Modelado Cinemático y Control de Robots Móviles con Ruedas

Transcripción

1 Modelado Cnemátco y Control de Robots Móvles con Ruedas ess Doctoral Departamento de Ingenería de Sstemas y Automátca Unversdad Poltécnca de Valenca Autor: Lus Ignaco Graca Calandín Drector: Dr. Josep ornero Montserrat

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3 En prmer lugar, agradezco al drector de la tess Dr. Josep ornero su valosa ayuda, estímulo permanente y acertado asesoramento a lo largo del trabajo. En segundo lugar, vaya tambén m agradecmento a ms compañeros del Grupo de Investgacón y del Departamento de Ingenería de Sstemas y Automátca que de un modo u otro han contrbudo al desarrollo de la tess. A m famla

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5 RESUMEN La presente tess doctoral aborda el modelado cnemátco y control de robots móvles con ruedas. En concreto se profundza en los sguentes temas: - Se plantea el modelado de una rueda genérca que ncluye todos los tpos comunes: fja, orentable centrada, orentable descentrada (castor) y sueca (tambén denomnada unversal, Mecanum ó Ilon). - Se descrbe un procedmento efcente para generar modelos cnemátcos, basado en el concepto de espaco nulo, el cual se aplca posterormente a un gran número de tpos de robots móvles. odos estos modelos son caracterzados en cuanto a su precsón o transmsón de errores (sotropía). - Se deduce un novedoso planteamento geométrco que establece la sngulardad de cualquer modelo cnemátco de cualquer robot con ruedas. Este planteamento se aplca a todos los tpos de robots anterores. - Se desarrolla el modelado dnámco del robot para, a través de tres sucesvas aproxmacones y de la caracterzacón de las frccones en las ruedas, llegar a un modelado cnemátco con deslzamento. - Se plantea un esquema de control del robot con tres bucles de control andados (dnámco, cnemátco y de planfcacón) que es conceptualmente smlar a los empleados en robots manpuladores. En partcular se profundza en el bucle cnemátco de nvel medo e ndrectamente en el de planfcacón, al caracterzar las referencas que puede segur cada tpo de robot sn error. - Se presentan experencas de comprobacón de los algortmos de modelado con deslzamento y de control del robot, realzadas sobre una plataforma eléctrca ndustral (carretlla ndustral). - Fnalmente se desarrollan dos solucones para las aplcacones de aparcamento en paralelo, con pre-planfcacón y caracterzacón geométrca, y de segumento de línea por vsón. Resumen

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7 ABSRAC hs PhD thess deals wth the knematc modelng and control of wheeled moble robots. In partcular t focuses on the followng ssues: - It s modeled a generc wheel that ncludes all the common types: fxed, centered orentable, off-centered orentable (castor) and swedsh (also referred to as unversal, Mecanum or Ilon). - It s developed an effcent procedure, based on the null space concept, to obtan knematc models. hs procedure s appled to many moble robots and the accuracy of the obtaned models s characterzed through an sotropy analyss. - It s deduced a new geometrc approach that establshes the sngularty of any knematc model of any wheeled moble robot. hs geometrc approach s appled to all the moble robots prevously mentoned. - It s proposed a knematc modelng wth slp obtaned from successve approxmatons of the robot dynamc model and the characterzaton of the frcton on the wheels. - It s suggested a knematc control scheme wth three nested loops (dynamc, knematc and plannng) that s smlar to the approaches used for robotc manpulators. It s studed n depth the knematc loop and ndrectly the plannng loop, through the characterzaton of the references that each moble robot can track wth no error. - An ndustral forklft has been used to test the algorthms of knematc modelng wth slp and robot control. - Fnally two solutons have been developed for the robotc applcatons of parallel parkng and lne trackng wth a vson system. Abstract 3

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9 RESUM La present tes doctoral aborda el modelatge cnemàtc control de robots mòbls amb rodes. En concret s'aprofundx en els temes següents: - Es planteja el modelatge d'una roda genèrca que nclou tots els tpus comuns: fxa, orentable centrada, orentable descentrada (castor) sueca (també nomenada unversal, Mecanum o Ilon). - Es descru un procedment efcent per a generar models cnemàtcs, basat en el concepte d'espa nul, el qual s'aplca posterorment a un gran nombre de tpus de robots mòbls. ots estos models són caractertzats quant a la seua precsó o transmssó d'errors (sotropa). - Es deduïx un nou plantejament geomètrc que establex la sngulartat de qualsevol model cnemàtc de qualsevol robot amb rodes. Esta regla s'aplca a tots els tpus de robots anterors. - Es desenvolupa el modelatge dnàmc del robot per a, a través de tres successves aproxmacons de la caractertzacó de les frccons en les rodes, arrbar a un modelatge cnemàtc amb llscament. - Es planteja un esquema de control del robot amb tres bucles de control nats (dnàmc, cnemàtc de planfcacó) que es conceptualment smlar als empleats per robots manpuladors. En partcular s aprofundex en el bucle cnemàtc ndrectament en el de planfcacó, al caractertzar les referènces que pot segur cada tpus de robot sense error. - Es presenten experènces de comprovacó dels algortmes de modelatge amb llscament de control del robot, realtzades sobre una plataforma elèctrca ndustral (carretó ndustral). - Fnalment es desenvolupen dos solucons per a les aplcacons d'aparcament en paral lel, amb pre-planfcacó caractertzacó geomètrca, de segument de lína per vsó. Resum 5

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11 ÍNDICE GENERAL. Introduccón.. 3. Introduccón Objetvos de la tess Estructura de la tess Estado del arte Relacones cnemátcas en vehículos con ruedas Introduccón Supuestos consderados Relacones cnemátcas Sstemas de coordenadas Obtencón de la velocdad de deslzamento de rueda Partcularzacón de la ecuacón de rueda Matrz Jacobana de rueda Ecuacón compuesta Ruedas especales Rueda doble y rueda castor doble Rueda tpo bola Rueda ortogonal Resultados más relevantes y conclusones del capítulo 6 Índce general 7

12 8 Índce general 3.A Concdenca nstantánea Modelado cnemátco de vehículos con ruedas sn deslzamento Introduccón Modelado y caracterzacón con espaco nulo Modelado y caracterzacón con rangos Modelado y caracterzacón con matrces Jacobanas de rueda Problema cnemátco drecto Problema cnemátco nverso Solucón nversa acconada Árbol de acconamento Solucón drecta sensorzada Árbol de sensorzacón Dscusón del método de matrces Jacobanas de rueda Demostracones para el método de matrces Jacobanas de rueda Solucón cnemátca amplada Modelado y caracterzacón del vehículo trcclo Resultados más relevantes y conclusones del capítulo Modelos cnemátcos de vehículos y transmsón de errores Introduccón Restrccones al movmento Obtencón de las cnco clases de vehículos Demostracón de las mplcacones de (5.9) ransmsón de errores en los modelos cnemátcos: Isotropía Caracterzacón de las cnco clases de vehículos po (3,0): Vehículo omndrecconal. 7

