MATEMATICA APLICADA A LA ECONOMIA TEORIA DE LAS DECISIONES Y TEORIA DE JUEGOS

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1 Prof. Antono Badan MAHAVE PROFESOR EN MAT EMÁT ICA, FÍSICA Y COSMOGRAFÍA, EGRESADO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y AGRIMENSURA DE LA UNIVER SIDAD NACIONAL DEL NORDESTE. Profesor de la Unversdad T enológa Naonal, Faultad de Cenas Eonómas (UNNE) y Faultad de Ingener ía (UNNE) Prof. Carmen RESCALA PROFESORA EN MAT EMÁT ICA, FÍSICA Y COSMOGRAFÍA, EGRESADA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS, NATURALES Y AGRIMENSURA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE. CONTADORA PÚB L ICA, EGRESADA DE LA FACUL T AD DE CIENCIAS ECONÓMICAS DE LA UNIVER SIDAD NACIONAL DEL NORDESTE. Doente de la Unver sdad T enológa Naonal, Faultad de Cenas Eonómas (UNNE) y Faultad de Ar qutetura y Urbansmo (UNNE), Faultad de Admnstr aón, Eonomía y Negoos (UNAF) Año 003

2 MATEMATICA APLICADA A LA ECONOMIA TEORIA DE LAS DECISIONES Y TEORIA DE JUEGOS TEORIA DE LAS DECISIONES Las organzaones onforman sstemas uyas admnstraones requeren de onomentos que hoy enuentran amplos y profusos ampos de nformaón y olaboraón en dsplnas espeífas readas y desarrolladas para ello. A medda que surgían nuevas formas de admnstraón, naeron nuevas ramas de las enas apladas para proporonarles servos. Así, la ontrbuón de la físa y la químa a la produón do orgen a la ngenería meána y químa, la gran dfusón y avane de teorías de omeralzaón dan lugar a lo que hoy onoemos omo meradotena y marketng respetvamente; on la estadísta y la sología, se desarrolló la ngenería ndustral. Muhas fueron estas espealdades entífas (nvestgaón de merados, ontabldad de ostos espeífos, sología y soología ndustral, determnaón de modelos eonómos, et.) que on el propósto de olaborar en los problemas de la admnstraón de organzaones on o sn fnes de luro deron nuevas formas a la msma. Y se produjo la retroalmentaón entre formas de admnstraón y dsplnas entífas. Mentras más espealzadas eran las aplaones de la ena, (dstntas ngenerías apladas al manejo de materales e nsumos, proesos estadístos para el ontrol de la aldad, aldad total, ténas de meradotena, et.) surge el nuevo onepto de la funón ejeutva de los admnstradores. Este onepto nuevo y atual ontempla las dstntas subfunones que enerra el admnstrar una organzaón, funones que deben estar ntegradas a través de los proesos de planfaón, gestón, desón, nformaón, ontrol, et. Quen admnstra está tomando desones en forma permanente, y para ello neesta poseer la nformaón neesara, la que fluye por los anales de omunaón que haen al sstema de nformaón. Un sstema de nformaón posee a vees nformaón perfeta y onseuentemente quen dede puede atuar on erteza, sn embargo esto no sempre es posble y en oasones la nformaón se onoe on mperfeones y en otras se desonoe. En ayuda de quenes deben dedr, onurre la Investgaón de Operaones, la que on la aplaón de métodos entífos y un trabajo nterdsplnaro se aboa a la soluón de problemas que omprenden el ontrol de sstemas organzados, para que estas soluones srvan mejor a los propóstos de la organzaón omo un todo. Para llegar a nflur en la toma de una desón, la I.O. plantea etapas, las que se onoen omo: ) planteamento del problema, ) onstruón del modelo, 3)deduón de una soluón, 4) prueba del modelo y evaluaón de la soluón, 5) ejeuón y ontrol de la soluón.

3 3 S ben son muhos los problemas que atende la nvestgaón de operaones, son los de naturaleza táta los más omunes, lo que no mpde que tambén preste su olaboraón a los problemas de tpo estratégos. Esto sgnfa que los os problemas pueden lasfarse en tátos o estratégos, pero omo su dferenaón es muy subjetva, sólo dremos que un problema es más táto que otro s su soluón es de más orto alane, uanto mayor sea la duraón del efeto de su soluón más estratégo es el problema, esta araterísta se denomna rango. Otra araterísta de los problemas estratégos es que su soluón afeta a una mayor parte de la organzaón, es der que el alane de la soluón es mayor. La terera araterísta que nos permte reonoer uándo un problema es estratégo es que éste mplque la determnaón de fnes, metas u objetvos. Todos los problemas tenen forma y ontendo. La forma es el modo en que se relaonan las varables y onstantes del problema. El ontendo se refere a la naturaleza de esas varables y onstantes. El lenguaje en el que expresamos la forma deslgada del ontendo es el lenguaje matemáto, y el modelo matemáto es la representaón del problema. La nvestgaón de operaones ha dentfado un grupo determnado de dstntos tpos de problemas y ha elaborado los modelos neesaros para sus soluones, por eso podemos der que exsten problemas prototpos y lasfarlos en problemas de: asgnaón, nventaros, reemplazos, líneas de espera, seuena y oordnaón, trayetoras, ompetena y búsqueda. Esta lasfaón no es exlusva n exhaustva, y on el tempo pueden presentarse nuevos tpos de problemas o ombnarse los tpos ya exstentes. Los problemas de una organzaón no sólo abaran el omportamento de los subsstemas nternos del sstema en estudo, sno que tambén onsderan las relaones on setores externos, relaones que pueden alterar sus fnes, metas y objetvos. En una organzaón debemos dstngur el ámbto nterno, (soos, dretoro, admnstradores, operaros, asesores, et.) del ontexto en el que apareen los proveedores, lentes y ompetdores. Toda organzaón lleva mplíto el proeso desoro, en él la naturaleza de las desones es muy varada, ya que quen admnstra deberá dedr sobre planfaón, metas, polítas, nveles de produón, relaones humanas, omeralzaón, fnanzas y presupuestos, et. HOY EL TEMA QUE NOS OCUPA ES LA TOMA DE DECISIONES ANTE PROBLEMAS DE COMPETENCIA, sean éstos de tpo nterno o externos. La nvestgaón de operaones, omo ena aplada, de aráter nterdsplnaro, provee de ténas que permten resolver los varados tpos de problemas que haen a la toma de desones. Los tomadores de desones, una vez fjados sus objetvos, analzados los ursos de aón de los que pueden dsponer, planteadas las varables ontrolables y las no ontrolables, estableen una medda de la efena que usarán para determnar uál es la mejor alternatva, es der qué funón objetvo debe usarse omo la mejor soluón a un problema. Para poder fjar la mejor soluón es neesaro poseer onomentos de lo que onsttuye la TEORIA DE LAS DECISIONES.

