Optimización de la representación con superficies NURBS de imágenes de rango

Transcripción

1 Optzacón de la representacón con superfces NURBS de ágenes de rango a *a Ernesto Cuartas Morales, Flavo Preto, (a) Ingenería Eléctrca, Electrónca y Coputacón, Unversdad Naconal de Coloba, Sede Manzales, Coloba *fapretoo@unal.edu.co (Recbdo: Octubre 5 de 7 - Aceptado: ayo 1 de 8) RESUMEN La representacón de odelos trdensonales realístcos, a partr de una nube de puntos dscretos obtendos edante dgtalzadores 3D, defne un coproso entre el nvel de detalle y la carga coputaconal que se requere para la vsualzacón del odelo. Las superfces paraétrcas perten ajustar la cantdad de datos que se requeren para recrear el odelo 3D. En este trabajo se obtene una aproxacón optzada de la superfce de un objeto, odfcando los grados de lbertad de la representacón en NURBS, edante el algorto de Levenberg-Marquardt. PALABRAS CLAVE: Optzacón, NURBS, Adaptacón de Superfces, Leveberg- Marquardt. ABSRAC Optzaton of representaton wth range age NURBS surfaces he representaton of realstc 3D odels, reconstructed fro a cloud of dscreet ponts obtaned by the 3D-scannng of object's surface, holds a strct balance between the detal level and the coputatonal load requred for odel vsualzaton. he paraetrc surfaces allow adjustng the quantty of data requred to recreate the 3D odel. he purpose of ths wor s to obtan and optze the surface approxaton of an object, odfyng the representaton of degrees of freedo n NURBS usng the Levenberg-Marquardt algorth. KEYWORDS: Optzaton, NURBS, Surface Adaptaton, Leveberg-Marquardt. Revsta Energía y Coputacón Vol. 15 No. Dcebre de 7 p

2 Revsta Energía y Coputacón Vol. 15 No. Dcebre de 7 p INRODUCCIÓN Las B-Splnes raconales no unfores NURBS, s o n f r e c u e n t e e n t e u s a d a s p a r a l a paraetrzacón de superfces de fora lbre o geoétrcas counes, coo cóncas, debdo a que perten generar representacones robustas y flexbles de las sas. Otra razón para la aplcacón de las NURBS en la recreacón de odelos 3D es que este tpo de curvas paraétrcas son soportadas por uchos paquetes de software coo el OpenGL y el 3ds que ofrecen coandos para su creacón y anpulacón [1-3]. Debdo a que uchos objetos del undo real han sdo construdos usando superfces algebracas sples y de fora lbre, la representacón e d a n t e N U R B S a p a r e c e c o o u n procedento unversal para el ajuste de superfces en la ngenería nversa. La reconstruccón de superfces es un proceso de ngenería nversa [4], aplaente utlzado por dversas dscplnas. Las aplcacones se encuentran en el área de la anufactura, control de caldad, edcna, dseño asstdo por coputador y realdad vrtual, entre otros. El odelado 3D tene varas etapas que van desde la adquscón, hasta la ntegracón del odelo [7]. Una sola agen de rango, provee nforacón parcal de la superfce del objeto. Por lo tanto, es necesaro cobnar últples ágenes de rango, desde dferentes puntos de vsta en un so espaco coordenado para obtener un odelo copleto. Este procedento nvolucra los procesos de regstro e ntegracón [5, 6]. El proceso de ntegracón tene coo objetvo encontrar la superfce que ejor se aproxe a la nube de puntos obtenda en la etapa de regstro. El desarrollo tecnológco en los dgtalzadores 3D perte capturar la superfce de un objeto con una ayor resolucón en cada nueva generacón de nstruentos, esto ncde drectaente en el núero de uestras obtendas que regularente es deasado grande para ser efcenteente procesado en un ordenador proedo. Por lo tanto, es necesaro llegar a una representacón optzada del odelo que uestre un coproso entre el nvel de detalle de la representacón y la carga coputaconal del sstea [9, 1]. Este trabajo busca, explora y aporta una solucón a este problea, edante la pleentacón de un algorto que perte optzar la representacón en odelos NURBS de la superfce uestreada de un objeto físco. Con el áno de cuplr con este objetvo, se lleva a cabo un proceso de optzacón edante el algorto de Levenberg-Marquardt, en el cual se anpulan los grados de lbertad del odelo NURBS (Puntos de control, pesos y vectores paraétrcos de nodos), para nzar el error entre las uestras de la superfce y el odelo NURBS.. ANECEDENES Las superfces coplejas sples son adaptacones por partes de eleentos báscos tales coo parches trangulares. A partr de estos eleentos se genera una alla ntrncada cuyo objetvo es dar la ejor estacón de la superfce del objeto real. Las desventajas que tenen las allas polgonales sples es que generan un odelo sn una representacón suave del objeto, por ello, la caldad de la representacón depende de la cantdad de polígonos con los cuales se recree el odelo [1, 1]. La representacón edante superfces plíctas, posee una sola ecuacón defnda de anera global pertendo caracterzar la fora a través de un conjunto pequeño de paráetros, la desventaja recae en la necesdad de especfcar prevaente el tpo de superfce [11, 16]. En [18] se optza la dsposcón del vector de nodos edante nzacón de funconales de energía, estas técncas presentan un costo coputaconal relatvaente bajo pero los resultados del apeo paraétrco no son los ejores. En la lteratura se encuentran dversos trabajos que eplean superfces explíctas para aproxar datos de rango, pero no se encontraron trabajos en los cuales se dera a conocer una edda estatva del error en la aproxacón. 3

