ROBÓTICA PARALELA: APLICACIONES INDUSTRIALES, MODELADO Y CONTROL. Andrés Vivas

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1 ROBÓICA PARALELA: APLICACIONES INDUSRIALES, MODELADO Y CONROL Andrés Vvas Unversdad del Cauca, Departamento de Electrónca, Instrumentacón y Control, Popayán, Colomba Resumen: Este artículo ntroduce los prncpales conceptos de la robótca paralela para uso ndustral, campo que aún no hace parte de manera sgnfcatva en el aparato productvo del país. Se abordan las prncpales ventajas de este tpo de robots así como las ecuacones que los defnen. Igualmente se hace énfass sobre los tpos de controladores a mplementar en robótca paralela, con el fn de aprovechar al máxmo la alta dnámca con que ellos funconan. Palabras Clave: Robótca paralela, robótca ndustral, modelado de robots, control de robots. 1. INRODUCCIÓN Hace más de 50 años se concberon los robots paralelos. Este tpo de mecansmos, a dferenca de los robots tpo sere, constan de una base y una plataforma, undas por varas cadenas cnemátcas. Estas estructuras cerradas poseen dversas ventajas, tales como que pueden alcanzar velocdades y aceleracones mucho más grandes que en el caso de los robots sere, manejan cargas superores, poseen alta rgdez dado que el peso es repartdo entre las dferentes cadenas cnemátcas, y con ellos se logra una mayor precsón. Igualmente presentan certas desventajas frente a los robots sere tradconales como son el hecho de poseer una cnemátca más compleja, un espaco de trabajo más pequeño y más dfícl de defnr, un manejo de las sngulardades muy partcular para cada estructura, y una mayor exgenca en los algortmos de control dada la alta dnámca que proporconan estas estructuras (Merlet, 1994; Merlet, 1997). La prmera estructura paralela conocda ndustralmente fue la plataforma para comprobacón de neumátcos de la empresa Dunlop Rubber Co., Inglaterra, dseñada por Gough en 1947 (Gough, 1956; Gough y Whtehall, 1962). Se trataba de un hexápodo con lados de longtud varable el cual smulaba el proceso de aterrzaje de un avón (Fgura 1). Después Stewart (1965) presentó una estructura paralela utlzada como smulador de vuelo, donde la conjuncón de las dversas cadenas cnemátcas del mecansmo podía proveer los varos y complejos movmentos a la cabna de un ploto en entrenamento. McCallon y Pham (1979) fueron los prmeros que propuseron utlzar la plataforma de Stewart como un manpulador paralelo en un sstema de ensamblaje, basados en el hecho que la poscón del efector fnal es mucho menos sensble a los errores que los sensores artculares de los robots sere. La gran rgdez de estos dspostvos asegura que las deformacones de los actuadores sean mínmas lo cual contrbuye a mejorar la precsón del manpulador. Después, los robots paralelos han hecho su ncursón en múltples y varadas aplcacones tecnológcas entre las que se pueden nombrar: sstemas de posconamento de antenas parabólcas, robots trepadores utlzados en tareas de mantenmento, robots paralelos submarnos y sstemas paralelos para teleoperacón, entre otros. En el campo ndustral dos estructuras paralelas sobresalen hstórcamente: los llamados Hexápodos (Fgura 2), de ses grados de lbertad, que proporconan tres translacones y tres rotacones, y el robot Delta (tres translacones, Fgura 3), propuesto por Clavel (1989), el cual tene una dfusón ndustral mportante. Este últmo consta de tres motores fjos sobre una base nmóvl que pueden mover una plataforma u órgano termnal e mprmrle una aceleracón de hasta 50 veces la gravedad, algo mpensable en las estructuras tpo sere. Dado que muchas aplcacones ndustrales de ensamblado necestan de un cuarto grado de lbertad para rotar la peza en tratamento, nuevas versones del robot Delta logran esto con la nclusón de una cadena adconal entre la base y la plataforma. Un robot paralelo más recente es el prototpo H4

