3 TEORÍA DE LA CODA. 3.1 Introducción TEORÍA DE LA CODA 39

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1 TEORÍA DE LA CODA 39 3 TEORÍA DE LA CODA 3. Inoducción Las heeogeneidades de la liosfea eese acúan como elemenos dispesoes de las ondas pimaias paa poduci ondas secundaias y son las causanes de las anomalías de los paámeos geofísicos obenidos expeimenalmene, ene ellos la aenuación anelásica de las ondas sísmicas. Aki (969), a pai del análisis de las éplicas del eemoo de Pakfield (USA) de 966, obsevó que el especo de poencia de la coda medido en un iempo dado desde el oigen esula independiene de la disancia epicenal. Diez años anes, Biszicsany (958) deivó una fómula paa obene la magniud a pai de la duación de los sismogamas basándose en que la duación oal de los egisos es independiene de la disancia epicenal paa disancias infeioes a Km. Esa úlima obsevación puede elacionase con los esulados de Aki (969). Esa obsevación ha pemiido el desaollo de fómulas que pemien la esimación de la magniud a pai de la duación de los eemoos paa numeosas edes sísmicas (De Miguel e al., 988). Así pues, Aki (969), fue el pimeo en enuncia la eoía de que las ondas de coda de los sismos locales son ondas eodispesadas en las numeosas heeogeneidades exisenes que pueden suponese disibuidas aleaoiamene en la coeza y en el mano supeio. Esas ondas de coda foman la pae final de los sismogamas de eemoos locales que se egisan en el ango de coo peíodo. Siuadas a coninuación de las fases S g / L g, su ampliud decece con el iempo hasa confundise con el uido de fondo. Los esudios elacionados con los modelos de geneación de ondas coda, su popagación y la infomación sobe las popiedades del medio que suminisan, han ido omando cada vez más impoancia.

2 4 CAPÍTULO 3 Oa consideación de impoancia es que, paa una misma egión, el especo de poencia de las ondas coda decae de la misma foma independienemene de la disancia epicenoesación y de la magniud. La influencia del medio de popagación, y sobe odo del efeco de siio, en las caaceísicas finales de las sacudidas sísmicas hacen necesaios los daos y méodos que deeminen la foma de esa influencia. Las ondas coda son, en ese aspeco, una impoane pae del sismogama que coniene infomación de la fuene sísmica, del camino de popagación y de la espuesa local de la esucua geológica en la esación de egiso. Esa dependencia, especo a las caaceísicas del camino ecoido, se obseva siempe, peo es mucho más acusada en el caso de alas fecuencias. Las consideaciones aneioes consiuyen aspecos específicos de las ondas de coda. A pai de ellas Aki y Choue (975) deivaon el modelo de eodispesión simple (Single Back- Scaeing) paa explica la geneación de ondas de coda. Poseiomene ese modelo fue modificado po Sao (977,a,b) inoduciendo la dispesión isóopa simple (Single Isoopic Scaeing). Poseiomene algunas hipóesis de los modelos basados en el scaeing simple uvieon que se evisadas y ello dio luga a que la eoía evolucionaa hacia modelos de scaeing múliple (Gao e al., 983 a,b; Hoshiba, 99). Peo anes de ena a descibi los méodos de coda, se considean algunos aspecos cualiaivos elevanes. 3. Caaceísicas de la coda El vocablo coda es de oigen ialiano y poviene del laín cauda-ae significando cola, apéndice o el que esá en úlimo luga. Po oa pae, el Diccionaio de la Real Academia de la Lengua Española incluye el vocablo coda cuyo significado es: adición billane al peíodo final de una pieza de música. Es po ello que eciben el nombe de ondas sísmicas de coda aquellas que consiuyen la pae final de los egisos de sismos locales. Las ondas sísmicas geneadas como consecuencia de un eemoo o explosión subeánea se popagan en odas diecciones a pai del foco sísmico. En los egisos sísmicos de peíodo

3 TEORÍA DE LA CODA 4 coo se obseva que la señal pedua después de la llegada de las ondas inenas y supeficiales, se aa de la vibación de coda. Esa vibación esidual consiuye la pae final del sismogama. La ampliud de esa vibación decae lenamene con el iempo y ese decaimieno es el mismo paa odas las esaciones de egiso y focos sísmicos siuados en una misma egión (Aki, 969). En el abajo de Aki sobe el análisis de las ondas de coda se hace consa la gan influencia de los dealles del foco en las caaceísicas popias de la coda de los simogamas. De hecho, fue a pai de esa publicación cuando se despeó el ineés po las ondas de coda ya que, demosó que el esudio de dichas ondas pemie deduci impoanes conclusiones sobe la aenuación anelásica. La escasa sensibilidad del especo de la coda a las caaceísicas de los difeenes ecoidos epiceno-esación coespondienes a sismos locales, esimuló la deeminación de méodos que pemiiean aisla los efecos focales de los que coesponden a la ayecoia (Aki, 969). Poseiomene, uilizando ese ipo de ondas, se han llevado a cabo impoanes esudios elaivos, po ejemplo, a explosiones povocadas (Scheime y Landes, 974), deeminación de caaceísicas de la Luna (Dainy e al., 974), modelización eóica de la coda (Aki y Choue, 975; Aki, 98a; Aki, 98b), aenuación anelásica (Aki, 98; De Miguel y Vidal, 98; Singh y Hemann, 983; Heaiz y Mezcua, 984; Phillips y Aki, 986; Pujades, 987; Pujades e al., 99; Canas e al., 99; Canas y Pujades, 99) y pedicción de eemoos (Lee e al., 986). Esos y oos abajos han ido configuando las caaceísicas peculiaes de ese ipo de ondas de peíodo coo que pesenan una gan sensibilidad a los dealles del foco (Aki, 969; 98 a,b) y a la esucua de su ecoido. En el caso conceo de la Península Ibéica, los esudios sobe aenuación sísmica empleando ondas de coda, aancan con los abajos de Heaiz y Mézcua (984) y posiguen con los de Canas e al. (987), Pujades e al. (99,997), Ugalde (997), Ugalde e al. (998) y Canas e al. (998). Ugalde e al. (998) pesenan una evisión de los esudios de coda efecuados en la Península Ibéica. Como consecuencia de los esudios ealizados, las caaceísicas de las ondas de coda son cada vez mejo conocidas. Acualmene, no hay duda de que las ondas que foman la coda de

