Geometría del espacio: ángulos, distancias, simetrías 1

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1 Geomeía del espacio: ángulos, disancias, simeías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Ángulos, disancias, simeías Poblemas Popuesos Ángulos ene ecas planos Dadas las ecas s de ecuaciones: a) Compueba que se coan alla su puno de coe b) Deemina el ángulo que foman s c) Halla la ecuación del plano que coniene a s s (Popueso en Selecividad en, Mucia) Calcula el ángulo que foman la eca el plano π, siendo: : : Halla el ángulo que foma el plano : con la eca de ecuaciones : Halla el ángulo que foma la eca con el plano Deemina el ángulo que foman los planos: : : 6 Halla el ángulo que foman los planos : : Paalelismo pependiculaidad Sea el puno P = (,, ) la eca : a) Halla la ecuación del plano π que pasa po P es pependicula a la eca b) Halla el puno de coe ene la eca el plano 8 (Popueso en Selecividad en, Asuias) Se considea la eca : a) Deemina el plano que coniene a pasa po el oigen de coodenadas b) Halla la ecuación de la eca pependicula a que pasa po el puno (,, ) José Maía Maíne Mediano

2 Geomeía del espacio: ángulos, disancias, simeías José Maía Maíne Mediano 9 Sea un númeo eal, las ecas de ecuaciones: Deemina el valo de paa el que s son paalelas En ese caso, alla la ecuación geneal del plano que las coniene Dadas las ecas de ecuaciones: : : b a a) Qué elación debe eisi ene a b paa que sean paalelas? b) Y paa que sean pependiculaes? Halla la ecuación de la eca que pasa po el puno P(,, ) que sea paalela a los planos: : : Halla la ecuación del un plano pependicula a los planos π π, del poblema aneio, que pase po el puno Q(,, ) Dadas las ecas:, a) Compueba que se coan pependiculamene b) Halla la ecuación del plano que las coniene c) Halla la eca pependicula común a s Dadas las ecas: a) Esudia la posición elaiva de las ecas s b) Halla la ecuación de una eca que sea pependicula simuláneamene a s Se considean las ecas s de ecuaciones especivas, a) Esudia la posición elaiva de s b) Deemina la eca que coa pependiculamene a s c) Halla la disancia ene s 6 Sean las ecas de ecuaciones a) Compueba que se cuan en el espacio b) Halla un puno de oo de s ales que el veco con oigen en uno eemo en el oo sea pependicula a ambas ecas Halla la eca pependicula común a a s Halla las ecuaciones de la eca pependicula común a s que coa a ambas, siendo:, s

3 Geomeía del espacio: ángulos, disancias, simeías Poecciones en el espacio 8 Halla la poección de P(,, ) sobe el plano : : 9 Halla la poección oogonal de de la eca sobe el plano Obén la solución de las dos fomas posibles: ) Mediane el coe de dos planos ) Poecando dos punos de sobe el plano Halla la poección del puno P(,, ) sobe la eca Simeías Halla las coodenadas del puno P siméico de P(,, ) especo de la eca (Popueso en Selecividad en, Islas Baleaes) Dados el puno A = (,, ) el plano :, deemina las coodenadas del puno A, siméico del puno A especo del plano Calcula la disancia de A al plano Disancias Halla la disancia del puno P a la eca en los siguienes casos: a) P(,, ) b) P(,, ) : c) P(6,, ), Halla el puno de la eca cua disancia al puno P(,, ) sea Dados la eca el plano a) Compueba que la eca es paalela al plano b) Halla la disancia de a 6 Halla la disancia ene la eca deeminada po el puno S(,, ) el veco v = (,, ) el plano José Maía Maíne Mediano

