8 Sistema diédrico: introducción

Transcripción

1 Solucionaio 8 Siema diédico: inoducción 8.. ibuja la aza del plano deeminado po la eca oizonal : (-7,, ) (, 4, ) y la fonal : (-, 4, ) (, 4, ). Repeena en el plano la línea de máxima pendiene y de máxima inclinación. Oigen en el ceno de LT.. Se allan la aza veical V y oizonal H de la eca dada (figua ).. La aza oizonal del plano paaá po la aza oizonal H; ademá, eá paalela a la poyección oizonal po e la eca una eca oizonal.. La aza veical paa po la aza veical V, y e paalela a la poyección veical po e la eca una eca fonal. Vm Vn m n V- H- n Hm m Hn IG. 44 Solucionaio

2 8.. o el puno (, 55, 5) aza un plano paalelo al egundo plano bieco. Oigen en el ceno de LT.. Se aza un plano π de pefil cualquiea (figua ), y e alla la ecea poyección del puno.. La ecea aza del egundo bieco foma 5º con la línea de iea. o ano, la ecea aza e paalela a la aza del egundo bieco, y paa po. º bi π. Reiuyendo el plano, e deeminan u aza y. π IG. 8.. ada la poyeccione diédica de un puno (-, -, 5) y de una eca : (,, ) (,, ), alla la aza del plano que deeminan. Oigen en el ceno de LT.. Se elige un puno cualquiea de la eca (figua ): la poyección oizonal debe ea en, y la poyección veical en.. Se unen lo puno y mediane la eca m. l poblema conie aoa en alla la aza del plano que deeminan do eca, y m, que e coan.. Se allan la aza Hm y vedadea magniud de la eca m, y la aza H de la eca. 4. La aza oizonal del plano e la que une la aza oizonale H y Hm de la eca. La aza veical e alla al uni la aza veical Vm con el véice del plano (puno donde e coa con la línea de iea). m H- m Hm Vm IG. Solucionaio 45

3 Solucionaio 8.4. Halla la ineección de lo cuao pae de plano dado (figua 4). Siguiendo el pocedimieno geneal, la aza oizonal de la eca ineección e alla donde e coan la aza oizonale de lo do plano; la aza veical de la mima, donde e coan la aza veicale (figua 5). a) o e el plano β un plano paalelo al plano oizonal, la eca de ineección con el plano e una eca oizonal que peenece a ambo plano; po ano, la poyección veical coincide con la aza β, y la poyección oizonal e paalela a la aza. b) Localizada la aza H y V, baa con alla la poyección oizonal de V obe la línea de iea, y unila con H paa alla la poyección oizonal. l evé, e alla la poyección veical de H obe la línea de iea, y e une con V paa alla. c) La poyeccione y de la eca ineección e allan igual que en el páafo aneio. n ee cao, pueo que el plano β e un poyecane oizonal, la poyección oizonal coincide con la aza oizonal β de ee plano. d) Lo mimo que en el cao aneio; peo como en ee cao ambo plano on poyecane, coincide con, ya que e un poyecane oizonal, y la poyección veical coincide con la aza veical β del plano β, po e ee un poyecane veical. β 45º º (a) 4 β 45º º 45º β (c) 5 V β - (a) H (b) º 5 45º 45º β β 45º 6º 45º β β (d) IG. 4 V β V β (b) β V β - β - H (c) β - H (d) IG Solucionaio

4 8.5. eemina el puno de ineección de la eca con el iángulo dado (figua 6a). onideando el iángulo opaco, difeencia la pae via y ocula de la eca en cada poyección.. Se deemina el plano, poyecane oizonal, que coniene a la eca (figua 6b): la aza oizonal coincide con la poyección oizonal.. Se alla la eca m de ineección del plano con el iángulo dado: lo puno y N de dica eca on lo puno de ineección del plano con lo lado y epecivamene.. l puno de ineección de la eca y m e la olución. (a) N m - -m N (b) IG Halla el puno de ineección de lo e plano dado (figua 7a). β γ. Se alla la eca de ineección de lo plano y β (figua 7b): la aza oizonal H de la eca eá donde e coan la aza oizonale y β de lo plano, y la aza veical V donde e coan y β.. Se alla la eca de ineección de lo plano y γ, igual que e a eco en el puno aneio.. onde e coan la eca y e alla el puno oliciado. 6º (a) 5º β γ 75 5 V V 6º 45º º 45º γ β β (b) H H γ IG. 7 Solucionaio 47

5 Solucionaio 8.7. o el puno (4, 4, 5) aza un plano que ea paalelo a la do eca : (-45,, ) (,, 5) y : (,, ) (,, ). Oigen en el ceno de LT. aa facilia la compenión del ejecicio, e a dibujado en el epacio. -'. o el puno e azan la eca y, paalela a la eca y epecivamene (figua 8), iendo la eca una eca fonal, y una eca de puna; a coninuación, e allan la aza H y V de amba. -. Se aza el plano que deeminan la eca y : la aza oizonal paa po la aza oizonal H, y e paalela a la poyección ; la aza veical e la que une la aza veical V con el véice del plano (puno donde e coa con la línea de iea). - - V' -' H' IG eemina la aza de un plano β que, paando po el puno (, 5, -), ea paalelo al plano que coniene a la línea de iea y al puno (-, 5, ). Oigen en el ceno de LT.. ueo que el plano coniene a la línea de iea, e alada odo a ecea poyección (figua 9): el puno en, el puno en, y e dibuja a coninuación po la ecea aza del plano. π β. n ecea poyección, po el puno e aza el plano β paalelo al plano, iendo β un plano paalelo a la línea de iea.. Se eiuyen la aza β y β del plano β. β β π IG Repeena el plano β que coniene a la eca : (,, ) (,, ) y e pependicula al plano (-,, ). Oigen en el ceno de LT.. Se elige un puno abiaio de la eca (figua ).. o el puno e aza la eca m pependicula al plano.. Se allan la aza Hm y Vm de la eca m, y la aza veical V de la eca. 4. La aza veical del plano e la que une la aza veicale Vm y V, y la aza oizonal e la que une Hm con el véice del plano. β m m Vm β V Hm IG. 48 Solucionaio

6 8.. Halla la diancia ene lo do plano paalelo (-5, -5, 5) y β (-, -, ). Oigen en el ceno de LT.. Se aza una eca cualquiea que ea pependicula a lo do plano y β (figua ): la poyección veical debe e pependicula a la aza y β, y la poyección oizonal debe e pependicula a y β.. Se allan lo puno y N de ineección de la eca con lo plano y β epecivamene, uilizando en ambo cao como plano auxilia el plano poyecane veical δ que coniene a la eca.. Se deemina la vedadea magniud del egmeno N: po e aza la pependicula a N, y e alada obe ella la difeencia de coa, iendo la vedadea magniud el egmeno N. β m - δ-m -n n N Vm Vn N δ Hm Hn β IG. 8.. ibuja la vedadea magniud de la diancia del puno (-, 5, 5) a la eca : (,, ) (,, 5). Oigen en el ceno de LT.. o el puno (figua ) e aza el plano pependicula a la eca, uilizando paa ello la eca oizonal m que paa po y cuya poyección oizonal m e pependicula a la poyección oizonal.. Se alla el puno de ineección de la eca con el plano, paa lo cual e a uilizado un plano abiaio β que coniene a la eca, y que e coa con el plano egún la eca.. Se deemina la vedadea magniud del egmeno : po e aza la pependicula a, y e alada obe ella la difeencia de coa, iendo la vedadea magniud el egmeno. H V m β ' H m V Vm β IG. Solucionaio 49