4 4 CAPÍTULO 3 los sismogamas son impoanes paa lleva a cabo esudios de iesgo sísmico. Eso es debido a sus especiales caaceísicas, ene las que podemos desaca las siguienes,. En el caso de eemoos locales, el conenido especal de la pae inicial del sismogama depende de foma acusada de la disancia ecoida y de la naualeza de la ayecoia de la onda hasa la esación. Po el conaio, las difeencias especales coespondienes a divesas esaciones que han ecibido señales pocedenes del mismo emblo, disminuyen en la zona poseio del sismogama, llegando a desapaece po compleo en la coda (Aki, 956; Aki, 969).. En el caso de eemoos locales, el especo de poencia de ondas de coda decece con el iempo y es independiene de la disancia epicenal y de la naualeza de la ayecoia epiceno-esación (Aki, 969; Aki y Choue, 975). 3. El dececimieno empoal mencionado en el puno aneio es ambién independiene de la magniud del eemoo, al menos paa sismos cuya magniud es infeio a 6 (Aki, 969; Aki y Choue, 975). 4. La coda esá fomada po ondas de fecuencia elevada que se manifiesan muy sensibles a los dealles del foco y a la esucua geológica y ecónica del camino ecoido. 5. La exciación de la coda depende ambién de la geología local de la esación. Po oa pae, la ampliud del uido culual iende a se popocional al faco de exciación. Ese faco de exciación puede se ene 5 y 8 veces más gande en sedimenos que sobe ocas ganíicas (Aki, 969). Ambos fenómenos poducen un efeco compensado y hacen que la duación oal idenificable en los sismogamas locales sea pácicamene independiene de la geología local. Po oa pae, ambién cabe ene pesene esa dependencia cuando se abaja con la exciación de la coda paa deemina momenos sísmicos. Paiculamene en esudios muy locales en que se abaja con esaciones siuadas en áeas de geología muy vaiada, es necesaio inoduci coecciones po geología local en supeficie (Aki, 98; Heaiz y Mezcua, 984; Phillips y Aki, 986). 6. Los esudios de coda pemien ealiza deducciones, de una manea elaivamene sencilla, sobe el poceso en el foco del eemoo. En las figuas 3., 3. y 3.3 pesenan divesos sismogamas peenecienes a la ed del IGN uilizados en ese esudio.

5 TEORÍA DE LA CODA 43 Figua 3. Sismogamas egisados en las 4 esaciones del IGN en Galicia el día 4 de Mayo de 997. Los sismogamas coesponden a una éplica al sismo pincipal ocuido en el áea de Saia- Beceeá y Tiacasela de Lugo el de Mayo de 997. Figua 3. Sismogamas egisados en las 4 esaciones del IGN en Galicia el día 5 de Junio de 997. Los sismogamas coesponden a una éplica al sismo pincipal ocuido en el áea de Saia- Beceeá y Tiacasela de Lugo el de Mayo de 997.

6 44 CAPÍTULO 3 Figua 3.3 Sismogamas egisados en disinas esaciones del IGN en el su peninsula el día de Febeo de 999 inmediaamene después del sismo pincipal coespondiene a la cisis de Mula (Mucia). Los egisos coespondienes a las esaciones EHUE, ENIJ y EVIA han sido uilizados en el pesene esudio. 3.3 Ondas coda. Modelos de dispesión simple Aunque muchos auoes como Aki (956), Bisziscany (958) o Soloviev (965) obsevaon algunas caaceísicas peculiaes de las ondas coda, se puede considea al abajo de Aki de 969 como el pime ineno de modela y explica la geneación de las ondas coda. Obsevó que la coda paecía se insensibles a la naualeza del camino y sugiió la posibilidad de un modelo en el que esuviese sepaado el efeco de la fuene sísmica y el camino sobe el especo de poencia de las ondas coda. Su modelo se basaba en la suposición de que la coda esaba fomada po ondas supeficiales que llegaban después de habe sufido scaeing, uno sólo, con heeogeneidades disibuidas aleaoia peo unifomemene en el medio. La idea de ondas supeficiales se manuvo hasa el abajo de Aki y Choue (975) que inodujo dos modelos exemos de geneación de ondas coda, el modelo de difusión y el modelo de eodispesión simple. Poseiomene, Sao (977a,b) inodujo una vaiane con el modelo de dispesión isóopa simple. Todos esos modelos esán basados en el scaeing

7 TEORÍA DE LA CODA 45 simple en heeogeneidades. Una ecopilación de las eoías de scaeing simple se encuenan en Heaiz y Espinosa (986, 987). A coninuación se desciben bevemene los pincipales modelos basados en scaeing simple Modelo de Aki (969) Los especos de coda pesenan una débil sensibilidad a las caaceísicas de los disinos ecoidos epiceno-esación de sismos locales. Ese hecho hace necesaia la búsqueda de méodos que pemian aisla los efecos focales de los debidos a la ayecoia, los cuales son comunes paa difeenes sismos locales (Aki, 969). Paa da un sopoe eóico que pemia ealiza esimaciones cuaniaivas de los paámeos focales y egionales, Aki (969) publica el pime modelo sobe geneación de ondas coda. El modelo se fundamena en las siguienes hipóesis,. Los dispesoes se hallan disibuidos bidimensionalmene en la supeficie de la Tiea. Esa disibución es aleaoia y homogénea.. Las ondas geneadas en el foco y las secundaias que nacen de la ineacción de las pimeas con las inhomogeneidades son ondas de supeficie de un mismo ipo y su velocidad de gupo no depende de la fecuencia. 3. Si es la disancia epiceno-dispeso, R la disancia dispeso-esación y D la disancia epicenal, se acepa que R >> D. Esa condición se cumple al considea las úlimas paes del sismogama ya que la pae final de la señal coesponde a dispesoes más alejados. Los obsáculos dispesoes de las ondas pimaias son la opogafía iegula, una geología supeficial compleja, heeogeneidades en las popiedades elásicas de las ocas, facuas, fallas y cualesquiea oas disconinuidades en la coeza. Esos accidenes se encuenan concenados en la pae más supeficial de la Tiea y ese hecho jusifica la pimea hipóesis. La segunda suposición es consecuencia de la pimea ya que pácicamene odas las ondas inenas se popagan po las paes más pofundas donde se supone exisen pocas heeogeneidades. La consideación de velocidad no dispesiva es una simplificación adicional del modelo y de foma implícia se supone la dispesión simple.

8 46 CAPÍTULO 3 Esas pimeas hipóesis enían un fundameno expeimenal (Aki e al., 958; Aki y Tsujiua, 959) y a pesa de su simplicidad consiuyen una pimea apoximación al esudio de las heeogeneidades laeales. En Aki (969) y Heaiz (98) se descibe con dealle el fomalismo maemáico de ese pime modelo Modelo de Aki y Choue (975) Aki y Choue (975) popusieon dos nuevos modelos exemos que pudiesen explica el fenómeno de geneación de ondas coda. El pime modelo, conocido como modelo de eodispesión simple (Single Back-Scaeing. SBS model) añade las siguienes hipóesis,. Se poduce un único poceso de scaeing en heeogeneidades del medio de ondas inenas a inenas ( S a S o bien P a P) o supeficiales a supeficiales. Ese aspeco se encuena confimado po numeosos abajos (Aki, 98,a,b; Aki 98).. La fuene y el ecepo son coincidenes en el espacio. 3. Se considea un modelo de popagación de velocidad consane, con disibución homogénea peo aleaoia de heeogeneidades. Ese pime modelo considea un scaeing débil ya que la flucuación de los paámeos peubados es pequeña compaada con sus valoes medios. Po ano se puede apoxima que la pédida de enegía de las ondas pimaias y el efeco de múliple scaeing son poco elevanes. Esa apoximación, conocida como apoximación de Bon (Bon y Wolf, 965), viola el pincipio de consevación de la enegía, no obsane ha sido empleada en oas disciplinas como son la ópica y la física cuánica mosándose muy úil ya que las pedicciones eóicas y los esulados expeimenales no pesenan seveas difeencias. El segundo modelo popueso po Aki y Choue se basa en un scaeing fuee. En ese modelo, conaio al pimeo, se iene una pédida de enegía significaiva especo de la enegía de la onda incidene. Eso significa que el cociene ene pedida de enegía y enegía incidene es gande. Ese modelo coesponde al caso de una dispesión muy fuee y es válido únicamene cuando la disancia ene fuene y ecepo es mayo que el ecoido medio libe. Esá basado en los esudios de Chenov (96) y Wesley (965) y espea la consevación de la enegía, peo la inepeación del coeficiene de difusión paa un medio heeogéneo no es