4 4 La teoría de las desones nos de que para onsderar qué desón es apta para la soluón de un problema, debemos onoer prmero el alane de los resultados que suponemos están dsponbles. Exsten tres tpos de suposones, de allí que podamos dar tres tpos de problemas: Cuando se plantean problemas en los que la nformaón dsponble es perfeta, las desones se toman en ondones de erteza. -- Certdumbre: stuaón en la que quen dede ree que ada urso de aón ondue a un solo resultado. S en una empresa de produón se quere determnar qué produtos y qué antdad de los msmos se debe produr para maxmzar el benefo, y se supone que el benefo por undad del j-ésmo produto es j, y x j es la varable de desón que representa la antdad de undades a fabrar del produto j, la ontrbuón al benefo total del produto j-ésmo es j x j. Cuando la nformaón dsponble es mperfeta o paral, las desones se realzan on resgo o on nertdumbre. -- Resgo: stuaón en la que el tomador de desones ree que para ada urso de aón pueden exstr resultados alternatvos, uyas probabldades se onoen o pueden suponerse. Para el resgo, el grado de desonomento o gnorana, se expresa en una funón de densdad de probabldad, la que establee datos, mentras que en la nertdumbre no exste esa funón densdad de probabldad. -3- Inertdumbre: stuaón en la ual quen toma desones no onoe para ada urso de aón uáles son los posbles resultados y por lo tanto no puede asgnar probabldades a los posbles resultados. Los problemas de ertdumbre (onomento ompleto de los resultados) e nertdumbre (desonomento total o gnorana absoluta de los resultados) se pueden onsderar omo asos límte de los problemas de resgo. En el ejemplo de la empresa produtora de benes, trabajando bajo ondones de resgo, el benefo j, no es un dato fjo, sno una varable aleatora de la que se desonoe su valor exato. El valor de j se obtene asoándole algún enunado de probabldad. La ontrbuón del j-ésmo produto al benefo total j x j es tambén una varable aleatora uyo valor exato se desonoe. En stuaón de nertdumbre no se onoe o no puede determnarse la funón densdad de probabldad. La nertdumbre no es gnorana ompleta del problema, sgnfa que quen nvestga para luego aportar a la desón fnal, no tene la nformaón neesara para asoar probabldades y atúa on nertdumbre. La nformaón ompleta y perfeta para dedr on erteza nos permte modelos de desón aptos para maxmzar benefos o mnmzar ostos, uando se atúa on stuaones de resgo o nertdumbre, exsten varos rteros, entre ellos el de maxmzar la utldad esperada. La eonomía moderna ha omenzado a norporar la nertdumbre al análss de la onduta de las empresas y de las eonomías doméstas. Un estudo ompleto y exhaustvo de la vda eonóma debe onsderar la nterrelaón que exste entre la nertdumbre y las estrategas o ursos de aón que pueden ejerer los agentes eonómos.

5 5 La atvdad eonóma, que es ompleja, presenta omo prnpal omplaón la nertdumbre de la vda eonóma, y omo segunda omplaón la nterdependena de los agentes eonómos. S queremos ver el resgo y la nertdumbre desde el punto de vsta de la eonomía, debemos entender que exsten nsttuones que tenen un merado para repartr los resgos, porque uando se materalza lo que era un resgo, alguen tene que pagar los ostos de lo sueddo. Los merados haen frente a los resgos reparténdolos, de manera tal que el resgo que sería muy grande para una persona, su vuelve pequeño para un gran número de ellas, a través de los seguros. Los ndvduos son renuentes al resgo, preferen una osa segura a un nvel de onsumo nerto, por eso las atvdades que reduen el resgo y la nertdumbre del onsumo de los ndvduos son las que ontrbuyen al benestar eonómo. Generalzando podemos afrmar que en los problemas de desón, la soluón se halla seleonando el mejor urso de aón de una antdad (fnta o nfnta) de opones dsponbles. Para realzar la dsusón de los problemas sobre los uales hay que tomar una desón, resulta onvenente representar las stuaones a través de matres; en esas matres las flas representan los ursos de aón posbles y las olumnas los resultados obtendos. Es onvenente tambén que los onjuntos de resultados y de ursos de aón sean fntos, sendo exlusvos y exhaustvos, de forma tal que sólo uno pueda ourrr o seleonarse. Ejemplo: resultados r r r j... r n. ursos de. F-- aón.... n a j Esta matrz rebe el nombre de MATRIZ DE PAGOS o TABLA DE GANANCIAS El pago a j para ada par ( -,r j ), es la utldad de la dferena entre la salda r j y la entrada. El pago es lo que rebe, por el uso de ese urso de aón, es su osto.

6 6 En el sguente ejemplo, para una stuaón de resgo, la matrz de pagos es: r r 3 F-- 4 S sabemos o podemos estmar la probabldad de ada sueso, para ada urso de aón, P(r j / ), entones podremos alular la UTILIDAD ESPERADA de ada urso de aón (UE). S haemos P(r / )=0,4 P(r / )=0,7 P(r / )=0,6 P(r / )=0,3 UE( )=0,4 (3)+0,6 ()=,8 UE( )=0,7 ()+0,3 (4)=,6 Para quen dede, lo lógo es elegr el segundo urso de aón, ya que maxmza la utldad esperada. Este rtero es el más aeptado en la soluón de problemas de resgo. n Generalzando: máx. UE( ) P ( r / ) a = j= En los problemas de ertdumbre se onoe la probabldad o se supone que ésta es uno o ero, y el rtero que se utlza para resolverlos es el aso límte de maxmzar la utldad esperada, susttuyendo en la fórmula dada los valores de uno y ero para la probabldad: P ( r j / ) Luego la fórmula será: [ UE( )] aj máx = este valor es la maxmzaón de la utldad. En los problemas de nertdumbre los nvestgadores no onoen las probabldades y busan nformaón sobre las msmas en lo ya se ha trabajado sobre el problema. Exsten varos rteros para resolver estos problemas, el más dfunddo y que aquí trataremos es el CRITERIO DEL MAXIMIN O MINIMAX. En este rtero se busa el máxmo de los mínmos posbles o el mínmo de los máxmos, uando estos dos valores onden, el problema está resuelto y el valor obtendo se llama PUNTO DE SILLA. En el sguente ejemplo la matrz de pagos es: j j r r 5 F-3-. 3

