Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 5 63

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1 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 6 TMA cuaciones de ecas planos en el espacio Posiciones elaivas Poblemas Resuelos cuaciones de ecas planos Halla, en sus difeenes fomas, las ecuaciones de la eca definida po el puno A(,, ) el veco v (,, ) Peenecen los punos P(,, ) Q(,, ) a la eca obenida? Vecoial,,,, λ,, ( ) ( ) ( ) λ Paaméicas Coninua λ Un puno peenece a una eca cuando cumple su ecuación λ l puno P(,, ), pues se cumple paa λ λ l puno Q(,, ), pues, en ese caso, la segunda coodenada siempe debe vale Halla las ecuaciones de la eca s que pasa po los punos A(,, ) B(,, ) La eca s viene deeminada po el puno A(,, ) po el veco AB (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Su ecuación vecoial es (,, ) (,, ) (,,) s Sus ecuaciones paaméicas son s n foma coninua s Halla la ecuación del plano deeminado po los punos A (,, ), B (,, ) C (,, ) Un plano queda deeminado po un puno dos vecoes l puno puede se cualquiea de los dados, po ejemplo A; los vecoes, AB AC n ese caso AB (,, ) (,, ) (,, ); AC (,, ) (,, ) (,, ) Su ecuación seá λ λ µ ( ) ( ) λ µ wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

2 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 6 Halla la ecuación del plano deeminado po los punos A(,, ), B(,, ) C(,, ) Peenecen los punos P(,, ) Q(,, ) al plano obenido? l plano queda deeminado po el puno A (o el B o el C) po los vecoes AB AC AB (,, ) (,, ) (,, ); AC (,, ) (,, ) (,, ) Su ecuación es λ λ µ λ µ Un puno peenece a un plano cuando cumple su ecuación Po ano P(,, ), pues ( ) ( ) ; Q(,, ), pues Calcula b paa que los punos A(,, ), B(,, b) C(,, ) deeminen un plano que conenga al puno P(,, ) Cuál es la ecuación de dico plano? Si el puno P(,, ) peenece al plano deeminado po A, B C, enonces los vecoes AP, BP CP deben se coplanaios, en consecuencia, da luga a un deeminane nulo Como AP (,, ), BP (,, b) CP (,, ), se endá que b b b Luego, el valo pedido es b Po ano, los punos son A(,, ), B(,, ) C(,, ); el plano que deeminan 6 Deemina la ecuación del plano que pasa po el puno A(,, ) iene po veco nomal a v (,, ) Halla oo puno P del plano compueba que el veco AP es pependicula a v Un veco nomal del plano a b c d es v ( a, b, c) Po ano, la ecuación del plano pedido seá d Como debe conene al puno A ( ) ( ) d d l plano es Oo puno P del plano puede se P(,, ); de donde AP (,, ) (,, ) (,, ) l poduco escala AP v (,, ) (,, ) Luego ambos vecoes son pependiculaes wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

3 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 6 Halla las ecuaciones del plano que coniene al puno P(,, ) a la eca l plano pedido viene deeminado po el puno P po los vecoes eca, PA (o AP), siendo A un puno de v (,, ); A (,, ); PA (,, ) (,, ) (,, ) Las ecuaciones paaméicas del plano son λ µ µ λ µ Su ecuación geneal ( ) ( ) λ λ v, de diección de la Halla la ecuación del plano que coniene al puno P(,, ) a la eca l plano pedido viene deeminado po el puno P(,, ) los vecoes v RP, siendo R(,, ) Luego v (,, ); RP (,, ) (,, ) (,, ) La ecuación del plano pedido es 9 Obén las ecuaciones de las ecas que deeminan los ejes caesianos l eje OX pasa po oigen, O(,, ) lleva la diección del veco u (,, ) Su ecuación seá OX (,, ) (,, ) λ(,, ) λ en paaméicas OX OX l eje OY pasa po oigen, O(,, ) lleva la diección del veco u (,, ) Su ecuación seá OY (,, ) (,, ) λ(,, ) OY λ OY wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