13 Índce general po 2 (2,0): Vehículo dferencal po 3 (2,): Vehículo con una rueda orentable po 4 (,): Vehículo trcclo y bccleta po 5 (,2): Vehículo con dos ruedas orentables Resultados más relevantes y conclusones del capítulo 4 6. Sngulardad de los modelos cnemátcos de vehículos Introduccón Reformulacón de ecuacones Problemátca de la sngulardad Caracterzacón de la sngulardad Sngulardad de los cnco tpos de vehículos po : Vehículo omndrecconal po 2: Vehículo dferencal po 3: Vehículo con una rueda orentable po 4: Vehículo trcclo y bccleta po 5: Vehículo con dos ruedas orentables Extensón de la caracterzacón de la sngulardad Resultados más relevantes y conclusones del capítulo Modelado cnemátco de vehículos con ruedas con deslzamento Introduccón Modelado dnámco de vehículos con ruedas Modelos de traccón (fuerzas de frccón en las ruedas) Modelos con deslzamento Modelo del movmento quas-estátco Modelo cnemátco con deslzamento Uso práctco del modelo cnemátco con deslzamento 83

14 0 Índce general Solucón de Mínmos Cuadrados ponderada del modelo cnemátco Smulacón y resultados expermentales Carretlla ndustral (trcclo) Estmacón del vector de velocdad del vehículo con el Fltro de Kalman Resultados de smulacón Resultados expermentales Resultados más relevantes y conclusones del capítulo A Fórmulas de Pacejka utlzadas en la smulacón Control cnemátco de vehículos con ruedas Introduccón Esquema global del control del vehículo Control de poscón Modelo cnemátco nverso de rueda Rueda orentable sn ruedas fjas Rueda fja y partcularzacón de rueda orentable Rueda castor Rueda sueca pos de referencas posbles para cada tpo de vehículo Introduccón Vehículo tpo : Omndrecconal Vehículo tpo 2: Dferencal Vehículo tpo 4: rcclo y bccleta Vehículo tpo 3 (una rueda orentable) y tpo 5 (dos ruedas orentables) Resumen de tpos de referencas posbles Aplcacón del control al caso del trcclo. 234

15 Índce general 8.6. Partcularzacón del control Resultados de smulacón Resultados con carretlla ndustral Resultados más relevantes y conclusones del capítulo Aplcacones para el control cnemátco de vehículos con ruedas Introduccón Segumento de línea por vson Posconamento por vsón Control cnemátco para el segumento de línea por vsón Resultados del segumento de línea por vsón Planfcador de aparcamento Introduccón Planfcador de aparcamento en línea Resultados del planfcador en smulacón Resultados más relevantes y conclusones del capítulo Conclusones y trabajos futuros Conclusones rabajos futuros Bblografía

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17 ÍNDICE DE ABLAS Y ALGORIMOS abla 3.- Asgnacón de sstemas de coordenadas utlzada 45 abla 3.2- Nomenclatura de varables y parámetros. 46 abla 5.- Relacón de vehículos no degenerados posbles abla 7.- Nuevas varables y parámetros en (7.). 69 abla 7.2- Nuevas varables y parámetros en (7.7). 70 abla 7.3- Comparatva de cómputo WLS-FK2 y modelo dferencal-fk abla 7.4- Varables y parámetros de la fórmula mágca de Pacejka 205 abla 8.- Referencas posbles según el tpo de vehículo y marco consderados abla 9.- Valores de parámetros para el ejemplo º de aparcamento. 279 abla 9.2- Valores de parámetros para el ejemplo 2º de aparcamento. 280 Algortmo- Deteccón de colsón frontal/trasera 275 Algortmo2- Cálculo de dx de modo que se pase por (x P2, y P2 )= (0,0) 276 Algortmo3- Cálculo del punto de aproxmacón Algortmo4- Cálculo del punto prevo al de aproxmacón Algortmo5- Cálculo de manobras en la fase Índce de tablas 3

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19 ÍNDICE DE FIGURAS Fgura 3.- Rueda sueca con rodllos a 45º. 43 Fgura 3.2- Sstemas de coordenadas utlzados en el vehículo.. 45 Fgura 3.3- Sstemas y varables de la formulacón cnemátca recursva.. 48 Fgura 3.4- Vsta de planta con varables y parámetros defndos en (3.8). 48 Fgura 3.5- Rueda doble y rueda castor doble. 54 Fgura 3.6- Equvalenca entre la rueda doble y la orentable centrada Fgura 3.7- Equvalenca entre la rueda castor doble y la castor. 56 Fgura 3.8- Rueda tpo bola con tres rodllos formando un Rectángulo horzontal. 58 Fgura 3.9- Rueda ortogonal con ensamblaje longtudnal 60 Fgura 3.0- Rueda ortogonal con ensamblaje lateral. 60 Fgura 3.- Ejemplo de bola en movmento en un sstema undmensonal. 62 Fgura 4.- Árbol de solucón de la ecuacón genérca A x = B y. 7 Fgura 4.2- Árbol para el vector de velocdad del vehículo.. 72 Fgura 4.3- Árbol para el vector compuesto de velocdades de rueda.. 73 Fgura 4.4- Árbol de caracterzacón del acconamento del vehículo. 78 Fgura 4.5- Árbol de caracterzacón de la sensorazacón del vehículo.. 8 Fgura 4.6- Asgnacón de sstemas de coordenadas en el vehículo trcclo. 96 Fgura 5.- Vehículo omndrecconal sotrópco con tres ruedas suecas 6 Fgura 5.2- Vehículo omndrecconal quas-sotrópco con tres ruedas castor 9 Índce de fguras 5

