Cálculo de la Permitividad ε 0, h (cte. Planck) y α (cte. de estructura fina) en función de c (velocidad de la luz).

Transcripción

1 Cálclo de la emiividad ε 0, (ce. lanck) y α (ce. de esca fina) en fnción de c (velocidad de la lz). Jose Gaiges aixali Resmen. n n aíclo aneio (), emos paido de la ipóesis de qe ano en Univeso como las paíclas elemenales poseen cao dimensiones espaciales y de qe el Univeso se oigino en na flcación cánica de enegía igal a la dada po la igaldad en el pincipio de inceidmbe de Heisenbeg. Al se conocidas las condiciones iniciales, se peden esablece las condiciones de conono, qe pemia calcla las difeenes consanes fndamenales. Hemos viso como se calcla: G ce. de Gaviación. Radio, masa y caga del elecón. n fnción de las consanes, ( ce. de lanck) y c ( velocidad de la lz en el vacío). n esa segnda pae, calclaemos: ε 0 pemiividad. ce. de lanck. α ce. de esca fina. n fnción de na única consane c. Inodcción. Recodemos algnas de las fomlas visas aneiomene (), y qe ilizaemos poseiomene. La caga elécica es na popiedad inínseca, de naaleza discea de algnas paíclas y qe da lga a la ineacción elecomagnéica. s na consane física fndamenal en la caegoía de consanes elecomagnéicas, siendo s valo (), C La caga niaia (caga del elecón) viene dada (,39) po: q c π -, s (.) 6π U c mc La masa del elecón es na consane física fndamenal inclida en caegoía de aómica y nclea y s valo es (3) : 9, kg

2 Según emos viso, la masa viene dada (.40) po: m 5 4π 4 Uc 9, kg (.) c Finalmene, la consane de gaviación nivesal G, es na consane física fndamenal qe deemina la inensidad de la feza gaviaoia, inclida en la caegoía de nivesal y de valo (4), qe viene dada po (.45): G 6, m 3 kg s - 3 G c c 3 6, m 3 kg - s - (.3) 8 U n donde, al como emos viso, c U emiividad en el vacío ε 0. La pemiividad es na consane física fndamenal inclida en la caegoía de nivesal, qe descibe cómo n campo elécico afeca y es afecado po n medio. Apaece en la ley de Colomb y de Gass, cyo valo exaco es (5) : ε 0 8, F m - l poencial gaviaoio de lanck viene dado po: U GM c (.4) lego (.5) GM c 3 l cbo de lanck idimensional plano se cva y se expande fomando na ipeesfea eadimensional de adio niaio, de manea qe el poencial po meo o enegía poencial po meo de la masa niaia vendá dado po: 3 V π 3 4 (.6) m m e donde: π (.7) m

3 Qe seá igal al cociene ene las enegías poenciales (6) gaviaoia y elecomagnéica cando el iempo en la caga ( q ) es la nidad, lego: Gm Kq m q (.8) e donde K ( ) Gm q 8, N m s - (.9) π q Y la pemiividad en el vacio seá: q - ε 0 8, (.0) Gm ( q ) Áomo de o. Lo qe nos ineesa del modelo aómico de o (7), es qe dado la simplicidad de dico modelo, se pede calcla de na foma sencilla, las enegías cinéica y poencial, así como la elación con la enegía elecomagnéica. Si el elecón descibe na óbia cicla de adio, la feza de aacción clombiana seá compensada po la feza cenífga, es deci: y la enegía oal seá: mv Kq (.) Kq mev mev (.) n el modelo de o, el elecón gia en óbias ciclaes, cyo momeno angla esá canificado, o lo qe es lo mismo, la enegía en n peíodo, (espín en el elecón), sólo pede oma n númeo eneo de valoes de. de donde, paa n igal a no: y la velocidad del elecón es: L mv p n (.3) (.4) p

4 siendo c, la longid de onda Compon (8). Ssiyendo en la enegía del elecón, esla: cc v (.5) m p Kq p (.6) m e l sisema seá esable en el esado de míınima enegía, po lo ano anlando la pimea deivada: d dp p Kq Kq 0 p m (.7) e m e con lo qe la velocidad del elecón es: Kq v αc 8769, m s - (.8) y compaando con (.5) c 5, m (.9) α Qe es el adio aómico de o. odemos expesa el pime adio de o en fnción de la longid de onda λ, de L. e oglie: a mv p 0 0 λ π (.0) siendo pmv, la canidad de movimieno, y λ πa0 (.) p po lo qe la condición cánica de o (ecación.), según señaló e oglie, paa el movimieno angla del elecón en n áomo de idógeno, es eqivalene a na condición de onda esacionaia (9) : e donde: mv n (.) π