9 TEORÍA DE LA CODA 47 sencilla. El modelo fue descaado paa sismogamas eeses as los abajos de Dainy y Toksöz (977,98) y Kopnichev (977), aunque explica saisfacoiamene los sismos lunaes. El conjuno de peculiaidades de las ondas de coda pemien considea su especo de poencia en la foma, ( ω, ) S( ω ) C( ω ) P =, (3.) En S(ω ) se encuena la infomación de los paámeos focales de la fuene sísmica, mienas que C(ω,) coniene infomación de las caaceísicas locales o egionales del luga. El émino C(ω,) no depende del camino dieco epiceno-esación ecoido po las ondas geneadas en el foco o pimaias. C(ω,) ecoge infomación de odas las ondas geneadas fuea del camino dieco epiceno-esación o secundaias. Eso pemie afima que C(ω,) es una caaceísica egional. Las ondas pimaias son las que se genean en el foco y las secundaias en la ineacción de las pimeas con las heeogeneidades disibuidas en una exensa áea fuea del camino dieco ene el epiceno y la esación (Aki, 969; Aki y Choue, 975). Aki (99) demuesa que las convesiones S-P son un oden de magniud infeioes a las convesiones P- S, eso implica que las ondas S son dominanes en la coda (Zeng, 993). En definiiva, un númeo impoane de abajos h apoado evidencias que confiman la eoía de la eodispesión (backscaeing) y han esablecido su validez como puno de paida de los difeenes modelos eóicos (Choue, 976; Rauian y Khaluin, 978; Hemann, 98; Singh y Hemann, 983; Zeng, 993). En geneal los disinos méodos de coda modelan el especo de poencia mediane la expesión: P ω Q ω, m e (3.) ( ) = S( ω ) m depende de la expansión geoméica del fene de onda y vale paa ondas supeficiales y paa ondas inenas.

10 48 CAPÍTULO 3 Aki y Choue (975) popusieon la siguiene expesión paa el especo de poencia de las ondas de coda, β P( ω, ) = g( θ ) Φ ( ) ω, (3.3) siendo β la velocidad de las ondas S, Φ o (ω,) la ansfomada de Fouie de las ondas pimaias a una disancia de la fuene, y g(θ) el coeficiene dieccional de dispesión, definido como 4π veces la pédida faccional de enegía po dispesión po unidad de popagación de las ondas pimaias y po unidad de ángulo sólido en la diección θ de adiación, medida sobe la diección de popagación de la onda pimaia (Aki, 98). Paa el émino Φ o (ω,) Aki y Choue popusieon la siguiene expesión, ω β Q S Φ ( ω, ) = ( ω e (3.4) ) donde S(ω) es el especo de la fuene, - el coeficiene de expansión geoméica y Q el faco de calidad de la aenuación. Linealizando la expesión (3.) se obiene la siguiene ecuación opeaiva (Aki y Choue, 975): [ P(, ) ] = b( ω ) ω / Q ln ω (3.5) donde b(ω) no depende del iempo y P(ω,) se calcula mediane el cuadado de la ampliud de egiso filado mediane un filo de banda esecha cenado en ω. A pai de esa ecuación el faco de calidad se deemina mediane una egesión lineal de ln[ P(ω,)] cona ω. Cabe ecoda que ese modelo supone dispesión isóopa simple y siúa esación y epiceno en un mismo puno Modelo de Sao (977) El méodo de dispesión isóopa simple de Sao (977) es una exensión del modelo popueso po Aki y Choue (975). Ese méodo considea el caso de fuenes y ecepoes no coincidenes, adiación esféica, dispesión isóopa y disibución homogénea e isóopa de

11 TEORÍA DE LA CODA 49 dispesoes (Single Isoopic-Scaeing. SIS model). Bajo esas hipóesis, Sao (977) popuso la siguiene expesión paa la densidad de enegía de la coda a una fecuencia dada f, E s πf W ( f ) g ( f ) = β 4π (3.6) Qc (, f ) K( / ) e donde es la disancia hipocenal, el iempo de popagación medido a pai del oigen del sismo, β es el iempo de popagación de la onda S, g el coeficiene de dispesión y W la enegia oal adiada po la fuene. La función K(α) es de la foma, α + K ( α ) = ln (3.7) α α que iende asinóicamene a K(α) /α paa α >. En ese úlimo caso, la ecuación (3.6) coesponde al modelo de eodispesión simple de Aki y Choue (975). A pai de ese modelo, la azón de decaimieno de las ampliudes a lo lago de la coda (Q - c ) puede se calculada mediane la expesión, ( f, ) (, α ) Aobs π f ln C( f ) k = ln Q (3.8) c donde el émino A obs ( f, ) epesena las ampliudes cuadáicas medias (ms) de los simogamas filados paso-banda con una fecuencia cenal f, k(, α) = (/) K(α).5. La función K(α) es la indicada en la ecuación (3.7), donde α = / s, siendo S el iempo de llegada de la onda S y C( f ) una consane. Paa una ciea fecuencia cenal, el faco Q - c se obiene a pai de la pendiene de la línea eca que ajusa ln [A obs ( f, ) / k(, α)] en función de. El modelo de Aki-Choue (975) sólo epesena bien las condiciones eales paa iempos de popagación más gandes. Rauian y Khaluin esablecieon que la solución popuesa po Aki y Choue ea válida paa iempos de popagación supeioes a dos veces el iempo de popagación de la onda S. En cambio el modelo de Sao (977), al considea fuenes y

12 5 CAPÍTULO 3 ecepoes no coincidenes, pemie ealiza el análisis de la coda inmediaamene as la llegada de la onda S Méodo de Hemann (98) Hemann (98) popuso un méodo de cálculo de Q c ealizando la hipóesis de que la coda esaba compuesa po ondas supeficiales. El méodo de Hemann pae de la expesión popuesa po Aki (969) y que descibe la ampliud pomedio pico a pico A() de la coda en un insane. A 4 () d f p π Q ( ) ( ) 8 = I f p Q 4 df p B f p M e (3.9) donde I(f p ) es la amplificación de insumenos a la fecuencia pedominane obsevada en un iempo, Q es el faco de calidad (en ese caso paa ondas supeficiales), M el momeno sísmico y B(f p ) se define como, B ( f ) [ N( )] Φ ( f ) p = (3.) p, donde N( ) es el númeo de heeogeneidades deno de un adio en el enono del foco y Φ (f p, ) expesa la exciación de las ondas secundaias eflejadas. Uilizando una nueva vaiable * = /Q, * epesena el iempo educido, la ecuación (3.9) se puede escibi como, * ( ) * Q B( f ) M C( f, ) donde C(fp, * ) es la función de caída de la coda definida po A 8 = (3.) p p C * ( f, ) = I( f ) p p * df d p * 4 e * π f p (3.)