4 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 66 l eje OZ pasa po oigen, O(,, ) lleva la diección del veco u (,, ) Su ecuación seá (,, ) (,, ) λ(,,) OZ OZ λ OZ Obén las ecuaciones de los planos caesianos l plano XOY coniene al pasa po oigen esá deeminado po los vecoes u (,, ) u (,, ) Su ecuación seá λ XOY µ De manea análoga, el plano XOZ seá Y el plano YOZ endá po ecuación Obsevación Como puede vese, la eca que coniene al eje OX es el coe de los planos Naualmene, su ecuación es OX Oas fomas de deeminación de planos ecas Halla las ecuaciones paaméicas de la eca inesección de los planos de ecuaciones 9 Indica uno de sus punos su veco de diección p 9 9 La eca es, p p Un puno de la eca es P(,, ) Su veco de diección es v (,, ) (Popueso en Selecividad en, Aagón) Halla la ecuación del plano paalelo a las ecas de ecuaciones, s que pasa po el puno A(,, ) l plano pedido viene deeminado po el puno A po los vecoes diecoes de las ecas dadas Paa la eca se iene v (,, ) Obsévese que Si se epesa la eca s en su foma paaméica s s s wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

5 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 6 s v s (,, ) La ecuación del plano es Halla la ecuación del plano que coniene a los punos P(,, ) Q (,, ) es paalelo a la eca l plano pedido viene deeminado po uno de los punos dados po los vecoes PQ v, de diección de la eca so es, po P(,, ); PQ (,, ) (,, ) (,, ); v (,, ) Su ecuación es ( ) ( ) Halla la ecuación del plano que pasa po el puno P (,, ) es paalelo a las ecas, de ecuaciones ; l plano pedido viene deeminado po el puno dado po los vecoes de diección de cada una de las ecas sos vecoes son v (,, ); v (,, ) Po ano 6 Dada la eca la eca el puno A(,, ), calcula a) Un veco dieco de la eca b) l plano que coniene a la eca al puno A a) Se epesa en función de sus ecuaciones paaméicas v (,, ) wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

6 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 6 wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano b) l plano viene deeminado po el puno P(,, ), el veco v el veco AP (,, ) (,, ) (,, ) Su ecuación es 6 Halla la ecuación geneal del plano que coniene a la eca es paalelo a la eca l plano pedido viene deeminado po un puno cualquiea, P v, po los vecoes v, de diección de las ecas Paa obene el puno los vecoes se epesan ambas ecas en su foma paaméica, especivamene P (,, ); v (,, ) Resando ambas ecuaciones (aciendo ) v (,, ) Po ano, el plano pedido es ) ( Halla la ecuación de la eca que pasa po el puno P(,, ) es paalela a Halla ambién la ecuación del plano que conenga a ambas ecas Solución La eca pedida difiee de la dada sólo en su posición Su ecuación seá s l plano viene deeminado po el puno A(,, ) po los vecoes v (,, ) AP (,, ) (,, ) (,, )

7 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 69 Su ecuación seá Oos poblemas (I) Dibuja el iángulo de véices los punos A(,, ), B(,, ), C(,, ) Halla la ecuación del plano que lo coniene Los punos dados se encuenan en los ejes caesianos, como se indica en la figua adjuna Dos de los vecoes que deeminan ese plano son AB (,, ) AC (,, ) Luego, su ecuación seá ( ) 9 (Popueso en Selecividad en, Casilla la Manca) Calcula el áea del iángulo cuos véices son los punos de inesección del plano con los ejes de coodenadas l plano coa a los ejes en los punos A(,, ); B(,, ); C(,, ) l áea del iángulo viene dada po S AB AC Los vecoes AB AC son AB (,, ) (,, ) (,, ); AC (,, ) (,, ) (,, ) Luego S AB AC u u u (,, 9) 9 S 9 9 u Sean A, B C los punos de inesección del plano de ecuación con los es ejes coodenados OX, OY OZ, especivamene Calcula a) l áea del iángulo ABC b) l peímeo del iángulo ABC c) Los es ángulos ineioes del iángulo ABC l puno A se obiene aciendo despejando en la ecuación del plano; se iene Po ano, A (,, ) De manea análoga, B (,, ) C (,, ) La idea se indica en el dibujo adjuno wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