3 Optzacón de la representacón con superfces NURBS de ágenes de rango 3. NURBS Las curvas y superfces NURBS evoluconaron a partr del trabajo ponero de Perre Bézer, quen planteó la forulacón ateátca de una clase de curvas paraétrcas, para crear gráfcas en un ordenador, en el año de 197 [8, 17]. La dgtalzacón edante NURBS se ha convertdo en un estándar en la ndustra para la representacón, dseño e ntercabo de datos de nforacón geoétrca procesados por ordenador, debdo a sus excelentes cualdades [1, 16]. La ecuacón (1) lustra la fora general de las superfces NUBS. (), p j, q, j, j == j, = n S u v 4. OPIMIZACIÓN n N ( u) N ( v) w P N ( u) N ( v) w, p j, q, j == j En este trabajo se desarrolló una optzacón por aproxacón, nzando el error cuadrátco edo entre la nube de puntos y la superfce NURBS, al odfcar los grados de lbertad de la forulacón paraétrca. 4.1 Forulacón del Problea Dada una secuenca de uestras rudosas ( u, M ) con =K,,, se pretende encontrar la superfce X( u, v) =C que ejor se W,D, ( u, v) adapte a las uestras M, nzando el error cuadrátco edo entre éstas y odfcando los grados de lbertad de la representacón n (, ) W,D, W,D, = Cu v -M () Donde W son los pesos, D son los puntos de control y es el vector de nodos U. Este problea es uy dfícl de resolver debdo a la dependenca no lneal de X con los paráetros (1) W, D,. Adeás, se deben tener en cuenta algunas condcones de varacón que garantcen la correcta forulacón ateátca de las NURBS. El proceso de optzacón aplcado se basa en el trabajo realzado por Randranarvony y Brunet [14, 19]. En éste dan solucón al problea splfcando la funcón de costo y adconando algunas penalzacones que garantzan la forulacón de las funcones NURBS. 4. Optzacón Lneal (Pesos y Puntos de Control) S se tene una secuenca de nodos dada, se puede dsnur el problea de la ecuacón (), así: En [13] se propone una optzacón lneal que da solucón a la ecuacón (3), nzando los pesos y los puntos de control. El sstea lneal está dado por En donde Sendo n ( u, v ) W,D W,D, ( A B) x b A A A = ê ÎR A1 A ú ë û é11 1 ù 4n ++ 4,4n 4 æs- N( I cpp ) LS- Nn( I c PP ) ö ç A11 = ç M OM ÎR ç S- Nn( I cpp ) S- Nnn( I cpp ) è L ø æ-s c N P L-S c N P ö n ç 3n++ 3, n 1 1 == 1 ç M OM Î ç -S c NnP L-S cn nnp A A R è ø (3) (4) 3n++ 3,3n 3 33

