CURVAS CÓNICAS La elipse. La hipérbola y la parábola. Tangencias y puntos de intersección con una recta. Otros problemas de cónicas TEMA7 LA ELIPSE

Transcripción

1 URVS ÓS La elipse La hipébola y la paábola angencias y punos e inesección con una eca os poblemas e cónicas E7 UJ GEÉR bjeivos y oienaciones meoológicas El cuso pasao esuiamos las popieaes e esas cuvas, los elemenos que inevienen en ellas y la consucción e las mismas En esa unia emáica se esuelven una seie e poblemas elacionaos con ellas con objeo e que el alumno enga un conocimieno compleo e las cónicas l esaollo e esa unia emáica se pueen eica es clases L ELSE azao e la angene y la nomal en un puno e la elipse (ig ) La angene a la elipse en un puno e ella es la eca, biseciz exeio el ángulo que foman los aios vecoes y La nomal a la elipse en es la pepenicula n a la angene En la figua no se consuye la elipse que esá efinia po los ejes y nomal n angene angenes a la elipse ese un puno exeio (ig ) La elipse esá aa po el eje mayo y los focos y Sabieno que la cicunfeencia focal es el luga geoméico e los punos siméicos el oo foco especo e las angenes, enemos que busca un puno en ella que, unio con, esule se una cuea e la cicunfeencia e ceno y aio Según eso, se azan la cicunfeencia focal e ceno y la e ceno y aio hasa el oo foco, las cuales se coan en los punos y ; se unen esos punos con y se azan las meiaices e los segmenos - y -, las cuales pasaán po y seán las angenes a la elipse Los punos e angencia se obienen al uni y con el foco, que es el ceno e la focal ig a ig ' UJ É - achilleao 7

2 UJ GEÉR a a ig ' ' ' ' angenes a la elipse paalelas a una iección aa (ig ) Si las angenes han e se paalelas a una iección, el puno e la figua aneio esá en el infinio y la cicunfeencia e ceno y aio hasa el foco (que no es ceno e la focal) iene aio infinio, y se conviee en una eca que pasa po y es pepenicula a la iección aa Las meiaices y e los segmenos - y - son las angenes y los punos y son los e angencia unos e inesección e una eca con una elipse (ig ) Sean la eca y la elipse aa po sus elemenos, focos y véices Sabieno que la elipse es el luga geoméico e los cenos e las cicunfeencias que son angenes a una focal y pasan po el oo foco, el poblema se euce a halla los cenos e esas cicunfeencias En la figua se aza la focal el foco, e aio a, y se halla el siméico el foco especo a ; se aza una cicunfeencia auxilia cualquiea e ceno en la eca que pase po los punos y, la cual coa a la focal en los punos y ; la cuea - y la eca - se coan en el ceno aical ; ese se azan las angenes a la focal y los punos e angencia y se unen con, lo cual a los cenos y en, que son los punos one la eca coa a la elipse y a la vez cenos e cicunfeencias angenes a la focal e y que pasan po el oo foco ig ' R H ' S ' 5 oblema: aa una elipse po una paeja e iámeos conjugaos y, halla los ejes (ig 5) o el ceno se aza la pepenicula a y se lleva = ; se une con y se aza la cicunfeencia e ceno y iámeo ; con ceno en y aio se aza la semicicunfeencia RS; unieno con R y S se obienen los ejes e la elipse en posición La magniu e ellos es: a = y b = H, que se llevan sobe caa uno e ellos especivamene ' ig 5 7 UJ É - achilleao