2 el robot Delta, mantenendo sus excelentes prestacones en cuanto a velocdad y precsón. Dada la alta dnámca de los robots paralelos anterormente menconados, es claro que los controladores cláscos tpo PID no pueden sacar provecho de esta stuacón. Esto oblga a la mplementacón de controladores basados en el modelo, específcamente controladores por par calculado, o más recentemente, de tpo predctvo. Fgura 1. Plataforma de Gough. Fgura 4. Robot Quattro. Fgura 2. Robot hexápodo. El presente trabajo busca dar a conocer en el país las característcas prncpales de los robots paralelos, sus ventajas para uso ndustral, una aproxmacón al modelado geométrco y dnámco, y una vsón sobre las prncpales estrategas a mplementar para su control. 2. CARACERÍSICAS DE LOS ROBOS PARALELOS 2.1. Ventajas de los robots paralelos. Los robots paralelos son utlzados prncpalmente en aquellas aplcacones donde sus característcas los hacen deales para resolver aquellos problemas que se presentan con los robots sere. Sus característcas prncpales desde el punto de vsta de las ventajas que aportan se enumeran a contnuacón (Aracl et al., 2006): Fgura 3. Robot Delta. (Company y Perrot, 1999; Perrot, et al., 2001) y su versón ndustral Quattro, comercalzado por la empresa amercana Adept (Adept, 2007) (Fgura 4). Este tpo de robot posee cuatro motores en la base y provee tres translacones y una rotacón al órgano termnal, lo cual le proporcona mayor efcenca que La relacón carga/potenca es alta ya que los acconamentos de potenca conectan drectamente la base del robot al efector fnal, srvendo de elementos estructurales que actúan de manera smultánea, permténdoles manpular cargas superores a su propo peso. Presentan una alta rgdez, lo cual se traduce en mayores precsones respecto a un robot tpo sere. Su arqutectura les permte alcanzar altas velocdades y aceleracones, lo cual les permte realzar tareas ndustrales de manera más efcente.

3 Igualmente este tpo de robots poseen certas desventajas las cuales se lstan a contnuacón: La cnemátca, la defncón de las poscones sngulares y la construccón del modelo dnámco son más complcados que para el caso sere. La mayoría de las veces esto se resuelve de manera partcular para cada confguracón de robot, ya que no exsten ecuacones generales aplcables a todos ellos Confguracones de los robots paralelos. Es extremadamente dfícl realzar una clasfcacón sstemátca de las estructuras posbles en robótca paralela, dada la gran cantdad de térmnos que ntervenen (número y tpo de cadenas cnemátcas, restrccones, etc). Sn embargo, según los movmentos que pueden hacer, se pueden clasfcar en robots planares y espacales (Merlet, 1997), dependendo de s actúan sobre un plano de dos dmensones o sobre un volumen de tres (Fguras 4 y 5 respectvamente). En los prmeros el movmento se reduce a un plano de dos dmensones, pudendo tener dos o tres grados de lbertad, correspondentes a un movmento de traslacón en el plano y a uno de rotacón sobre un eje perpendcular a él. En el segundo caso el movmento se realza en un espaco trdmensonal, pudendo tener hasta ses grados de lbertad (tres traslacones y tres rotacones). objetos de un lugar a otro (cambo de poscón), mprméndoles una rotacón s es necesaro. Es decr, para este tpo de aplcacones son necesaros tres o cuatro grados de lbertad. La ventaja de un robot paralelo en estos casos es su sorprendente velocdad, lo cual les permte manpular un objeto en el espaco con cadencas de varos Hz y en dstancas de décmas de centímetro. 3. MODELADO DE ROBOS PARALELOS Como se comentó anterormente, no exste una metodología general para modelar un robot paralelo. Sn embargo la tarea no es en extremo dfícl. Dado que en el campo del ensamblaje ndustral los robots más populares son aquellos del tpo Delta (3 grados de lbertad) o Quattro (cuatro grados de lbertad), se va a mostrar en este apartado el modelado completo del robot Quattro, basado en su prototpo prendustral H Parametrzacón del robot paralelo. Este robot está compuesto de cuatro cadenas cnemátcas déntcas. Las sguentes fguras muestran la colocacón partcular de sus ejes y sus parámetros geométrcos. 