7 7 S la eleón es, la ganana mínma que se obtene es. S la eleón es, la ganana mínma que se obtene es. Se elge entones la mayor de esas gananas mínmas que es. es el máxmn o máxmo de los mínmos posbles. S mramos del lado de quen paga, razonamos de la sguente forma: S la eleón es r, la pérdda máxma es. S la eleón es r, la pérdda máxma es 5. Se elge entones la menor de esas pérddas máxmas que es. es el mnmax o mínmo de los máxmos posbles. Por lo tanto: máx mín mín máx r j a = r a = j j j es el valor más alto en su olumna y el más bajo en su fla. La teoría que estuda los problemas de ompetena, establee que ellos pueden araterzarse en tres modelos, llamados LUCHAS, (el objetvo es vener al oponente), JUEGOS (el objetvo es saar ventaja del oponente), y DEBATES, (el objetvo es onvener al oponente). La teoría ompettva que se oupa de las luhas y los juegos, surge on el trabajo de von Neumann y Morgenstern, llamado LA TEORIA DE JUEGOS Y EL COMPORTAMIENTO ECONOMICO. TEORIA DE JUEGOS Qué es un juego? A qué se llama juego? Sguendo a Russell ACKOFF y Maure SASIENI dremos que un juego es una stuaón en la que dos o más tomadores de desones ( en adelante llamados jugadores) seleonan ursos de aón y en la que el resultado se ve afetado por la ombnaón que pueden haer de esas seleones tomadas oletvamente. En todo juego exsten: --Una antdad n de tomadores de desones, on n. S n=, el juego se llama juego de dos personas, s n>, el juego se llama juego de n personas. --Un onjunto de reglas que espefan uáles ursos de aón se pueden seleonar, es der qué jugadas se pueden realzar, y los jugadores las onoen. -3-Un onjunto ben defndo de estados fnales que espefan en qué momento termna la ompetena, es der uándo se gana o se perde o se retra el jugador. -4-Pagos asoados on ada estado fnal posble, los que se determnan a pror y ada jugador los onoe. No sempre se umplen las ondones, 3, y 4, es por ese motvo que no a todas las stuaones ompettvas es fatble aplarle modelos de la teoría de juegos. Al onjunto de reglas que espefan uál de las alternatvas o ursos de aón debe seleonar el jugador en ada jugada, lo llamamos estratega de ese jugador, y uando un jugador seleona su propo urso de aón demos que realzó una jugada. Estratega: regla predetermnada que espefa por ompleto ómo se ntenta responder a ada runstana posble del juego.

8 8 En el juego, los jugadores son raonales, los oponentes juegan on ntelgena, tratando de optmzar su propa desón, a osta de los otros. Ejemplos de juegos son las batallas, las ampañas publtaras, los onursos, ltaones, et. La aplaón de la Teoría de Juegos en la eonomía, le brnda a ésta los elementos neesaros para el análss que nvolura a los ndvduos, las empresas y los países en un permanente juego ompettvo. En ese juego se manfesta la nterdependena estratéga de las empresas, las eonomías doméstas, los estados y otros agentes. La teoría de juegos analza la forma en que dos o más agentes eonómos, que se relaonan en una estrutura que es el merado, elgen un urso de aón o unas estrategas que afetan onjuntamente a todos los partpantes. (ECONOMÍA - Paul A. SAMUELSON Y Wllam D. NORDHAUS). La Teoría de Juegos plantea modelos matemátos para la toma de desones, modelos que ontenen estrategas que onvenentemente jugadas permten maxmzar o mnmzar una funón objetvo. Esa funón objetvo a maxmzar es alguna funón de las utldades de los pagos al tomador (o tomadores) de desones. En el juego un jugador (o jugadores) busa maxmzar el pago que rebe, el otro jugador (o jugadores) trata de mnmzar sus pérddas. Se llama juego de suma ero a aquél en el que la pérdda que sufre un jugador (o jugadores) es gual a la ganana que rebe el otro jugador (o jugadores). Un juego de suma ero de dos personas puede representarse en una matrz de pagos (la que los eonomstas suelen llamar tabla de gananas) de la sguente manera: Tabla para el Tabla para el Jugador I Jugador II Jugador II Jugador II Jugador I Jugador I F-4- Estas matres muestran que en el juego de suma ero los pagos al jugador II son guales a menos los pagos al jugador I. S ambos seleonan la estratega, el jugador I gana 3 y el jugador II perde 3. El juego de suma no ero tene un terer omponente o parte, la asa o una polla, quen rebe o realza algún pago. Jugador II 3 Jugador I F

9 9 En la fgura F-5- la matrz de pagos lustra un juego de dos personas de suma no ero; en ada asllero apareen dos valores, el superor dereho representa el pago que rebe el jugador II y el nferor zquerdo orresponde al pago que rebe el jugador I. Las jugadas que nvoluran los pares (;), (;), (;3) representan pagos uyas sumas no son ero. Cuándo termna el juego? Cuando se arrba a una soluón que mpla la mejor estratega para ada jugador. La mejor estratega es la funón objetvo espeífa de la jugada, y depende de los onomentos que tengan los jugadores a pror, sobre las alternatvas de los otros. S la nformaón que posee ada jugador es perfeta y onoe exatamente qué estratega elegrá el o los oponentes, el jugador está ante una stuaón de erteza, y la funón objetvo a maxmzar es la utldad. S la nformaón que posee ada jugador no es perfeta, pero puede suponer las probabldades para las estrategas de los oponentes, se estará ante una stuaón de resgo. S el jugador desonoe las probabldades de las alternatvas, el juego es de nertdumbre. Para las stuaones de nertdumbre el rtero más aplado es el maxmn ( mnmax). Es tarea de la Teoría de Juegos onvertr una stuaón de nertdumbre en una de erteza utlzando ertas suposones raonales on respeto a los jugadores. Las suposones permten alular ual será la estratega que usará un jugador para maxmzar su ganana mínma o para mnmzar su pérdda máxma. En la tabla de la F-4-, el jugador I supone que el jugador II es raonal y que por ello elegrá la estratega, donde la mayor pérdda es 3, que es menor que 5, pérdda máxma de la alternatva. Este tpo de razonamento elmna la nertdumbre. La dfultad rada aquí en reer que el jugador segurá una onduta raonal para maxmzar su ganana o mnmzar su pérdda. No exste un rtero úno que garante la raonaldad del atuar del jugador, la teoría de juegos parte de la suposón de que los jugadores son raonales y que atúan elgendo alternatvas que les permtrán maxmzar las gananas mínmas, pero esas alternatvas fueron seleonadas arbtraramente. JUEGO DE DOS PERSONAS DE SUMA CERO En este tpo de juego los jugadores tenen ntereses opuestos y algunos los llaman juegos estrtamente ompettvos. Para nar el juego se plantean prmeramente las ondones dadas por von NEWMANN: *-Los dos jugadores onoen la matrz de pagos.- Ambos la pueden onstrur. *-Cada jugador tene un número fnto o nfnto de estrategas. Cada jugador onoe las estrategas que tene y las de su oponente. *-Ambos jugadores son raonales. *-Los dos jugadores son onservadores, juegan on preauón y segurdad. *-Ambos jugadores elgen sus estrategas sólo para promover su propo benestar.- Juegan on ntereses opuestos. Cada jugador aspra a optmzar su propa desón, pero a osta del otro. *-Sempre son dos jugadores, aunque sean muhos los que juegan. Uno es el jugador I y todos los demás son II.

