O Y x A esta ecuación se la denomina ecuación del movimiento. , es la variación que experimenta el vector posición en cierto tiempo, t = t t 0

Transcripción

1 CINEMÁTICA. ESTUDI DEL MVIMIENT Tipos de moimieno El moimieno es el cambio que expeimena la posición de un cuepo especo a oo, que se oma como efeencia. Un cuepo se muee cuando cambia la posición que ocupa especo a un sisema de efeencia a medida que anscue el iempo. Paa deemina cómo se muee un cuepo, debemos sabe cómo aía con el iempo la posición de odas las paículas que lo foman, lo que, en ocasiones, es imposible y nos obliga a esudia modelos simplificados de la ealidad. Recodaemos, a coninuación, las dos fomas más sencillas en que puede desplazase un cuepo: la aslación y la oación. Al analiza con dealle moimienos eales podemos compoba que son combinación (supeposición) de los dos moimienos que acabamos de menciona. Veco posición El eco posición,, de un puno P es aquel que iene po oigen el del sisema de efeencia y po exemo la posición que ocupa el puno en ese insane. Si la posición del puno es P(x, y, z), el eco posición iene dado po: Z = x i + y j + z k P Si dicho puno se muee, su posición aiaá con el iempo. Po ano, el eco posición se podá expesa en función del iempo y sus componenes, en ge- z neal, ambién dependeán del iempo: () = x() i + y() j + z() k x A esa ecuación se la denomina ecuación del moimieno. y Veco desplazamieno y ayecoia El eco desplazamieno, =, es la aiación que expeimena el eco posición en cieo iempo, =. Su módulo mide la disancia que sepaa dos posiciones, P y P. Po su pae, las ecuaciones: x = x() ; y = y() ; z = z() son las ecuaciones paaméicas del moimieno. Cinemáica

2 Si eliminamos la aiable iempo ene ellas, se obiene una ecuación de la foma f (x, y, z) =, que se coesponde con la línea que descibe el puno en su desplazamieno y que denominamos ayecoia. La ayecoia es la línea que descibe el exemo del eco posición a medida que anscue el iempo. Z P, s P, ayecoia Como se apecia en la ilusación, el módulo del eco desplazamieno an solo coincide con la disancia ecoida, s, cuando la ayecoia que sigue el móil es eca y no cambia el senido del desplazamieno.. VELCIDAD Cuando un cuepo se muee, la aiación que expeimena el eco posición con el iempo no suele se consane. Suge así la idea de apidez o celeidad. La apidez o celeidad es diecamene popocional a la disancia ecoida e inesamene popocional al iempo empleado en ecoela. Paa calcula la apidez media, uilizamos la expesión: c m = s Si queemos ene un mayo conocimieno de la foma en que se ealiza un moimieno, no basa con conoce la apidez; ambién necesiamos conoce el senido en que nos moemos sobe la ayecoia. No es lo mismo, po ejemplo, coe desde la salida hacia la mea que hacelo al eés. Po ello ecogemos en una única magniud la apidez con que ealizamos el moimieno, la diección en que nos moemos y el senido en que lo hacemos. Esa magniud, ecoial, ecibe el nombe de elocidad,. La elocidad media, m, es la elación que exise ene el cambio de posición de un cuepo, caaceizado po el eco desplazamieno, y el iempo que anscue hasa que se poduce dicho cambio: m = m La celeidad mide aiaciones en la disancia ecoida, y la elocidad mide aiaciones en el eco desplazamieno. Po ano, si el moimieno es ecilíneo y no cambiamos de senido, la apidez media coincidiá con el módulo de la elocidad media. La elocidad media no pemie conoce la elocidad del móil en cada insane. Paa ello necesiamos una nuea magniud, la elocidad insanánea. La elocidad insanánea,, es el eco al que iende el eco elocidad media cuando el inealo de iempo anscuido,, iende a ceo ( ). Se calcula deiando el eco posición especo al iempo: = lím = d d = La expesión de la elocidad insanánea en coodenadas caesianas es: dx dy dz = i + j + k = i + j + k x y z d d d Cinemáica