2h u 1 u z motor brazo 2d P 2 α 3 α 2 u y R u z u x P 1 u y O u x P q L l B P 3 α4 R P 4 A 1 A antebrazo Fgura 5. Robots paralelos planares de 3 grados de lbertad. stuacón de los motores A 2 h D d A 4 θ ángulo de la plataforma A 3 Fgura 7. Parámetros geométrcos del robot. Fgura 6. Robot paralelo espacal de 4 grados de lbertad. En la ndustra la aplcacón más mportante de estos robots son las llamadas tareas de pck-and-place o de ensamblado, donde el robot puede transportar Los ángulos α descrben la poscón de los cuatro motores, l es la longtud del brazo, L la longtud del antebrazo, d y H representan el largo de los segmentos que conforman la plataforma del robot. O es el punto de referenca general de la estructura y D la referenca local de la plataforma. Los segmentos A B representan el antebrazo del robot y P B el brazo. Supongamos que el centro de la plataforma D tene por coordenadas: OD =[ x y z ] (1)

4 El segmento que une el orgen del sstema de coordenadas a los extremos de la plataforma está dado por: x OA = + = OD DA y + DA (2) z Con las sguentes ecuacones para cada segmento partcular de la plataforma: DA DA h.cos θ h.cosθ =.sn θ ;.snθ h + d DA = h + d 0 0 (3) h.cos θ h.cosθ =.sn θ ; =.snθ h d DA h d Por otra parte el segmento desde el orgen hasta el codo está dado por: OB = OP + PB (4) El segmento del brazo está defndo entonces por: l.cos q.cosα PB =.cos.snα l q (5) l.snq Las sguentes ecuacones defnen la dstanca entre el orgen y la base de cada motor: h+ R.cosα1 h+ R.cosα2 OP.snα1 ;.snα2 1 = d + R OP2 = d + R 0 0 h+ R.cosα3 h+ R.cosα4 OP = +.snα3 ; = +.snα4 3 d R OP4 d R 0 0 (6) Fnalmente las coordenadas de los antebrazos están defndas por: 3.2. Modelo geométrco nverso. = AO + OB (7) Como es normal para la gran mayoría de robots paralelos, el modelo geométrco nverso es fácl de calcular. Se parte smplemente de la gualdad sguente, que expresa que la norma del antebrazo es constante e gual a la longtud de éste: Esta relacón lleva a: donde: 2 2, = L = 1,,4 M cos q + N sn q = G M = 2( l PB x cosα + PB y sn α ) N = 2lPB z G = L l PB (8) (9) Reorganzando todo con la nueva varable, se obtene: donde: b ± b a c q = 2tan (10) 2a a = G + M ; b = 2N ; c = G M En la Ecuacón (10), una sngulardad matemátca puede ocurrr cuando a = 0. Es posble resolver este problema ntroducendo las sguentes varables N G tan X =, cos β = (11) M M Esto lleva fnalmente a la expresón del modelo geométrco nverso: 1 N 1 G q = tan ± cos 2 2 M + M N 3.3 Modelado geométrco drecto. (12) Normalmente, el modelo geométrco drecto calculado analítcamente es dfícl de calcular. De hecho el modelo más smple lleva a una ecuacón polnomal de grado 8. Además esta solucón ntroduce toda una sere de sngulardades matemátcas mposbles de manejar desde le punto de vsta de su mplementacón. Este modelo se calcula entonces utlzando una formulacón teratva, de la sguente forma: x = x + + J x q q q n n n n n (13) 1 (, )[ ]

5 donde q es la poscón artcular haca donde debe converger el algortmo y J es la matrz Jacobana del robot. S el mecansmo no está en una confguracón sngular, la Jacobana se encuentra de la sguente manera (Company y Perrot, 1999; Perrot, et al., 2001): 1 J = J x J q (14) donde las matrces J x y J q están defndas como: 1 1x 1 1y 1 1z ( DC1 1 1) z ( 2 2 2) J x y z DC z x = (15) 3 3x 3 3y 3 3z ( DC3 3 3) z 4 4x 4 4y 4 4z ( DC4 4 4) z (( ) ); 1,,4 J = dag PB u = (16) q m Es de anotar que DC es la dstanca entre el centro de la plataforma y el centro de la meda dstanca de la H que forma la plataforma. En la práctca se puede observar que el algortmo expresado por la Ecuacón (13) permte encontrar