10 0 Los resultados o pagos de un juego se resumen omo funones de dferentes estrategas para ada jugador. Cuando se trata de un juego de dos jugadores de suma ero, la ganana de uno es gual a la pérdda del otro, lo que es sufente para expresar la matrz de pago en térmnos de los pagos al jugador I, uyas estrategas fguran en las flas de la matrz. Hemos dho ya que la seleón de un rtero para resolver un problema de desón depende de la nformaón de la que se dspone. En la teoría de los juegos los oponentes ntelgentes están trabajando en un medo rundante onfltvo. Exste un rtero onservador, propuesto para resolver el juego de dos personas de suma ero. El rtero se llama mnmax-maxmn. En este aspeto la teoría de juegos se dferena de la teoría de las desones, donde el tomador de desones está jugando un juego ontra un oponente pasvo, no malo, que es la naturaleza. En la teoría de los juegos ada jugador es ntelgente, atvo y trata de derrotar a los demás. El rtero mnmax-maxmn elge la estratega -pura o mxta- de ada jugador que proporona el mejor de los resultados posbles. Este rtero establee que la soluón óptma se alanza uando nngún jugador enuentra benefoso alterar su estratega. En ese momento el juego es estable o se enuentra en equlbro. Como la matrz de pago se hae en térmnos de los pagos al jugador I, el rtero requere que I seleone la estratega (pura o mxta) que maxme su ganana mínma -el mínmo se toma sobre las estrategas de II-. Naturalmente, el jugador II, elegrá la estratega que mnme sus máxmas pérddas -el máxmo se toma sobre todas las estrategas del jugador I. JUEGOS DE PUNTO DE SILLA Ejemplo: La sguente matrz de pagos representa la ganana del jugador I, en un juego donde ada jugador tene tres estrategas. Jugador II mín.fla F-6- Jugador I maxmn máx.olumna mnmax

11 S el jugador I, de sus estrategas puras seleona la estratega, puede ganar 9,8 o. La ganana mínma es. S seleona la estratega, la ganana mínma es 5 y en la estratega 3 es. El jugador I elegrá la segunda estratega porque maxmza su ganana mínma. El valor 5 es el maxmn, al que representaremos on v. El jugador II, que quere mnmzar su pérdda, s elge la prmera estratega puede perder 9, 6 o 7. La pérdda máxma es 9. S seleona la estratega, la pérdda máxma es 8 y en la estratega 3 es 5. El jugador II elegrá entones la estratega pura 3, la que mnmza su pérdda máxma. El valor 5 es el mnmax, al que llamaremos: v, o valor del juego, es 5 y orresponde al par (;3) de estrategas óptmas. El valor del juego, v, umple on la relaón: v v v Cuando en el juego el valor del maxmn es gual que el valor del mnmax, ése es el valor del juego,v, y rebe el nombre de punto de slla. En el ejemplo el valor del juego es 5 y orresponde al par (;3) de estrategas óptmas. Las estrategas puras que orresponden a ese valor se llaman estrategas óptmas. En el juego nngún jugador desea abandonar las estrategas óptmas, porque s no su oponente puede jugar elgendo otra estratega que le proporone menor pago. Un elemento a j es punto de slla s es el mínmo de su fla y el máxmo de su olumna. S el jugador I esoge la fla, gana uando menos a j ya que los demás elementos de la fla lo superan, s I elge otra fla dstnta de, por ejemplo m, no está seguro de que ganará tanto omo a j, porque el jugador II puede elegr j y a mj ser menor que a j para todo m.. Por lo tanto el jugador I elegrá y el jugador II j. Qué son las domnanas en una matrz de pago? Para explarlo se onsdera la matrz de la fgura F-6-. S nngún elemento de una olumna ualquera (en nuestro ejemplo onsderamos la terera olumna) es mayor que el orrespondente de otra olumna (la prmera de nuestra matrz), el jugador II nuna seleonará la prmera, la que puede elmnarse sn que se altere el valor del juego. La olumna que se elmna se llama olumna domnante. a a 3 es a domnante La matrz de la fgura F-6-, por domnanas se redue a: F S nngún elemento de una fla (en nuestro ejemplo la segunda) es menor que el orrespondente de otra fla (en el ejemplo la terera), entones I no elegrá nuna la terera fla, la que puede elmnarse sn que altere el valor del juego. La fla que se elmna se llama fla domnada. a j a 3j j a 3j domnada

12 La matrz que resulta es: F-8- Como la prmera olumna es domnante puede elmnarse, on lo que resulta: 5 F-9- Al ser la segunda fla domnada, puede elmnarse, on lo que obtenemos: 5 F-0- El punto de slla El orden de elmnaón de fla y olumna es ndstnto. S la matrz tene punto de slla, on la elmnaón de olumnas domnantes y flas domnadas se llega a él. S la matrz no tene punto de slla queda reduda a una matrz de menores dmensones. JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS S el juego no tene punto de slla, la Teoría de los Juegos aonseja a ada jugador asgnar una dstrbuón de probabldad sobre el onjunto de sus estrategas, las que dejan de llamarse estrategas puras para llamarse estrategas mxtas. Al no exstr punto de slla, las estrategas puras maxmn y mnmax dejan de ser óptmas y el juego es nestable. Los jugadores busarán otras estrategas que puedan mejorar sus pagos. Cada jugador jugará todas sus estrategas, pero ada una on una freuena, de manera tal que la suma de todas esa freuenas sea gual al número de jugadas que realza. La freuena de ada estratega sobre el número total de jugadas es la probabldad on que juega ada alternatva. Los valores que representan las probabldades son no negatvos y sumados dan uno. Cada jugador jugará ahora sus estrategas (no puras) de auerdo on un onjunto predetermnado de probabldades. En el aso de las domnanas las flas y olumnas elmnadas se juegan on probabldad ero. Sean las estrategas mxtas: x = probabldad de que el jugador I use la esratega, on =,,...m y j = probabldad de que el jugador II use la esratega j, on j=,,...n m y n son el número de estrategas dsponbles de los jugadores I y II respetvamente. Entones: x, y j 0 m x = n = j = y j =, j