3 y su módulo se calcula a pai de la expesión: = x + y + z La elocidad la podemos expesa como poduco del módulo,, po el eco uniaio, u T, en la diección de la elocidad (angene a la ayecoia) y senido, el de aance del moimieno, como se apecia en la figua de la deecha: = u T Z 3 A AB B AC C AD D Z u 3 AD = 3 3 AC = ; ; AB = 3. VELCIDAD GRÁFICS PSICIÓN-TIEMP Vamos a epesena gáficamene la posición que ocupa un móil en función del iempo paa dos moimienos ecilíneos en los que el móil no cambia el senido de su moimieno. En ambos casos, al aase de moimienos ecilíneos, el módulo del eco desplazamieno coincide con la disancia ecoida, y la apidez, con el módulo de la elocidad media: s = s = No obsane, si epesenamos gáficamene la disancia ecoida, s, en función del iempo, la gáfica que obenemos es álida, sea cual sea la foma de la ayecoia seguida po el móil. La elocidad es consane En ese caso, el módulo de la elocidad: = = s es consane. Ello hace que el desplazamieno poducido sea el mismo paa inealos de iempo iguales. Un moimieno ecilíneo cuya elocidad es consane iene epesenado po una eca en el diagama posición-iempo. Cinemáica 3

4 La pendiene de esa eca coincide con el alo de la elocidad en dicho moimieno. (m) (s) La elocidad es aiable Supongamos ahoa que el moimieno que ealiza el móil es de al naualeza, que, al medi las disancias ecoidas desde el oigen, se obiene la siguiene abla de aloes, con la que consuimos el gáfico posición-iempo de la deecha: Tiempo (s) Posición (m) (m) 3 5 () α = g α = 5 3 = (s) Como se apecia en la figua, en ese caso el gáfico posición-iempo coesponde a una cua. bsea que el desplazamieno es disino paa inealos egulaes de iempo. Paa calcula sobe dicha gáfica la elocidad del móil en cualquie insane, debemos ene en cuena es consideaciones:. Esamos suponiendo que el moimieno es ecilíneo.. La elocidad insanánea se define como la deiada de la posición, (), especo al iempo. 3. Desde un puno de isa geoméico, la elocidad insanánea en cada insane coincide con la pendiene de la eca angene a la cua en dicho puno. En el gáfico posición-iempo aneio hemos epesenado la angene a la cua en el insane = 3 s. Al considea simuláneamene las es afimaciones aneioes, obenemos la elación: = gα La pendiene de la eca angene al gáfico posición-iempo se coesponde, en cualquie insane, con la elocidad insanánea. Cinemáica 4

5 4. DISTANCIA RECRRIDA GRÁFICS VELCIDAD-TIEMP Si conocemos la foma en que aía la elocidad de un móil en función del iempo, podemos calcula la disancia que ecoe, ya que esa coincide numéicamene con el áea delimiada po la función () y las abscisas coespondienes al inealo de iempo consideado. Si el móil descibe un moimieno cuya elocidad es consane, el gáfico - es una eca paalela al eje de abscisas. Si la elocidad con que el cuepo descibe el moimieno es aiable, la foma del gáfico - dependeá de cómo aíe la elocidad con el iempo. Si la aiación con el iempo es lineal, el alo de la elocidad se podá expesa po medio de una función del ipo: = k, en la que k es una consane de popocionalidad. El gáfico coesponde a una eca que pasa po el oigen, como la epesenada en la figua de la izquieda. El áea sombeada en dicha figua coincide numéicamene con la disancia ecoida po el móil en el inealo de iempo. Esa deducción puede ampliase a cualquie moimieno en el que la elocidad aíe de foma abiaia. En el gáfico de la deecha, po ejemplo, el áea sombeada coincide con la disancia ecoida po el móil en el inealo. El coespondiene alo analíico, en ese caso, se obiene mediane el cálculo inegal: s = d () (m. s ) (m. s ) 8 () 4 4 (s) (s) 5. ACELERACIÓN Paa conoce mejo el moimieno de los cuepos, necesiamos defini una magniud que elacione el cambio de elocidad con el inealo de iempo en que se poduce. A dicha magniud la denominamos aceleación. La aceleación media, a m, es la elación que exise ene la aiación de elocidad que se poduce en el moimieno y el inealo de iempo en que se poduce dicho cambio: a m = a m = Z ayecoia Cinemáica 5