20 6 Índce de fguras Fgura 5.3- Vehículo dferencal con rueda sueca Fgura 5.4- Condcones de sotropía para el vehículo dferencal con una rueda sueca. 22 Fgura 5.5- Vehículo dferencal con rueda castor. 23 Fgura 5.6- Condcones de sotropía para el vehículo dferencal con una rueda castor Fgura 5.7- Vehículo con una rueda orentable y dos ruedas suecas. 27 Fgura 5.8- Confguracones sotrópcas para el vehículo tpo 3 con ruedas suecas Fgura 5.9- Vehículo con una rueda orentable y dos ruedas castor Fgura 5.0- Confguracones sotrópcas para el vehículo tpo 3 con ruedas castor Fgura 5.- Vehículo trcclo (una rueda orentable y dos fjas dependentes). 33 Fgura 5.2- Vehículo bccleta con una rueda adconal sueca o castor.. 34 Fgura 5.3- Vehículo con dos ruedas orentables 36 Fgura 6.- Línea defnda por el vector fla de tres elementos = ( ) λ λ x λ y d λ. 50 Fgura 6.2- Sngulardad del vehículo omndrecconal con ruedas suecas. 55 Fgura 6.3- Confguracones sngulares del vehículo omndrecconal con ruedas castor Fgura 6.4- Sngulardad del vehículo tpo 2 con rueda sueca/castor adconal.. 57 Fgura 6.5- Confguracones sngulares comunes para el vehículo tpo Fgura 6.6- Confguracones sngulares para el vehículo tpo 3 con ruedas suecas. 58 Fgura 6.7- Confguracones sngulares para el vehículo tpo 3 con ruedas castor. 58 Fgura 6.8- Confguracones sngulares para el vehículo trcclo Fgura 6.9- Confguracones sngulares para el vehículo bccleta con una rueda sueca/castor adconal. 59 Fgura 6.0- Confguracones sngulares para el vehículo tpo 5 con una rueda sueca/castor adconal. 60

21 Índce de fguras 7 Fgura 7.- Fenómenos estátcos en la frccón.. 73 Fgura 7.2- Rueda con frccón dstrbuda o puntual.. 74 Fgura 7.3- Coefcente de adhesón para frccón de Coulomb y aproxmada con (7.28).. 75 Fgura 7.4- Coefcentes admsbles para el caso bdmensonal de Coulomb. 76 Fgura 7.5- Curva propuesta en [Dugoff et al. 70] para el coefcente de frccón en dstntas condcones de velocdad y adherenca 77 Fgura 7.6- Curva estátca para el coefcente de frccón lateral vs. ángulo de deslzamento Fgura 7.7- Carretlla ndustral Nchyu FB5 sere Fgura 7.8- Vsta de planta de la carretlla ndustral con la representacón esquemátca tpo trcclo Fgura 7.9- Dferenca entre los elementos del vector de velocdad del vehículo al calcularlos con MCD y con WLS optmzado 93 Fgura 7.0- Vector de velocdad calculado con MCD para los 55 puntos 94 Fgura 7.- Error numérco medo cometdo en (7.63) al calcular el vector de velocdad calculado con MCD. 94 Fgura 7.2- Camnos obtendos con MD, MQE, MCD y WLS para pares nulos y condcones ncales no nulas.. 95 Fgura 7.3- Camnos obtendos con MD, MQE, MCD y WLS con pares de rotacón no nulos y condcones ncales no nulas.. 96 Fgura 7.4- Evolucón de los elementos del vector de velocdad del vehículo según el MD para el segundo ejemplo de smulacón. 97 Fgura 7.5- Camno obtendo con WLS optmzado y no optmzado al recorrer aproxmadamente un rectángulo. 99 Fgura 7.6- Meddas de velocdades en las ruedas fjas y en la orentacón de la rueda orentable en expermento del rectángulo Fgura 7.7- Camno obtendo con el FK optmzado y no optmzado para los datos de la Fgura Fgura 7.8- Camno obtendo con el FK2 optmzado y no optmzado para los datos de la Fgura

22 8 Índce de fguras Fgura 7.9- Camnos obtendos con WLS, el FK, el FK2 y el modelo dferencal para dstntos expermentos tpo rectángulo Fgura Camnos obtendos con WLS, el FK, el FK2 y el modelo dferencal para el segundo tpo de camno en forma de trabuzón 203 Fgura 7.2- Camnos obtendos con WLS, el FK, el FK2 y el modelo dferencal para el tercer tpo de camno en forma de D Fgura Camnos obtendos con WLS, el FK, el FK2 y el modelo dferencal para el cuarto tpo de camno en forma de ocho. 204 Fgura Camnos obtendos con WLS, el FK, el FK2 y el modelo dferencal para el qunto tpo de camno en forma de trple bucle 204 Fgura Interfaz del termnal táctl ncorporado en la carretlla ndustral. 205 Fgura Coefcente longtudnal en deslzamento longtudnal puro y velocdad longtudnal de rueda entre y 8 m/s Fgura Coefcente lateral en deslzamento lateral puro y velocdad longtudnal de rueda entre y 9 m/s 20 Fgura Coefcente de adhesón longtudnal en deslzamento combnado. 2 Fgura Proyeccón de las curvas de nvel del coefcente de adhesón longtudnal en deslzamento combnado respecto al ángulo de deslzamento Fgura Coefcente de adhesón lateral en deslzamento combnado.. 22 Fgura Proyeccón de las curvas de nvel del coefcente de adhesón lateral en deslzamento combnado respecto al rato de deslzamento Fgura 8.- Esquema general de control del vehículo. 28 Fgura 8.2- Ejemplos de funcón: f no es C 0 ; f 2 es C 0 pero no C Fgura 8.3- Varables del camno en un punto de tangente contnua Fgura 8.4- Varables y parámetros de la carretlla ndustral. 234 Fgura 8.5- Ejemplo º de segumento de referenca: camno segudo por la referenca, orgen de R y punto medo de las rueda fjas Fgura 8.6- Orentacón β 3, error en x y error en y para ejemplo º 236

23 Índce de fguras 9 Fgura 8.7- Ejemplo 2º de segumento de referenca: camno segudo por la referenca, orgen de R y punto medo de las rueda fjas Fgura 8.8- Orentacón β 3, error en x y error en y para ejemplo 2º 237 Fgura 8.9- Experencas de segumento de trayectora rectlínea: camno segudo por referenca, orgen de R y punto medo ruedas fjas Fgura 8.0- Orentacón β 3, error en x y error en y en caso de recta 24 Fgura 8.- Experenca de segumento de trayectora crcular: camno segudo por referenca, orgen de R y punto medo ruedas fjas Fgura 8.2- Orentacón β 3, error en x y error en y para el círculo 242 Fgura 9.- Modelo básco de formacón de magen. 250 Fgura 9.2- Relacón entre el sstema de coordenadas del suelo y el de la cámara.. 25 Fgura 9.3- Vsta de planta del vehículo, cámara, línea a segur y sus sstemas de coordenadas Fgura 9.4- Vsta de perfl de la cámara, línea a segur y sus sstemas de coordenadas Fgura 9.5- Posbldades de líneas de segumento. 254 Fgura 9.6- Stuacón de calbracón 256 Fgura 9.7- Ejemplo de calbracón 258 Fgura 9.8- Líneas detectadas en ejemplo de posconamento con sstema calbrado 259 Fgura 9.9- Posconamentos obtendos. 260 Fgura 9.0- Posconamento en campo de chufas Fgura 9.- ransformada de Hough de la Fgura 9.0 (b).. 26 Fgura 9.2- Posconamento obtendo con sstema de vsón. 262 Fgura 9.3- razados en segumento de línea smulado: Referenca, P ó orgen de R y punto medo de las ruedas fjas 264 Fgura 9.4- Evolucón de las velocdades de control de las ruedas fjas del vehículo dferencal en el segumento de línea smulado