13 TEORÍA DE LA CODA 5 Esa ecuación equiee la especificación de la vaiación de la fecuencia pedominane f p con el iempo. Hemann (98) supuso que la fecuencia pedominane obsevada en la coda es una función del especo de la fuene del sismo, de la espuesa insumenal y del filo Q de la iea. No obsane, la ecuación (3.) se puede evalua en el caso de que se abaje con sismos suficienemene pequeños como paa que sus fecuencias esquina (cone fequencies) sean mayoes que la fecuencia pico de la espuesa insumenal. En ese caso, el especo de la fuene queda eliminado y el esulado de la muliplicación de los dos facoes que quedan es un filo al que esán someidas las ondas de coda. Ese filo endá una banda esecha con un pico en la fecuencia f p. El efeco de Q es disminui la fecuencia pedominane obsevada a medida que se consideen insanes de iempo poseioes. Si se supone un valo paicula de * la espuesa del ciado filo del sisema, po efeco del insumeno y de Q es, Φ π f Q ( f ) = I( f ) e, (3.3) Las fecuencias pedominanes de la coda se pueden obene maximizando la expesión (3.3). Maximiza dicha ecuación implica esolve una deivada pacial de Φ(f,) especo de f. Peo debe enese en cuena que Φ(f,) depende de Q. En paalelo debe ecodase que Aki y Choue (975) y Rauian y Kaluin (978) obsevaon una dependencia fecuencial de Q, paa el ango de peíodos coos. Esa dependencia fecuencial se expesa de la foma ν f ( ν ) ( ) Q f, = Q f (3.4) f donde f es la fecuencia de efeencia (habiualmene Hz); Q es el faco de calidad obenido paa la fecuencia de efeencia; f es la fecuencia expesada en Hz y ν es un exponene eal. El méodo seguido po Hemann (98) y aplicado poseiomene po difeenes auoes (p.e. Singh y Hemann, 983) consise en susiui la expesión (3.4) en (3.3) y después ealiza la deivación pacial especo de f. El esulado que se obiene es el siguiene,

14 5 CAPÍTULO 3 * = π I I ( f p ) ( f ) ( ν ) p f f p ν (3.5) donde * = / Q, I(f p ) es la espuesa del insumeno e I (f p ) su pimea deivada. La esolución de esa ecuación se ealiza nomalmene mediane la compuación de un ábaco de cuvas maesas f p - * paa cada insumeno, y su compaación con los esulados expeimenales f -. No obsane, se obsevan algunas conadicciones, ene ellas que Q depende de ν y, po ano, no es una consane como indica la expesión (3.4). Po oo lado, ν = es un puno singula (Q = ). Singh (98) aplicó el méodo descio paa daos egisados en Esados Unidos. Singh y Hemann (983) ealizaon la pimea egionalización de Q paa odo el eioio de Esados Unidos. Poseiomene Jin y Aki (988) egionalizaon el valo de Q paa oda China aplicando ambién ese méodo. Canas e al. (988) siguen ese pocedimieno paa la Península Ibéica. Pujades (987) incopoa una nueva modificación al méodo que sivió paa una egionalización del paámeo Q en la Península Ibéica. Aunque el méodo de Hemann y sus modificaciones se han consideado deno del gupo de méodos que suponen dispesión simple, en ealidad en sus hipóesis básicas no efecúa ninguna suposición sobe la naualeza de la dispesión. Simplemene se opimiza el filo de la expesión (3.3) Modificación de Pujades (Pujades, 987. Pujades e al., 99) Pujades e al. (99) deecaon los poblemas que planeaba el méodo de Hemann (98). Obsevaon que los valoes de Q de coda dependen únicamene de la seie de fecuencias leída en los sismogamas (f p ) y no de odo el ango de fecuencias (f). De modo que en la expesión (3.3) Q es únicamene función de f p y no de f. Seá una consane cuando se deive y las nuevas cuvas maesas oman la foma,

15 TEORÍA DE LA CODA 53 * I' = π ( f p ) I( f ) p f f p ν (3.6) Algunas de las caaceísicas de esas nuevas cuvas son que odas ellas pasan po la fecuencia de efeencia f y ienen un compoamieno asinóico en la fecuencia pico de la cuva de amplificación. Linealizando la expesión (3.6) se obiene la ecuación, ( f p ) f p ( ) + ν I f p f I' ln = ln Q + ln ln π (3.7) donde es el iempo; Q el faco de calidad paa la fecuencia de efeencia; f p la fecuencia pedominane; ν el exponene que indica el gado de dependencia fecuencial de Q C ; I la espuesa insumenal e I su deivada. Conocida la espuesa insumenal de los apaaos empleados y leyendo sobe el sismogama las paejas (f p, ) de la coda, la ecuación (3.7) pemie ealiza una egesión lineal y obene una esimación de los paámeos Q y ν. Pujades (987) aplicó ese méodo paa una egionalización del paámeo Q en la Península Ibéica.

16 54 CAPÍTULO Modelos de dispesión múliple En el apaado aneio se han descio las eoías de Single Back-Scaeing y la eoía de Single Isoopic-Scaeing como eoías de geneación de las ondas coda y su popagación. En ambos modelos se consideaba la hipóesis de que el medio ene la fuene y el ecepo, así como su enono son homogéneos, y que el camino libe medio de las ondas moviéndose ene dos dispesoes es lo suficienemene gande como paa que el iempo medio inveido en el camino libe sea mayo que la duación de la coda. Peo la Tiea es fueemene heeogénea y po ano la aneio suposición no puede se acepada de foma geneal. Se hace necesaio pues, una eoía que enga en cuena múliples efecos de scaeing en el medio. En ese apaado se explicaan disinos modelos de scaeing múliple que conducen a méodos de una esación paa evalua los paámeos del medio Modelo de Gao (983, 984) El puno de paida paa ese modelo son las hipóesis uilizadas en el modelo de Single Back- Scaeing de Aki y Choue (975). Si se supone que las ondas que han sufido scaeing múliple ienen enegías adiivas, enonces el especo de poencia de las ondas coda, a una fecuencia angula ω, calculado en un insane a pai del iempo oigen del eemoo, se puede escibi como, P ( ω ) P ( ω ) = (3.8) k k donde el índice k se efiee al scaeing de oden k de la onda pimaia. Suponiendo scaeing isoópico sin convesión de ondas, Gao e al. (983 a,b) desaollaon un modelo de geneación de ondas coda. Gao e al. (983 a) lo hicieon paa un modelo de Tiea bidimensional, y Gao e al. (983 b) paa un modelo de Tiea idimensional. A coninuación se descibe bevemene el modelo idimensional debido a su mayo genealidad. El pocedimieno a segui paa obene el modelo pae de la consideación inicial del scaeing doble y poseiomene se hace una exensión a gados supeioes.