6 La aceleación es un eco, ya que se define como cociene ene un eco, la aiación de elocidad ( ), y un escala, el iempo () duane el cual se poduce dicha aiación. Al oma inealos de iempo cada ez más pequeños, haciendo que ienda a ceo ( ), el eco aceleación media se apoxima al eco aceleación en un insane. A dicho eco se lo denomina aceleación insanánea, a, y se calcula deiando el eco elocidad especo al iempo: a = d d Las expesiones de la aceleación insanánea y de su módulo son: a = d x d i + d y j + d z d d Componenes inínsecas de la aceleación A cualquie puno de la ayecoia de un móil le podemos asocia un sisema de efeencia fomado po un eje angene a la ayecoia y oo pependicula a ella. Dicho sisema de efeencia es, po ano, inínseco a la ayecoia, y iene deeminado po los ecoes uniaios u y u n. La diección del pimeo de ellos es angene a la ayecoia y iene el senido de la elocidad, mienas que la del segundo es pependicula a la ayecoia, esando diigido hacia su ceno de cuaua, como se apecia en la siguiene figua: A u u n a k a = a x + a y + a z a n En ese sisema de efeencia, el eco aceleación insanánea, a, posee, en cada puno de la ayecoia, dos componenes: una angencial, a, y oa nomal o cenípea, a n. Po ano: a = a + a = a u + a u n n n a a = a + a n La componene angencial de la aceleación, a, indica cómo aía el módulo de la elocidad, y la componene nomal de la aceleación, a n, indica cómo aía la diección del eco elocidad. Las expesiones que nos pemien calculalas son: a = cuando Po ano: a n = R a d = u + R u d n Cinemáica 6

7 6. EL MVIMIENT RECTILÍNE UNIFRME Cuando la ayecoia que descibe un móil es una línea eca y la elocidad con que se muee es consane, el moimieno es ecilíneo unifome (m..u.). En el m..u., al se la ayecoia ecilínea, la elocidad es siempe angene a la ayecoia, y no cambia de diección. Po ano, la componene nomal de la aceleación es nula, siendo la ecuación de la elocidad: = ce. Como la componene angencial de la aceleación es la deiada del módulo de la elocidad especo al iempo, esula: d d a = = [ ce] = d d En el moimieno ecilíneo unifome, las dos componenes inínsecas de la aceleación son nulas. Es un moimieno sin aceleación. Al se nula la aceleación, la apidez es consane. Po ano, la elocidad insanánea coincide con la elocidad media: = = m y, como y ienen igual diección y senido, podemos pescindi del caáce ecoial: = = ( ) = + ( ) Esas expesiones pemien calcula la disancia que ecoe el móil ene los insanes y, así como la posición que ocupa el móil que se muee con m..u. en un insane cualquiea,, conocidas la elocidad,, y la posición,, que ocupa en el insane inicial,. 7. EL MVIMIENT RECTILÍNE UNIFRMEMENTE ACELERAD Cuando un objeo se muee en línea eca y cambia el alo de la elocidad, la componene nomal de la aceleación es nula. Po ano, la aceleación del moimieno an solo endá componene angencial, que coincidiá con la aceleación, a = a. Si el objeo se muee en línea eca y su elocidad aía unifomemene, la aceleación seá consane. Diemos que el moimieno es ecilíneo unifomemene aceleado (m..u.a.). Po aase de un moimieno en el que la aceleación es consane, la aceleación media coincidiá con la aceleación insanánea: a = a m a = = En esa expesión, la aceleación puede se posiia o negaia, dependiendo de que la elocidad aumene o disminuya. Al despeja en esa úlima expesión, esula: = a ( ) = + a ( ) x (m) x (m. s ) x x (m) x x (s) Cinemáica 7

8 Al igual que hemos hecho en el m..u., como el eco desplazamieno,, la elocidad, (m s ), y la aceleación, a, ienen la misma diección, podemos pescindi del caáce ecoial, con lo que la expesión aneio queda en la foma: = + a ( ) Al epesena esa úlima ecuación en un diagama -, obenemos una eca cuya pendiene, g θ, coincide con el alo, a, de la aceleación con que se muee θ < el objeo. (s) A coninuación, amos a calcula la disancia ecoida po un objeo que se muee con m..u.a. a pai de la epesenación gáfica de dicho moimieno en el diagama -, de foma paecida a como lo hicimos al esudia el moimieno ecilíneo unifome (m..u.). El siguiene gáfico - epesena un m..u.a., ya que la elocidad aía de modo unifome (la aiación de (m s ) la elocidad es lineal y iene epesenada po una eca en el plano -). Si pescindimos del caáce ecoial de la posición, ya que el moimieno se poduce en una sola dimensión, y eniendo en cuena el alo de las áeas del S iángulo y del ecángulo epesenadas en la figua, S podemos escibi la siguiene expesión escala: S S ( ) = + = + ( ) ( ) (s) Si enemos en cuena que = a ( ), y susiuimos en la expesión aneio, obenemos: = ( ) + a ( ) En consecuencia, la posición en un insane cualquiea,, de un móil que se desplaza con m..u.a. endá dada po la expesión: (m) = + ( ) + a ( ) 3 Como se apecia en la figua de la deecha, al epesena en un diagama - la ecuación aneio, que nos pemie calcula la posición en el m..u.a., obenemos una paábola, ya que es una ecuación de pi- me gado en y de segundo gado en. 3 4 (s) Las ecuaciones que hemos iso de la elocidad y la posición en el m..u.a.: = + a ( ) ; = + ( ) + a ( ) se denominan ecuaciones del m..u.a., y nos pemien esole poblemas de moimieno ecilíneo unifomemene aceleado en los que desconozcamos dos de las magniudes físicas, que seán las incógnias del sisema de ecuaciones que foman. Cinemáica 8