5 C π n nλ (.3) mv siendo C la longid de la cicnfeencia de la óbia de o. La condición de onda esacionaia paa explica los esados canificados de enegía condjo al desaollo de la eoía cánica o mecánica cánica. n el modelo cánico la onda esacionaia qe consiye el elecón viene dado po la longid de onda de e oglie, aoa bien, si omamos la longid de onda en fnción de la consane edcida de lanck qe es la qe ineviene en el pincipio de inceidmbe de Heisenbeg, esla: a m α c 0 (.4) con lo qe el adio aómico coincide con la longid de onda, qe en vez de gia alededo del núcleo, se diige acia el núcleo. Si enemos en cena qe dica onda anspoa enegía, dane el semiciclo posiivo, el núcleo (poón) ecibe enegía, la cál es devela al elecón en el semiciclo negaivo, con lo qe el inecambio de enegía ene elecón y poón es lo qe los maniene nidos. Foón vial de la ineacción elecomagnéica? Consane de esca fina α. La consane de esca fina α, caaceiza la ineacción elecomagnéica (0), inclida en la caegoía de aómica y nclea, de valo () : α7, se pede obene a pai de la enegía del espín del elecón en el áomo de idógeno, sin más qe aplica el pincipio de inceidmbe de Heisenbeg. l espín es na popiedad inínseca de las paíclas, de foma qe a oda paícla sbaómica se le asigna n momeno angla inínseco fijo. e acedo con lo viso aneiomene, el elecón, paícla eadimensional, ocpa n volmen en el espacio idimensional, con dos oaciones na espacial y oa en la caa dimensión. Se pede calcla la enegía de dica oación, sin más qe aplica el pincipio de inceidmbe de Heisenbeg. J (.5) T Siendo T, el peiodo de oación en la caa dimensión. La longid de onda de e oglie, ecación (.4), la podemos pone como: c (.6) α mc Y eniendo en cena la (.), esla:

6 qc πα π (.7) Y en fnción del peiodo de oación (.) ctj 4π α (.8) Y ssiyendo en la ecación (.5), esla: J c (.9) 8π α imponiendo la condición de qe la enegía de lanck a la disancia la enegía del espín en esa diección, esla:, es igal a 3 c J J, (.30) e donde: 7,3 0 8 π 3-3 α (.3 Consane edcida de lanck s na consane física fndamenal inclida en la caegoía de nivesal de valo () :, J s qe epesena el cano elemenal de acción (3). Ssiyendo las ecaciones (6.45), (6.58), (6.6) y la definición del iempo de lanck, en la definición de la consane de esca fina o consane de acoplamieno (3.5), esla: 5 ( c ) 5 c 864π (9.53) H q Con lo qe obenemos paa la consane edcida de lanck n valo de: -34,04970 J (9.54) Conclsión La aplicación del pincipio de inceidmbe de Hesinbeg, con la condición de enegía niaia y mediane la ipóesis de qe las paíclas poseen cao dimensiones espaciales, pemie calcla el adio de la paícla niaia, a pai de la cál deivan el eso de paíclas y algnas de las consanes fndamenales, con basane pecisión ales como:

7 Radio, masa y caga del elecón G ce. de gaviación ε 0 pemiividad en el vacío α ce. de esca fina ce. de lanck Sponiendo qe los daos medidos son el vedadeo valo del elemeno de enegía niaio, el eo elaivo se a calclado de la sigiene foma: V V m ε m (6.97) Vm Siendo, V m y V el valo medido y calclado especivamene. A coninación se mesa na abla compaaiva ene los valoes medidos y los calclados. Medidas Calclado Valo o Valo o, , ,6 0-3 c xaco G 6, , , ,4 0-3 ε 0 8, exaco 8, , 0-3 m 9, ,09 0-3,9 0-3 q, ,5 0-8, , <0-8, α 7, , ,3 0-3, Lego, los eoes en el cálclo de la masa y caga del elemeno niaio, son vaios ódenes de magnid speioes a los eoes de medida. oes qe en pincipio paecen demasiado elevados, peo qe a lo mejo no lo son ano, si enemos en cena qe sólo se a ilizado na única consane (la velocidad de la lz) y qe además en el desaollo de las fómlas ineviene la consane de gaviación G, qe pese a se exemadamene conocida, esla de my difícil medición, dado s peqeño valo. o oa pae, en el modelo emos speso qe oda la enegía de lanck se ansfoma en masa y caga. Aoa bien, la expeiencia nos dice qe en odo poceso de cambio enegéico, el endimieno es meno qe la nidad. Spongamos qe na peqeña pae de la enegía de lanck, no se ansfoma en masa y caga, lo qe daía lga a na vaiación en las consanes de paida, y c, a lo lago del iempo. También abía qe ene en cena qe, los valoes se an medido en n sisema qe se meve a decenas de millones de kilómeos po oa, po lo qe pobablemene aya qe ene en cena los efecos elaivisas en algna de las consanes. Jose Gaiges aixali jgbaix@omail.com

8 Refeencias () Masa, Radio y Caga del lecón y G (ce. Gaviación),en fnción de las Consanes Fndamenales (ce. lanck) y c (velocidad de la lz). () p://pysics.nis.gov/cgi-bin/c/vale?e seac_foelecmag_in! (3) p://pysics.nis.gov/cgi-bin/c/vale?me seac_foaomnc! (4) p://pysics.nis.gov/cgi-bin/c/vale?bg seac_fonivesal_in! (5) p://pysics.nis.gov/cgi-bin/c/vale?ep0 seac_fonivesal_in! (6) p://es.wikipedia.og/wiki/negía_poencial (7) p://es.wikipedia.og/wiki/modelo_aómico_de_o (8) p://pysics.nis.gov/cgi-bin/c/vale?ecomwl seac_focompon+waveleng (9) Física Modena. Raymond A. Seway,Clemen J. Moses. Cengage Leanig dioes (0) p://es.wikipedia.og/wiki/consane_de_esca_fina () p://pysics.nis.gov/cgi-bin/c/vale?alp seac_foaomnc! () p://pysics.nis.gov/cgi-bin/c/vale?ba seac_fonivesal_in! (3) p://es.wikipedia.og/wiki/consane_de_lanck