24 20 Índce de fguras Fgura 9.5- Vehículo de pruebas tpo dferencal 266 Fgura 9.6- Interfaz desarrollada para el segumento de línea 267 Fgura 9.7- Fases del aparcamento. 269 Fgura 9.8- Parámetros geométrcos del espaco de aparcamento. 270 Fgura 9.9- Parámetros geométrcos del vehículo tpo coche 27 Fgura Descrpcón del CIR y dstancas d, d 2, d 3 y d Fgura 9.2- Relacón entre el ángulo θ y la poscón de P 273 Fgura Desplazamento entre dos arcos smétrcos de valor ξ 273 Fgura Característcas de la colsón en la prmera manobra Fgura Manobra preva para alcanza el punto de posconamento. 277 Fgura Interfaz de los parámetros del vehículo Fgura Interfaz de los parámetros del espaco de aparcamento Fgura Ejemplo º de aparcamento con el planfcador desarrollado Fgura Ejemplo 2º de aparcamento con el planfcador desarrollado Fgura Zoom del ejemplo 2º de aparcamento.. 28 Fgura Relacón manobras-rato en el ejemplo º de aparcamento 28 Fgura 9.3- Vehículo eléctrco de pruebas sobre el que mplementar el Planfcador de aparcamento desarrollado

25 NOACIÓN A contnuacón se ndcan los símbolos utlzados, agrupados según el capítulo donde aparecen por prmera vez. En el Capítulo 3 p ṗ R R S L M E Postura del vehículo Vector de velocdad del vehículo Sstema de coordenadas del vehículo Sstema de coordenadas estaconaro y concdente con el R Sstema de coordenadas del brazo de dreccón de la rueda Sstema de coordenadas de la rueda Sstema de coordenadas del rodllo de la rueda Sstema de coordenadas entre rodllo de la rueda y el suelo E G R E R R R E Sstema de coordenadas estaconaro y concdente con el E Sstema de coordenadas global estaconaro v Velocdad de deslzamento entre el rodllo y el suelo respecto al sstema R v v Velocdad de deslzamento entre el rodllo y el suelo respecto al sstema E v v ω β ϕ ϕ r r rr E Rx Ry R slp v Velocdad del vehículo respecto a la coordenada X del sstema R x v Velocdad del vehículo respecto a la coordenada Y del sstema R y ω Velocdad angular del vehículo Velocdad angular del brazo de dreccón de rueda respecto a la plataforma Velocdad de rotacón de la rueda Velocdad de rotacón del rodllo Rado equvalente de la rueda Rado del rodllo Notacón 2

26 22 Notacón Rot ( ) Matrz bdmensonal de rotacón l d α β δ Dstanca del orgen del sstema del vehículo al eje de artculacón de la dreccón de la rueda Dstanca del eje de artculacón de dreccón al centro de la rueda Ángulo entre el vector defndo por l y el sstema del vehículo R Ángulo del brazo de dreccón Ángulo entre el brazo de dreccón y la rueda γ Ángulo entre la rueda y el rodllo cos( ) c Funcón coseno sn( ) s Funcón seno Rot ( ) Matrz de rotacón trdmensonal en el eje Z G θ R R v q J J w R Z Orentacón del vehículo Velocdad lneal del vehículo respecto al sstema R Vector de velocdad de rueda Matrz Jacobana de rueda Matrz Jacobana compuesta Ι Matrz compuesta de matrces dentdad de dmensón 3 f Subíndce de rueda fja o Subíndce de rueda orentable c Subíndce de rueda castor s Subíndce de rueda sueca N Número de ruedas del vehículo q Vector de todas las velocdades de ruedas w v Vector de todas las velocdades de deslzamento de rueda A q slp A p Matrz compuesta del vehículo Vector de todas las velocdades (de ruedas y del vehículo) Parte de la matrz compuesta que multplca al vector ṗ A w Parte de la matrz compuesta que multplca al vector q w En el Capítulo 4 N( ) B η m k Espaco nulo Base del espaco nulo de la matrz compuesta del vehículo Vector de movldad del vehículo Grado de movldad del vehículo Número de velocdades (de ruedas y del vehículo)

27 Notacón 23 g q a q B na a na Rango de la matrz compuesta del vehículo Vector de velocdades asgnadas Vector de velocdades no asgnadas Submatrz de B defnda por las velocdades asgnadas B Submatrz de B defnda por las velocdades no asgnadas β β l l o c 2 3 r ( ) H G w J p q p u nu s ns Vector de todos los ángulos de las ruedas orentables Vector de todos los ángulos de las ruedas castor Semdstanca entre las ruedas fjas para el vehículo tpo trcclo Dstanca entre la rueda orentable y el orgen del sstema R para el vehículo tpo trcclo Rado de las tres ruedas del vehículo tpo trcclo Funcón auxlar para el cálculo del error resdual obtendo al aplcar el algortmo de Mínmos Cuadrados Número de velocdades de rueda ndependentes Número de velocdades del vehículo ndependentes Número de velocdades de la rueda Reordenacón de matrz Jacobana compuesta según acconadas Reordenacón del vector de velocdades de rueda según acconadas Subíndce de acconadas Subíndce de no acconadas Subíndce de sensorzadas Subíndce de no sensorzadas En el Capítulo 5 K r * K r Matrz de restrccones al movmento del vehículo Matrz de restrccones al movmento del vehículo debdas a las ruedas fjas y orentables K Matrz de restrccones al movmento del vehículo debdas a las fjas * rf * K ro Matrz de restrccones al movmento del vehículo debdas a orentables N Número de ruedas fjas en el vehículo f N o Número de ruedas orentables en el vehículo m Grado de movldad del vehículo d Grado de drecconabldad del vehículo H Matrz de relacón entre vector de salda y vector de entrada κ Número de condcón de una matrz Norma Euclídea 2