9 8. EL MVIMIENT CIRCULAR El moimieno cicula es el que ealiza un puno que descibe una ayecoia cicula. El moimieno cicula más sencillo es el moimieno cicula unifome (m.c.u.), que es el de un puno que se muee sobe una cicunfeencia con elocidad consane. Po ano, la componene angencial de la aceleación, a, seá ceo. Sin embago, aunque la elocidad no cambia de alo, sí cambia su diección, ya que esa siempe es angene al puno de la ayecoia en el que se encuena el móil. Po ano, en el m.c.u. sí exise componene nomal de la aceleación, a n, siendo consane su alo: a ya que lo son y el adio de la cicunfeencia,. En las siguienes figuas se epesena un moimieno cicula unifome, con las magniudes físicas que ineienen en él: n = s, s θ s, θ θ = = Al se un moimieno unifome, la expesión que pemie calcula la disancia ecoida, s, en un iempo,, es: s = y, po ano, la expesión que pemie calcula la disancia ecoida po el móil en deeminado insane seá: s s = ( ) s = s + ( ) En ese ipo de moimieno es muy úil expesa esas ecuaciones en función del ángulo, θ, que gia el adio,, con el iempo. Así pues, en luga de la disancia ecoida, s, consideamos el ángulo, θ, que gia en un iempo. Paa medi ángulos uilizamos el adián, que es el ángulo que abaca un aco de cicunfeencia cuya longiud es igual a la de su adio. Su símbolo es ad. Teniendo en cuena la definición de adián, esula: s = θ Si compaamos esa ecuación con la que elaciona el desplazamieno con la elocidad y con el iempo, esula: s s = θ = } = = θ θ Cinemáica 9

10 El cociene de la úlima expesión se denomina elocidad angula, ω: θ ω = La elación que exise, po ano, ene y ω es: = ω La elocidad angula es la elación ene el desplazamieno angula, θ, que ealiza un móil cuyo moimieno es cicula y el iempo,, que uiliza paa ello. La unidad S.I. de elocidad angula es el ad s. No obsane, en el lenguaje coidiano uilizamos unidades como eoluciones o uelas po minuo (.p.m.) u oas. Como ω es consane, podemos pone la expesión de la elocidad angula en la foma: θ = ω θ θ =ω ( ) θ=θ +ω ( ) Esa expesión nos pemie calcula la posición angula, θ, en cualquie insane,. En el moimieno cicula unifomemene aceleado exise, al igual que en el m.c.u., componene nomal de la aceleación, peo en ese caso es aiable, y el móil esá, además, someido a la aceleación angencial, que es consane. La expesión de la aceleación angula es: ω α = d d Recupeando la analogía ene las magniudes angulaes y las lineales, podemos expesa las ecuaciones de la posición y de la elocidad paa el m.c.u.a. del siguiene modo: θ = θ + ω ( ) + α ( ) ; ω = ω + α ( ) Se cumplen, además, las siguienes elaciones: a =α ; a n =ω 9. EL PRINCIPI DE SUPERPSICIÓN De acuedo con el pincipio de supeposición, si un cuepo esá someido simuláneamene a dos moimienos, ambos se supeponen sin que ello dependa de si los moimienos se poducen simulánea o sucesiamene. Si un cuepo se muee con elocidad, anscuido cieo iempo,, su posición seá. Si se muee con elocidad, anscuido ese mismo iempo, su posición seá. Si el cuepo esá someido a la acción de ambos moimienos, el eco posición seá: = + El esulado de esa suma no depende de si se suman simuláneamene, aplicando la egla del paalelogamo, o si se suman sucesiamene, haciendo coincidi el exemo del pime eco con el oigen del segundo. Cinemáica