8 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema a) l áea del iángulo ABC viene dada po S AB AC n ese caso AB (,, ) (,, ) (,, ); AC (,, ) (,, ) (,, ) Luego, u u u AB AC (,, ) AB AC S b) l peímeo del iángulo es la suma de los módulos de los vecoes que deeminan sus lados p AB AC BC ( ) ( ) ( ) l veco BC (,, ) (,, ) (,, ) c) l coseno del ángulo que foman los vecoes u v u v viene dado po cos( u, v) u v n ese caso (,, ) (,, ) 6 Ángulo A cos( AB, AC) Â 9,º ( ) ( ) (,, ) (,, ) Ángulo B cos( BA, BC) Bˆ,º ( ) ( ) (,, ) (,, ) Ángulo C cos( CA, CB) Ĉ 66,º ( ) ( ) Dados los punos A(,, ) B(,, ) la eca λ, alla un puno C de λ foma que el iángulo ABC sea ecángulo con el ángulo eco en C La siuación es la epesenada en la figua adjuna l iángulo ABC seá ecángulo en C cuando los vecoes AC BC sean pependiculaes Paa ello AC BC l puno C de la eca es de la foma C (, λ, λ) Po ano AC (, λ, λ), BC (, λ, λ) Luego AC BC λ λ λ / o λ Se obienen dos soluciones paca C Si λ /, C (, /, /); si λ, C (,, ) wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

9 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema Posiciones elaivas de dos es planos Halla la posición elaiva de los paes de planos siguienes Si se coan, alla la ecuación de la eca que deeminan a) α b) α c) α 6 a) Como los vecoes nomales de ambos planos son disinos (no dependienes), los planos se coan v (,, ) ; v α (,, ) La eca que deeminan es Un puno de la eca es P(,, ) Su veco de diección es v (,, ) b) Los vecoes nomales de ambos planos son "iguales" (dependienes) (,, ) (,, ) Po ano, los planos son paalelos o iguales Seán iguales cuando v α v ; cualquie puno de, po ejemplo P(,, ), peeneca a α Como no es así, los planos son paalelos c) Como esula evidene, la ecuación del segundo plano se obiene muliplicando po la pimea Po ano, ambos planos coinciden son el mismo plano Dados los planos de ecuación k k k a) sudia, en función del paámeo k, su posición elaiva b) ise algún valo de k paa el que los planos sean pependiculaes? a) Dos planos pueden coase, coincidi o se paalelos Se coan cuando sus vecoes nomales son independienes Son paalelos cuando sus vecoes nomales son dependienes v p v Son coincidenes cuando, además de se paalelos, ienen un puno en común Los vecoes nomales son (, k, ) v v (, k ), wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

10 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano sos vecoes son linealmene dependienes si sus coodenadas son popocionales; eso es, si k k No a ningún valo de k que cumpla esa elación, pues de k k 6; de k k n consecuencia, los planos dados se coan paa cualquie valo de k b) Los planos son pependiculaes cuando lo son sus vecoes nomales Paa ello, su poduco escala debe se ceo v v v v (, k, ) (,, k k k ) k, k Los planos son pependiculaes cuando k o k Halla la posición elaiva de los es planos siguienes ; ; Si se coan, alla el puno o la ecuación de la eca que deeminan Ha que esudia el sisema que deeminan (Po Gauss) ; ; Los planos se coan en el puno de coodenadas (,, ) Halla la posición elaiva de los es planos siguienes ; ; Si se coan, alla el puno o la ecuación de la eca que deeminan l sisema asociado es 6 Como el sisema esula compaible indeeminado, los es planos ienen una eca en común Su ecuación es