17 TEORÍA DE LA CODA 55 Scaeing doble En esa apoximación se siúa la fuene y el pime dispeso como focos de dos supeficies elipsoidales concénicas, esando sepaados ambos po una disancia (Figua 3.4). Como hipóesis se considean fuene y ecepo coincidenes en el espacio. En el volumen compendido ene ambas supeficies elipsoidales consideamos una disibución unifome del conjuno de segundas heeogeneidades. Los ejes mayoes de los elipsoides ineno y exeno son - y (+d)-, especivamene, donde d viene dado po, v d = d (3.9) Paa los dispesoes ene dos supeficies elipsoidales exisen dos ipos de fuenes de ondas incidenes, una epesenada po F R coespondiene a la fuene de ondas pimaias, foco del sismo, y oa epesenada po H cuyo oigen es el scaeing de las ondas pimaias po la pimea heeogeneidad. ds d 3 θ F R 3 H S Figua 3.4 Geomeía del poblema de scaeing doble según el modelo de Gao e al. (983 a,b).

18 56 CAPÍTULO 3 El cuadado del especo de ampliud, obsevado en el iempo debido al pa de heeogeneidades del medio, y uilizando la geomeía de la figua 3.4, se puede escibi como, ( ) ( ) ( ) Φ = Φ 3 6 Q e ω ω π σ ω (3.) donde es una disancia de efeencia y y 3 son las disancias desde el pime dispeso al segundo, y desde la segunda heeogeneidad al ecepo especivamene. Φ(ω ) es el especo de ampliud de la onda incidene a una disancia de la fuene. A pai de ese esulado se obiene la densidad del especo de poencia de las ondas que llegan en el inevalo de iempo y +d, ( ) ( ) Q e S v n K P = ω ω σ ω (3.) ( ) ( ) Q e S Φ = ω ω ω (3.) donde n es la densidad de heeogeneidades ene dos supeficies elipsoidales, y K se esuelve numéicamene y esula igual a π/8. Scaeing iple y de oden supeio Uilizando el mismo pocedimieno seguido paa el modelo de scaeing doble, se puede escibi el especo de ampliud paa el iple como, ( ) ( ) ( ) Φ = Φ Q e ω ω π π π σ ω (3.3) donde,, 3 y 4 epesenan las disancias ene la fuene y la pimea heeogeneidad, pimea y segunda, segunda y ecea y ene la ecea heeogeneidad y el ecepo, especivamene. De ese modo y siguiendo la écnica empleada paa el scaeing doble se encuena la densidad especal de poencia P 3 (ω ) que esula se,

19 TEORÍA DE LA CODA 57 ω 3 3 Q ( ω ) = K n σ v S( ω ) e P3 3 (3.4) donde K 3 se esuelve numéicamene. El pocedimieno, exendido a odenes de scaeing supeioes pemie expesa la densidad del especo de poencia de la foma P ω 3 [ K ] 3 Q i ( ω ) = v ( n σ ) S( ω ) e ( n σ) i= i (3.5) a pai de esa expesión se puede eescibi P(ω ) como suma de la conibución debida al scaeing simple y al scaeing múliple. P ( ω ) P ( ω ) + P ( ω ) = (3.6) s m donde P ( ) s ω ( ω ) Q ω n σ v S = e (3.7) y P m ( ω ) ( n σ ) v S( ω) ω Q m i [ ( n ) K i ] = e σ i= (3.8) Obsevando P s (ω ) y P m (ω ) se apecia una dependencia con de la foma - y - especivamene. Eso indica que después de un cieo valo del iempo de viaje, la conibución del scaeing múliple comienza a se más impoane que la del simple. Gao e al. (983 b) ealizaon las inegaciones de foma numéica de las expesiones K i con el fin de calcula la conibución de cada émino en P m (ω ). Los auoes obsevaon que paa

20 58 CAPÍTULO 3 un oden de scaeing supeio a 7, su conibución al especo de poencia es pácicamene nula. Uilizando hasa ese oden de scaeing obuvieon un valo de P m (ω ) de la foma, P m ( ω ).3 = ω.67n σ ( n σ ) v S( ω) Q e (3.9) Asimismo, esos auoes demosaon que las esimas de Q c uilizando la eoía de Aki y Choue (975) se hallaban sobeesimadas al no ene en cuena los efecos de scaeing múliple con heeogeneidades del medio. Esa sobeesima ea de.3 paa un medio idimensional. Acualmene exisen abajos que incopoan esa coección a los valoes de Q c esimados con eoías de scaeing simple (Novelo-Casanova, 989). La desvenaja del modelo de Gao (983 a,b) es que, al supone coincidencia espacial de fuene y ecepo, no pemie sepaa en la pácica los valoes de Q i y Q s de Q. Dainy (98) a pai de los esulados obenidos po Gao e al (983 a,b) hasa oden 7 de dispesión y con la suposición Q (3.3) T = QS + Qi obiene, paa la densidad del especo de poencia, la siguiene expesión, ω ( ω) Q ω (.33ω / Q S ) ω S P( ω ) = e +. 3 e (3.3) QS v QS Esa es la ecuación base del modelo que pemie discimina los valoes de Q i y Q s. Esa ecuación no es inveible linealmene lo que hace necesaio un méodo no lineal de invesión paa deemina los valoes de Q i y Q s Modelo de Tansfeencia Radiaiva (Wu, 985) Wu en 984 y en 985, con el fin de sepaa el efeco de scaeing en heeogeneidades del efeco de la aenuación inínseca, aplica la eoía de la ansfeencia adiaiva (Chandasekha, 96) a la popagación de ondas sísmicas y fomula la disibución de

21 TEORÍA DE LA CODA 59 densidad de enegía, en el espacio, en el dominio de la fecuencia paa una fuene punual. En el modelo se considea ano el caso de scaeing isoópico como el de un fuee scaeing en la diección de popagación. A pai de la foma de la cuva de disibución de enegía se obiene el albedo sísmico B y ello pemie sepaa los efecos del scaeing en heeogeneidades del medio y la aenuación anelásica. Wu (985) paa su desaollo considea sólo ondas S y la coda paa pequeños eemoos locales. Wu y Aki (988) uilizaon ese méodo paa calcula la aenuación en la egión del Hindu Kush; Toksöz e al. (988) al noese de Esados Unidos y Canadá; Mayeda e al. (99) a Califonia; Mc Sweeney e al. (99) a Alaska y Fenández y Heaiz (99) al suese de la Península Ibéica Modelo de Flujo de Enegía (Fankel y Wennebeg, 987) El modelo popueso po Fankel y Wennebeg (987) es un modelo basado en el siguiene dao expeimenal: La poencia de la coda es homogénea en la coda paa inevalos de iempo supeioes a veces s, siendo s el iempo de viaje de la onda S. Eso es, mienas la ampliud de la onda S que viaja dieca decece con la disancia debida a la expansión geoméica y a la aenuación, la ampliud de la coda en unos cieos inevalos de iempo después del iempo oigen pemanece pácicamene consane paa cualquie disancia epiceno-esación. El modelo supone que la enegía media de la coda es homogénea en un volumen esféico. El modelo no hace suposiciones especo a si en el volumen de la coda se poduce scaeing simple o múliple. El modelo descibe la elación ene las popiedades de la coda, decaimieno en el iempo y ampliud, y la aenuación inínseca o de scaeing en las heeogeneidades del medio. A coninuación se desciben bevemene las dos vaianes del modelo. La pimea vaiane considea medios que no poseen aenuación inínseca. La segunda vaiane considea medios con aenuación inínseca y de scaeing.

