Compensación en Adelanto de Fase: Una nueva Propuesta de Solución Única y Exacta

Transcripción

1 8º Congreso Naonal de Meatróna Novebre 6 y 7, 009. Veraruz, Veraruz. Copensaón en Adelanto de Fase: Una nueva Propuesta de Soluón Úna y Exata Barahona Avalos Jorge Lus(, Lnares Flores Jesús(, Espnosa Maya Lus Eduardo( y Vllegas Rosas Gerardo( ( Jefatura de Ingenería en Meatróna, Insttuto de Eletróna y Coputaón, Unversdad Tenológa de la Mxtea, K.5 Carretera a Aatla S/N, C.P , Huajuapan de León, Oaxaa. ( Faultad de Cenas de la Eletróna, Beneérta Unversdad Autónoa de Puebla, Av. 8 Sur y Sn. Claudo S/N, Col. San Manuel, C. P. 7570, Puebla, Pue. Resuen La opensaón de fase es una de las ténas ás oúnente usadas para el dseño de ssteas de ontrol lneales en el dono de la freuena o en el dono del tepo, espealente utlzando el dagraa de Bode o ténas del Lugar geoétro de las raíes. No obstante, en la ayoría de los asos se eplean aproxaones a prueba y error, por lo general en fora gráfa. Este trabajo presenta una nueva soluón úna y exata al dseño de opensadores en adelanto uando se onoen los árgenes de ganana y de fase deseados (obtendos a partr de las espefaones de desepeño deseadas. El étodo propuesto sólo requere de la deternaón de la freuena de rue de ganana para lograr el argen de fase deseado. Se presenta el sustento teóro foral de la propuesta de soluón, así oo su aplaón a un sstea físo. Palabras lave: Dagraa de Bode, Copensaón de adelanto, Método de dseño en la freuena. Introduón El dseño de opensadores de adelanto en el dono de la freuena es una uestón entral en los ursos fundaentales de Ingenería de ontrol, debdo a su portana práta. Una de las prnpales dfultades enontradas al oento de dseñar opensadores de fase para ssteas LTI, es que dho proeso de dseño es tedoso toda vez que el so es produto de una sere de ensayos a prueba y error. Los étodos hasta ahora onodos están basados en el uso de los Dagraas de Bode o ben del lugar geoétro de las raíes, oo se expla aplaente en textos espealzados en ontrol de ssteas LTI [,, 3]. El objetvo prnpal del presente trabajo es proponer una soluón analíta al dseño de opensadores de adelanto uando se onoen los árgenes de ganana y de fase. Con la soluón propuesta se enuentra una soluón úna que falta la pleentaón de opensadores de una sola etapa. Cabe alarar que la soluón propuesta es ás ben on fnes ddátos para faltar la labor de enseñanza del dseño de ese tpo de opensadores en el aula de lases, nvrtendo para ello enos tepo y dsnuyendo el grado de onfusón que típaente produe en los estudantes el dseño de opensadores láso basado en étodos de respuesta en freuena []. Sn onsderar los avanes en las ténas odernas para el dseño de ssteas de ontrol, uhos dseños, espealente los de tpo ndustral, todavía hoy en día se realzan edante étodos del ontrol láso, prnpalente de respuesta en freuena. Debdo a su spldad y fál pleentaón el étodo ás popular de opensaón es el denonado en sere []. A lo largo de las tres últas déadas, eduadores e nvestgadores han estado explotando étodos de dseño ssteátos y/o que no son a prueba y error [4, 5, 6]. En 976, Wakeland enontró una soluón analíta al dseño de opensadores de adelanto de fase de una sola etapa [7]. Dha soluón es de fora uadráta en térnos de la ganana de opensaón. Al año sguente Mthell ejoró la soluón de Wakeland ya que su propuesta podía ser utlzada para el dseño de opensadores de adelanto y/o atraso [5]. En el año 003, Wang presentó una soluón úna sple a abos probleas de opensaón en adelanto y/o atraso que ejoró las soluones propuestas on anterordad [4]. Sn ebargo, los étodos enonados on anterordad suponen el onoento a pror de la freuena de rue de ganana, oo una espefaón del dseño. Esto splfa en gran edda el proedento de dseño y hae que el so sea posble sn prueba y error. De heho, el Asoaón Mexana de Meatróna A.C. 84 Insttuto Tenológo de Veraruz