7 Solucionaio 9 Siema diédico: méodo 9.. ada la eca : (,, ) (4,, 4) y : ( 4, 4, ) (, 4, 4), y el plano β (4,, 4), deemina: a) el plano definido po la eca y, y b) la eca i de ineección ene lo plano y β. l oigen en LT eá en el ceno.. Se allan la aza oizonale H y H de la eca y (figua ). La eca que une H y H e la aza oizonal del plano.. La eca y on do eca fonale; po ano, el plano que la coniene endá u aza veical, paalela a u poyeccione veicale y. O- H- β -i Hi Vi. La aza oizonal Hi de la eca i de ineección de lo plano y β e encuena donde e coan y β, y la aza veical Vi donde e coan y β. H- i β IG. 9.. ado el plano (-,, 5) poyecane veical, y lo puno y conenido en la aza oizonal del plano de y 7 mm de alejamieno epecivamene, dibuja el penágono egula conenido en el plano, que eá iuado en el pime cuadane y iene po lado el egmeno.. l egmeno, iuado en el plano oizonal (figua ), eá en vedadea magniud; po ano, e dibuja el penágono egula abaido de lado -.. Se deabaen lo véice del penágono, eniendo en cuena que la aza veical abaida coincide con la línea de iea, pue e aa de un plano poyecane veical. La poyección veical del penágono coincidiá con la aza veical del plano O - IG. 5 Solucionaio

8 9.. ibuja un iángulo equiláeo conenido en el plano (figua a), iendo la poyección veical de uno de lo lado.. Se allan la poyeccione oizonale y mediane enda eca oizonale a y b (figua b).. Se abae la aza veical del plano en, abaiendo el puno Va en Va.. Se abaen lo puno y, abaiendo peviamene la eca oizonale a y b que lo conienen, obeniendo aí y. 4. Se dibuja el iángulo equiláeo en vedadea magniud. 5. Se deabae el puno, obeniendo la poyeccione y del iángulo. - (a) c - Va a b b a c b (b) Va Va a c IG. Solucionaio 5

9 Solucionaio 9.4. l puno (, 5, ) y la eca : (, 55, ) (45,, 4) deeminan el plano. Halla lo puno de ineección de la cicunfeencia iuada en, de ceno y adio mm, con la eca. Noa: no e neceaio alla la poyeccione diédica de la cicunfeencia. l oigen en LT eá en el ceno.. Se elige un puno abiaio de la eca (figua 4), y e une con el puno mediane la eca. La eca y deeminan el plano.. Se abae el plano, y con él la eca y el puno, deeminando y.. on ceno en y adio e dibuja un aco que coa a en lo puno y N. 4. Se deabaen lo puno y N, cuya poyeccione oizonale y N eaán iuada en, y cuya poyeccione veicale y N eaán en. O - -H N N N -V V V IG ibuja, en el iema diédico, la aza del plano que coniene a lo puno (5, -5, -), (-, -, ) y (-5, 6, -5), y obén el ángulo que foman dica aza. l oigen en LT eá en el ceno.. Se unen lo puno y mediane la eca, y lo puno y mediane la eca (figua 5); a coninuación, e deeminan la aza de amba eca.. Uniendo la aza H y H e obiene la aza oizonal del plano, y uniendo el véice del plano (donde e coa con la línea de iea) con V e obiene la aza veical.. aa alla el ángulo ϕ que foman la do aza del plano, baa con abai la aza veical en. V V H O j V H IG. 5 5 Solucionaio

10 9.6. Halla la nueva poyección veical (figua 6a) en un cambio de plano, cuya línea de iea foma -6º con la pimiiva.. Se dibuja la nueva línea de iea (figua 6b), fomando con la anigua 6º en el enido de la aguja del eloj (-6º).. on cada uno de lo véice que foma la figua e acúa de igual manea. o ejemplo: po la poyección oizonal del puno e aza la pependicula a la nueva línea de iea, e oma la coa de ee puno (diancia dede a la línea de iea), y ee valo e alada obe la pependicula aneio a pai de la nueva línea de iea, obeniendo la poyección veical, y aí uceivamene º 5 5 H -G (a) ' G' H - - G ' ' ' H (b) IG. 6 Solucionaio 5

11 Solucionaio 9.7. fecúa un cambio de plano oizonal (figua 7a), cuya línea de iea foma -6º con la pimiiva.. Se dibuja la nueva línea de iea (figua 7b), fomando con la anigua 6º en el enido de la aguja del eloj (-6º).. on cada uno de lo véice que foma la figua, e acúa de igual manea. o ejemplo: po la poyección veical del puno e aza la pependicula a la nueva línea de iea, e oma el alejamieno de ee puno (diancia dede a la línea de iea), y ee valo e alada obe la pependicula aneio a pai de la nueva línea de iea, obeniendo la nueva poyección oizonal, y aí uceivamene. Nóee que no ace fala alla la nueva poyección oizonal de odo y cada uno de lo puno, pue el paalelimo ene eca e coneva en iema diédico. o ea azón, la eca que on paalela endán u poyeccione paalela. G 4 6º H G -6º J G J - 4 (a) J H (b) IG Solucionaio

12 9.8. Halla la nueva poyección veical (figua 8a) en un cambio de plano, cuya línea de iea foma º con la pimiiva.. Se dibuja la nueva línea de iea (figua 8b), fomando con la anigua º en enido conaio al de la aguja del eloj (+º).. o la poyección oizonal del puno e aza la pependicula a la nueva línea de iea, e oma la coa de ee puno (diancia dede a la línea de iea), y ee valo e alada obe la pependicula aneio a pai de la nueva línea de iea, obeniendo la poyección veical.. on el eo de puno que confoman la figua e acúa de igual manea. J J H 8 H -G 4 º - - G 4 H J (a) (b) 4 IG. 8 Solucionaio 55

13 Solucionaio Siema diédico: figua.. ada la piámide definida po lo véice,, y (figua ), e pide: a) vedadea longiud de la aia laeale; b) vedadea magniud de la caa laeale; y c) vedadea longiud de la alua de la caa.. La caa eá iuada en un plano de pefil π (figua ). l abai dico plano obe el plano oizonal, la canela eá la aza oizonal π, y la aza veical - abaida π coincidiá con la línea de iea. l iángulo abaido eá en vedadea magniud.. Se alla el plano que coniene a la caa, uilizando paa ello la eca oizonal y la fonal.. Se abae el plano, y con él la caa, obeniendo la vedadea magniud de la caa. 4. La caa e igual que la caa, y la caa eá ya en vedadea magniud po e paalela al plano oizonal. 6 IG. 5 π V - p π ' IG. 56 Solucionaio