13 3 En el aso de las domnanas las flas y olumnas elmnadas se juegan on probabldad ero. En el sguente uadro matral se representa en forma teóra la matrz de pago para un juego on estrategas mxtas. Jugador II y y y j y n x a a a j a n x a a a j a n... F-- Jugador I x a a a j a n... x m a m a m a mj a mn Al haer extensvo el rtero mnmax a juegos que no tenen punto de slla y que por lo tanto neestan estrategas mxtas, se de que el jugador II debe elegr la estratega mxta que mnme la máxma pérdda esperada. S lo que se analza es el omportamento del jugador I, el rtero maxmn, establee que éste seleonará la estratega mxta que maxme el pago esperado mínmo. Por pago esperado mínmo se entende el pago esperado más pequeño que puede resultar de ualquer estratega mxta que el oponente pueda usar. Máxma pérdda esperada sgnfa la pérdda esperada más grande, que puede resultar de las jugadas del otro jugador. La estratega mxta óptma para el jugador I es la que le proporona la garantía (garantía aquí sgnfa pago mínmo esperado) de que es la mejor ( máxma). El valor de este mayor pago mínmo esperado es el maxmn v. La estratega mxta óptma para el jugador II es la que le proporona la mejor garantía (garantía aquí sgnfa máxma pérdda esperada y mejor sgnfa mínmo) que de todas las pérddas máxmas esperadas ésa es la menor. El valor de esa menor pérdda máxma esperada es el mnmax v. S ambos jugadores usaran estrategas puras estos juegos no tendrían una soluón estable, porque v < v, entones ambos ambarían las estrategas para mejorar su posón. Para salvar la establdad o equlbro del juego se usan las estrategas mxtas, on las que se llega a la soluón óptma que es estable y en la que v = v. m m m máx mín = a x, a x,... a x x = n = maxmn = v. = n n n mn = a y, a y,.. a y y mj j máx j j j j j = j j j = = mnmax = v. Cuando las x, y j orresponden a la soluón óptma, los dos valores se gualan y son guales al valor esperado del juego.

14 4 Usaremos la sguente smbología para los óptmos: x *, y *, v * j, entones el valor esperado es: = m n v * a x * y * j j = j = Los juegos on estrategas puras o mxtas pueden resolverse gráfamente en el plano sempre que las matres de pago (orgnales u obtendas luego de las elmnaones por domnanas), sean de lase (xn) o (mx), esto sgnfa que por lo menos uno de los jugadores tene sólo estrategas S las estrategas de los dos jugadores fueran tres, la representaón gráfa de las estrategas en el espao de tres dmensones serían planos. S onsderamos la sguente matrz de pagos: Jugador II y y y j y n Jugador I x a a a j a n x = ( - x ) a a a j a n F-- Las probabldades x y x = x, son no negatvas y su suma x + x = Los pagos esperados o esperanzas del jugador I, para las estrategas puras del jugador II son: E + = ax + ax = ax + a( x ) = ax ax + a = (a a )x a En forma smlar se alulan las demás esperanzas, las que fguran en la F-3-: Estratega pura de II Pago esperado de I E = (a a )x + a E = (a a )x + a. F-3-.. n n E = (an an )x + an Según el rtero del maxmn, el jugador I debe esoger la x que maxme sus pagos esperados. Gráfamente podemos representar trazando líneas retas de varable ndependente x. El ejemplo que damos a ontnuaón se resuelve aplando la teoría desarrollada sobre estrategas mxtas y tambén el método gráfo. Ejemplo: Dada la sguente matrz de pago, enontrar las estrategas óptmas y el valor del juego.

15 5 Jugador II mín. fla F-4 Jugador I maxmn máx.olumna 5 4 mnmax v = v = v, umple on v v v Como la terera estratega del jugador I está domnada por la prmera, se puede elmnar la estratega 3, on lo que la tabla queda: Jugador II 3 Jugador I F Como la prmera estratega del jugador II domna a la segunda estratega, se puede elmnar. A ontnuaón esrbremos la tabla onsderando las probabldades: Jugador II Probabldades y y 3 Ep: estrategas puras Jugador I Ep 3 x 4-3 -x - F-6- Al alular las esperanzas tenemos: E I = [ 4 ( ) ] x + ( ) = 6x E 3 I = [-3 ( ) ] x + ( ) = -5x +

16 6 Es el momento de omenzar la representaón gráfa, para ello se trazan dos líneas paralelas separadas por una dstana que haemos gual a la undad y maramos sobre ella una esala. A ontnuaón se trazan las dos líneas que representan las dos estrategas dsponbles para el jugador I. S x = = x = 6. = 4 S x = = x = = punto máxmo x F Para alular el valor de x, haemos: 6 x = 5x +, y resolvendo 4 7 obtenemos: x = ; luego x =. El punto de abssa x es el máxmo de todos los mínmos. 4 7 ( x * ; x * ; x * ) = ; ; x * = 3 0 es la estratega óptma para el jugador I. Las dos retas determnan un polígono onvexo donde todos los v del jugador I son menores que el v del juego, por eso el jugador I hará reer v, hasta llegar a * v. Para determnar el maxmn, podemos realzar la sguente tabla, aplando: m m m máx mín a x, ax,... anx = maxmn = v. x = = =

17 7 x a = x a = x mínmo máx. mn /4 -/ 3/4 -/ 4/ / / / / x * = ( 4/; 7/; 0) / -/ -/ 3/4 5/ -7/4-7/ { mín ( 6x ; 5 + ) } v = v * = máx x = es el valor del juego y se verfa que es mayor que el maxmn (-) de la tabla orgnal. E II = + y = y E II = y + Para el jugador II: ( 4 3) ( + ) y + = 4 Proedendo de gual forma que para el jugador I, obtenemos: y 5 =, 6. El punto de abssa y es el mínmo de todos los máxmos. luego y = ( y * ; y * ; y * ) = 0; ; y * = 3 es la estratega óptma para el jugador II. 3 punto mínmo y F

18 8 Para determnar el mnmax, podemos realzar la sguente tabla, aplando: n n n mn = a y, a y,.. a y y mj j máx j j j j j = j j j = = mnmax = v. 3 3 y a j = j y j a j = j y j máxmo mín.. máx. 0-3 /4-5/4 5/ / / / / y * = ( 0; 5/; 6/) / / 0 / 3/4 9/4-9/4 4-4 { máx ( 7y 3 ; 4 + ) } v = v * = mín y =, es el valor del juego y se verfa que es menor que el mnmax () de la tabla orgnal. Hemos obtendo el valor del juego: v = v * = = v Este valor tambén puede alularse a través del álgebra matral: v = v = v* = x*. A.(y*) t * x x K m K m x A n * y t K nx x* K x3 A K 3x 3 * t 3x y K