2 8º Congreso Naonal de Meatróna Novebre 6 y 7, 009. Veraruz, Veraruz. proedento a prueba y error tradonal obedee presaente a la dfultad para deternar la freuena de la ganana de rue. Dervado de la experena de los autores en la enseñanza de dseño de ssteas de ontrol a lo largo de varos años, se observa que, por un lado, los étodos de dseño sofstados [4, 5, 6, 7] son ás orentados a nvestgaón y enos pedagógos para la enseñanza a nvel lenatura donde típaente los estudantes neestan donar los fundaentos de la ngenería de ontrol en ursos de entre 60 y 85 horas. En este trabajo se expone un trabajo totalente dferente para el dseño de opensadores de adelanto, el ual es ás pedagógo. La araterísta dstntva de la soluón propuesta rada en el heho de que la freuena de rue de ganana puede ser deternada en térnos de la ganana y del argen de fase de la planta y del argen de fase requerdo. Tabén se hae uso de la potenaldad de étodos oputaonales, partularente de étodos nuéros de búsqueda de raíes de funones no lneales. Éste trabajo está organzado oo sgue: en la seón se desrbe en que onsste la opensaón en adelanto, nluyendo algunas onsderaones prelnares, el dseño tradonal y la nueva propuesta de dseño. En la seón 3 se expone un aso de estudo de aplaón del étodo tradonal y de la nueva propuesta a un sstea físo en partular. En la seón 4 se resuen algunos de los resultados de sulaón obtendos on fnes de oparaón y fnalente en la seón 5 se dan algunas onlusones. donde τ y α son paráetros araterístos del opensador y K es su ganana de d. Para el dseño del opensador, la ganana de d queda deternada en fora unívoa por la espefaón del desepeño en estado estaonaro, la ual típaente es expresada en térnos de la onstante de error estáta de velodad deseada K v. Por lo anteror, en éste trabajo el enfoque estará únaente sobre el fator: τ s G ( s = ( ατ s y uya funón de transferena senodal orrespondente es de la fora: jτ G ( j = (3 jατ el ual proporona el adelanto de fase requerdo en la freuena de rue de ganana on valores apropados de τ y α, a fn de satsfaer el requerento del argen de fase deseado y el ual se denotará oo φ. En la Fgura se uestran los gráfos de Bode de agntud y fase orrespondentes a la euaón (3; de dha fgura puede aprearse que (3 ontrburá a lo ás on un adelanto de fase áxo denotado por φ, el ual ourrrá en una freuena.. Dseño de opensadores de adelanto. Copensaón de Adelanto La presente sub seón es dervada fuerteente de [], no obstante es pertnente alarar que en dho texto no se expone on lardad la fora en la ual se dervan las fórulas epleadas para el dseño tradonal a prueba y error ahí expuesto, para el aso de la opensaón de adelanto de fase. Dervado de lo anteror, y on fnes de lardad, a ontnuaón se expone en fora detallada lo referente a la opensaón de adelanto. Consdérese el opensador de adelanto uya funón de transferena está dada por: τ s τ s G ( s = Kα = K ( ατ s ατ s Fgura : Gráfos de Bode de un opensador de adelanto. A ontnuaón, por razones de lardad, se dervan las propedades del opensador dado por la euaón (3 y grafado en la Fgura. La agntud y fase del opensador dado en (3 pueden ser esrtas oo: Asoaón Mexana de Meatróna A.C. 85 Insttuto Tenológo de Veraruz

