone suponer que dha espefaón fue obtenda estadístamente on base en medones realzadas a una muestra representatva de los equpos produdos por el fabrante. Suponendo que dha muestra ontene aproxmadamente 00 medones, el número de grados de lbertad para esta ontrbuón de nertdumbre puede tomar un valor de 00. Cuando la espefaón del fabrante nda el nvel de onfanza y fator de obertura, entones el número de grados de lbertad se determna omo en el nso 3 de esta seón. S sólo se nda el nvel de onfanza se propone realzar lo desrto en el párrafo anteror. 5) Inertdumbre de albraón de ε I : de gual manera que en el nso 3 de esta seón, el número de grados de lbertad será 00. 6) Establdad del valor de ε I : de gual manera que en el nso 4 de esta seón, el número de grados de lbertad será 00. La tabla 4 muestra las olumnas Contrbuón de Inertdumbre y Grados de lbertad. l fnal de ésta últma se oloa el número de grados efetvos de lbertad, el ual es alulado onforme a la euaón 6. El resto de las olumnas no se muestra por smpldad. Tabla 4 Determnaón del número de grados efetvos de lbertad por medo de la TCI. Contr. de Inert. u (y) Grados de Lbertad υ Res. I ± 0,09 µω Dsp. I ± 5,93 µω 5 In. ε ± 9,50 µω 00 Estab. ε ± 3,00 µω 00 Ind. I I No es Fuente de Inertdumbre In. ε I ± 8,00 µω 00 Estab. ε I ± 33,00 µω 00 R ± 4,5 µω 9 S se requere un nvel de onfanza nomnal del 95,45 %, el valor del fator de obertura será k=t=,0 de auerdo a la dstrbuón t. Conforme a la euaón 5, la nertdumbre expandda será: U = (,0)(4,5 µω) = 85,45 µω (7) F. Expresón de resultados. El apartado 7..6 de la GUM señala que usualmente es sufente expresar la nertdumbre on a lo más dos dígtos sgnfatvos. Con base en este señalamento los resultados fnales serán: R =, Ω ± 85 µω k=,0 para un nvel de onfanza de aprox. 95 % Se puede ver que la nertdumbre efetvamente se expresa on un máxmo de dígtos sgnfatvos, y la resoluón del valor del resstor onde on la de la nertdumbre expresada. sí msmo, el fator de obertura se expresa on dos dígtos sgnfatvos solamente. 5

6 Dado que el resultado obtendo provene de estmaones, aproxmaones, posbles errores de redondeo, et., el nvel de onfanza es expresado omo una aproxmaón. USO DE UN HOJ DE CÁLCULO ELECTRÓNIC En la práta, la realzaón de la TCI se lleva a abo de mejor manera en una hoja de álulo eletróna. En el ejemplo desarrollado exsten errores por redondeo dervados de haber onsderado sólo un número fnto y pequeño de fras demales, stuaón que es mnmzada en una hoja de álulo eletróna. La tabla 5 muestra la TCI ompleta realzada por medo de una hoja de álulo eletróna omeral. OBSERCIONES DICIONLES La TCI generalmente es un regstro del álulo de nertdumbre, que deberá mantenerse ontrolado y dsponer de un soporte téno doumental, el ual se enuentra generalmente en el proedmento de albraón orrespondente. En algunos asos, la TCI puede ser norporada al nforme de albraón para dar mayor soldez y lardad a los resultados, así omo para proporonar mayor nformaón al usuaro, sn embargo en muhos asos esto puede no resultar práto. Una vez que una TCI es dseñada para un tpo espeífo de albraón, no es neesaro modfarla o dseñarla nuevamente en tanto el método de medón no ambe. CONCLUSIONES Medante la TCI es posble dar unformdad al dseño de hojas de álulo que usan los laboratoros de albraón y prueba, brndando mayor lardad y onfanza a los operadores de los msmos. sí msmo, on propóstos de aredtaón, se falta de esta manera la tarea de los evaluadores. La TCI ontene los elementos ndspensables para alular nertdumbre onforme a la GUM. La seuena de operaones es muy lara y permte en todo momento enontrar errores de álulo fálmente. Su realzaón en hojas de álulo eletrónas es una tarea senlla, además de resultar onvenente, sendo neesaro dsponer en todo momento de un análss téno ben doumentado. En relaón a la mejora de proesos, permte detetar omponentes rítas y onforma evdena doumental del álulo de nertdumbre ante el sstema de aldad mplantado. REFERENCIS [] ISO/IEC 705:999, General requrements for the ompetene of testng and albraton laboratores, 999. [] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPC, IUPP, OIML, Gude to the Expreson of Unertanty n Measurement, 995. [3] DKD, DKD-3 ngabe der Messunsherhet be Kalbrerungen, 998, [4] E, E-4/0 Expressons of the Unertanty of Measurements n Calbraton, 999, Tabla 5 TCI ompleta realzada en una hoja de álulo eletróna. x u(x ) u (y) ν Resol. I 0, Ω , Dsp. I 0, Ω 5 Inert. ε 0, Ω 00 0, Estab. ε 0, Ω 00 Ind. I I 0, No es Fuente de Inertdumbre Inert. ε I 0, Ω 00-0, Estab. ε I 0, Ω 00 Rx, Ω 0, Ω 8 U, k(95%) = 0, Ω,0 R =, Ω +/- 86 µω k=,0 para un nvel de onfanza de aprox. 95 %. 6