19 9 El produto x*. A es: El produto x*. A.(y*) t es: valor del juego

20 0 APLICACIÓN AL CALCULO DE COSTOS El problema que nos oupa es el de repartr, asgnar o dstrbur, en forma equtatva, raonal y objetva, un determnado benefo, gasto, utldad, ben materal, osto, et., entre dos o más ndvduos. - Este tpo de repartos puede admtr dstntos métodos de soluón, onforme on la naturaleza msma del problema. Estas soluones, en algunas oportundades pueden ser smples y fáles de resolver, en base a una ley, auerdo prevo o una funón matemáta que permta determnar las proporones del ben a repartr que orresponde a ada una de las partes nteresadas. - Por ejemplo, s se establee una soedad entre tres personas, que representamos por A, B y C, que al fnal rnde una utldad de $.00,00 y se onvno prevamente en que las gananas o pérddas serían asumda por ada soo en proporón al aptal aportado; el soo A ontrbuyó a la formaón de ese aptal on $.000,00, el B on $.000,00 y el C on 3.000,00; la utldad o benefo que orresponde a ada uno de ellos se determna fálmente on la fórmula: benefo total b = aptal aportado por ( on = A, B, C) aptal total aportado Así resultan los sguentes valores: 000 b A = = b 000 B = = b 000 C = 3000 = donde b A, b B, b C son las utldades que orresponde a los soos A, B y C, respetvamente y además se verfa que: b A + b B + b C = =.00 ( benefo total ) En este ejemplo la dstrbuón del benefo onjunto obtendo por un equpo o asoaón, resultó fál porque prevamente se estableó o aordó una regla o funón matemáta para repartr las gananas. Esta regla es: b bt A A t = donde b t es el benefo total a repartr; A t es el aporte total, ntegrado por los tres soos y A es el aporte del soo = A,B.C, a la ntegraón del aptal. - En la mayoría de los asos el problema no es tan senllo y, según la naturaleza de los benes, gastos, o efetos que se deben repartr, se pueden adoptar dstntas metodologías, algunas lásas, otras nuevas, las que tenden a dsmnur la arga de arbtraredad y subjetvdad que sempre aompaña estos proedmentos, para más, muhas son las vees en las que la ley de dstrbuón no puede estableerse a pror.-

21 Para dar una dea de la varedad de problemas que pueden onsderarse taremos a ontnuaón los sguentes ejemplos: ) La asgnaón de reursos a ada una de las undades aadémas para la dstrbuón del presupuesto de una Unversdad. Por antdad de alumnos?, Por antdad de arreras? Por el tpo de arreras? Por antdad o tpo de laboratoros, nstalaones o equpamentos a mantener?... Este es un problema omplejo que no pretendemos resolverlo, n squera tratarlo, pero seguramente, s se adoptara una fórmula de reparto, la msma deberá ontener las varables que representen a ada uno de estos fatores, y algunos más, aompañados por oefentes de peso para ada uno de ellos, on el fn de efetuar las orreones o valoraones tendentes a enuadrar la dstrbuón dentro de las polítas eduatvas que se desean llevar adelante. - Muhos de estos elementos se fjan arbtraramente en base a auerdos y muhas de las valoraones deben ser neesaramente subjetvas. - ) La asgnaón de espaos físos dsponbles para la práta de dos o más dsplnas en la planfaón de un ampo de deportes. - 3) La dstrbuón de un osto onjunto entre dos o más artíulos que salen de una planta de produón, a los efetos de poder estableer el benefo de ada uno de esos produtos y, omo onseuena, la onvenena o no de su fabraón. - Presamente, de este últmo tpo de problemas es del que nos ouparemos. - ASIGNACIÓN DE COSTOS CONJUNTOS Supongamos que en una planta ndustral se produe un elemento báso del que se obtenen posterormente dos o más produtos dervados, que representaremos por A, B, C,..., on valores agregados propos. - Dstnguremos dos etapas de produón: La prmera, hasta la produón del elemento báso, tene un osto (alquleres, mantenmento de equpos, personal, ombustbles, materas prmas, nsumos, et.), que debe ser absorbdo por toda la produón fnal, al que llamaremos osto onjunto, C. - La segunda, para la elaboraón y termnaón de los produtos dervados, que agrega nuevos ostos autónomos o ndvduales para ada uno de estos artíulos, perfetamente determnados, que representaremos por C a (donde = A, B, C,...) Para poder alular el benefo real que la produón y venta de ada uno de estos produtos brnda a la empresa, es neesaro determnar prevamente, on la mayor objetvdad posble, la parte del osto onjunto que orresponde a ada uno de los produtos por separado. Una vez resuelta esta uestón se podrá determnar el osto total por artíulo: Ct ( ) = C + C a y luego, onoendo el Ingreso por produto I, alular el benefo aportado por el msmo, B = I Ct ( ), sendo = A, B, C,...

22 Nuestra uestón entones, onsstrá en hallar las partes del osto onjunto para ada. Exsten dstntos métodos para resolverlo, uya eleón depende de los datos dsponbles y de la naturaleza msma del problema. Entre estos métodos, taremos algunos tradonales y otros nuevos, que tenden a dsmnur la arga de arbtraredad y subjetvdad que sempre nevtablemente aompaña a estos álulos. - MÉTODOS TRADICIONALES ) MÉTODO BASADO EN LAS CANTIDADES DE MATERIAL PRODUCIDO S es posble medr en undades homogéneas la antdad, peso, o dmensón de ada uno de los artíulos A, B,..., que representaremos P ( =A, B,...), el osto onjunto se puede dstrbur proporonalmente a esos pesos, orrespondendo a ada uno de ellos las antdades dadas por la fórmula: C C = P P y C = C t donde P t es el peso total que resulta de sumar los pesos de todos los produtos A,B,... Este método, que ya as no se usa puede tener dos grandes objeones: ) La aldad, el valor y el osto msmo de los produtos dervados pueden no guardar relaón on sus pesos, de modo que la soluón sería arbtrara e nadeuada. - ) Los produtos dervados, por su dstnta naturaleza pueden venr meddos en undades no homogéneas, por ejemplo, líqudos y sóldos, lo que hae mpratable el método. - ) MÉTODO BASADO EN EL VALOR DE LAS VENTAS S se onoen los ngresos que produe ada produto I, el método onsste en argar a ada produto una parte del osto onjunto, proporonal a dhos ngresos, medante la fórmula: C C = I y C = C It Se pueden realzar las sguentes objeones ) Los ostos reales de produón no están en relaón, en todos los asos, on los ngresos que ada produto proporona. - ) Tampoo onsdera este método la apadad de los ostos autónomos para produr ngresos omo valor agregado. -