3 8º Congreso Naonal de Meatróna Novebre 6 y 7, 009. Veraruz, Veraruz. ( τ ( ατ jτ G ( j = = (4 jατ ( ( G j = τ ατ ( tan tan (5 dervando (5 on respeto a se tene: d τ ατ ( G ( j = d τ ατ ( ( gualando a ero la expresón anteror y después de algunas anpulaones algebraas: τ ατ = 0 ( τ ( ατ τ ατ = ( τ ( ατ ( α τ α = α α τ = = = ± τ α ατ onsderando sólo freuenas postvas; la freuena así obtenda es un punto ríto el ual al ser evaluado en la segunda dervada on respeto a da un valor negatvo, por lo se alanza el áxo ángulo de fase aportado por el opensador; tal freuena se esrbe oo sgue: = τ α susttuyendo (6 en (5 se obtene: (6 ( G ( j = tan tan α α haendo uso de las sguentes dentdades trgonoétras: tan x = sn x x os(sn x = x y después de algunas anpulaones algebraas se llega al sguente desarrollo: α φ = G ( j = sn sn α α α snφ = sn sn sn α α α α snφ = α α α α α α snφ = = α α α de donde fnalente se obtene para el paráetro α del opensador: α snφ sn φ = α = (7 α snφ Ahora ben, susttuyendo (6 en (4 y anpulando algebraaente, se tene para la agntud áxa aportada por el opensador: j G ( j = = jατ α de donde fnalente se obtene: τ α α G ( j = α (8 Enseguda, al onsderar que G( j es la funón de transferena senodal de la planta a ontrolar, y es la freuena de rue de ganana de KG( j, al elegr =, entones las ondones de agntud y fase del sstea opensado se pueden expresar oo: ( G j φ = φ ( π (9 G ( j = (0 KG( j. Copensaón de Adelanto Tradonal El problea nherente al étodo de dseño tradonal expuesto en [], reae en la seleón de la freuena de rue de ganana. Ésta deberá de satsfaer las ondones expresadas en (9 y (0. De auerdo on el proedento de dseño presentado por Ogata [], prero se eplea la ondón de fase (3 para deternar el argen de fase requerdo φ a una freuena que resulta de evaluar KG( j =. Sn ebargo nótese que esto es norreto toda vez que deberá de ser Asoaón Mexana de Meatróna A.C. 86 Insttuto Tenológo de Veraruz

4 8º Congreso Naonal de Meatróna Novebre 6 y 7, 009. Veraruz, Veraruz. obtenda de la ondón de agntud dada en (4, es der de KG ( j G( j =, la ual es dferente de KG( j =. Coo onseuena dreta de lo anteror, la freuena de rue de ganana real > puesto que es evdente que KG ( j G( j > KG( j. Así, > ondue a que G( j < G( j, y el argen de fase φ de adelanto requerdo alulado en es nadeuado. El texto plantea que esta stuaón puede reedarse spleente agregando una antdad de adelanto de fase extra de entre 5 a al argen de fase deseado. No obstante es evdente que dho reedo es a prueba y error y típaente produe onfusón entre los estudantes de Ingenería de Control a nvel lenatura..3 Propuesta de dseño En el presente trabajo, se aborda el problea de proporonar una soluón al dseño de opensadores en adelanto de fase que no sea a prueba y error, sno que proporone una fora analíta de resolver el problea. La soluón aquí propuesta eplea la ganana y el argen de fase de la planta sn opensar para deternar la freuena de rue de ganana. La soluón spleente rada en enontrar resolvendo sultáneaente las euaones (9 y (0. A ontnuaón se detalla el sustento teóro foral de la soluón. Seleonando =, a partr de las euaones (8 y (0, se tene: G ( j = α ( KG( j = despejando para α de la euaón ( se obtene: α = KG( j por otro lado de (7, despejando para φ : α α = = α α ( snφ φ sn (3 α φ = sn ( G( j π α KG( j φ = sn ( G( j π KG( j de donde fnalente se tene: ( sn KG j ( G( j (4 KG( j φ = π Para un argen de fase deseado φ, la úna nógnta en la euaón (4 es. Cuando se onoe la funón de transferena de la planta, pueden eplearse algortos de búsqueda de raíes de funones no lneales para hallar, seleonando oo ondón nal del algorto la freuena de rue de ganana de KG( j. Fnalente, epleando (6 y (, los paráetros de dseño del opensador pueden ser alulados de auerdo a las sguentes fórulas: α = KG( j τ = α (5 (6 En éste trabajo el algorto de búsqueda de raíes elegdo fue el de Newton teratvo a fn de resolver (4 para hallar. 3. Caso de estudo Para propóstos de ndagar la efetvdad de la etodología de dseño propuesto se seleonó un sstea físo de ontrol de teperatura, el LTR70, del fabrante Ara, el ual se uestra en la Fgura. En el presente artíulo se presentan únaente resultados de sulaón, dejando oo trabajo futuro la oprobaón experental del dseño obtendo. susttuyendo ( y (3 en la euaón (9, y después de algo de álgebra: Asoaón Mexana de Meatróna A.C. 87 Insttuto Tenológo de Veraruz