28 24 Notacón Pseudo nversa de una matrz σ Valor sngular más grande de la matrz max σ mn Valor sngular más pequeño de la matrz q Velocdades no asgnadas utlzadas para sotropía na_s q na_ns Velocdades no asgnadas no utlzadas para sotropía B na_s Submatrz defnda por las velocdades no asgnadas utlzadas en sotropía B na_ns Submatrz defnda por las velocdades no asgnadas no utlzadas en sotropía En el Capítulo 6 E F F β F ϕ Vector de la ecuacón de rueda que multplca al vector de velocdad del vehículo ṗ y cuyo resultado es gual a cero Vector de la ecuacón de rueda que multplca a ṗ y cuyo resultado se guala a la velocdad de rotacón Vector de la ecuacón de rueda que multplca a ṗ y cuyo resultado se guala a la velocdad de orentacón Vector de la ecuacón de rueda que multplca a ṗ y cuyo resultado se guala a la velocdad de orentacón y a la de rotacón E Agrupacón de vectores E F Agrupacón de vectores F r Matrz con los rados de las ruedas y dstancas del brazo de dreccón de las ruedas castor a Subíndce de asgnadas na Subíndce de no asgnadas sg Subíndce de ruedas omndrecconales sngulares nsg Subíndce de omndrecconales no sngulares G ( λx λy d λ ) Matrz que se multplca por ṗ y cuyo resultado es gual a cero λ = Vector fla que representa una recta en el espaco bdmensonal (λ x λ y ) Vector untaro bdmensonal de una recta d λ Dstanca de una recta bdmensonal al orgen

29 Notacón 25 En el Capítulo 7 F frc_c Fuerza de frccón debda a la ley de Coulomb µ c Coefcente de frccón o adhesón debdo a la ley de Coulomb P Potenca dspada por las fuerzas de frccón v ds b frc_b Velocdad de un bloque lbre en una dmensón F Fuerza de frccón sobre bloque P ds_b Potenca dspada por fuerza de frccón sobre bloque Energía cnétca del vehículo Q Vector de fuerzas generalzadas sobre el vehículo N Número de ruedas orentables en el vehículo N N τ r o c s os Número de ruedas castor en el vehículo Número de ruedas suecas en el vehículo Par de rotacón de la rueda τ Par de drecconamento de la rueda orentable τ Par de drecconamento de la rueda castor cs β o β c frc G ṗ Velocdad de drecconamento de la rueda orentable Velocdad de drecconamento de la rueda castor F Fuerza de frccón en la rueda respecto al sstema E Vector de velocdad del vehículo respecto al sstema global G R ṗ Vector de velocdad del vehículo respecto al sstema concdente τ Vector de pares agrupados F Agrupacón de las fuerzas de frccón en las ruedas M frc Mc I Ir Irr Ios Ics G G G CM Masa del vehículo sn nclur las ruedas castor Masa de la rueda castor Momento de nerca del vehículo sn nclur las ruedas castor Momento de nerca de la ruedas respecto a su eje de rotacón Momento de nerca del rodllo de la rueda sueca Momento de nerca de la rueda orentable respecto al eje Z Momento de nerca de toda la rueda castor respecto al eje Z v Velocdad del CM del vehículo (sn nclur castor) respecto a G v f j F N R cm Velocdad del orgen del sstema R del vehículo respecto al sstema G v Velocdad de la rueda castor respecto al sstema global G G Funcones para rueda castor que dependen de l, d, α, θ, y β. cm R Fuerza de reaccón en el punto de contacto entre rueda y suelo

30 26 Notacón F frc a Fuerza de frccón en la coordenada a µ a Coefcente de frccón o adhesón en la coordenada a µ Coefcente de frccón o adhesón vectoral * µ Coefcente de frccón vectoral que maxmza el rato de dspacón µ y Coefcente de frccón longtudnal en la rueda µ x Coefcente de frccón lateral en la rueda s Rato de deslzamento longtudnal v Velocdad longtudnal del centro de la rueda α s wheel y R v G q R q R Ángulo de deslzamento Subíndce que ndca el valor estaconaro de una varable o vector Velocdad del sstema R del vehículo respecto su concdente Vector de velocdades con vector de velocdad del vehículo respecto a G Vector de velocdades con vector de velocdad del vehículo respecto a R τ raj Par de rotacón no lbre de la rueda j τ csaj Par de dreccón no lbre de la rueda castor j ϕ raj β caj Velocdad de rotacón no lbre de rueda j Velocdad de dreccón no lbre de rueda castor j f frc ( ) Funcón genérca bdmensonal para el cálculo de fuerza de frccón µ Matrz de ponderacón de la ecuacón cnemátca sn deslzamento µ Matrz de ponderacón de las ecuacones cnemátcas de la rueda J Índce mnmzado por el algortmo de mínmos cuadrados LS l Dstanca del CM de la carretlla al eje de rotacón de las ruedas fjas CM A Matrz de velocdades asgnadas con ponderacón de ecuacones µa A µna Matrz de velocdades no asgnadas con ponderacón de ecuacones ( µ, µ ) Coefcentes de frccón lateral y longtudnal de ruedas fjas de carretlla x2 y2 µ x3 Coefcente de frccón lateral de la rueda orentable de la carretlla k Constante de relacón entre coefcentes de frccón µ x2 y µ y2 k 2 Constante de relacón entre coefcentes de frccón µ x2 y µ x3 Perodo del sstema de adquscón de meddas y Vector de salda para el FK en el nstante dscreto k k C Matrz de salda para el FK en el nstante dscreto k k y Vector de salda para el FK2 en el nstante dscreto k 2k C Matrz de salda para el FK2 en el nstante dscreto k Q 2k k Matrz de covaranza de rudo en el proceso en el nstante k

31 Notacón 27 R k P k K k Matrz de covaranza de rudo en la medda en el nstante k Matrz de covaranza del error en el nstante k Matrz de correccón o de gananca en el nstante k k 3 Desvacón típca del rudo en los elementos del vector ṗ de la ecuacón de estado k Desvacón típca del rudo en la velocdad de las ruedas fjas para el FK 4 k 5 Desvacón típca del error de la ecuacón correspondente a la coordenada perpendcular de la rueda orentable para el FK k 6 Desvacón típca del error de la ecuacón correspondente a la coordenada perpendcular de las ruedas fjas para el FK2 k Desvacón típca del rudo en la velocdad de las ruedas fjas para el FK2 7 k 8 Desvacón típca del error de la ecuacón correspondente a la coordenada perpendcular de la rueda orentable para el FK2 J Índce de error del modelo de movmento quas-estátco en smulacón MQE J MCD Índce de error del modelo cnemátco con deslzamento en smulacón J WLS Índce de error de la solucón de mínmos cuadrados ponderada en smulacón J k k 7 k k Índce de error para los camnos obtendos con WLS, FK, FK2 y el modelo dferencal en los expermentos reales Factor de pco de la fórmula mágca de Pacejka Factor de forma de la fórmula mágca de Pacejka Factor de rgdez de la fórmula mágca de Pacejka k Factor de curvatura de la fórmula mágca de Pacejka En el Capítulo 8 p ref Postura de referenca establecda por el planfcador ṗ Vector de velocdad del vehículo a consegur por control dnámco ϕ control ref Velocdad de rotacón a consegur por el control dnámco β ref Velocdad de dreccón a consegur por control dnámco β Orentacón de rueda orentable a consegur por control dnámco V ref τ ϕ s ensones aplcadas a los actuadores Pares aplcados por los actuadores Velocdad de rotacón sensorzada