4 Revsta Energía y Coputacón Vol. 15 No. Dcebre de 7 p Con A æs- (1 c ) N LS- (1 c ) N ö n ç = ç M OM ÎR ç S- (1 c ) Nn S- (1 c ) N è Lnn ø B = ê ÎR B ú ë % û é ù 4n ++ 4,4n 4 æs N LS N ö B% ç = ç MOM ÎR ç SN SN è L ø n++ 1, n 1 n++ 1, n 1 La solucón de la ecuacón (6) está sujeta a la restrccón de una solucón con una secuenca de nodos no decrecentes. Adconalente, se debe llevar el problea a una fora típca de reduccón por ínos cuadrados. Para ello se tene: C=CCC ( u, v) ( ( u, v), ( u, v), ( u, v)), x, y, z M = ( M, M, M ) x y z Con el fn de realzar una expansón lneal de los datos, se defne el arreglo vectoral: Las deás varables de la ecuacón (4) están dadas por b = [,,, SN ( u ),, SN ( u )] KK n d = [ w d, w d, w d ] x y z pq p q N = N ( u ) N ( u ) c =+ 1/(1 P ) La solucón del sstea está dada en ì S3 () =Cï, x( u, v) M x S = ís 3+ 1 () =C-, y( u, v) M y ï îs 3+ () =C-, z ( u, v) M z Reeplazando S en la ecuacón (6) se obtene 3+ S = n () (7) y w w =KK [d,,d n,,, n] En el vector y de la ecuacón (5) se encuentran los puntos de control raconales d y w los pesos optzados, donde n el orden de las funcones base Splnes N ( u ). El orden del sstea lneal de la ecuacón (4) no depende del núero de puntos de control P. El rango de las atrces depende úncaente del grado n de las funcones base. 4.3 Optzacón no Lneal (Vector paraétrco de nodos) Al defnr W y D en funcón de en la ecuacón (3) se tene: n C-M ( u, v ) n = (5) (6) La solucón de la ecuacón (7) debe garantzar una secuenca de nodos crecente, para ello se defne la funcón R( x) ì s x > =í 3 ( - x) s x î Adconalente se plantea la penalzacón: R( ) = R( u -++- u ) LR ( u u ) p+ p Al ntroducr la penalzacón R () en la ecuacón (7) se obtene: 3+ n + [ S () ()] = En donde α es un núero postvo uy grande. S es una secuenca de nodos crecente, entonces α R()¹. En caso contraro, es decr, s exste algún nodo u > u, entonces R()¹, y debdo a +1 Ra (8) (9) 34

5 Optzacón de la representacón con superfces NURBS de ágenes de rango que α es uy grande, la ecuacón (9) es tabén uy grande y nunca se podrá realzar este íno. Fnalente, se defne r ()=S ()+ αr() Adconalente, se defne la funcón de sua de cuadrados = f () [ r ()] n 3+ [ r ()] = (1) La fora teratva del algorto de Levenberg- Marquardt pleentada en el desarrollo de este trabajo es la sguente: La ecuacón (1) tene una fora típca de optzacón por ínos cuadrados y puede resolverse por un étodo basado en estos, coo el Gauss-Newton o el Leveberg-Marquardt. 4.4 Leveberg-Marquardt El algorto de Leveberg-Marquardt ofrece un étodo teratvo con velocdad de convergenca adaptatva para la optzacón de odelos no lneales basados en el error cuadrátco edo [14, 15]. Se debe encontrar el Jacobano de la funcón vectoral r (), con el fn de aplcar el algorto de Leveberg-Marquardt: r r r1 r 3 + () = [ (), (), K, ()] (11) Donde =K ( tt 1,, l ) y l = -p sendo el núero de puntos de control y p el orden de las funcones base. 1. Se ncalzan las varables de convergenca α >, γ > 1, < β < 1 y se toa una secuenca ncal de nodos unfore.. Se hace = y se calcula f = f ( ). 3. Se calcula, J J( ) r r= ( ) y Q = J J = 4. Se resuelve el sstea lneal ( Q a+ I) u =- g y se calcula la penalzacón R( u+ ) 5. S R( u+ ) = se calcula f =+ + 1 f ( u ) S no, aga= y regresa al paso Se calcula =- ( f f ) /[ g u +½( u Q u )] s S, sb<, aga= y regresa al paso 4. S no, =+ + 1 u, aag / = 8. Se ncreenta K y se regresa al paso ANÁLISIS Y RESULADOS La atrz Jacobana J() está dada por r ( ) Jj ( = ) t j (1) La optzacón desarrollada para el trabajo tene varas restrccones. El proceso es aplcado a datos de rango organzados; por su forulacón, los datos para la creacón de una superfce NURBS deben estar dspuestos en una atrz rectangular. En la práctca, la dervacón de la funcón r() es uy dfícl. En este trabajo se calculó la atrz Jacobana por edo de aproxacones fntas de la fora: +- r ( ) r ( e s) r t e s (13) En donde e = [,...,,1,...,] toa sólo valor 1 en s la s-th entrada. Se encontró que con funcones base de grado elevado el tepo de cálculo del algorto auentaba y se presentaban probleas de establdad en el algorto Desepeño de la écnca Para analzar el desepeño de la técnca se aplcó el proceso de optzacón a dferentes tpos de superfces de prueba. Coo prueba fnal se utlzó una agen de rango real de la base de datos de la Unversdad de Oho. 35