14 .. ada la poyeccione de una piámide (figua ), aza la ección poducida po el plano que paa po lo puno, y.. Se allan la aza y del plano, que coniene a lo e puno dado, y (figua 4); paa ello, e uilizan la eca y con u epeciva aza.. Se deeminan lo puno de ineección del plano con la aia de la piámide. Lo puno y on lo puno de ineección con la aia V y V epecivamene. Lo puno y de ineección de la aza oizonal con la bae on ambién puno de la ección.. o ano, el único puno que abá que alla e el de ineección de la aia VQ con el plano. aa ello, e aza el plano poyecane β que coniene a VQ, e alla la eca de ineección de y β, y donde e coen la eca VQ y e alla el puno. IG. V V V V -β Q N Q β V N -H H H IG. 4 Solucionaio 57

15 Solucionaio.. ibuja, en la do poyeccione, la ección que el iángulo N - N poduce en la piámide de bae - y véice V -V (figua 5). oncea en la do poyeccione, con la viibilidade coepondiene (via y ocula), el conjuno fomado po la piámide y el iángulo, conideando la do figua opaca. aa alla la ección que el iángulo le poduce a la V piámide ay que alla lo puno de ineección de cada una de la aia con el iángulo.. Se aza el plano poyecane oizonal δ que coniene a la aia V (figua 6). e plano coa al iángulo egún la eca d, cuya poyección oizonal d coincide con δ.. La eca d coa a lo lado del iángulo en lo puno G y H. Tazando enda veicale po la poyeccione G y H e allan la poyeccione veicale G y H.. Se epien la opeacione aneioe con la oa do aia V y V de la piámide, obeniendo aí lo puno y epecivamene. 4. aa eablece la pae via y ocula en poyección oizonal ay que ene en cuena que el véice V eá po encima del iángulo, y que ee eá po encima de la bae de la piámide. aa la poyección veical, en cambio, abá que ene en cuena que el lado N del iángulo eá po delane de la piámide, y que el lado eá po deá. V (ecala :) V N N IG. 5 L f G e R S K d H N L G e R V f δ d - S K H N IG Solucionaio

16 .4. ibuja en magniud eal la ección poducida po el plano (figua 7).. n pime luga, e alla la ección que el plano le poduce a la piámide (figua 8); paa ello, e aza el plano β poyecane veical que coniene a la aia V, e alla la ineección m de lo plano y β, y donde e coen la eca V y m e alla el puno de ineección de la aia V con el plano. a. aa alla la ineección del eo de la aia con el plano e epie la opeación aneio con oda ella, o bien, como en nueo cao, e aplica una omología en la que acúa de eje y V de ceno. coninuación, e deeminan la poyeccione veicale de eo puno.. Si e abae el plano y con él el polígono ección, e obiene la vedadea magniud de dica ección. a (ecala :) IG. 7 V m -β Vm ' '' ' ' m ' ' ' V '' ' Hm ' β c- IG. 8 Solucionaio 59

17 Solucionaio.5. ada la figua adjuna (figua 9), deemina el plano definido po lo puno, y, y la poyeccione de la ección de la pieza pimáica po el plano.. Se allan la aza y del plano que deeminan lo puno, y (figua ): lo puno y definen la eca oizonal, y lo puno y la eca ; uniendo la aza omónima de amba eca e encuenan la aza del plano.. La eca oizonal e, ademá, la ineección de la bae upeio de la figua con el plano ; po ano, lo puno y, juno con lo puno y y el puno foman pae de la ección.. o úlimo, el puno de ineección de la aia veical que paa po el puno con el plano e alla mediane la eca oizonal f del plano. 6 7 V IG. 9 Vf f f -H V IG. 6 Solucionaio

18 .6. ibuja la poyeccione de un pima exagonal egula eco de adio del exágono mm y alua del pima 4 mm, apoyado po u bae en el plano (-4, 4, 7), abiendo que un véice del pima e el puno del plano, de 4 mm de coa y 5 mm de alejamieno, y que el lado de la bae e paalelo a la aza oizonal.. Siuado el plano (figua ), e abae ee obe el plano oizonal, uilizando como canela la aza oizonal y abaiendo la aza veical, mediane el puno de la mima, en. on el plano e abae ambién la eca en y el puno en.. Se dibuja el exágono egula abaido en vedadea magniud en la poición que e indica.. Se deabae el exágono, obeniendo la poyección oizonal y la veical. 4. o un véice cualquiea del exágono e aza la eca m pependicula al plano, e gia mediane un puno abiaio H aa conveila en la fonal m, y obe la poyección veical m, en vedadea magniud, e alada la alua G del pima; po úlimo, e egea la eca m a u poición oiginal, y con ella el puno G. 5. pai del puno G, e aza, ano en poyección oizonal como en veical, un polígono paalelo al de la bae. mbo polígono, juno a u coepondiene aia, deeminan el pima. m H m H G' G m H G H m (ecala :4) IG. Solucionaio 6

19 Solucionaio.7. ado un cono eco de evolución, apoyado en el plano oizonal po u bae, cuyo ceno e el puno (-,, ), el adio vale mm y el véice e V (-,, 6), y dado un plano, que coniene al puno V y cuya aza oizonal e coa con la línea de iea en el puno x = -6, y foma -45º con ella, dibuja la poyección oizonal, la poyección veical y la ecea poyección del ólido que eula al ecciona el cono con el plano y upimi el ozo má pequeño.. Siuada la poyeccione oizonal y veical del cono, aí como la aza oizonal del plano (figua ), la aza veical e alla al dibuja la eca oizonal m y alla u aza veical Vm.. La ineección del cono dado con el plano, que coniene al véice V, e un iángulo fomado con la geneaice V y V, iendo y lo puno de ineección de la aza oizonal con la cicunfeencia de la bae del cono, amba iuada en el plano oizonal. π Vm m V V m O V - π IG. 6 Solucionaio

20 .8. ado el cilindo de evolución de adio mm, cuyo eje e e: O (-,, ) O' (-,, 6), dibuja la poyeccione del ozo de cilindo que ay ene el plano oizonal y el pime bieco, y alla u deaollo.. Se dibujan la poyeccione oizonal y veical del cilindo eco, aí como la ecea poyección del mimo y la aza β del pime bieco (figua ). La ección que el plano β le poduce al cilindo e, en ecea poyección, una eca que coincide con β.. Se aza una eie de geneaice,,, del cilindo, en poyección oizonal, veical y ecea poyección.. La poyeccione,,, de ineección de ea geneaice con β en ecea poyección e aladan a poyección veical y oizonal, obeniendo la ección que el plano le poduce al cilindo. 4. o aae de un cilindo eco, el deaollo e un ecángulo de alua igual a la del cilindo y bae igual al deaollo de la cicunfeencia. La elipe que epeena la bae upeio del onco de cilindo iene po eje mayo =, y po eje meno el adio de la cicunfeencia. La vedadea magniud de la geneaice del onco de cilindo e alla de la iguiene manea: =, =, ec. O' π O' β G' G ' e O - -' ' 45º e O -G ' -G' -' -' G -G' O -O' -e -' H -H' -' -' π G' H G' ' ' ' G H O (ecala :4) IG. Solucionaio 6