11 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano 6 Halla la posición elaiva de los es planos siguienes ; ; Si se coan, alla el puno o la ecuación de la eca que deeminan l sisema asociado es (Po Gauss) 6 l sisema esulane es incompaible; po ano, los es planos no ienen ningún puno en común, se coan dos a dos Halla la ecuación del a de planos deeminado po De ellos, alla el plano que pasa po el puno P(,, ) Solución La ecuación del a de planos es ( ) k l plano que pasa po el puno P(,, ) cumple ( ) ) ( ) ( k k k Luego, el plano del a que coniene a P es ( ) 6 Halla la ecuación del plano definido po el puno P(,, ) la eca s Solución l plano pedido es uno del a deeminado po la eca, cua ecuación es ( ) k Como debe conene a P(,, ) ( ) k k l plano pedido es ( ) 9 sudia, paa los difeenes valoes del paámeo m, la posición elaiva de los planos m m ; ; Ha que discui el sisema asociado m m Las maices A, de coeficienes del sisema, M, ampliada, son M m m A

12 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema m 6 l deeminane de A, A m 6, que se anula paa m Po ano 6 si m, el deeminane A el ango de A vale n ese caso, el sisema seá compaible deeminado, lo que indica que los es planos ienen un único puno en común si m, el deeminane A el ango de A vale, pues el meno / La mai M queda / M Como el meno M, se deduce que el ango de M es / n consecuencia, si m, el sisema es incompaible, lo que indica que los planos no iene ningún puno en común Como ninguno de los planos es paalelo a oo, los planos se coan dos a dos sudia, paa los difeenes valoes del paámeo a, la posición elaiva de los planos ; a ; ( a) a Cuando sean del mismo a, deemina la eca común Se discue el sisema a en función del paámeo a ( a) a Sea A la mai de coeficienes M la mai ampliada A a M a a l deeminane de A, A a a a a( a) Se anula si a o a Con eso a Si a (A) (M) l sisema seá compaible deeminado Los es planos se coan en un único puno Si a se iene A M wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

13 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano Como F F (A) (M) l sisema seá compaible indeeminado Los es planos se coan en una eca son del mismo a Paa a, el sisema inicial es equivalene a Haciendo se obienen las ecuaciones paaméicas de la eca con Si a se iene M A l ango de A es, las columnas ª ª son iguales Sin embago, el ango de M vale, pues M Luego el sisema seá incompaible n ese caso, los planos no iene ningún puno en común se coan dos a dos Halla, según los valoes del paámeo a, la posición elaiva de los planos dados po las ecuaciones a Cuando sean del mismo a, deemina la eca común sos planos foman un sisema omogéneo Como siempe es compaible, los planos se coaán en un puno (cuando el ango de la mai de coeficienes sea ) o deeminaán una eca (cuando el ango sea ) La mai es a A Su deeminane ) ( a A si a / Con eso Si a /, (A), el sisema seá compaible deeminado Los planos se coaán en un único puno Si a /, (A) Sisema compaible indeeminado Los planos iene una eca en común son del mismo a n ese caso (a /), el sisema queda /, cua solución es la eca pedida 6

14 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 6 Posiciones elaivas de una eca un plano λ sudia la posición elaiva de la eca el plano 6 λ n el caso de que se coen alla el puno común s inmediao compoba que la eca el plano no son paalelos pues el veco de diección de la eca, v (,, ), el nomal al plano, v (,, ), no son pependiculaes su poduco escala vale Tampoco la eca esá conenida en el plano, pues el puno A(,, ) no peenece al plano Po ano, la eca coa al plano l puno de coe puede allase susiuendo las ecuaciones de la eca en la del plano ( λ) ( λ) 6 λ Paa λ se obiene el puno P(,, ) Sea la eca que pasa po el puno P(,, ) iene como veco dieco (,, ) ise algún valo de a paa el cual la eca esá conenida en el plano a? Las ecuaciones paaméicas de la eca son La eca esá conenida en el plano cuando cualquie puno genéico de ella veifica la ecuación del plano so es, cuando las ecuaciones de cumplen la del plano ( ) ( ) ( ) a 6 a a Po ano, la eca esá conenida en el plano cuando a (Popueso en Selecividad en, Caaluña) Dados el plano la eca a) Calcula el puno de inesección ene el plano la eca b) Calcula la ecuación de la eca s que esá conenida en el plano, es pependicula a la eca coa la eca a) l puno de coe es la solución del sisema asociado a las ecuaciones de la eca el plano ;, Puno P(,, ) b) La eca pedida, s, viene deeminada po P po el veco v s, que es pependicula, a la ve, a v v (,, ) Po ano, vs v v wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