4 Geomeía del espacio: ángulos, disancias, simeías José Maía Maíne Mediano Halla los dos punos de la eca que esán a disancia del plano 8 Halla la disancia ene las ecas s de ecuaciones: a) b) s 9 Halla la ecuación del plano que es paalelo equidisane a las ecas s de ecuaciones: Obsevación: Esas son las ecas del apaado a) del poblema aneio Halla la disancia ene las ecas s de ecuaciones: a) 8 b) Planos biseco mediado Halla el plano biseco de los planos 6 Compueba paa los planos del ejecicio aneio: a) Que el plano π foma con cada uno de los dos iniciales,, un ángulo que es la miad que el que deeminan los planos b) Que los planos bisecoes son pependiculaes Halla el plano mediado de los punos P(,, ) Q(,, ) Dados los punos del espacio P(,, ) Q(,, ), alla la condición que debe cumpli un puno de coodenadas A(,, ) paa que esé a la misma disancia de P Q Oos poblemas a) Halla la eca que pasa po el puno P(,, ) es pependicula al plano 6 b) Halla la ecuación de la eca s que pasa po los punos A(,, ) B(,, ) c) Esudia la posición elaiva de s Si se coan, calcula el puno de coe d) Calcula la disancia del puno A(,, ) al plano π que pasa po el puno P(,, ) es paalelo a π

5 Geomeía del espacio: ángulos, disancias, simeías 6 Dado el puno P(, 8, ) la eca s a) Halla la ecuación del plano que coniene a P a la eca s b) Calcula la ecuación de la eca, pependicula al plano allado que coniene a P Encuena los punos de la eca : que equidisen de los planos 8 Dadas las ecas de ecuaciones: s a) Esudia su posición elaiva b) Si se cuan, calcula la disancia mínima ene ellas 9 a) Sea el plano deeminado po el puno P(,, ) los vecoes u = (,, ) v = (,, ) Calcula el ángulo que foma el plano con la eca que pasa po los punos O(,, ) Q(,, ) b) Calcula el puno siméico de O(,, ) especo del plano (Popueso en Selecividad en 6, Madid) Sean las ecas: s a) Halla la ecuación de la eca que pasa po el oigen coa a las dos ecas aneioes b) Halla la eca pependicula común a las eas s Considea la eca el plano siguienes: : : a) Compueba que la eca el plano son paalelos b) Calcula la disancia ene el plano la eca c) Calcula la ecuación implícia del plano que es pependicula a coniene a (Popueso en Selecividad en, Casilla León) Un cuadado iene dos véices consecuivos en los punos P(,, ) Q(,, ) los oos dos sobe una eca que pasa po el puno R(,, 6) a) Calcula la ecuación de la eca (, punos) b) Calcula la ecuación geneal del plano que coniene al cuadado ( puno) c) Halla las coodenadas de uno de los oos véices (, punos) Halla el luga geoméico de los punos que equidisan de los planos de ecuaciones: 9 Qué punos del eje OY equidisan de ambos planos? José Maía Maíne Mediano

6 Geomeía del espacio: ángulos, disancias, simeías 6 (Popueso en Selecividad en 9, Navaa) Dado el puno R(,, ), encuena los punos P Q de la eca 6 ales que PQR sea un iángulo equiláeo Los punos P(,, ) Q(,, ) son dos véices opuesos de un cuadado que esá conenido en un plano pependicula al plano de ecuación a) Deemina los oos dos véices b) Calcula la ecuación de la eca que pasa po los véices obenidos en a) c) Calcula el peímeo del cuadado consuido 6 Los punos P (,, ) P (,, ) son véices de un cuadado Halla los oos dos véices de ese cuadado sabiendo que esán en la eca Soluciones: a) P(,, ) b) 9,º c) º 9,º º,88º 6 6º a) b) Q = (,, ) 8 a) : b) s : 9 a) a = b, ambos disinos de b) a = b : 9 / 8 a) Se coan en P,, b) c) p 8 / / Se cuan b) p a) Se cuan b) c) 6 a) Se cuan b) R(,, ) S(,, ) p 6 / / p 8 P = ( /, /, 8/) / p José Maía Maíne Mediano

7 Geomeía del espacio: ángulos, disancias, simeías 9 9 P =,, P,, A = (,, ) 6 a) 9 69 b) c) (,, ) a) Lo es b) 6 P = (,, ) P = (,, ) 8 a) b) 9 : 9 a) b) : 9 : a) Si b) Si Peenece al plano a) : b) s : c) Se coan en C(,, ) d) 6 a) : b) 8 6 P,, P,, a) Se cuan b) 9 a) La eca es pependicula al plano b) O = (/, /, /) / a) : b) / 8 6 / Lo son b) c) 6 8 a) b) : P(,, ) Q(,, ) c),, P (,, ), /, a),,,, b) 6 P,,, P, c) 6 José Maía Maíne Mediano