21 Solucionaio Siema diédico: poliedo egulae.. ibuja la figua compuea po un pima penagonal eco, de cm de lado y cm de alua, y medio dodecaedo ueco, cuya bae coincide con la bae upeio del pima (figua ). IG.. Se dibuja en vedadea magniud el penágono egula iuado en el plano oizonal, conocido el lado (figua ). G K I. Se dibuja la poyección veical del pima eco, de alua cm, cuya bae upeio e un penágono egula igual al aneio, y cuya poyeccione oizonale coinciden. N L H J. Se dibuja la poyección oizonal de medio dodecaedo, iuándolo de manea que el penágono de la bae ea el penágono upeio del pima: a) omando como canela el lado e deabae el puno, azando po u poyección oizonal la pependicula a la canela; b) omando como canela aoa el lado e deabae el puno, azando po u poyección oizonal la pependicula a ea canela; y c) donde e coan amba pependiculae e encuena el puno H, véice del dodecaedo que indica, ademá, el adio O H del decágono egula que cicuncibe la poyección oizonal del dodecaedo. 4. aa dibuja la poyección veical del medio dodecaedo ay que alla la alua de u véice: la alua epeco de u bae de lo puno que eán unido con lo véice de ea bae e deemina azando: a) po la poyección oizonal po ejemplo, de J, la pependicula a la poyección J ; b) con ceno en, el aco de adio, lado del dodecaedo; y c) donde e coan la pependicula y el aco e obiene el puno 4, de manea que J 4 =. N 6 L K 5 O 4 J 5. La alua del eo de lo véice e alla: a) po la poyección oizonal del véice K, po ejemplo, e aza la pependicula a la poyección K 5; b) con ceno en el puno 5 (puno medio del lado del penágono) y adio 5 (alua del penágono) e aza un aco de cicunfeencia; y c) donde e coan la pependicula y el aco e obiene el puno 6, de manea que K 6 =. - G - H I IG. 64 Solucionaio

22 .. ibuja un icoaedo egula, de 4 cm de aia, apoyado po un véice en el plano oizonal en una poición libe. coninuación, y dividiendo oda u aia en e pae iguale, e unen ene í lo puno má cecano a cada véice. ibuja la figua que e foma al upimi la piámide penagonale que foman odo lo véice del icoaedo.. Se dibuja la poyección oizonal del icoaedo (figua ), dibujando el L penágono egula H J de lado / igual al del icoaedo y el decágono / egula incio en la cicunfeencia N que cicuncibe el penágono / aneio. K I G. Se deeminan la alua, + H y + H + de lo diino véice, y e dibuja la poyección veical del icoaedo.. Se divide cada uno de lo lado del icoaedo en e pae iguale, ano en poyección oizonal como en poyección veical. Nóee que paa dividi un egmeno en un númeo de pae iguale baa con dividi u poyeccione en dico númeo de pae. 4. Se unen ene í ano en poyección oizonal como en veical lo cinco puno má cecano a cada véice, coepondiene a la cinco aia que concuen en dico véice, obeniendo aí pequeña piámide eca de bae penagonal. 5. omo olución, e dibujan oda la aia eulane, excepo la de la pequeña piámide aneioe. H K J J 4 / -L I H H G / N 4 / H IG. Solucionaio 65

23 Solucionaio.. Repeena la poyección veical del ocaedo que e encuena apoyado po la caa en el plano oizonal (figua 4). ibuja la vedadea magniud de la ección que poduce el plano, dado po u aza en el ocaedo.. ibujada la poyección oizonal (figua 5), e alla la alua de lo puno no iuado en el plano oizonal: a) po la poyección oizonal de uno de lo véice, po ejemplo, e aza la pependicula a la poyección ; b) con ceno en y adio, alua del iángulo equiláeo, e aza un aco de cicunfeencia; y c) donde e coan la pependicula y el aco e obiene el puno, de manea que =.. omo el plano dado e un poyecane oizonal, la ección que ee le poduce al ocaedo e una ección plana cuya poyección oizonal H G coincide con u aza oizonal. La poyección veical H G e alla al ubi la poyeccione oizonale a u epeciva aia.. La vedadea magniud de la ección e alla al abai el plano que, po e poyecane oizonal, endá u aza veical abaida pependicula a la canela. e ea manea, e obiene H G. IG. 4 G H H G V G IG Solucionaio

24 .4. alcula gáficamene la vedadea magniud del ángulo que foman do caa conigua de un ocaedo egula convexo.. Se dibujan la poyeccione de un ocaedo cualquiea, de manea que una de u aia, o, ea pependicula al plano veical (figua 6); po ano, u poyección veical e un cuadado con lo lado paalelo y pependiculae a la línea de iea.. n ea poición, el plano que coniene a la caa y el plano β que coniene a la caa on do plano poyecane veicale; como quiea que la ineección de ambo e una eca de puna, el ángulo ϕ que foman u aza veicale podá vee en vedadea magniud. β - ϕ - - β (a) ϕ β (b) IG. 6 Solucionaio 67

25 Solucionaio.5. l ecángulo e poyección oizonal de un cuadado, el lado má bajo del cual e - (figua 7). Realiza la opeacione iguiene: a) dibuja la poyección veical del cuadado; b) el cuadado obenido e la caa infeio de un cubo. ibuja la do poyeccione, diinguiendo ene pae via y ocula. IG. 7. Se alla la difeencia de coa ene lo puno y (figua 8): a) po la poyección oizonal e aza la pependicula a ; b) con ceno en y adio lado del cuadado en vedadea magniud e aza un aco de cicunfeencia; y c) donde e coan la pependicula y la cicunfeencia e obiene, de manea que =. N N H H G. l plano que coniene al cuadado endía u aza oizonal paalela a la poyección oizonal po e ee egmeno oizonal, y u aza veical eía paalela a la poyección veical m de una eca m fonal. o ano, paa aza la pependicula dede un véice cualquiea al plano que coniene al cuadado, e aza la eca cuya poyección oizonal ea pependicula a, y cuya poyección veical ea pependicula a m.. coninuación, e alada obe la pependicula aneio el lado del cubo; paa ello, e elige un puno N cualquiea, y e gia alededo del eje veical que paa po aa la poición N' en que la eca ea fonal. Sobe la poyección veical e alada la longiud H' = vedadea magniud del lado, y e aza po H' la paalela a la línea de iea aa encona la poición oiginal de la eca en H ; aimimo, e deemina la poyección oizonal H. N N H l - m m G - 4. pai de la poyeccione H y H e dibujan endo cuadado, G H y G H, que juno con el cuadado oiginal deeminan la poyeccione del cubo. IG Solucionaio

26 .6. Halla la ección que el plano le poduce al ocaedo dado (figua 9). 45º 4 º IG. 9. Se dibujan la poyeccione oizonal y veical del ocaedo, al como e indica en la figua del enunciado (figua ).. omo el plano dado e un poyecane veical, la ección que ee le poduce al ocaedo e una ección plana cuya poyección veical G H I J K L coincide con u aza veical. La poyección oizonal G H I J K L e alla al baja la poyeccione veicale a u epeciva aia. H I -L J K I H G J - G K L IG. Solucionaio 69