15 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano Paa deemina v se epesa la eca en paaméicas λ λ λ ( ),, v Con eso, ( ),, u u u v v v s n consecuencia, como P(,, ) es de la eca, sus ecuaciones son s Dada la eca el plano m, se pide a) La posición elaiva de la eca el plano según los valoes del paámeo m b) l puno de inesección de la eca el plano en el caso de m a) Su posición elaiva se alla discuiendo el sisema deeminado po la eca el plano m m Haciendo ansfomaciones de Gauss se iene m ) ( m ) ( m A pai de la ecea ecuación se conclue Si m, el sisema iene solución única so significa que el plano la eca se coan en un puno Si m, el sisema es compaible indeeminado so significa que la eca esá conenida en el plano b) Paa m, el sisema queda Su solución es,, Po ano, la eca el plano se coan en el puno (,, )

16 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema Posiciones elaivas de dos ecas 6 Deemina la posición elaiva ene las ecas Debe esudiase la dependencia lineal de los vecoes λ λ ; λ v, v s RS, donde R S s Si los es vecoes son linealmene independienes, las ecas se cuan; si son linealmene dependienes, con v v s, se coan; si v k v s, las ecas son paalelas Se iene v (,, ), v s (,, ) RS (,, ) (,, ) (,, ) Como, los vecoes son linealmene independienes n consecuencia, las ecas s se cuan λ Dadas las ecas a λ λ dependiendo del valo de a Las ecas nunca pueden se paalelas, pues s s, deemina su posición elaiva v (,, ) v s (,, ) no indican la misma diección Las ecas se coaán si los vecoes v (,, ), v s (,, ) RS son linealmene dependienes, siendo R un puno de S un puno de s Si R (, a, ) S (,, ) RS (, a, ) Los vecoes seán linealmene dependienes cuando su deeminane asociado valga a Las ecas se coan cuando a a si a a n los demás casos se cuan; eso es, cuando Dadas las ecas s a) Compueba que son paalelas b) Halla la ecuación geneal del plano que las coniene a) Las ecuaciones de ambas ecas en foma paaméica son a wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

17 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 9 wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano v (,, ) s s (Sumando ) s 6 ; Haciendo se iene s s v (,, ) Resula evidene que ambas ecas ienen el mismo veco de diección v s v b) Si dos ecas son paalelas siempe a un plano que las coniene Viene deeminado po un puno de alguna de ellas, po ejemplo R (,, ), po los vecoes v RS, siendo S (,, ) s l veco RS (,, ) Po ano, la ecuación del plano es 9 Deemina la posición de las ecas s, de ecuaciones s, Sus ecuaciones en foma paaméica son 9 6 (aciendo ) v (,, ), R (,, ) s s s s v (,, ), S (,, ) La dependencia lineal de los vecoes v, s v RS, siendo R S s, deemina la posición elaiva de ambas ecas si son linealmene independienes, las ecas se cuan; si son linealmene dependienes, esán en el mismo plano

18 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano n ese caso v (,, ), s v (,, ) RS (,, ) (,, ) (,, ) Como, los vecoes son linealmene independienes n consecuencia, las ecas s se cuan Deemina la posición elaiva de las ecas s, siendo la eca que pasa po los punos P(,, ) Q(,, ) s Si se coan, alla el puno de coe La eca queda definida po P(,, ) el veco PQ (,, ) (,, ) (,, ) Su ecuación es Las ecuaciones paaméicas de s son s s (aciendo ) s La posición elaiva de s se deduce esudiando la dependencia lineal de los vecoes v (,, ), s v (,, ) PS (,, ) (,, ) (,, ), donde S (,, ) es un puno de s Como, los vecoes son linealmene dependienes n consecuencia, las ecas s se coan Paa alla el puno de coe se esuelve el sisema s / Paa, susiuendo en s, se obiene M(,, ) (Obviamene, paa /, susiuendo en, se obiene el mismo puno) (Popueso en Selecividad en, La Rioja) La eca de ecuación la eca s que pasa po los punos P(,, ) Q(a,, ) se coan en un puno Calcula el valo de a el puno de coe Solución Las ecas se coan cuando los vecoes v (,, ), s v PQ (a,, ) (,, ) (a,, ) RP (,, ) (,, ) (,, )