11 Al deia la expesión aneio especo al iempo, esula: d d d = + = + d d d La elocidad del moimieno que esula al aplica el pincipio de supeposición es siempe suma ecoial de las elocidades de los moimienos oiginales. Si se aa de dos m..u., al se consane la elocidad de ambos moimienos, ambién lo seá su suma. Si se aa, po el conaio, de moimienos en los que aía la elocidad, al deia su expesión especo al iempo, emos que la aceleación del moimieno esulane es la suma ecoial de las aceleaciones de cada moimieno: d d = + a = a + a d d d d. EL MVIMIENT PARABÓLIC El moimieno paabólico es el que ealiza un objeo cuando se lanza con ciea elocidad inicial,, en una diección que foma un ángulo θ con la hoizonal, quedando poseiomene en libead. Inicialmene, el cuepo sale despedido en la diección en que se lanza, aunque, debido a su peso, modifica su ayecoia y acaba po cae. Paa esudia ese moimieno, supondemos que la esisencia que ofece el aie al moimieno es nula, ya que ello simplificaá los cálculos. El moimieno paabólico esá compueso po dos: uno ecilíneo unifome en diección hoizonal y oo ecilíneo unifomemene aceleado en diección eical. Las ecuaciones del moimieno hoizonal son: x = cos θ x = cos θ El moimieno eical se debe a la acción del campo gaiaoio eese, que somee el cuepo a una aceleación, a = g j, siendo g = 9,8 m s. Po ano, las ecuaciones de ese moimieno son: La elocidad insanánea,, seá: = x i + y j = cos θ i + ( sen θ g ) j De ese modo, el módulo de la elocidad esula se: = + = cos θ + ( sen θ g ) x y = sen θ g y = sen θ g y Si eliminamos el iempo,, en las ecuaciones que popocionan la posición, x e y, obenemos la ecuación de la ayecoia: g y = x g θ x cos θ Cinemáica

12 Esa úlima expesión es la ecuación de una paábola, como la epesenada en la figua:: P (x, y) B = x. i x = x y y máx y θ x B A x máx El alcance, x máx, es la disancia hoizonal que sepaa el puno de lanzamieno del puno A en que impaca cona el suelo el objeo lanzado. Como se apecia en la figua aneio, las coodenadas de ese puno son (x máx, ). Po ano, paa calcula el alcance, hay que hace y = en la ecuación de la ayecoia y despeja el alo de x: x ( sen θ cos θ g x) = Al aase de una ecuación de segundo gado, obenemos dos soluciones, la del puno de lanzamieno (x = ) y el alcance máximo: x = x máx = x g θ g cos θ x = sen θ cos θ g = sen( θ) g Paa calcula la alua máxima, y máx, que alcanza el objeo en su moimieno, basa con ene en cuena que, en ese insane, se anula la componene eical de la elocidad, y : sen θ g = Po ano, el iempo empleado en llega hasa la alua máxima es: = sen θ g Al susiui ahoa el alo obenido paa el iempo,, en la expesión que popociona el alo de y, obenemos la alua máxima: y máx = senθ senθ g g sen θ g = sen θ g Cinemáica

13 . EL TIR HRIZNTAL El io hoizonal es el moimieno que ealiza un objeo al se lanzado desde una supeficie hoizonal. También es el que ealiza un objeo cuando se deja cae desde un aión que uela hoizonalmene; en ese caso, la elocidad inicial del objeo es igual a la del aión. El io hoizonal es un moimieno paabólico cuyo ángulo de lanzamieno, θ, es nulo. Ese moimieno es idénico al que descibe un cuepo en moimieno paabólico a pai del insane en que alcanza la alua máxima, y se poduce cuando se lanza en diección hoizonal desde ciea alua, h, un objeo con elocidad inicial ; se aa de un moimieno cuya ayecoia pae de un puno cuya posición es (, h), y es el esulado de la composición de un moimieno hoizonal, ecilíneo unifome, cuya elocidad es, y un moimieno eical, ecilíneo unifomemene aceleado, cuya aceleación es a = g j, siendo g = 9,8 m s. Teniendo eso en cuena, las ecuaciones del moimieno seán: En el eje : x = ; x = en el eje : = g ; y = h g y Las expesiones de la elocidad insanánea y su módulo son: = i g j = La diección de + g, que podemos expesa en función del ángulo que foma en cada insane el eco elocidad con el eje, es: ϕ=acg y x = acg g x = Si eliminamos el iempo,, en las ecuaciones que popocionan x e y, obenemos la ecuación de la ayecoia, cuya expesión es: x = = x g y = h y = h g x h y Esa ecuación es de pime gado en y, y de segundo gado en x, po lo que la ayecoia del objeo, dibujada en la figua de la deecha, es una paábola. x máx Cinemáica 3