23 3 3) MÉTODO DEL VALOR NETO DE REALIZACIÓN Consderando valor neto de realzaón de ada produto a la dferena a entre el ngreso produdo por el msmo y su osto auténto: VNR = I C y valor neto de realzaón total: VNR t = I Podemos dstrbur el osto onjunto proporonalmente a estos valores medante la fórmula: C C = VNR VNR y C = C t Este método, s ben supera a los anterores ya que onsdera a los ostos autónomos no alanza para salvar todas las objeones formuladas. - NUEVOS MÉTODOS. Para la dstrbuón de ostes exsten modernos métodos que tenden a dsmnur los aspetos arbtraros o subjetvos de los anterores, aunque estos problemas sempre exsten en alguna medda. Estos métodos, que omo ontrapartda aumentan en omplejdad, se han desarrollado prnpalmente en las tres últmas déadas. Consderaremos entre ellos:. - COSTES ALTERNATIVOS DE MORIARITY En este aso la dstrbuón se hae en proporón al benefo estmatvo obtendo por ada uno de los produtos. Para ello es neesaro ontar omo datos, además del osto onjunto y ostos autónomos, los ngresos por produto, para poder estableer el benefo que ada uno de ellos aporta, omo la dferena entre ngresos y ostes totales orrespondentes. La novedad que ntrodue el método se basa en la posbldad de que la empresa, en lugar de fabrar ada produto pueda adqurrlo en el merado, al preo más bajo posble; o ben onsderar que ada uno de los produtos absorbe en el proeso de fabraón propa, la totaldad del oste onjunto, que es el valor máxmo que podría tener su produón. - Se obtenen así, dos valores para un msmo produto, entre los que debe elegrse: El oste total del produto, a mejor preo de merado: C o El oste máxmo de produón propa de, argándole el oste onjunto: C + C a Entre estas dos posbldades se elge la mínma para ada produto, que o a llamaremos mejor alternatva: Y = mn{ C, C + C }

24 4 La suma de las mejores alternatvas de adqusón o fabraón de los produtos = A, B, C,... menos el osto total de fabraón propa de los msmos, permte evaluar el ahorro que obtene la empresa en la elaboraón propa. t Representaremos dho ahorro por: H = Y C. Calulado así este ahorro total H, se lo puede asgnar a ada uno de los produtos en partes proporonales a las mejores alternatvas Y. Para ada produto = A, B,... orresponderá un ahorro por fabraón propa: H H = Y Y En onseuena, el oste total por produto será: C t = Y H (valor de la mejor alternatva menos el ahorro por produón propa). Esto permte determnar la parte del oste onjunto por produto C = C t C a El modelo de Morarty, que posee onsderables ventajas sobre los métodos lásos, puede, en algunos asos, asgnar ostos negatvos resultantes de su aplaón. Los modelos de Louderbak y de Balahandran y Ramakrsman ntroduen varables tendentes a superar estos problemas. - Para un desarrollo ompleto del tema reomendamos el lbro CONTABILIDAD DE COSTOS Y CONTABILIDAD DE GESTION. Angel Sáez, Antono Fernández Fernández y Gerardo Guterrez Díaz. MÉTODO DE LOS JUEGOS La teoría de los juegos se apla para resolver stuaones de onflto o nertdumbre, donde dos personas ompten ntelgentemente por un msmo objetvo. Cada jugador desarrolla sus estrategas para derrotar a su rval, en base a reglas preestabledas. Según Samuelson La teoría de los juegos analza la forma en que dos o más agentes, que se nterrelaonan en una estrutura omo el merado, elgen un urso de aón o unas estrategas que afetan onjuntamente a todos los partpantes. La estrutura bása de un juego omprende a los jugadores que tenen dstntos ursos de aón o estrategas, y las gananas, que desrben los benefos que obtenen los jugadores en ada resultado. El nuevo onepto lave es la tabla de gananas de un juego, que muestra las estrategas y las gananas o benefos de los dferentes jugadores. La lave para elegr las estrategas en la teoría de los juegos onsste en que los jugadores analen tanto sus propos objetvos omo los del adversaro, sn olvdar nuna que éste hae lo msmo. En eonomía, o en ualquer otro ampo, se debe suponer que el adversaro elegrá sus mejores opones, y se debe elegr la estratega que maxme nuestro benefo, suponendo sempre que el adversaro analzará de la msma manera nuestras opones.

25 5 En el problema que nos oupa, de la dstrbuón de ostos onjuntos entre dos o más produtos, el método más moderno onsste en aplar elementos de la teoría de los juegos, onsderando a ada uno de los artíulos en uestón omo jugadores que ompten por la asgnaón de un benefo omún. Lo que ada artíulo (jugador) puede obtener de ese benefo orresponde exatamente a lo que perden los demás en el reparto. La estratega que ada jugador, o produto, aplará, será la de jugar ndvdualmente o asoado a los otros jugadores y el benefo que rebrá será el que le orresponda por su atuaón personal más los de su partpaón en los equpos formados on los demás jugadores. S ben el método de juegos, que desarrollaremos, aumenta en omplejdad, brnda una nueva e nteresante forma de repartr ostos, que tambén puede aplarse a otros problemas de dstrbuón. Para ver un desarrollo ompleto del método reomendamos la letura de CONTABILIDAD DE COSTOS Y CONTABILIDAD DE GESTION. Angel Sáez, Antono Fernández Fernández y Gerardo Guterrez Díaz.

26 6 UNA ASIGNACIÓN DE COSTOS CONJUNTOS Nos proponemos, a ontnuaón, resolver el problema de asgnar la parte orrespondente del osto onjunto, que se produe en una prmera etapa de fabraón de materal báso, del que se extraen posterormente tres produtos, A, B y C, on ostos agregados autónomos de 400, 600 y 800, respetvamente, por ada 000 del osto onjunto de la etapa nal. - Smbólamente, representaremos a éstos por: Costo onjunto: C C = 000, Costos autónomos: C a (A) = 400, C a (B) = 600 y C a (C) = 800 Entre la nformaón, dsponble del ejero de la msma empresa, que se puede usar para resolver el problema de dstrbuón de ostos autónomos, se uenta on los sguentes datos: a) La antdad de undades, o el peso, de ada produto: P(A) = 400, P(B)= 000, P(C) = 800 b) Los ngresos por produto: I(A) = 000, I(B) = 400, I(C) = Aplaremos los sguentes métodos: ) MÉTODO PROPORCIONAL A LOS PESOS S onsderamos peso total en: P = P( ), donde = A, B, C. Para nuestro problema: Peso total: P = P(A) + P(B) + P(C) = 300 A ada produto le asgnamos omo parte del oste onjunto: C (A) = C P C (B) = C P C (C) = C P P(A) = P(B) = = = 3 P(C) = = 50 Coste onjunto total: C = 000 La aeptaón o no de esta dstrbuón de ostos onjuntos entre los tres produtos, aún uando estas antdades puedan medrse en undades homogéneas, será una uestón de aráter subjetvo, que deben resolver los admnstradores de la empresa, en razón de que los pesos o antdad de produón guarden relaón real on los gastos, los benefos o utldades aportados por ada artíulo. En general este método se usa muy poo atualmente.