22 6 CAPÍTULO 3 Medios sin aenuación inínseca. En ese supueso, la enegía elásica oal del medio, E T, se conseva y pemanece consane en el iempo. Esa enegía viaja con la onda pimaia. Cuando se encuena con una heeogeneidad, algo de esa enegía es eflejada o dispesada y llega más ade en la coda. Como no esá pesene el efeco de la aenuación inínseca no hay pédida de enegía. Eso pemie escibi, E = E + E (3.3) T D C Donde E T es la enegía oal, E D es la enegía del fene de ondas dieco y E C es la enegía que llega con la coda. La enegía de la onda dieca esá sufiendo coninuamene pocesos de scaeing hacia la esación de egiso, paa foma la coda, a medida que el fene de ondas se expande en el medio. Tanscuido un cieo iempo después del iempo oigen del eemoo, exise una pédida de la enegía dieca debido al poceso de scaeing. Llamando Q S al faco de calidad de ese poceso podemos expesa, E D = E T e ω Q S (3.33) y ambién, E C ω Q e S (3.34) = ET Consideando que la densidad de enegía de la coda, ε C, es consane en el espacio, la ampliud de la coda A C, obsevada en un ecepo deno de un volumen esféico sobe el que se popaga el fene de ondas, es popocional a la aíz cuadada de la densidad de enegía de la coda. Si v es la velocidad media de popagación de la onda en el volumen, la densidad de enegía en la coda esula,

23 TEORÍA DE LA CODA 6 = v E C C π ε (3.35) donde es el inevalo de iempo anscuido. Uilizando la ecuación (3.34) se obiene, ( ) = S Q T C e v E ω ε (3.36) eniendo en cuena que, ( ) C C A ε κ = (3.37) donde κ es una consane de popocionalidad, se puede escibi, ( ) ( ) 3 / 3 4 = v e E A Q S T C π κ ω (3.38) En κ se engloban odos los éminos de popocionalidad. Reodenando la úlima expesión se obiene finalmene, ( ) S Q T C e v E A / = ω π κ (3.39) Esa ecuación que descibe el decaimieno de la coda eniendo en cuena el efeco de scaeing en las heeogeneidades del medio. Medios con aenuación inínseca y aenuación de scaeing. Si se considean medios en los que enga luga un poceso de aenuación inínseca y de scaeing con las heeogeneidades del medio, es necesaio añadi la conibución de la aenuación inínseca a la fómula del decaimieno de la coda. La aenuación inínseca

24 6 CAPÍTULO 3 povoca un decaimieno de la enegía oal con el iempo. Si se expesa la aenuación inínseca como Q I, se puede expesa la enegía oal como, E T = E e ω / Q i (3.4) donde E es la enegía elásica inicialmene adiada po el eemoo. Susiuyendo E T en la ecuación (3.39) se obiene, A C 3 E / Qi / QS ( v ) 3 ω ω = κ e e (3.4) 4 π ecuación que descibe el decaimieno de la coda eniendo en cuena los efecos de aenuación anelásica y de scaeing en heeogeneidades del medio. Paa inevalos coos de iempo y valoes alos de Q C, y desaollando en seie de Taylo el émino exponencial admie expesase como, ω / Q ω S e = Q S +... (3.4) con lo que la expesión (3.4) se puede apoxima a A C e ω / Q i (3.43) Se obseva que esa ecuación es equivalene a la fómula del modelo de Single Back- Scaeing popuesa po Aki y Choue (975), con la salvedad de ene el émino Q I. Eso puede indica la posibilidad de que Q coda, en la eoía de Single Back-Scaeing sea una medida de Q inínseca. La única manea de pode calcula Q i y Q S con el modelo de Flujo de Enegía es uilizando algún méodo de invesión no lineal. El poblema se pesena en la fuee dependencia de la solución especo de los valoes iniciales inoducidos.

25 TEORÍA DE LA CODA Modelo de Hoshiba (99) Hoshiba e al. (99), popone el Méodo de las Venanas Múliples de Inevalos de Tiempo (Muliple Lapse Time Windows. MLTW Mehod). Ese modelo, a pesa de que equiee hipóesis muy fuees, pemie sepaa las conibuciones de la absoción inínseca (Q - i ) y la dispesiva (Q - s ) a la aenuación oal (Q - ). Con odo, ese méodo ambién equiee de una gan calidad en los daos y una buena disibución espacio-empoal de los egisos. Hoshiba (99) modeliza la disibución espacio-empoal de la enegía de las ondas sísmicas mulidispesadas mediane una simulación numéica po el méodo de Monecalo (Gusev y Abubakiov, 987; Abubakiov y Gusev, 99). Se supone una dispesión isóopa y una disibución aleaoia y unifomemene disibuida de dispesoes punuales. Los esulados obenidos con la simulación esán de acuedo (Hoshiba, 99) con una solución inegal del mismo poblema obenida po Zeng e al.(99). La inegal de la densidad de enegía obenida con la simulación, paa un inevalo de iempo muy lago, coincide con los esulados obenidos po el méodo inoducido po Wu (985) basado en la eoía de ansfeencia adiaiva (Ishimau, 978). No obsane, Hoshiba (99) obsevó que exisen discepancias ene la uilización de una venana finia o infinia de iempo, y ello puede inoduci eoes en la esimación de los paámeos de aenuación. Así, los valoes del albedo enconados po auoes aneioes (Wu y Aki, 988; Toksöz e al., 988; Mayeda e al., 99; Mc Sweeney e al., 99; Fenández y Heaiz, 99) pueden conene algunos eoes debidos a la uilización de venanas finias de iempo en la inegación de la enegía. Po ano, no es apopiado compaa los esulados obenidos a pai de venanas finias de iempo con el modelo de Wu, basado en una venana de iempo infinia. En el caso de valoes de g gandes la dispesión hace que la enegía se disibuya al final del sismogama, y se puede subesima la enegía oal si la venana empoal de inegación es pequeña (Hoshiba, 99) Paa evia el poblema de las venanas finias de iempo, Fehle e al. (99) adopaon un méodo denominado análisis po venanas múliples de inevalos de iempo (Múliple Lapse Time Windows), cuyas bases eóicas se hallan en un abajo aneio (Hoshiba e al., 99). El méodo se basa en compaa la enegía obsevada de las ondas sísmicas, inegada sobe