el Modelo Geométrco Drecto en tres o cuatro teracones con una buena precsón. Inclusve es posble evtar el cálculo teratvo de la Jacobana s se escoge ésta constante e gual a su valor en el centro del volumen de trabajo. En este caso la solucón del Modelo Geométrco Drecto se obtene al cabo de unas vente teracones Modelo dnámco. De manera general se puede decr que el modelo dnámco se calcula consderando la dnámca del sstema. Desde ese punto de vsta, la fuerza de los motores es prncpalmente utlzada para vencer la nerca del motor y para mover brazos, antebrazos y plataforma, la cual puede a su vez estar equpada por una herramenta de fabrcacón. Debdo al dseño, la nerca de los antebrazos está ncluda en la nerca de los motores y el efecto de los brazos es desprecado (Company y Perrot, 1999; Perrot, et al., 2001). S representa el vector del par de cada motor, la ecuacón del modelo dnámco puede escrbrse como: Γ = I q + J M( x G) mot mot (17) donde I mot representa la matrz de nerca de los motores (Ecuacón (18)) ncluyendo la nerca de los antebrazos, M es una matrz dagonal (Ecuacón (19)) contenendo la masa de la plataforma y su nerca (M plat e I plat respectvamente), J es la matrz Jacobana descrta en la Ecuacón (14), q es la aceleracón artcular, x es el vector de la aceleracón cartesana, y G es el vector de gravedad. Como se djo anterormente, gracas al dseño del robot, la nerca de los antebrazos se ncluye en la nerca del respectvo motor. I mot1 0 I 0 0 mot2 I = mot 0 0 I 0 mot I mot4 M plat 0 M 0 0 M = plat 0 0 M 0 plat I La poscón del motor = [ q q q q ] plat (18) (19) q es medda drectamente a través de los sensores de poscón presentes en los motores. La velocdad q y la aceleracón q se obtenen a través de una dferencacón de prmer orden realzada en tempo real, lo cual no ofrece nnguna dfcultad y provee resultados aceptables. Para el caso en el cual la aceleracón cartesana x no esté dsponble, ésta se calcula como sgue: x = Jq + Jq (20) donde J depende de x y de q, y J se calcula usando gualmente una dferencacón de prmer orden. Entonces, el modelo dnámco del robot H4 puede escrbrse como: con: Γ = Aqq ( ) + H( qq, ) (21) mot Aq ( ) = I + J mot MJ (22) H ( q, q) = J MJq J MG (23) 4. CONROL DE ROBOS PARALELOS Como se menconó anterormente, los robots paralelos poseen una alta dnámca, lo cual les permte alcanzar velocdades y aceleracones prohbdas en un robot tpo sere. Esto mplca que el tan utlzado controlador PID no sea sufcente para aprovechar toda la dnámca brndada por un robot paralelo, ya que a altas velocdades el control PID no reaccona ben, presentándose vbracones en estado transtoro e nexacttudes en estado estaconaro. Por eso la mejor solucón es la mplementacón de un controlador basado en el modelo, o control por modelo de referenca. Varas estrategas de este tpo pueden encontrarse en aplcacones robótcas, tales como el control por par calculado, el control predctvo, el control adaptatvo, el control robusto, etcétera. El control por par calculado es amplamente utlzado en robótca ndustral (Scavcco y Sclano, 1996;

6 Khall y Dombre, 2002). Un control no tan conocdo pero que proporcona excelentes rendmentos a los robots paralelos ndustrales es el control predctvo. Esta seccón hará énfass en estos dos controladores comparándolos con el control clásco PID, probados en trayectoras de tpo ndustral Lnealzacón por realmentacón. Con el fn de mplementar un control por modelo de referenca, se requere lnealzar el modelo dnámco del robot, el cual no es lneal (Ecuacón (21)). Sean Â y Ĥ respectvamente las estmacones de A y H, y asumendo que A ˆ = A y H ˆ = H (los valores de los parámetros dnámcos de la planta son conocdos), el problema se reduce a una pareja de doble ntegradores desacoplados: MGI x d q d Kp Kv Control lneal q = w (24) donde w representa la nueva entrada de control. Esta ecuacón corresponde al