27 7 ) MÉTODO BASADO EN EL VALOR DE LAS VENTAS S onsderamos ngreso total en: I = I( ), donde = A, B, C. Para nuestro problema: Ingreso total: I = I(A) + I(B) + I(C) = 8000 A ada produto le asgnamos omo parte del oste onjunto: C (A) = C I C (B) = C I C C (C) = I I(A) = I(B) = = = 300 I(C) = = 450 Coste onjunto total : C = 000 S ben esta dstrbuón tene la ventaja de onsderar la apadad de ada produto para soportar sus propos ostos, no supera en general, las observaones hehas al método aplado anterormente. Entre las muhas objeones, se señala que no se onsdera la apadad que tenen los ostos autónomos para produr aumentos en los ngresos por produto. - 3) METODO BASADO EN EL VALOR NETO DE REALIZACION Este método tende a superar las observaones formuladas al anteror, en lo que respeta a la onsderaón de los ostos autónomos. - Se llama Valor Neto de Realzaón de un produto, a la dferena entre el ngreso produdo por ese produto y su osto autónomo VNR() = I() - C a () donde = A, B, C En este aso: VNR(A) = = 600 VNR(B) = = 800 VNR(C) = = 800 y Valor Neto de Realzaón (total) : VNR = VNR( ) = 600 La asgnaón del osto onjunto C = 000, en forma proporonal a estos valores netos de realzaón, resulta : C (A) = C (B) = C (C) = C VNR C VNR C VNR VNR(A) = VNR(B) = VNR(C) = = = = 45 Coste onjunto total: C =000

28 8 NUEVAS METODOLOGÍAS 4)METODO DE MORIARITY Como se djo antes, la empresa puede onsderar dos alternatvas para la obtenón de los produtos. Una es la de adqurrlos a los mejores preos de merado, en lugar de fabrarlos. Consderemos que las mejores propuestas obtendas en este sentdo (Costos de oferta), para la adqusón de los produtos A, B y C, sean respetvamente : C o (A) = 00, C o (B) = 400, C o (C) = 000 La otra alternatva es onsderar la posbldad de produr únamente un produto, en uyo aso debe argarse a éste las totaldad del osto onjunto. Se obtenen así omo ostos máxmos de produón los valores C + C a (A)=400, C + C a (B)=600 y C + C a (C) = 800, respetvamente, para A, B y C. Entre las dos alternatvas, la empresa elge la más onvenente, que representamos por: o a Y() = mín { ( ), C C ( ) } C + para ada = A, B, C Resulta: Y(A) = 00, Y(B) = 400, Y(C) = 800 La empresa onsdera el ahorro total resultante de produr sus propos produtos on respeto a las mejores alternatvas desrptas, ahorro total que se alula omo dferena entre la suma de las mejores alternatvas y el osto total de produón y representamos por: = = 600 H = Y ( ) a ( C + C ( )) S se asgna el Ahorro total obtendo a ada produto, proporonalmente on respeto a la mejor oferta, se obtene para ada uno de éstos, una partpaón de : H(A) = H(B) = H(C) = H Y H Y H Y Y(A) = Y(B) = Y(C) = = = = 654

29 9 Como onseuena de esta dstrbuón del ahorro, el osto total por produto es: C t (A) = Y(A) - H(A) = = 764 C t (B) = Y(B) - H(B) = = 890 C t (C) = Y(C) - H(C) = = 46 y la asgnaón del osto onjunto resulta de restar a la parte orrespondente del osto total el osto autónomo orrespondente: C (A) = C (B) = C (C) = t C (A) - t C (B) - t C (C) - a C (A) = = 364 a C (B) = = 90 a C (C) = = 346 Coste onjunto total: C =000 La sguente tabla resume los pasos y resultados anterores: PRODUCTOS A B C totales C 000 C a C + C a () C o Mejor alternatva Y() Ahorro H total Dstrbuón del Ahorro H() Partpaón en el osto total C t () Parte del osto onjunto C () ( ) = =

30 30 5 MÉTODO DE JUEGOS Para aplar el método de los juegos emplearemos omo datos los mejores ostos alternatvos del método de Morarty, que se resume en la sguente tabla: PRODUCTOS A B C totales C 000 C a C + C a () C o Y() Este método onsste en onsderar a ada uno de los produtos A, B, y C, omo jugadores en dsputa por llevar la mayor parte de un pozo omún Este pozo estará onsttudo por el benefo total que obtene la empresa y, una vez.repartdo permtrá alular la parte del osto omún on que partpó ada artíulo. - La estrategas que ada jugador, o produto, aplarán en este juego, serán las de partpar solos (ndvdualmente), o ben formando equpos on los otros jugadores. Por eso la tabla anteror de datos dsponbles, debe ser amplada para atender a la totaldad de los equpos que entran en juego. - A B C AB AC BC ABC totales C 000 a C o C C a + C I(S) En este tabla I(S) representa los ngresos que obtene ada jugador o equpo de jugadores omo suma de lo aportado por ada partpante. La varable S representa a ada uno de los jugadores o equpos S = A, B, C, AB, AC, BC, ABC En el uadro se han sombreado los datos nales del problema. - Tendremos en uenta para nuestro álulo, las mejores alternatvas para la adqusón de estos produtos o onjuntos de estos produtos, que representaremos por Y(S) = { o a mn C ( S ), C + C ( S) }. Estos datos se onsgnan en la fla sexta de la sguente tabla y resultan de omparar los de las flas 3 y 4. - Para ompletar nuestro trabajo de asgnaón de benefos onjuntos onvendremos en fjar prevamente los sguentes onvenos o axomas. -

31 3 a) la utldad o benefo que ada equpo obtenga, ualquera sea el número o asoaón de jugadores, representada por S, estará determnada por la funón araterísta: V(S) = I(S) - Y(S) Dferena entre el ngreso aportado por la asoaón S (fla 5) y el mejor osto del equpo (fla 6). Los valores de esta funón araterísta, para ada equpo de jugadores, se onsgnan en la fla 7. b) El benefo así obtendo por ada equpo V(S), debe ser gual a la suma de las ontrbuones resduales de ada uno de los jugadores que lo omponen, atuando ndvdualmente o en asoaones, nludo el msmo grupo S.- Este axoma permte alular las ontrbuones resduales para ada S, así : Cuando un equpo está ompuesto por un solo jugador, la utldad de S onde on el aporte resdual úno: CR(A) = V(A) = 800 CR(B) = V(B) = 000 CR(C) = V(C) = 800 Para asoaones de dos jugadores, por ejemplo, para S= AB, alulamos: V(AB) = CR(A) + CR(B) + CR(AB) CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B) Con el msmo razonamento se obtenen las ontrbuones resduales : CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B) CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B) Con los datos de nuestro problema resultan : Para el grupo de jugadores ntegrado por A,B y C, es: CR(AB) = ( ) = 600 CR(AB) = ( ) = 800 CR(AB) = ( ) = 800 V(ABC) = CR(A) + CR(B) + CR(C) + CR(AB) + CR(AC) + CR(BC) + CR(ABC) Despejando aquí la CR(ABC) y susttuyendo las otras ontrbuones resduales por las fórmulas obtendas antes, resulta : CR(ABC) = V(AVC) - V(AB) -V(AC) - V(BC) + V(A) + V(B) + V(C) En nuestro aso: CR(ABC) = ( ) - ( ) = - 600