6 Revsta Energía y Coputacón Vol. 15 No. Dcebre de 7 p abla 1: Desepeño de la técnca en datos rudosos. Conjunto de datos Plano, expansón de 1 x 1. Rudo Error Proedo Error Máxo Varanza epo % s 1% s 1% s 3% s 5% s abla : Desepeño de la técnca, uestreo sple. Conjunto de datos Seno, expansón de 1 x 1. Muestreo Datos Error Proedo Varanza epo 1% s 8% s 6% s 4% s Se segentó la agen de rango para obtener una atrz rectangular sn puntos redundantes que pertera aplcar el proceso de optzacón. En la abla 1 se puede aprecar que el desepeño de la técnca es bueno ncluso para datos con un nvel de rudo elevado (hasta del 5%). 5.. Muestreo de los datos Se aplcó el proceso de optzacón a dferentes porcentajes del núero total de datos, hacendo un uestreo sple del conjunto de datos Seno de la Fgura 1. Los resultados del desepeño para esta fgura se presentan en la abla. 6. CONCLUSIONES Las funcones NURBS presentan una forulacón ateátca unfcada que perte su fácl pleentacón y dgtalzacón. Adeás, el alto grado de adaptacón y la capacdad de aproxacón local hacen de las superfces NURBS una herraenta poderosa para generar odelos coputaconales de objetos trdensonales a partr de datos de rango. La eleccón de los paráetros ncales adecuados en el algorto de Levenberg-Marquardt garantza una rápda convergenca. Se debe defnr un coproso entre las constantes de velocdad ncal y de ajuste, ya que la escogenca de estos paráetros es crucal en el desepeño del algorto. El étodo de Levenberg-Marquardt presenta cualdades óptas para la nzacón de los vectores paraétrcos de nodos en funcones NURBS. Sn ebargo, el costo coputaconal del algorto es deasado alto para ser aplcado a núero elevado de datos de rango. Fgura 1: Superfce NURBS. Conjunto de datos Seno con una expansón de 1 x 1 La paraetrzacón edante NURBS para aproxar superfces a conjuntos de datos con deasados puntos de control, toando sólo 36

7 Optzacón de la representacón con superfces NURBS de ágenes de rango algunos de estos y ofrece un étodo de splfcacón que garantza una representacón suave y contnua. Adeás, al aplcar el proceso de optzacón para aproxar la superfce al conjunto de datos orgnal, da coo resultado una splfcacón de alta caldad. 7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] G. Farn, Shape, Sprnger-Verlag, New Yor, 3 edton, 1. [] G. Roth, P. Boulanger, Cad odel buldng fro ultple range ages, n Proceedngs of Vson Interface 98, pp. 7481, June [3] I. Sodervst, Introductory overvew of surface reconstructon ethods, [4]. Várady y M. Ralph, Reverse engneerng of geoetrc odels, [5] Ch. Yang and M. Gerard, Surface descrpton of coplex objects fro ultple range ages, echncal report, Insttute for Robotcs and Intellgent Systes, Unversty of Southern Calforna, [6] J. Valenca y J. Góez, Regstro de ágenes de rango para la reconstruccón de odelos facales, 4. [1] H. Huges, Mesh optzaton, echncal report, Unversty of Washngton, [13] E. Bernhard, Approxaton wht Ratonal B- splnes Curves and Surfaces, Ph.D. thess, Vanderblt Unversty, [14] M. Randranarvony y G. Brunnett, Parallel pleentaton of surface reconstructon fro nosy saples,. [15] L. Mchael, Dapng-undapng strateges for the levenberg-arquardt nonlnear leastsquares, [16] G. Farn, Curves and Surfaces for CAGD, Morgan Kaufann Publshers, 5 edton,. [17] P. Robert y C. Lnda, Generalzed bernsten polynoals and syetrc functons, 1. [18] H. Xe and H. Qn. Autoatc not deternaton of nurbs for nteractve geoetrc desgn, n Proceedngs of Internatonal Conference on Shape Modellng and Applcatons (SMI 1), Nov. 1. [19] M. Randranarnovy y G. Brunnett, Parallel pleentaton of curve reconstructon fro nosy saples,. [7] J. B. Góez y F. Preto, Reconstruccón de superfces a partr de ágenes de rango, 4. [8]. Wayne, he NURBS Boo, Sprnger- Verlag, New Yor, nd edton, [9] P. J. Besl and N. D. McKay, A ethod for regstraton of 3d shapes, 199. [1] H. Huges, Surface reconstructon fro unorganzed ponts, echncal report, Unversty of Washngton, [11] I. Par and I. Yun, Constructng nurbs surface odel fro scattered and unorganzed range data, n Internatonal Conference on 3D Iagng and Modelng, October