26 64 CAPÍTULO 3 vaias venanas finias de iempo consecuivas consideadas a pai de la llegada de la onda S, con la enegía pedicha po el modelo de mulidispesión isóopa (Hoshiba, 99; Zeng e al., 99). Esa meodología fue aplicada po Fehle e al. (99) a la egión de Kano-Tokai en Japón, hallándose valoes del albedo sísmico y del coeficiene de dispesión a pai de sismogamas egionales, consideando la enegía de es venanas consecuivas de iempo en función de la disancia hipocenal. Hoshiba (993), inoduciendo algunas mejoas al méodo, obuvo esulados paa una ed de esaciones siuada en Japón. Paa cada esación se calculaon dos paámeos (Wu, 985): El albedo sísmico, B =Q - s /(Q - s +Q - i ), definido como la azón adimensional de la pédida po dispesión especo a la aenuación oal. El inveso de la longiud de exinción, L - e = (Q - s + Q - i ) ω / v, que es la invesa de la disancia (en km) sobe la cual la enegía de la onda S decece en una popoción de e -. El méodo de las venanas múliples ambién ha sido aplicado a oas egiones como son el su de Califonia (Jin e al., 994), el su de la Península Ibéica (Ugalde, 996; Akinci e al., 995) y oese de Tuquía (Akinci e al., 995). A coninuación se descibe bevemene la meodología de la écnica de análisis po venanas múliples de inevalos de iempo. Mulidispesión isóopa y ausencia de aenuación inínseca El pime aspeco a esolve es la simulación, po el méodo de Monecalo, de las disibuciones de la densidad de enegía de las ondas sísmicas mulidispesadas, en el espacio y en el iempo, bajo las hipóesis de dispesión isóopa y sin considea aenuación inínseca. Se epesenaá la popagación de la enegía de la onda S a pai de la ayecoia de muchas paículas. Cada paquee de enegía es adiado po la fuene en una diección. En los lugaes del espacio en que se halla un dispeso se poduce un cambio de diección de los paquees de enegía sin que se pieda enegía po el efeco de aenuación inínseca ya que Q i se considea nula. La localización de los dispesoes y la nueva diección que oiena los paquees de enegía incidenes vienen dados po una función de pobabilidad calculada paa un cieo ecoido libe medio, g -, y suponiendo dispesión isóopa. El númeo de veces que el paquee de enegía cambia de diección coesponde al oden de dispesión que lo gobiena.

27 TEORÍA DE LA CODA 65 Se uilizan un gan númeo de paquees de enegía y muchos ódenes de dispesión paa esima la disibución espacio-empoal de la enegía mulidispesada de las ondas de coda. En el poceso se calcula, en pime luga, la densidad de enegía coespondiene a cada oden de dispesión sepaadamene. A coninuación esas funciones se suman paa obene la densidad de enegía oal. De ese modo, la densidad de enegía oal coniene el efeco de odos los odenes de dispesión. Paa simula numéicamene la densidad de enegía de las ondas mulidispesadas aplicando el méodo de Monecalo, se asumen las siguienes hipóesis básicas (Hoshiba 99):. A pai de una fuene punual y en un inevalo de iempo muy coo, adian esféicamene las ondas S.. No se poducen convesiones de fase ene las ondas P y S. La enegía de las ondas S (coheenes) se popaga con una velocidad consane β. 3. Los dispesoes son punuales y pesenan una sección ansvesal de dispesión σ, y esán disibuidos aleaoiamene con una densidad unifome n (númeo de dispesoes po unidad de volumen). 4. La dispesión es isóopa y la poencia de la dispesión po unidad de volumen se caaceiza po el coeficiene de dispesión g = σ n. 5. La aenuación po dispesión viene dada po Q - S = gβ / ω, donde ω es la fecuencia angula de la onda S. 6. Exise aenuación inínseca definida po Q - i. Esa aenuación es unifome en el espacio. Ugalde (996) explica con dealle el algoimo de simulación numéica, basado en el méodo de Monecalo, seguido paa la obención de la función densidad de enegía de scaeing E S (,). La simulación efecuada cumple el pincipio de consevación de la enegía, hecho que fue demosado po Hoshiba (99). La enegía oal que sale de la fuene se divide en la conibución de enegía de la onda dieca y en la de la onda dispesada, paa disinos odenes de dispesión, del siguiene modo,

28 66 CAPÍTULO 3 W β gβ = W e + ES 4 (, ) π d (3.44) donde W epesena la enegía oal adiada po la fuene; g es el coeficiene de dispesión; β la velocidad de las ondas S; es el iempo; la disancia hipocenal y E S (,) la densidad de enegía de las ondas mulidispesadas cuya deducción se ealiza con mucho dealle en Ugalde (996). El faco 4π coesponde a la coección po expansión geoméica. El pime sumando del segundo miembo de la ecuación (3.44) coesponde a un dececimieno de la enegía de la onda dieca debido a la dispesión y se denomina W d () mienas que el segundo sumando, cuya denominación es W S (), epesena la inegal voluméica de la enegía de las ondas dispesadas. Consideando los siguienes paámeos: Númeo de paículas de W = 5 5 ; g =. Km - ; β = 3.5 Kms - ; vaiando de s a 3 s con inevalos de /3 s; vaiando de a Km, con inevalos de Km y oden máximo de dispesión, la consevación de la enegía queda aseguada en un inevalo de iempo de cálculo acepable (Ugalde,996). La enegía oal de las ondas dispesadas es la suma de las enegías simuladas paa cada oden de dispesión al y como indica la siguiene expesión, E n S Si, i= (, ) E ( ) = (3.45) donde n es el oden máximo de dispesión. Así, a pai de la ecuación (3.44) la enegía oal dispesada paa cada oden viene dada po, W S n () = W () i= Si (3.46) donde W si () es el esulado de la siguiene inegal,

29 TEORÍA DE LA CODA 67 W Si β () E (, ) 4π d = Si (3.47) Consideando que la enegía oal dispesada puede escibise como (Hoshiba, 99), W S n i= i gβ ( gβ) e = W Ai (3.48) y dado que la ecuación (3.44) pemie escibi la enegía de la onda dieca como, W d gβ () W e = (3.49) y la enegía oal como, W () W () + W () W = (3.5) d S = odo ello pemie, finalmene, escibi la enegía oal del siguiene modo, W n gβ [ + gβ + A ( gβ) + + A ( gβ) ] e = W... n (3.5) donde A n = /n!. En la figua 3.5 (Ugalde, 996) se epesenan los valoes de enegía dispesada paa cada oden de dispesión, obenidos a pai de la simulación numéica, juno a las cuvas eóicas dadas po la ecuación (3.48). Se obseva la coincidencia ene las cuvas eóicas y los valoes pocedenes de la simulación.