27 Solucionaio.7. ibuja un eaedo, abiendo que una de u aia e : (5,, ) y (85, 4, ), y que una de la caa que coniene a foma 45º con el plano oizonal.. Se dibuja la poyección oizonal del eaedo, como i ee euviee apoyado po una de u caa en el plano oizonal (figua ).. Se efecúa un cambio de plano veical, de manea que el lado e vea de puna, e deci, e coloca la nueva línea de iea pependicula a la poyección oizonal.. Se alla la nueva poyección veical de la bae iuada en el plano oizonal, po lo que la nueva poyección veical de eo puno eá en la línea de iea. 4. Haciendo ceno en la poyección veical - del lado y exemo en, e decibe un aco de cicunfeencia aa coloca ea bae fomando 45º con la nueva línea de iea. 5. Se alla la alua del eaedo: a) po O, ceno del iángulo equiláeo, e aza la pependicula a O ; b) con ceno en y adio, lado del eaedo, e aza un aco de cicunfeencia; y c) donde e coan la pependicula y el aco e obiene el puno, de manea que = O. Se alada la alua a la nueva poyección veical del eaedo, obeniendo aí la poyección. 6. Se alla la poyección oizonal del puno : po O e aza la pependicula a, po e aza la pependicula a la nueva línea de iea, y donde e coen amba pependiculae e encuena. 7. o la poyeccione oizonale de lo véice e azan pependiculae a la anigua línea de iea; a coninuación, e alada obe cada pependicula la coa coepondiene omada de la nueva poyección veical, allando aí la poyección veical del eaedo. O O 45º - O l l IG. 7 Solucionaio

28 Solucionaio 7

29 Solucionaio Siema axonoméico.. l iángulo - e bae de una piámide en la que la e aia concuene en el véice upeio on pependiculae ene í (figua ). ibuja la do poyeccione de la piámide. l ejecicio puede conideae como una aplicación del iema axonoméico, ya que la e caa laeale de la piámide vienen a e como lo plano axonoméico de un iema axonoméico, iendo la aia de la piámide lo eje.. onideando el plano poyecane oizonal que coniene a la aia V (figua ), y abaiéndolo obe el plano oizonal, e obiene el iángulo ecángulo V : po la poyección oizonal V e aza la pependicula a aa coa a la emicicunfeencia de diámeo en V.. La diancia V V e la coa del véice V, cuya poyección veical V e une con la poyeccione veicale, y. V V IG. V IG... Halla lo puno de enada y alida de la eca en la upeficie pimáica definida (figua ).. Se aza el plano poyecane oizonal que coniene a la eca (figua 4): la aza oizonal coincide con la poyección oizonal, y la aza veicale y on paalela al eje Z.. La ineección del plano con el plano β paalelo al plano veical, que coniene a una de la caa de la figua e la eca m, pependicula al plano oizonal.. Se alla la ineección del plano β con el plano γ que coniene la caa upeio de la figua, obeniendo la eca n. 4. onde la eca m y n e coan con la eca e obienen lo puno y N de ineección de la eca con la figua. Z Z Vn Y O X (ecala :) IG. β n O N γ γ Wn m - X Hm Y H β IG. 4 7 Solucionaio

30 .. Repeena la pae complemenaia del cubo (figua 5). La olución (figua 6) la coniuye una nueva pieza que, acoplada con la de la figua dada aciendo coincidi lo egmeno de amba, fomaía un paalelepípedo ólido. (ecala :) IG. 5 IG Talada el ólido a la nueva poición (figua 7). l ejecicio conie en coloca la figua dada, apoyada en el plano oizonal po el ecángulo (figua 8). (ecala :) IG. 7 IG. 8 Solucionaio 7

31 Solucionaio.5. ibuja la pepeciva axonoméica libe de la pieza dada (figua 9). IG. 9 Solución: figua. IG. 74 Solucionaio

32 .6. ibuja la pepeciva axonoméica libe de la pieza dada (figua ). IG. Solución: figua. IG. Solucionaio 75

33 Solucionaio Siema de pepeciva caballea.. alcula la vedadea magniud de la fueza eulane de componene la epeenada, en un iema de pepeciva caballea de coeficiene de educción c y =,8 (figua ). Z. Se abae el eje Y obe el plano del cuado en Y (figua ). Se alla la diección d de educción: obe Y e alada la unidad, obe el eje Y la magniud,8, y e unen ambo exemo. Z. Se abae obe el plano veical el plano que coniene a y e pependicula al plano oizonal, omando como canela el eje Z. aa ello, e abae pimeo el plano oizonal, omando como canela el eje X, y con él e abae la componene oizonal ( ) de la fueza. Y Y O X X (ecala :) IG.. on ceno en O y adio ( ) e decibe un aco de cicunfeencia aa coa al eje X en. O = ( ) e la componene oizonal de que juno con Z componen, vedadea magniud de la fueza. Z Z O 8 d X X Y Y ( ) Y IG. 76 Solucionaio

34 .. ibuja la pepeciva caballea, con ϕ = º y coeficiene de educción del eje OY c = /, de un pima cuya bae e un ombo de 5 cm de lado y diagonal mayo 9 cm. La bae eá conenida en el plano oizonal XOY, con u ceno obe el eje OY y uno de u lado obe el eje OX. La geneaice del pima on paalela al eje OZ, y miden 6 cm.. Se abae el eje Y obe el plano del cuado en Y (figua ). Se alla la diección d de educción: obe Y e aladan unidade, obe el eje Y unidade y e unen ambo exemo.. Se dibuja en vedadea magniud el ombo que e pide: e alada O = 5 cm, e dibuja un aco con ceno en O y adio 5 cm, y e aza oo con ceno en y adio 9 cm. mbo aco e coan en el véice.. o el ceno del ombo e aza la paalela al eje X aa coa a Y en, y e ealiza una alación del ombo egún la magniud aa iualo en la poición. 4. Se deabae el ombo egún la diección de educción d aa iualo en el plano oizonal, en la poición. 5. o lo puno,, y e azan paalela al eje Z, y e anpoa obe ella la diancia de 6 cm, obeniendo aí la pepeciva caballea del pima. Z H G - O- - X d Y Y IG. Solucionaio 77

35 Solucionaio.. ibuja la pepeciva caballea de la pieza dada (figua 4). ao: ϕ = 5º y c = /. IG. 4 Solución: figua 5. Z O X Y IG Solucionaio

36 .4. ibuja la pepeciva caballea de la pieza dada (figua 6). ao: ϕ = 5º y c = /. IG. 6 Solución: figua 7. Z O X Y IG. 7 Solucionaio 79

37 Solucionaio 4 Siema de plano acoado 4.. Reuelve la cubiea de la figua, eniendo en cuena que odo lo faldone ienen igual pendiene.. l ene odo lo faldone igual pendiene, e empieza dibujando la biecice exeioe e ineioe que foman cada do de ello, obeniendo la eca a, b, c, d, e, f, g,, i, j y k (figua ).. aa empeza a cea la cubiea, e azan la ineeccione de lo faldone con KJ, con IJ y con IH, que, po ene la línea de máxima pendiene paalela, la ineeccione l, m y n eulan e paalela a la eca oizonale de lo plano.. oeiomene, e igue con el poceo explicado en la eoía. e f G g a k H K l n I J i j b m d c IG. 4.. Reuelve la cubiea de la figua, eniendo en cuena que lo faldone que e coeponden con el exeio del edificio ienen una pendiene de º, y que lo faldone que e coeponden con el paio ineio ienen una pendiene de 45º. 45 e. l ene lo faldone exeioe igual pendiene de º y lo faldone ineioe de 45º, e empieza dibujando la biecice exeioe e ineioe que foman cada do de ello, obeniendo la eca a, b, c, d, e, f, g,, i, j, k, l, m, n, o y p (figua ).. aa empeza a cea la cubiea e azan la ineeccione de lo faldone con N, O con, O con IH y N con KL, que, po ene la línea de máxima pendiene paalela, la ineeccione q,, y eulan e paalela a la eca oizonale de lo plano.. oeiomene, e igue con el poceo explicado en la eoía. I K i J k j H p m l L O 45 G g f o O d N n q b i i (a) e c a IG. 8 Solucionaio