esquema del control dnámco nverso, donde el modelo que caracterza al robot se transforma en un doble conjunto de ntegradores. Las técncas de control lneal pueden entonces ahora utlzarse para dseñar un controlador por modelo de referenca, como el control por par calculado y el control predctvo funconal, que se verán en las seccones sguentes Control por par calculado. Conocdo en nglés como Computed orque Control (CC), se trata de un smple control PD mplementado sobre el sstema lnealzado por realmentacón mostrado en la seccón anteror (Canudas de Wtt, et al., 1996). El modelo del robot, el cual es conocdo, es expresado por el modelo dnámco nverso utlzando alguna técnca como por ejemplo Newton-Euler. Un esquema de este control se muestra en la sguente fgura: Fgura 8. Control CC. Desacoplamento y compensacón no lneal q w A ˆ Γ ( q ) Robot q Hˆ ( q, q ) En este caso la ley de control estará dada por: d w= K ( q q) + K q p v (25) q 4.3. Control predctvo funconal. El control predctvo funconal (Predctve Functonal Control PFC) (Rchalet 1993a; Rchalet 1993b), ha tendo una mportante dfusón en control de procesos químcos, pero últmamente ha demostrado sus grandes capacdades para el control de robots paralelos. Este tpo de control utlza como modelo de referenca una ecuacón lneal expresada por: xm( n) = FMxM( n 1) + GMu( n 1) y ( n) = C x ( n) M M M (26) donde x M desgna el estado, u es la entrada del sstema, y M la salda medda del modelo, F M, G M y C M matrces y vectores con la dmensón correcta y que defnen las característcas del modelo. La estratega del control predctvo MPC se resume en la Fgura 9. Dada una consgna deseada defnda en el horzonte fnto [0, h], la predccón de la salda futura y ˆ P deberá alcanzar la consgna futura sguendo una trayectora de referenca y R. Consgna Pasado Salda del proceso ε Fgura 9. Estratega en el tempo del control predctvo funconal. En la fgura anteror, ε ( n) = c( n) yp ( n) es el error de poscón en el tempo n, c es la consgna deseada, y P la salda del proceso, y RLC es el tempo de respuesta del sstema en lazo cerrado, el cual defne el horzonte de control. Es claro que este horzonte no debe ser muy pequeño puesto que aumentará las exgencas del controlador, y no podrá ser muy grande pues la respuesta del sstema sería demasado lenta. La trayectora de referenca y R está defnda por: cn ( + ) y ( n+ ) = α ( cn ( ) y ( n)) 0 h (27) R Futuro RLC donde α es un escalar que se escoge dependendo del tempo de respuesta deseado en lazo cerrado. y R P ŷ P h

7 La esenca de la estratega de control predctvo está completamente ncluda en la Ecuacón (27). El objetvo es pues alcanzar la consgna deseada sguendo la trayectora de referenca. Mayores detalles sobre este tpo de control pueden hallarse en (Rchalet 1993a; Vvas y Pognet, 2006) Comparacón entre los tres tpos de controladores. Y axs (m) Dferentes stuacones se consderan en esta seccón con el fn de lustrar el desempeño de cada controlador. Prmero, se defne como consgna un círculo de 20 mm de dámetro, realzado a una velocdad de 2 rad/seg. Segundo, una consgna lneal con cambo de dreccón, a una velocdad de m/seg. Las dfcultades de estas trayectoras se centran en la exacttud que debe mantenerse al segur un pequeño círculo en el prmer caso, y en el momento del cambo brusco de dreccón en el segundo caso, lo cual exge bastante del controlador Set pont PID CC PFC Axe X (m) Fgura 12. Resultados obtendos para una trayectora lneal. 