3 o 6 Raios e cuvaua onsucción e la elipse po acos e cicunfeencia (ig 6) En la figua se ha obenio el ceno e cuvaua p coesponiene al puno e la elipse Repiieno esa opeación paa cuanos punos se quiea, poemos consui la elipse po acos e cicunfeencia angenes ene sí, con ayua e los cenos e cuvaua obenios Se aza pimeo la nomal en el puno, en la cual esaá el ceno e cuvaua y que sabemos es la biseciz e los aios vecoes y ; la nomal coa al eje mayo en el puno S; po ese puno se aza la pepenicula a la nomal, la cual coa en a la eca ; po se aza la pepenicula al eje mayo y ésa coa en p a la nomal En la figua se ha obenio ambién p empleano el eje meno; po S se aza la pepenicula a la nomal y ese, la pepenicula al eje meno que coa en p a la nomal El segmeno p - es el aio e cuvaua c S c nomal ' 7 ivisión e la elipse en paes iguales ime poceimieno (ig 7) Se conocen los iámeos conjugaos EK y V Se aza la semicicunfeencia e iámeo EK y ésa se ivie en el númeo e paes iguales que se esee, punos E,, G, H,, J y K; esos punos se efieen a EK po meio e pepeniculaes a EK y se ienen los punos E,,,,, y K; po esos punos se azan paalelas al iámeo conjugao V hasa que coen a la elipse en los punos e ivisión y Q, R y S, y V, L y, y U R E G Q S L ig 7 H V K J U UJ GEÉR S ig 6 Seguno poceimieno (ig 8) omo la elipse no se puee ivii iecamene en acos e igual longiu, se ivie la cicunfeencia afín con ella e iámeo a = En la figua se ha iviio la semicicunfeencia en 9 paes iguales y los punos,, 8 se han efeio a la elipse po meio e afinia ' 5' ' 6' ' R '' S '' 5'' 6'' 7' ' Q '' 7'' 8' '' o 0 8'' 0 ig 8 UJ É - achilleao 75

4 UJ GEÉR 8 azao e la angene y la nomal a la hipébola en un puno e ella (ig 9) La angene a la hipébola en un puno es la eca, biseciz e los aios vecoes y La nomal a la cuva en el puno es la eca n, pepenicula a la angene ' L HÉRL n 0 angenes a la hipébola paalelas a una iección aa (ig ) omo en la elipse, se aza po un foco la pepenicula a la iección, la cual coa a la cicunfeencia focal el foco en los punos y Las angenes y son las meiaices e los segmenos y En la figua se azan ambién las asínoas, que son las meiaices e los segmenos Q y R a = ' ' b R a c ' s Q s' ig 9 9 angenes a la hipébola ese un puno exeio (ig 0) Se azan la cicunfeencia focal e ceno y la cicunfeencia e ceno el puno, ao, y que pasa po el oo foco ; esas os cicunfeencias se coan en los punos y, que, unios con, nos an los segmenos y ; las meiaices e esos segmenos pasan po y son las angenes a la hipébola Los punos e angencia y se obienen unieno con y hasa que coen a las angenes ig azao e las asínoas e la hipébola a pai e la cicunfeencia pincipal (ig ) Las asínoas pasan po el ceno e la cuva; po lo ano, se aa e aza las angenes a la hipébola ese el puno La cicunfeencia pincipal, e ceno y aio a =, coa a la e iámeo en los punos y Las ecas y son las asínoas a y a ambién se obienen unieno el puno con los punos y, one coa a la cicunfeencia e iámeo (aio = c) la pepenicula po al eje eal El iángulo -- es ecángulo y sus laos son a, b y c ' a = a c b a' a ' ig 0 ig 76 UJ É - achilleao

5 unos e inesección e una eca con una hipébola (ig ) La hipébola es el luga geoméico e los punos que son cenos e cicunfeencias angenes a una cicunfeencia focal y que pasan po el oo foco que no es ceno e la focal Es eci, los punos e inesección e la eca y e la hipébola son los cenos e las cicunfeencias angenes a la focal e y que pasan po los punos y, siméico e especo e la eca En la figua se esuelve ese poblema e angencias ya esuiao Los punos e inesección son e a ' bención e punos e una hipébola efinia po las asínoas y un puno e ella ime poceimieno (ig 5) Se aza po una eca cualquiea, que coa a las asínoas en los punos y ; omano = se obiene oo puno e la cuva e la misma foma, oa eca que pase po coa en y a las asínoas; se oma H = y se iene oo puno H e la cuva H a a UJ GEÉR ig oblema (ig ) Una hipébola esá eeminaa po la isancia focal c = 50 mm y su eje eal a = 5 mm eemina los punos e inesección con una eca que pasa po un foco y foma un ángulo e o 0 con el eje eal Solución: omo la eca pasa po un foco, el siméico e él especo e la eca es él mismo, con lo que se euce el poblema a busca los punos e la eca que son cenos e cicunfeencias angenes a la focal e, que pasan po y son angenes a la eca pepenicula a la aa po Ese poblema se esuelve en la figua como un poblema e angencias Los punos e inesección son e ' a ' 0' o ig 5 Seguno poceimieno (ig 6) o el puno se aza una eca cualquiea ; se azan y E paalelas a una iección cualquiea y el puno meio el segmeno E es e la cuva e la misma foma, y, paalelas, y el puno meio G el segmeno es e la cuva; y, paalelas, y el puno meio S e es e la cuva; lo mismo ocue con el puno Q azano po las paalelas L y K a las asínoas, se iene la eca LK y la angene a la hipébola en es paalela a LK G a K L J Q S a' E R ig ig 6 UJ É - achilleao 77