38 4.. Reuelve la cubiea de la figua, eniendo en cuena que odo lo faldone ienen igual pendiene.. l ene odo lo faldone igual pendiene, e empieza dibujando la biecice exeioe e ineioe que foman cada do de ello, obeniendo la eca a, b, c, d, e y f (figua ).. oeiomene, e igue con el poceo explicado en la eoía. c Lado iángulo ex. Lado iángulo in. d e a f b IG ibuja el plano dado po lo puno (), () y (6).. Se gadúan lo lado, y (figua 4).. Se unen lo puno de igual coa de lo e lado, dando luga a la eca oizonale del plano que foman.. La línea de máxima pendiene p e pependicula a ella. () () (6) p IG. 4 Solucionaio 8

39 Solucionaio 4.5. Obén la ineección de lo plano y β dado en la figua. p. Se gadúan la línea de máxima pendiene de ambo plano, y e azan la eca oizonale (figua 5).. Lo puno de coe de eca oizonale de igual pendiene dan luga a obene la eca, ineección de lo plano dado.. n ee cao e an obenido lo puno () y (9) () (9) p β IG Obén la ineección del plano, de pendiene º, dado po u línea de máxima pendiene y un puno de ella (); y la eca, de pendiene 45º, dado un puno de ella, el (4).. Se gadúa la línea de máxima pendiene p del plano (figua 6).. Se gadúa la eca.. Se paa po la eca un plano β cualquiea que la conenga. 4. Se obiene la ineección i de lo plano y β. 5. onde e coen la eca e i e el puno olución. i (4) p β p () i β - - IG. 6 8 Solucionaio

40 4.7. Reuelve la cubiea de la figua, eniendo en cuena que lo faldone ienen igual pendiene.. l ene odo lo faldone igual pendiene, e empieza dibujando la biecice exeioe e ineioe que foman cada do de ello, obeniendo la eca a, b, c, d, e, f, g, e i (figua 7).. aa empeza a cea la cubiea, e azan la ineeccione de lo faldone con IH, con GH y con IG, que, po ene la línea de máxima pendiene paalela, la ineeccione j, k y l eulan e paalela a la eca oizonale de lo plano.. oeiomene, e igue con el poceo explicado en la eoía. e g d f l G k c i I H j a b IG. 7 Solucionaio 8

41 Solucionaio 5 Siema cónico 5.. ado lo puno,,,, y (figua ), deemina: a) l plano que deeminan lo puno, y. b) l plano β que deeminan lo puno, y. c) La eca m de ineección de lo plano y β. d) l plano γ que deeminan la eca m y el puno IG.. Lo puno y definen la eca a, y y definen la eca b (figua ). La eca a y b deeminan el plano.. Lo puno y definen la eca c, y lo puno y definen la eca d. mba eca deeminan el plano β.. La eca de ineección de y β e alla al uni la ineeccione de la aza de ambo plano. 4. aa dibuja el plano que deeminan la eca y el puno, e oma un puno cualquiea de la eca, po ejemplo el puno, y e une con mediane la eca m; la eca m y deeminan el plano γ. G l β l γ l c Tc- T Δ G c- Δ a d b m m β g G b b b Ta Tb a g γ c d g β Gm γ G d - Tm G a Td IG. 84 Solucionaio

42 5.. eemina el plano fomado po la eca y, que e coan en el puno (figua ). Taza po el puno el plano β paalelo al plano. 5 5 º º 5º 5º IG.. La aza del plano e deeminan uniendo la aza omónima de la eca y epecivamene (figua 4).. aa alla el plano β, e dibuja una eca m cualquiea que pae po el puno y ea paalela al plano, e deci, el puno de fuga m debe ea iuado en la eca límie l del plano. La aza β del plano β paa po la aza Tm de la eca, y e paalela a ; la eca límie l y l β coinciden. l - β β T Δ m Δ g β T m G Tm G g m IG. 4 Solucionaio 85

43 Solucionaio 5.. Taza po la eca un plano paalelo a la eca (figua 5) º 5º 6º º IG. 5 l poceo que ay que egui eía el iguiene: po un puno cualquiea de la eca e azaía una eca paalela a que, juno a la eca, deeminaían el plano que e pide.. n cónico (figua 6), la eca paalela a fugan en ; po ano, la eca límie l del plano que deeminan la eca y la eca paalela a e obiene al uni lo puno de fuga y.. La aza odinaia e deemina al dibuja po T la paalela a l.. La aza geomeal g e alla al uni el puno donde e coa con la línea de iea y la aza geomeal G. ica aza g e coaá con la línea del oizone en el puno donde l e coe con dica línea del oizone. Δ Δ l ' ' g G' T G' T IG Solucionaio

44 5.4. Halla la ineección del plano y la eca (figua 7). l g 5 5 º 6º 4º 5 IG. 7. Se aza un plano cualquiea que conenga a la eca (figua 8). n ee cao, e a elegido el plano β, pependicula al plano geomeal.. Se deemina la eca m de ineección de lo plano y β.. La ineección de la eca y m e el puno que e buca. l β l Δ G'm 'm m Tm Δ T ' g G' ' - β m β IG. 8 Solucionaio 87

45 Solucionaio 6 epeciva cónica 6.. ibuja la pepeciva cónica de la pieza dada (figua ), egún lo dao que e indican. olocación de dao. n la plana del enunciado, e colocan el plano del cuado π y el puno de via V en la poicione indicada (figua ). aa deemina lo puno de fuga pincipale, e azan po V la paalela a la do dieccione pincipale de la figua aa coa al plano π en x y y. coninuación, en luga apae, e dibujan la línea de iea y de oizone con la epaación indicada en el alzado (figua ), y obe la línea del oizone e macan lo puno, x y y. onucción de la pepeciva. Se a uilizado el méodo de la aza: en plana, e une el puno de via V con cada puno de la pieza aa coa al plano π, aladando a coninuación dico puno a la línea de iea y levanando veicale. La alua e an llevado obe la veical de, que, po enconae en el plano del cuado, eán en vedadea magniud. l eo de la pieza e conuye a bae de i fugando a x y y. 7 y G c T c e º T a (ecala :4) 5 a π V=6 º π IG. V IG. x y x Tc Ta IG. 88 Solucionaio