8 x PID CC PFC Las fguras 10 y 11 muestran los resultados para la trayectora crcular. Se observa una perodcdad en los errores de segumento lo cual corresponde al cambo de cuadrante de la consgna crcular (seno y coseno). Los resultados para la trayectora lneal se presentan en las fguras 12 y 13. x Set pont PID CC PFC Contour error (m) me (ms) Y axs (m) X axs (m) x 10-3 Fgura 10. Resultados obtendos para una trayectora crcular. Fgura 13. Errores de segumento para la trayectora lneal con cambo de dreccón. En los dos casos anterores puede observarse la superordad de los dos controladores basados en el modelo del robot, como son el control por par calculado y el control predctvo. De otra parte entre estos dos últmos, pese a exgr mayores cálculos, es el control predctvo quen mejor desempeño tene. Otros resultados sobre robustez (rechazo de perturbacones y comportamento frente a errores en el modelo), pueden ser consultados en (Vvas y Pognet, 2005). Contour error (m) 8 x PID CC PFC 5. CONCLUSIONES Este artículo presentó una ntroduccón a los robots paralelos para uso ndustral. Se trataron sus ventajas y desventajas frente a los robots sere, sus confguracones y se mostraron algunos ejemplos comercales. Aunque ellos no poseen una forma general para defnr sus modelos geométrcos y dnámcos, se mostraron estos modelos con base en un robot comercal me (ms) Fgura 11. Errores de segumento para la trayectora crcular. Dada la alta dnámca desarrollada por este tpo de robots, controladores cláscos del tpo PID no son sufcentes para garantzar precsón y robustez. Se expuseron por lo tanto dos controladores basados en el modelo del robot: el control por par calculado, de

8 ampla dfusón en robótca ndustral, y de manera especal, el control predctvo funconal, el cual se perfla como una solucón nteresante al control de este tpo de mecansmos. Los resultados obtendos en expermentacón muestran los respectvos desempeños frente al segumento de trayectoras complejas. Se espera que este documento motve la nvestgacón en el país sobre este tpo de estructuras, así como su ntroduccón al medo ndustral. REFERENCIAS Adept (2007). consultado septembre 10 de Aracl, R., R. Saltarén, J.M. Sabater, O. Renoso (2006). Robots paralelos: máqunas con un pasado para una robótca del futuro. Revsta Iberoamercana de Automátca e Informátca Industral, 3 (1), pp Canudas de Wtt, C., B. Sclano, G. Bastn (1996). heory of robot control. Sprnger Verlag. Clavel, R. (1989). Une nouvelle structure de manpulateur parallèle pour la robotque légère. Journal Européen des Systèmes Automatsés, 23 (6), pp Company, O. y F. Perrot (1999). A new 3-1R parallel robot. Proceedngs of Internatonal Conference on Advanced Robotcs, pp Gough, V.E. (1956). Contrbuton to dscusson of papers on research n automotve stablty, control and tyre performance. Procedngs Auto Dv., Insttute of Mechancal Engneers. Gough, V.E. y S.G. Whtehall (1962). Unversal tyre test machne. Proceedngs of the FISIA Nnth Internatonal echncal Congress, pp Khall, W. y E. Dombre (2002). Modelng dentfcaton and control of robots. London: Hermes Penton Scence. McCallon, H. y D.. Pham (1979). he analyss of a sx degrees of freedom work staton for machanzed assembly. Proceedngs of 5 th World Congress of heory of Machnes and Mechansms, pp Merlet, J.P. (1994). Parallel manpulators: state of the art and perspectve, Advanced Robotcs, 8 (6), pp Merlet, J.P. (1997). Les robots parallèles, Pars : Edtons Hermès. Perrot, F., Marquet, F., Company, O. y Gl,. (2001). H4 Parallel Robot,: Modelng, Desgn and Prelmnary Experments. Proceedngs of the 2001 IEEE Internatonal Conference on Robotcs & Automaton, pp Rchalet, J. (1993a). Pratque de la Commande Prédctve, Pars: Edtons Hermès. Rchalet, J. (1993b). Industral applcatons of model based predctve control, Automatca, 29 (5), pp Scavcco L. y B. Sclano (1996). Modelng and control of robot manpulators, New York: McGraw-Hll. Stewart, D. (1965). A platform wth 6 degrees of freedom. Proceedngs of the Insttuton of Mechancal Engneers, 180, pp Vvas, A. y P. Pognet (2005). Predctve functonal control of a parallel robot. Control Engneerng Practce, 13 (7), pp Vvas, A. y P. Pognet (2006). Control predctvo de un robot paralelo. Revsta Iberoamercana de Automátca e Informátca Industral, 3 (4), pp