5 8º Congreso Naonal de Meatróna Novebre 6 y 7, 009. Veraruz, Veraruz. 4. Resultados Fgura : Sstea de Teperatura LTR70. De auerdo on el anual del fabrante, la funón de transferena aproxada del sstea de teperatura LTR70 está dada por: 0.8s G( s = e (7.6s utlzando una aproxaón de Pade de prer orden, para aproxar el retardo presente en (7 se tene:.5 s s.5 G( s = = o ben:.5 s.6s.6s 3.5s.5 Con respeto a los resultados de sulaón, se elge oo onsderaón de dseño un argen de fase deseado φ = 35. Entones epleando un algorto de búsqueda de raíes Newton Iteratvo, obnando las euaones (4 y (8, se deternó el valor de. Entones se eplearon las fórulas (5 y (6 para alular los paráetros del opensador de adelanto, uya funón de transferena queda oo: s G ( s = ( s En la Fgura 4 se uestran los resultados de oparaón de la respuesta ante una entrada esalón para abos étodos de dseño, el tradonal se uestra en olor verde y el propuesto en olor azul; oo puede aprearse del gráfo ostrado, los resultados de sulaón perten onlur autelosaente que el dseño propuesto ejora sgnfatvaente la respuesta en lazo errado, oparada ontra el étodo tradonal s G( s = (8 s.5794s Los gráfos de Bode orrespondentes para la funón de transferena dada en (8, para K = 35 se uestran en la Fgura 3. De dha fgura puede verse que la freuena de rue de ganana es de alrededor de.9 rad/s on un argen de fase de 7.. Fgura 4: Resultados de Sulaón. 5. Conlusones Fgura 3: Gráfos de Bode del sstea LTR70 sn opensar. El prnpal objetvo del presente trabajo onsstó en ataar el problea del dseño de opensadores en adelanto de fora analíta. La prnpal otvaón para el desarrollo del so fue el heho de que los étodos de dseño tradonales provoan deasada onfusón entre los estudantes de ursos de ngenería de ontrol a nvel lenatura. Es por ello que éste trabajo ontrbuye en gran anera, toda vez que los resultados presentados perten onlur que la soluón Asoaón Mexana de Meatróna A.C. 88 Insttuto Tenológo de Veraruz

6 8º Congreso Naonal de Meatróna Novebre 6 y 7, 009. Veraruz, Veraruz. propuesta satsfae adeuadaente las onsderaones de dseño. Coo trabajo futuro se desarrollarán aproxaones slares para los asos de la opensaón en atraso y la de adelanto atraso. Referenas [] Ogata K. Ingenería de Control Moderna, Prente Hall, Méxo, 3ª edón, 998. [] Dorf R. Ssteas Modernos de Control: Teoría y Práta, Adsson Wesley, Méxo, ª edón, 989. [3] Nse N. Control Systes Engneerng, Wley, New York, 3rd edton, 000. [4] Wang F. The exat and unque soluton for phase lead and phase lag opensaton, IEEE Transatons on Eduaton. Vol (46, Nu (, 003. [5] Mthell J.. Coents bode opensator desgn, IEEE Transatons on Autoat Control. Vol (AC-, Nú (5, 977. [6] Yeung K. A non tral and error ethod for lag lead opensator desgn, IEEE Transatons on Eduaton. Vol (4, Nu (, 998. [7] Wakeland W. Bode Copensator Desgn, IEEE Transatons on Autoat Control, Otober, 976. Asoaón Mexana de Meatróna A.C. 89 Insttuto Tenológo de Veraruz