30 68 CAPÍTULO 3 Figua 3.5 Enegía dispesada paa difeenes odenes de dispesión (g =. Km - ). Los símbolos epesenan valoes obenidos a pai de la simulación y las líneas coninuas son las cuvas eóicas (Ugalde, 996). Finalmene Hoshiba (99) demosó ambién que paa gβ., domina la dispesión débil, en cuyo caso los modelos de dispesión simple apoximan bien las disibuciones de la densidad de enegía. Po oa pae, paa gβ domina la dispesión fuee, y, en ese caso, son los modelos de difusión los que expesan coecamene los esulados de la simulación. Mulidispesión isóopa con aenuación inínseca En ese apaado se consideaá la exisencia de aenuación inínseca en el medio. El objeivo es considea ese efeco y deemina la conibución de la absoción inínseca y de la dispesión en la aenuación oal. Los sismogamas se pueden sepaa en es amos: un pime amo que incluye la llegada de la onda dieca más las pimeas ondas de coda, un amo inemedio consiuido

31 TEORÍA DE LA CODA 69 exclusivamene po ondas de coda y un amo final que incluye las úlimas ondas de coda. Los dos úlimos amos esán compuesos exclusivamene po ondas dispesadas. Sea E(, ω) la densidad de enegía de la onda dieca más las dispesadas a la disancia hipocenal y iempo de popagación paa la banda de fecuencias cenada en ω. Dado que las hipóesis obsevadas no considean convesiones ene ondas de disinas fecuencias, la esimación de Q i - y Q s - se puede ealiza en cada banda fecuencial independienemene y la densidad de enegía se puede expesa como E(,). A pai de Hoshiba e al. (99), la enegía en función de la disancia hipocenal paa cada una de las venanas de iempo en que se ha fagmenado la coda (T, T y T 3 a pai del iempo de llegada de la onda S) viene dada po las expesiones siguienes, () ( ) ( ) ( ) d h E W L E T s e + = + β β π π β β exp, 4 exp 4 (3.5) () ( ) ( ) d h E W E T T s = + + β β π π β β exp, 4 4 (3.53) () ( ) ( ) d h E W E T T s = + + β β π π β β exp, (3.54) donde, B g Le = ; i e i T g L B T = β β ; ( ) B L h e = ; g L B e = (3.55) de modo que el índice i ecoe el conjuno {,,3}.

32 7 CAPÍTULO 3 El pime émino del segundo miembo de la ecuación (3.5) coesponde al dececimieno de la enegía de la onda dieca debido a la aenuación oal. El faco exponencial incluido en las inegales de (3.5), (3.53) y (3.54), efleja el efeco de la absoción inínseca. Las vaiables con baa son las uilizadas en la simulación y aquellas despovisas de baa son vaiables eescaladas, es deci, los nuevos valoes paa los cuales se calcula la enegía. El desaollo de la simulación y oos dealles se desciben en Ugalde (996). A pai de las cuvas de disibución de la enegía 4π E (), 4π E () y 4π E 3 () simuladas numéicamene, como funciones de la disancia hipocenal, es posible evalua sepaadamene los paámeos B y L - e. El méodo consise en calcula las cuvas eóicas paa vaias paejas ( L - e, B ) y compaalas con las obsevaciones. El poceso pemie escoge la paeja que mejo ajusa las cuvas obsevadas. En geneal, los valoes de B >.5 indican que la aenuación po dispesión es dominane, y valoes de B <.5 indican que la absoción inínseca domina la aenuación. A pai de esos paámeos, la aenuación oal, la pédida po dispesión y la absoción inínseca se calculan mediane las expesiones: β Q = Le (3.56) ω Q (3.57) S = B Q ( B ) Q Q (3.58) i = siendo ω la fecuencia angula y β la velocidad de las ondas S. Los facoes de calidad oal, inínseco y dispesivo, se elacionan mediane la ecuación (Dainy, 98), Q (3.59) = Qi + QS

33 TEORÍA DE LA CODA 7 Pujades e al. (997) poponen un méodo sencillo y eficaz paa esima los facoes de Calidad inínsecos y dispesivos a pai del análisis de la dependencia fecuencial del faco de calidad Q c. Bajo deeminadas hipóesis, Q - c = Q - i + Q - s y, además Q c = Q f ν siendo Q el faco de calidad a Hz y ν el paámeo que ige la dependencia fecuencial. Bajo esa hipóesis se cumple que: Q i Q ν = f (3.6) ν Q S Q ν = f (3.6) ν siendo f una fecuencia de efeencia que suele omase igual a Hz. Pujades e al. (997) aplicaon el méodo a la cuenca de Almeía hallando una excelene coelación ene la ecónica, geología y valoes de los facoes de calidad. La aenuación inínseca es mucho más sensible a las caaceísicas geológicas del medio mienas que la aenuación dispesiva se elaciona con las heeogeneidades del medio. La figua 3.3 pesena los mapas de disibución de los facoes de calidad obenidos. La figua pemie obseva la mayo sensibilidad del faco de calidad inínseco a las vaiaciones geológicas del medio. La deducción de las expesiones 3.6 y 3.6 suponen que Q c epesena la Q y que la Q i no depende de la fecuencia po lo que su aplicación indisciminada puede induci a eoes o inepeaciones incoecas.

34 7 CAPÍTULO 3 Figua 3.6 Mapa de disibución de los facoes de calidad obenidos a pai de la coda (3.6.a), el faco de calidad dispesivo (3.6.b) e inínseco (3.6.c).(Pujades, 997)

35 TEORÍA DE LA CODA La ecuación inegal de Zeng (99) La enegía eóica paa unos cieos iempo de popagación y disancia hipocenal se calcula a pai de la siguiene ecuación inegal (Zeng e al., 99): L e (, ) = e E E β 4π + V g E L e e, dv β 4π (3.6) siendo E(,) la densidad de enegía sísmica idimensional po unidad de volumen paa una fuene punual siuada en la posición en el insane =. El pime émino de la pae deecha de la expesión aneio epesena la enegía de la onda dieca, y el segundo es la conibución de odos los ódenes de enegía dispesada, siendo g = L e - B el coeficiene de dispesión. Esa ecuación se puede esolve numéicamene paa vaias combinaciones de B y L - e (Pujades e al., 997; Canas e al., 998; Ugalde e al., 998, Ugalde e al., ). 3.5 Resumen y conclusión En ese capíulo se han evisado el conjuno de modelos que han aado la geneación de ondas coda. Se ha dividido el conjuno de modelos en dos gandes gupos; Los modelos cuya hipóesis de paida es la dispesión simple, y, po oo lado, los modelos que se apoyan en la dispesión múliple. Una vez descia la eoía de los disinos modelos se dealla el modo en que cada uno de ellos pemie obene los paámeos de aenuación sísmica. La mayoía de modelos compaen la hipóesis de dispesión isóopa y disibución homogénea de dispesoes. Sin embago, la Tiea esponde al modelo de un medio esaificado. La mejoa de los modelos equiee considea el efeco de la anisoopía y la