32 28 Notacón β s Velocdad de dreccón sensorzada β Orentacón sensorzada de rueda s β Orentacón de rueda castor con alguna velocdad de rueda acconada A B castor c c Matrz dagonal del control de poscón Matrz dagonal del control de poscón a c Polos asgnados por el control de poscón Perodo del sstema de adquscón de meddas y control G θ θ R Orentacón del vehículo R ṗ G ṗ G G v v x y f ( θ ) 0 C n C χ v a ω g κ c ρ c Vector de velocdad del vehículo respecto al sstema concdente R Vector de velocdad del vehículo respecto al sstema global G Velocdad del vehículo respecto a la coordenada X del sstema global G Velocdad del vehículo respecto a la coordenada Y del sstema global G Funcón genérca que sólo depende de la varable θ 0 Una funcón es C s es contnua n Una funcón es C s su dervada enésma es contnua Ángulo que forma el vector tangente al camno o curva con el eje X Velocdad de avance de la trayectora 2D Velocdad de gro de la trayectora 2D Curvatura del camno Rado de curvatura del camno C c Centro de curvatura del camno e Dstanca entre el punto que hace el segumento (orgen de R) y el eje de rotacón de las ruedas fjas de la carretlla G x Poscón de referenca del vehículo respecto a la coordenada X de G G G R ref y Poscón de referenca del vehículo respecto a la coordenada Y de G R ref v Velocdad de control de la coordenada X del vector ṗ x control v Velocdad de control de la coordenada Y del vector ṗ G y control a x a y Polo asgnado a la dnámca de la coordenada X del vector ṗ Polo asgnado a la dnámca de la coordenada Y del vector ṗ

33 Notacón 29 En el Capítulo 9 ( X c, Yc, Z c ) Sstema de coordenadas de la cámara ( xc, yc, z c ) Poscón de un punto respecto al sstema de coordenadas de la cámara ( X, Y ) Sstema de coordenadas del plano de la magen u u ( xu, y u ) Poscón de un punto en el plano de la magen f Dstanca focal efectva de la cámara ( x, y ) Poscón de un punto en el plano de la magen en coordenadas de píxel p p ( C, C ) Coordenadas en píxeles del centro del plano magen x y (d x,d y ) amaño de los elementos sensores de la cámara en los dos ejes ( X w, Yw, Z w ) Sstema de coordenadas del suelo ( xw, yw, z w ) Poscón de un punto respecto al sstema de coordenadas del suelo ( tx, t y, t z ) Vector de desplazamento entre los sstemas de la cámara y el del suelo φ Ángulo de nclnacón de la cámara respecto a la vertcal ψ Ángulo de gro entre el sstema de la cámara y el del suelo v Altura del objetvo de la cámara respecto a la línea a segur P Punto soldaro al vehículo pertenecente al eje del objetvo de la cámara que se quere que haga el segumento z P Dstanca del punto P al objetvo de la cámara h Dstanca entre P y la línea a segur d Dstanca real de separacón entre líneas paralelas a segur n Parámetro que ndca la línea a segur de entre las que son paralelas ( x, x,a) Valores de plano magen para poder aplcar sstema de calbracón 2 ( xw, y w ) Valores de plano real para poder aplcar sstema de calbracón J Anchura del espaco de aparcamento H Longtud del espaco de aparcamento MS Margen de segurdad con los obstáculos J' Ancho efectvo del espaco de aparcamento H' Longtud efectva del espaco de aparcamento a Dstanca entre el eje trasero de ruedas y la parte delantera del vehículo b h d c r φ d d max Dstanca entre el eje trasero de ruedas y la parte de atrás del vehículo Dstanca entre el eje trasero de ruedas y el centro de la rueda orentable Dstanca entre los centros de las ruedas fjas Ancho del vehículo Rado de las ruedas Orentacón de la rueda de dreccón equvalente φ Máxma orentacón posble de la rueda de dreccón equvalente P f Punto fjo entre las ruedas fjas que sgue la trayectora

34 30 Notacón CIR Centro nstantáneo de rotacón del vehículo ρ Rado de gro, desde el CIR hasta el punto P f P Esquna del vehículo d Dstanca del CIR a la esquna del vehículo P ξ Ángulo de cada uno de los arcos smétrcos de una manobra dx Dstanca del punto P f al obstáculo delantero al ncar prmera manobra dx 2 Separacón ncal entre el punto P f y los obstáculos delantero y trasero dy 3 Dstanca recorrda en pasada de reconocmento a partr de la deteccón del obstáculo delantero W max Dstanca actual dsponble al obstáculo lateral rato Medda porcentual del espacó longtudnal dsponble para el aparcamento

35 CAPÍULO INRODUCCIÓN. INRODUCCIÓN Una de las temátcas cláscas del área de conocmento de Ingenería de Sstemas y Automátca es la robótca. El mundo de la robótca está expermentando un crecmento explosvo mpulsado por los avances en computacón, sensores, electrónca, comuncacones y software. Los robots están en la antesala de revoluconar los procedmentos que se emplean en la agrcultura, mnería, ndustra en general, etc. atrayendo los dstntos mercados. Dentro de la robótca se encuentra el campo de los robots manpuladores, que ha expermentado un alto desarrollo desde la década de los setenta, y la denomnada robótca móvl, que ha cobrado una mportanca crecente durante los años ochenta y noventa. anto en los robots manpuladores como en la robótca móvl exsten puntos de nterés común: el modelado cnemátco, el modelado dnámco, el control (arqutecturas, algortmos ), la planfcacón, el reconocmento del entorno, etc. En el caso de robots manpuladores exste ya una abundante bblografía que aborda los aspectos anterores, mentras que para robots móvles todavía se están realzando un consderable número de nvestgacones y desarrollos al respecto. Así pues, la presente tess surge ante la necesdad de dar respuesta a las cuestones cnemátcas (modelado, control, ) de los robots móvles con ruedas. Capítulo. Introduccón 3

36 32 Capítulo. Introduccón.2 OBJEIVOS DE LA ESIS En el año 2000 se establecó como meta de la presente tess doctoral el estudo de aquellas cuestones relaconadas con la cnemátca de robots móvles con ruedas. Durante el desarrollo de la tess se han do planteando y resolvendo objetvos concretos. A contnuacón se descrben los objetvos prncpales de la tess: Desarrollar una metodología completa de modelado cnemátco de vehículos sn deslzamento, mejorando (y unfcando en algunos casos) lo desarrollado por otros autores. (Capítulos 3 y 4) Proporconar una completa guía sobre los modelos cnemátcos de vehículos, su transmsón de errores (Isotropía) y condcones de sngulardad. (Capítulos 5 y 6) Establecer un modelado cnemátco con deslzamento a partr, a dferenca de otros autores, de prncpos físcos. (Capítulo 7) Obtener un método de control cnemátco que anule el error en el segumento de referencas para cualquer tpo de vehículo. (Capítulo 8) Plantear solucones a dos aplcacones concretas, el segumento de línea por vsón y el aparcamento en paralelo, sobre las que poder aplcar el control cnemátco anteror. (Capítulo 9)