19 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema sean linealmene dependienes, siendo R(,, ) un puno de P un puno de s, Paa ello a a a Si a, v λ s (,, ), la eca s seá s λ λ l puno de coe de ambas ecas se deemina esolviendo el sisema λ ; s λ λ pesando en sus ecuaciones paaméicas e igualando coodenadas se iene λ λ λ λ ; λ λ l puno pedido es C C(,, 6) Demuesa que las ecas s se cuan, s Se considean los vecoes v, v s RS, siendo R S s Si esos vecoes son linealmene independienes, las ecas se cuan v (,, ), v s (,, ); R (,, ), S (,, ) RS (,, ) Como 6, los vecoes son linealmene independienes n consecuencia, las ecas s se cuan sudia la posición elaiva de las ecas Si deeminan un plano, alla su ecuación Como v (,, ) v s (6,, ) v, las ecas son paalelas o coincidenes Al se RS (,, ) (,, ) (,, ), con R(,, ) S(,, ) s, independiene de v, 6λ s λ λ wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

20 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema las ecas no son coincidenes Po ano, son paalelas definen un plano l plano queda deeminado po el puno R po los vecoes v RS Su ecuación es sudia en función de los valoes del paámeo a, la posición elaiva de las ecas s a, s a Ha dos méodos que pemien deemina esa posición ) Discui el sisema asociado (sisema de ecuaciones con incógnias) Si el sisema es compaible deeminado las ecas se coan; si es incompaible, se cuan (Podía dase ambién el paalelismo, peo esas dos posiciones se descuben vecoialmene) ) sudia la dependencia lineal de los vecoes v, v s RS, siendo R S s Si esos vecoes son linealmene independienes, las ecas se cuan; si son linealmene dependienes, esán en el mismo plano, pudiendo se paalelas o coase Pime méodo a a Las ecas genean el sisema lineal Las maices de coeficienes ampliada son a a a a A M (F F) A M a l deeminane de M, desaollado po la pimea columna, es a Luego M a a a a su valo es si a Si a (M), con lo que el sisema seía incompaible, pues del ango de A como máimo vale n ese caso, las ecas se cuaán wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

21 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema Si a, las maices quedan A M, cumpliéndose que (A) (M), a que A n ese caso el sisema es compaible deeminado (solución única los cuao planos ienen un puno en común), lo que indica que las ecas se coaán Segundo méodo pesando las ecas en foma paaméica se iene a, s a Po ano v (a,, a), v s (,, ) RS (,, ) (,, ) (,, ) a a Como a a a los vecoes son linealmene dependienes cuando a, linealmene independienes si a n consecuencia, las ecas s se cuan si a ; se coan si a Oos poblemas (II) Sea la eca que pasa po los punos A(,, ) B(,, ); Halla a) Su posición elaiva b) Si se coan, su puno de inesección c) Si eise, el plano que las conenga Las ecuaciones paaméicas de ambas ecas son λ l veco dieco es v b a λ s (aciendo ) s a) Como v vs, las ecas son paalelas b) Podían se coincidenes? No, pues en la eca la componene siempe vale, mienas que en s la misma componene siempe vale s (,, ) (,, ) (,, ) v s (,, ) wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