46 6.. ibuja la pepeciva cónica de la pieza dada (figua 4), egún lo dao que e indican. olocación de dao. n la plana del enunciado, e colocan el plano del cuado π y el puno de via V en la poicione indicada (figua 5). aa deemina lo puno de fuga pincipale, e azan po V la paalela a la do dieccione pincipale de la figua aa coa al plano π en x y y. coninuación, en luga apae, e dibujan la línea de iea y de oizone con la epaación indicada en el alzado (figua 6), y obe la línea del oizone e macan lo puno, x y y. 6 onucción de la pepeciva. n la plana, e polongan oda la línea aa coa al plano del cuado π, e aladan dico puno a la línea de iea, y e fugan a x y y. La alua e llevan obe la veical del puno, que, po enconae en el plano del cuado, eán en vedadea magniud. l eo de la pieza e conuye a bae de i fugando a x y y. V= º π 4 IG. 4 T d d y (ecala :) c T c e π V IG. 5 x y x Td d c Tc IG. 6 Solucionaio 89

47 Solucionaio 6.. on lo dao que e indican, dibuja la pepeciva cónica del obelico, iendo = cm (figua 7). olocación de dao. n plana, e colocan el plano del cuado π y el puno de via V en la poicione indicada (figua 8). omo e aa de una pepeciva fonal, oda la eca pependiculae al plano del cuado fugan en, y la que on paalela al mimo en pepeciva on paalela a la línea de iea. n luga apae, e dibujan la línea de iea y de oizone con la epaación indicada (figua 9). onucción de la pepeciva. Se a uilizado el méodo de lo puno méico: obe la línea del oizone e alada la magniud = V = 9, iendo el puno méico de oda la eca que fugan en. La vedadea magniude e colocan obe la línea de iea, y e unen con aa coa a la eca que fuga en. La alua e an llevado obe la veical del puno. l eo de la pieza e conuye a bae de fuga en, y aza paalela a la línea de iea. 4 5 e π (ecala :4) π V=9 IG. 7 V IG. 8 IG. 9 9 Solucionaio

48 6.4. on lo dao que e indican, dibuja la pepeciva cónica de la ecalea (figua ). olocación de dao. n la plana del enunciado, e colocan el plano del cuado y el puno de via V en la poicione indicada (figua ). aa deemina lo puno de fuga pincipale, e azan po V la paalela a la do dieccione pincipale de la figua aa coa al plano π en x y y. coninuación, en luga apae, e dibujan la línea de iea y de oizone con la epaación indicada en el alzado (figua ), y obe la línea del oizone e macan lo puno, x y y. 4 onucción de la pepeciva. Se a uilizado el méodo de la aza: en plana, e une el puno de via V con cada puno de la pieza aa coa al plano π, aladando a coninuación dico puno a la línea de iea, y levanando veicale. La alua e an llevado obe la veical de, que, po enconae en el plano del cuado, eán en vedadea magniud. l eo de la pieza e conuye a bae de i fugando a x y y. IG. 6º π V= π y (ecala :) - x IG. V x y - IG. Solucionaio 9

49 Solucionaio 6.5. ibuja la pepeciva cónica de la pieza dada (figua ) con lo dao que e indican, iendo = 6 cm. 4 olocación de dao. n plana, e colocan el plano del cuado π y el puno de via V en la poicione indicada (figua 4). omo e aa de una pepeciva fonal, oda la eca pependiculae al plano del cuado fugan en, y la que on paalela al mimo en pepeciva on paalela a la línea de iea. n luga apae, e dibujan la línea de iea y de oizone con la epaación indicada en el alzado. onucción de la pepeciva. Se a uilizado el méodo de la aza. La alua e an llevado obe la veical del puno. l eo de la pieza e conuye a bae de fuga en y aza paalela a la línea de iea. L.H. 6 IG. π V=6 L.T... IG. 4 V 9 Solucionaio

50 6.6. on lo dao indicado de poición del puno de via, dibuja la pepeciva cónica de la figua 5. Siuada la línea de iea y la línea del oizone, aí como el puno pincipal y u poyección oizonal, e coloca obe el puno 6 (figua 6). Lo puno de fuga e deeminan en plana, azando po V la paalela a la do dieccione pincipale aa coa al plano π en x y y, y aladando obe la línea del oizone la longiude x y y. coninuación, e dibuja la pepeciva de la plana, uilizando el méodo de la aza; la alua e aladan obe la veical del puno 6, que, po enconae en el plano del cuado, eán en vedadea magniud. l eo de la pieza e conuye a bae de i fugando a x y y. 8 9 V" 6 V º L.T. LNT L.H LZO IG. 5 Si e iene la pecaución de coloca y juo debajo o juo encima de la plana, la eca que unen V con cada puno de la plana coan al plano del cuado en puno que on la aza de dica eca, pudiendo aza a coninuación la pependiculae aa coa a la línea de iea y x 6-- (ecala :) V y x IG. 6 Solucionaio 9

51 Solucionaio 6.7. ibuja la pepeciva cónica de la pieza epeenada (figua 7), egún el plano del cuado y la alua del oizone que e indican, abiendo que el ángulo del cono viual vale 45º. La coa e expean en cenímeo. olocación de dao. Se coloca el plano del cuado π en la poición que e indica (figua 8). aa iua el puno de via, e conuye con véice en un puno V cualquiea un ángulo de 45º, de foma que la bieciz e ea pependicula a π; a coninuación, e azan la paalela m y n que paan po lo puno exemo y epecivamene. Lo puno de fuga pincipale e encuenan en lo puno x y y de ineección de la paalela, azada po V, a la do dieccione pincipale de la figua en plana. coninuación, en luga apae, e dibujan la línea de iea y de oizone con la epaación indicada en el alzado (figua 9), y obe la línea del oizone e macan lo puno, x y y º π IG. 7 onucción de la pepeciva. Se dibuja la plana en pepeciva; paa ello, e polongan oda la línea aa coa al plano del cuado π, e aladan dico puno a la línea de iea, y e fugan a x y y. La alua e llevan obe la veical del puno, que, po enconae en el plano del cuado, eán en vedadea magniud. l eo de la pieza e conuye a bae de i fugando a x y y. y Tn (ecala :) Tm e n π m e 45º n m V V IG. 8 x x y IG Solucionaio

52 6.8. ibuja la pepeciva cónica de la figua, egún el plano del cuado y la alua del oizone que e indican, deeminando la adecuada diancia del puno de via. La coa e expean en cenímeo. La conucción vuelve a e idénica a la de lo do ejecicio aneioe, con la difeencia de que aoa la alua de la línea del oizone e debe elegi libemene; po ello, e a omado la mima alua que la del banco, con el fin de no eleva exceivamene la poición del epecado, que obligaía a epaano muco de la pieza paa que ea no e defomaa (figua ). También en ee cao e adopa un ángulo de 45º paa el cono viual. 4 4 π Solución: figua. 8 º IG. y Tn (ecala :) Tm e n e n m π m 45º V x IG. V x y IG. Tm Tn Solucionaio 95