37 Capítulo. Introduccón 33.3 ESRUCURA DE LA ESIS La presente tess doctoral está organzada en dez capítulos, ncluyendo éste. El Capítulo 2, estado del arte, es prelmnar y representa una mrada de conjunto a las dstntas temátcas de la tess. La revsón anteror se completa de forma pormenorzada en el resto de capítulos, fundamentalmente en su ntroduccón partcular, lo que permte encauzar el desarrollo de los msmos. El últmo punto de cada capítulo presenta las aportacones y conclusones correspondentes al msmo. En el Capítulo 3 se deducen las relacones cnemátcas entre varables de rueda y vehículo para una rueda genérca, que ncluye los tpos habtuales (fja, orentable, castor, sueca), empleando una efcente formulacón cnemátca recursva. En el Capítulo 4 se presentan tres métodos para generar modelos cnemátcos de vehículos con ruedas sn deslzamento, los cuales son aplcados al vehículo tpo trcclo y comparados. En el Capítulo 5 se deduce una clasfcacón genérca de vehículos para los que se obtene su caracterzacón, modelado cnemátco y transmsón de errores a través del concepto de sotropía. En el Capítulo 6 se obtene un planteamento geométrco general que caracterza la sngulardad de cualquer modelo cnemátco de cualquer vehículo con ruedas, este planteamento se aplca a los cnco tpos de vehículos deducdos en el capítulo anteror. En el Capítulo 7 se deducen tres tpos de modelos con deslzamento a partr de sucesvas aproxmacones del modelo dnámco del vehículo. Estos modelos se comparan, para el vehículo trcclo, con el modelo dnámco en smulacón y con el fltro de Kalman en una stuacón real. En el Capítulo 8 se presenta un control cnemátco de vehículos basado en tres bucles andados y se caracterzan las referencas que puede segur sn error cada tpo de vehículo. El control cnemátco anteror se partcularza para el caso del vehículo trcclo, probándose tanto en smulacón como en una stuacón real.

38 34 Capítulo. Introduccón En el Capítulo 9 se ha dado solucón a dos aplcacones robótcas concretas: el segumento de línea por vsón y el aparcamento en línea. Fnalmente en el Capítulo 0 se destacan las conclusones más relevantes y se propone una sere de trabajos futuros para dstntas líneas de la tess.

39 CAPÍULO 2 ESADO DEL ARE Con objeto de no descontextualzar la revsón bblográfca, dada la dspardad de capítulos, aquí se plantea una vsón de conjunto sobre las dstntas temátcas de la tess. Posterormente, en la ntroduccón partcular de cada capítulo se realza un estudo más detallado de las dstntas referencas o fuentes que permte encauzar los desarrollos del capítulo en cuestón. El modelado y el control son puntos de nterés tanto en robots manpuladores como en robots móvles. En el caso de los robots manpuladores exste una abundante bblografía, ver por ejemplo [Fu et al. 88] y [Ollero 0], que aborda su modelado cnemátco, dnámco y/o control. La mayor parte de los robots manpuladores son brazos artculados y tradconalmente se modelan, desde el punto de vsta cnemátco, con matrces de transformacón homogénea entre sstemas de coordenadas. Para el modelado dnámco se manejan dstntas formulacones y métodos: Lagrange-Euler, Newton-Euler, ecuacones generalzadas de d Alambert, etc. Para mejorar sus prestacones se nvestga en técncas para dentfcar los modelos dnámcos efcentemente y en métodos de control de artculacones que compensan no-lnealdades y acoplamentos [An et al. 88], así como en optmzacón dnámca y control adaptatvo para dstntas condcones de trabajo [Crag 88] [Ortega et al. 89]. Capítulo 2. Estado del arte 35

40 36 Capítulo 2. Estado del arte Por otro lado, para la robótca móvl exste una recente bblografía, ver por ejemplo [Inoue et al. 97] [Lyshevsk et al. 00] [O Connor et al. 96] [Canudas et al. 97] [Samson 95], que aborda su modelado cnemátco, dnámco y/o control. Desde el punto de vsta del modelado cnemátco de vehículos con ruedas, las publcacones que han causado un mayor mpacto hasta ahora son [Mur et al. 87] [Campon et al. 96] [Alexander et al. 89], referdas en un gran número de publcacones y lbros. Práctcamente sólo en [Mur et al. 87] se plantea un método sstemátco basado en matrces de transformacón homogénea, de forma análoga al caso de robots manpuladores, para obtener las relacones cnemátcas entre las varables de rueda y del vehículo, lo cual permte un posteror modelado del vehículo en su conjunto. En el Capítulo 3 de la tess se plantea una forma más genérca y efcente de obtener las relacones anterores, utlzando una formulacón cnemátca recursva. Posterormente en [Mur et al. 87] se realza un estudo del modelo del vehículo aplcando un tratamento de ecuacón algebraca matrcal genérca y grafos en forma de árbol. En [Campon et al. 96] fundamentalmente se realza una clasfcacón de todos los vehículos en cnco tpos báscos y se obtenen modelos cnemátcos drectos con varables de entrada sn sentdo físco. Esta clasfcacón genérca se utlza en varos capítulos de la tess (5, 6 y 8). En [Alexander et al. 89] se plantean modelos cnemátcos drectos e nversos parcales para relaconar varables de rueda y del vehículo, no permtendo una perspectva global del vehículo. Por otra parte la transmsón de errores en los modelos cnemátcos drectos o nversos, cuando se consdera un error de entrada, ha sdo estudada por dstntos autores a través de la caracterzacón de matrces sotrópcas [Saha et al. 95] [Low et al. 05] [Km2 et al. 04] [Km et al. 05]. Otros autores la han estudado desde un punto de vsta empírco para la correccón de errores sstemátcos [Borensten et al. 94] o estmacón de dstntos parámetros del error [Martnell 02] [Kleeman 95].