22 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema c) Si dos ecas son paalelas siempe a un plano que las coniene Dico plano viene deeminado po el puno A(,, ), po los vecoes v AS, siendo S cualquie puno de s Tomando S(,, ) AS (,, ) (,, ) (,, ) l plano pedido es 6 (Popueso en Selecividad, Comunidad Valenciana) α Se dan las ecas α β, siendo α β paámeos eales Calcula α β las coodenadas del puno de coe de α Igualando las componenes de ambas ecas α β α ; β α β Po ano, el puno de coe es P(,, ) a) Halla la ecuación geneal del plano que pasa po los punos (,, ), (,, ) (,, ) b) Halla las ecuaciones paaméicas de la eca que pasa po los punos (,, ) (,, ) c) Deemina la posición elaiva de la eca el plano a) Sean A(,, ), B(,, ) C(,, ) l plano viene deeminado po el puno A(,, ) po los vecoes v b a (,, ) (,, ) (,, ); w c a (,, ) (,, ) (,, ) Su ecuación es ( ) ( ) ( ) 6 b) Sean P(,, ) Q(,, ) La eca pedida viene deeminada po el puno P(,, ) el veco PQ (,, ) (,, ) (,, ) Su ecuación es c) Paa deemina la posición elaiva ene la eca el plano se susiuen las ecuaciones de la eca en la del plano Se obiene 6 6 Como esa igualdad no iene senido, se conclue que la eca el plano no se coan so es, que la eca es paalela al plano wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano

23 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano Halla la ecuación de la paalela a la eca que pasa po el puno (,, ) La ecuación de la paalela,, viene dada po dos planos paalelos a los que deeminan que pasan po (,, ) so es ) ( ) ( Sus ecuaciones paaméicas, que se obienen esolviendo el sisema, son Las ecuaciones paaméicas de son De oa foma / / v (,, ) 9 Dadas las ecas de ecuaciones m, s Qué valo debe oma m paa que ambas ecas se coen? Las ecas se coaán cuando el sisema deeminado po los cuao planos que las definen enga solución única l sisema es s m m se sisema seá compaible deeminado cuando el ango de la mai de coeficienes sea igual al ango de la mai ampliada, ambos iguales a La maices son M m A l ango de A es, pues el meno A Paa que el ango de M sea es necesaio que su deeminane sea nulo Luego, como ) ( m M m Las ecas se coan cuando m

24 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema 6 wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano Halla la ecuación de la eca que pasa po el puno P(,, ) coa a las ecas La eca pedida seá la inesección de dos planos, que pasa po P coniene a,, que pasa po P coniene a Las ecuaciones paaméicas de las ecas dadas son Se iene v (,, ) A, A(,, ) Se iene v (,, ) B l plano, B(,, ) v viene dado po P, AP (,, ), su ecuación es l plano v viene dado po P, BP (,, ), su ecuación es Po ano, la eca pedida es (Popueso en Selecividad en, Madid) Halla el volumen del eaedo que iene un véice en el oigen los oos es véices en las inesecciones de las ecas,, con el plano Paa deemina los oos es véices se allan las inesecciones del plano con cada una de las ecas Puno A (,, ) Puno B (,, ) Puno C (,, ) Los vecoes que deeminan el eaedo son OA (,, ); OB (,, ) OC (,, ) l volumen del eaedo es un seo del poduco mio de esos es vecoes

25 Maemáicas II (Bacilleao de Ciencias) Soluciones de los poblemas popuesos Tema wwwmaemaicasjmmmcom José Maía Maíne Mediano 6 6 V unidades cúbicas (Popueso en Selecividad en, UND) Halla a b paa que los es planos, a b conengan a una misma eca Deemina unas ecuaciones paaméicas de Tes planos conienen a una misma eca cuando son del mismo a llo implica que el sisema asociado debe se compaible deeminado con un gado de indeeminación l sisema es b a Se necesia que (A) (M), siendo A la mai de coeficienes M la mai ampliada M b a A Paa que (A) debe cumplise que a A a a Paa que (M) debe cumplise, además, que cualquie oo meno de oden sea ambién nulo Po ejemplo (susiuida a a po ), b M b b n consecuencia, cuando a b, los es planos conienen a la misma eca Su ecuación se obiene esolviendo el sisema Haciendo se obienen las ecuaciones paaméicas de la eca