53 Solucionaio 6.9. ibuja la pepeciva cónica de la figua, cuyo dao e elegián libe y coecamene. olocación de dao. La alua del puno de via, o de la línea de oizone, e a omado igual a la alua de la figua (figua 4); el eje viual e e a elegido fomando un ángulo de 6º con uno de lo lado de la plana, y el ángulo ópico que foman la eca m y n e a decidido que ea de 45º. o úlimo, el plano del cuado π e a eco paa po el puno paa que la pepeciva alga lo má gande poible, in que lo puno de fuga e no epaen exceivamene. 5 5 onucción de la pepeciva. Se a uilizado el méodo de la aza (figua 5). La alua e an llevado obe la veical del puno, que, po enconae en el plano del cuado, eán en vedadea magniud. l eo de la pieza e conuye a bae de i fugando a x y y. 5 IG. y m 6º e (ecala :) π 45º n x V IG. 4 y IG Solucionaio

54 6.. ibuja la pepeciva cónica de la abiación que e epeena (figua 6), cuya coa apaecen en meo. olocación de dao. n la plana del enunciado, e colocan el plano del cuado y el puno de via V en la poicione indicada (figua 7) (nóee que el puno de via e a iuado fuea de la abiación). aa deemina lo puno de fuga pincipale, e azan po V la paalela a la do dieccione pincipale de la figua aa coa al plano π en x y y. coninuación, en luga apae, e dibujan la línea de iea y de oizone con la epaación indicada en el alzado (figua 8), y obe la línea del oizone e macan lo puno, x y y. onucción de la pepeciva. Se a uilizado el méodo de la aza: en plana, e une el puno de via V con cada puno de la pieza aa coa al plano π, aladando a coninuación dico puno a la línea de iea, y levanando veicale. La alua e an llevado obe la veical de, que, po enconae en el plano del cuado, eán en vedadea magniud. l eo de la pieza e conuye a bae de i fugando a x y y x π V=8 5 5 º º (ecala :) π IG. 6 V IG. 7 y x y IG. 8 Solucionaio 97

55 Solucionaio Hacia la univeidad Geomeía decipiva. ada la eca y, que e coan en el puno (figua ), alla la vedadea magniud del ángulo que foman ene ella.. Se alla el plano que deeminan amba eca (figua ): la aza oizonal coniene a la aza H, y e paalela a la poyección oizonal po e la eca una eca oizonal; la aza veical paa po V, y e paalela a po e la eca fonal.. Se abae el plano, y con él la eca y. La eca abaida y foman el ángulo ϕ que e pide. IG. V. eemina la poyeccione del inceno del iángulo (figua ).. l plano que coniene al iángulo iene u aza oizonal confundida con el lado (figua 4), po ea ee iuado en el plano oizonal. o ano, y omando como canela el lado, e abae el plano, y con él, el véice en.. n el iángulo, en vedadea magniud, e alla el inceno O, puno donde e coan la biecice y β.. Se eiuye el puno O: donde e coan la poyeccione oizonale y β eá la poyección oizonal O, y donde e coan la poyeccione veicale y β e obiene la poyección veical O. V ϕ a H O a b IG. a a a O b (ecala :) IG. O b IG Solucionaio

56 . Sea un plano, cuya eca de máxima pendiene viene dada po lo puno y (figua 5), alla la poyeccione diédica de un iángulo equiláeo de lado conenido en el plano. imimo, alla la poyeccione diédica del ooceno de dico iángulo. IG. 5. Se dibuja la eca que coniene a lo puno y (figua 6), y e dibuja el plano que la coniene, de manea que la aza veical ea pependicula a la poyección veical de la eca.. Se abae el plano, y con él la eca y lo puno y.. Se dibuja el iángulo equiláeo, y e alla el ooceno O, puno donde e coan la alua de un iángulo. 4. Se eiuyen al plano lo puno y O, obeniendo la poyeccione oizonale y O, y la poyeccione veicale y O. V O H O O IG. 6 Solucionaio 99

57 Solucionaio 4. ado el plano po u aza (figua 7), deemina la poyeccione de la cicunfeencia conenida en dico plano, abiendo que iene mm de adio, e angene a lo plano de poyección, y eá iuada en el pime diedo. IG. 7. Se abae el plano (figua 8), y e dibuja la cicunfeencia de ceno O y adio mm, angene a la aza oizonal y a la aza veical abaida.. Se elige una eie de puno de la cicunfeencia. o ejemplo, e eligen lo exemo de lo diámeo y, pependicula y paalelo, epecivamene, a la aza oizonal del plano, y lo exemo de lo diámeo y G H, pependicula y paalelo, epecivamene, a la aza veical abaida.. Se eiuyen lo puno elegido, de manea que al obene la poyeccione oizonale y e obienen lo eje de la elipe poyección oizonal de la cicunfeencia; la poyeccione veicale de lo oo do diámeo y G H no ofecen lo eje de la elipe poyección veical de la cicunfeencia. H V- G O O H G G - H O H H IG. 8 Solucionaio

58 5. plica un cambio de plano veical al modelo (figua 9) paa que la nueva poyección veical del puno ea, dibujando únicamene la aia via. eemina gáficamene la vedadea longiud de la aia N. N. aa alla la nueva poyección veical de la figua, e alla la nueva poyección veical de odo y cada uno de lo véice (figua ). o ejemplo, po la poyección oizonal de un puno e aza la paalela a la diección, y e alada obe ea paalela la difeencia de coa ene lo puno y, obeniendo aí la nueva poyección veical. N N IG. 9. aa la diancia ene lo puno y N e aza po N la pependicula a la poyección oizonal N, y e alada obe ella la difeencia de coa N N ene ambo puno. La ipoenua N del iángulo que e foma e la vedadea magniud de la diancia ene lo puno y N. N V.. N (ecala :) IG. 6. ada la poyeccione de do iángulo (figua ). a) eemina la do poyeccione de la ineección de lo iángulo. ifeencia la aia via de la ocula, conideando lo do iángulo opaco. b) eemina la do poyeccione de la mínima diancia ene el puno y el iángulo, y la vedadea magniud del egmeno deeminado.. mbo iángulo ienen endo lado, y, paalelo a lo do plano de poyección (figua ); po ano, e aa de do iángulo conenido en plano paalelo a la línea de iea. La ineección de ambo eá una eca paalela a dica línea de iea.. Se aladan lo do iángulo a ecea poyección, obeniendo aí la ecea poyección de la eca de ineección de lo plano que lo conienen.. Reiuyendo la eca a poyección oizonal y poyección veical, y omando de ella el egmeno N que e común a lo do iángulo, e obiene la ineección de ambo. N N - IG. -N - - IG. Solucionaio

59 Solucionaio 7. eemina la poyección veical de la eca fonal (figua ) y u puno y de ineección con el pima, abiendo que = 4 mm. (ecala :) IG.. Se aza el plano poyecane oizonal que coniene a la eca (figua 4), que, po e ea una eca fonal paalela al plano veical, eula e ambién un plano paalelo al veical; la aza oizonal coincide, po ano, con la poyección oizonal.. Se alla la ección que el plano le poduce a la piámide. La ineección de la aza oizonal de dico plano con la aia de la piámide maca la poyección oizonal H I J K de la ección. La poyección veical de ea ección e deemina ubiendo lo puno a poyección veical H I J K.. omo la ección HIJK e paalela al plano veical, u poyección veical eá en vedadea magniud. o ano, aciendo ceno en y adio 4, e decibe un aco de cicunfeencia que coa al lado J K del polígono ección en el puno. deeminan la poyección veical de la eca. I V J K H -G - G - V H I J K H IG. 9 4 Solucionaio