41 Capítulo 2. Estado del arte 37 Un aspecto mportante es que los modelos cnemátcos dependen de los ángulos de las ruedas con artculacón de dreccón, por lo que hay valores especales de estos ángulos para los que se produce la sngulardad del modelo, que mplca deslzamento o pérdda de movldad en el vehículo. La sngulardad de robots manpuladores ha sdo amplamente estudada [ourasss et al. 92] [Dnesh et al. 92] [Lu et al. 03] [Lpkn et al. 9] mentras que en vehículos sólo exste alguna pequeña aproxmacón [Y et al. 02]. Por otro lado, la necesdad de consderar modelos cnemátcos con deslzamento puede venr dada por una redundanca en la nformacón de sensores, de forma smlar al fltro de Kalman, o por una sobre-actuacón en el vehículo. En [Mur et al. 87] se consdera una solucón cnemátca con nformacón redundante que vola el modelo de sóldo rígdo del vehículo, mentras que la propuesta en [Km et al. 04] mnmza una norma Euclídea sn un sentdo físco defndo. En [ham et al. 98] se consderan varas relacones cnemátcas con varables de deslzamento sn una justfcacón rgurosa. Fnalmente en [Alexander et al. 89] se propone mnmzar una funcón de dspacón que en general no produce una solucón correcta y que no tene en cuenta fuerzas externas. Otros autores han abordado el modelado dnámco de vehículos con deslzamento [Balakrshna et al. 95] [Wllams et al. 02] [Lndgren et al. 02]. Para el control del vehículo o robot móvl algunos autores han planteado métodos geométrcos [Ollero et al. 94] [Shn 90] y otros la utlzacón de herramentas de la teoría de control clásca: aproxmacón lneal [O Connor et al. 96]; lnealzacón exacta [d'andréa-novel et al. 95] [De Luca et al. 93] [Park et al. 99] [zafestas et al. 0]; controlabldad [Samson 95] [Monaco et al. 9] [Murray et al. 93]; establdad por Lyapunov [Lyshevsk et al. 00] [Canudas et al. 97] [Dxon et al. 00]; control adaptatvo [Inoue et al. 97] [Dxon et al. 0] [Fukao et al. 00]; control predctvo [Ollero et al. 9]; etc. Por otro lado, el segumento de línea es una aplcacón habtual en robótca móvl, utlzándose normalmente cables o sensores óptcos. Con los últmos avances tecnológcos se ha do ncrementando el uso de sstemas de vsón para

42 38 Capítulo 2. Estado del arte esta aplcacón. La vsón tene algunas ventajas respecto a los otros métodos aunque con el nconvenente del coste computaconal asocado al tratamento de magen: umbralzado, segmentacón, deteccón de contornos, etc. Para mejorar dcho tratamento se utlzan herramentas como la transformada de Hough [Hough 59]. En [Marchant 95] se establece el posconamento a partr de un sstema de vsón respecto a una línea, para lo cual se realza una aproxmacón (nnecesara como demuestra el Capítulo 9) que da lugar a relacones nexactas. Por otra parte, para el aparcamento en línea se pueden utlzar planfcadores de propósto general [Latombe 9] [Laumond et al. 94], con alto coste computaconal, o planfcadores más específcos [lbury et al. 93] [Zhao et al. 05] [Paromtchk et al. 96] [Jang et al. 99] [Holve et al. 96] [Myata et al. 96] [Baturone et al. 04] [Cuesta et al. 04]. En concreto en [Paromtchk et al. 96] [Jang et al. 99] se realza el aparcamento con una preplanfcacón de tres fases y accones de control preestablecdas o caracterzacón geométrca. La caracterzacón geométrca de [Jang et al. 99] es ncompleta, además de no optmzarse determnados parámetros del aparcamento.

43 CAPÍULO 3 RELACIONES CINEMÁICAS EN VEHÍCULOS CON RUEDAS 3. INRODUCCIÓN El prmer paso para obtener modelos cnemátcos para dstntos tpos de vehículos, ben sean con o sn deslzamento, es consegur las relacones cnemátcas entre los dstntos tpos de varables que ntervenen en el vehículo. Dchas varables son ([Campon et al. 96] [Mur et al. 89]): Asumendo movmento horzontal, la poscón de la estructura del vehículo queda completamente defnda con tres varables escalares, dos lneales y otra angular (ej. x, y, θ), cuya forma vectoral (ej. p) se denomna postura del vehículo. Su dervada de prmer orden respecto al tempo ( ṗ ) se denomna vector de velocdad del vehículo, y separadamente (v x, v x, ω ) velocdades del vehículo. De gual modo, las artculacones de dreccón y rotacón de la rueda dan lugar al vector de velocdad de rueda y a las velocdades de rueda. Varas publcacones han abordado el modelado de una rueda como paso prevo al modelado de todo el vehículo. Capítulo 3. Relacones cnemátcas 39

44 40 Capítulo 3. Relacones cnemátcas Quzás, [Mur et al. 89] sea la metodología de modelado más destacada, donde se emplean matrces de transformacón homogénea para relaconar sstemas de coordenadas, de forma análoga al caso tradconal de robots manpuladores. El resultado es una relacón (matrz Jacobana de rueda) entre el vector de velocdad del vehículo y las velocdades de rueda. Sn embargo, lo planteado en [Mur et al. 89] tene los sguentes nconvenentes: Se consderan tres ecuacones por rueda, cuando realmente sólo hay dos restrccones (bajo el supuesto de no deslzamento) por rueda. Esto se debe a ntroducr una varable de velocdad de rueda sn sentdo práctco, ya que no puede ser sensorzada n actuada. Esto produce un coste computaconal nnecesaro, además de una nconsstenca cnemátca al calcular la evolucón del vehículo con nformacón redundante, como se muestra en el capítulo de modelado con deslzamento. Por todo ello, se debería haber susttudo la tercera ecuacón en las otras dos. La rotacón de rueda se ncluye consderando un fctco par planar entre la rueda y la superfce. Este nnecesaro y ad-hoc procedmento contrasta con la sstemátca empleada de matrces de transformacón. En su lugar se deberían utlzar dos sstemas de coordenadas adconales, como se propone en [Shn et al. 0]. Se asume no deslzamento nnecesaramente pronto, por lo que se complca la dentfcacón del msmo en etapas posterores. [Rajagopalan 97] contnua el método de matrces de transformacón de [Mur et al. 89] y lo extende a un nuevo tpo de rueda, con la columna de dreccón nclnada y desplazada. Otros estudos cnemátcos relevantes son [Alexander et al. 89] y [Campon et al. 96]. En concreto, [Alexander et al. 89] utlza un planteamento vectoral para modelar la rueda, sólo valdo para ruedas fjas y orentables (centradas). Mentras que [Campon et al. 96] no justfca las relacones cnemátcas de rueda utlzadas, que son la clave para la clasfcacón y caracterzacón posteror. Otro nteresante estudo es [Km et al. 04], donde la cnemátca de rueda se obtene por procedmentos vectorales. La ecuacón de rueda explcta las velocdades de deslzamento en las dos dreccones, que son ocasonalmente utlzadas para consegur una matrz Jacobana cuadrada (añadendo ecuacones escalares trvales). Esta modfcacón faclta pasar de modelos drectos a nversos y vceversa. No obstante, estas ecuacones trvales deberían ser elmnadas en una etapa posteror para evtar nnecesaro coste computaconal.