6 UJ GEÉR 5 azao e la angene y la nomal en un puno e la paábola (ig 7) La angene en un puno e la paábola es la biseciz e los aios vecoes y ; la nomal n es pepenicula a la angene v L RÁL 7 angene a la paábola paalela a una iección aa (ig 9) La angene ha e se paalela a la iección ; po el foco se aza la pepenicula a, la cual coa en a la ieciz y en a la angene en el véice v La angene pasa po el puno y su puno e angencia es, en la paalela po al eje e la cuva bsévese que la pepenicula po a la iección es una cicunfeencia e aio infinio, pecisamene la cicunfeencia e aio e la ig 8, peo en ese caso el puno es impopio n V V Eje ig 7 6 angenes a la paábola ese un puno exeio (ig 8) Sea el puno ; se aza la cicunfeencia e aio y ceno en, la cual coa a la ieciz, que en la paábola hace e cicunfeencia focal e aio infinio, en los punos y Las meiaices e los segmenos - y - son las angenes y Los punos e angencia y se obienen azano po y los aios vecoes que son paalelos al eje Las angenes hallaas coan a la angene v en el véice V en los punos y, que son los pies e las pepeniculaes azaas po el foco a las angenes ig 9 8 unos e inesección e una eca con una paábola (ig 0) El poceimieno es el mismo que paa las oas cónicas ya esuiaas on ceno en un puno e la eca, se aza la cicunfeencia que pase po y que pasaá ambién po el siméico e especo a ; ese el puno, ceno aical, se aza la angene - y ese segmeno se lleva sobe la ieciz, con lo que se obienen los punos y ; las paalelas al eje po y an los punos e inesección e e la eca con la paábola v v V V v ig 8 ig 0 78 UJ É - achilleao

7 9 eeminación e los elemenos e la paábola, conocieno os angenes y sus punos e conaco (igs y ) En la ig se inica la foma e obene un puno cualquiea e la paábola, así como su angene Los aos son las angenes y y sus punos e conaco y Se unen los punos y y el puno meio e ese segmeno se une con ; la eca es la iección el eje Se oma un puno cualquiea e la eca y po él se azan las paalelas a las angenes, que coan a ésas en los punos y ; la eca - es la angene en el puno, que se obiene al aza po la paalela a la iección el eje En la ig se conocen las angenes y y los punos e angencia y Las angenes se coan en y ese puno, unio con el, meio e -, nos a la iección el eje Se aza una pepenicula cualquiea a la iección el eje y po y, las paalelas a las angenes aas, que se coan en ; unimos con y obenemos en la cuea - ; po pasa el eje e la cuva, el cual conocemos ya su iección aa halla el véice, po azamos paalelas a las angenes; unieno los punos R y R enemos el véice V y su angene El foco se obiene azano po R o R la pepenicula a la angene especiva v R v UJ GEÉR '' V ' Eje iección el eje R ' eje '' ig ig En la ig se hace aplicación e la consucción aneio paa consui la paábola po punos a pai e los mismos aos 0 eno e cuvaua en el véice e una paábola (ig ) El ceno e cuvaua en el véice e una paábola es el puno v el eje, sieno v = V p V v p/ p/ v ig ig UJ É - achilleao 79

8 UJ GEÉR Raios e cuvaua y consucción e la paábola po acos e cicunfeencia (ig 5) En pime luga, hay que eemina vaios punos e la cuva paa unilos espués con acos e cicunfeencia El puno es e la cuva; se aza la nomal -, que es la biseciz e los aios vecoes y el puno ; esa nomal coa en al eje y po ese puno se aza la pepenicula a la nomal, que coa en al aio veco ; po se vuelve a aza oa pepenicula, en ese caso al eje, la cual coa a la nomal en el puno, ceno e cuvaua e la paábola en el puno El aio e cuvaua es - Se oma oo puno y se hacen las mismas opeaciones El puno e angencia e los os acos esaá en la eca - V ' ' oblema (ig (ig 6) aos una angene, un puno y el foco e una paábola, eemina: º La ieciz y el eje º El puno e angencia e la angene º Los punos e inesección e la paábola con una eca que pasa po y es pepenicula al eje º Los cenos e cuvaua en el véice, en el puno y en los punos e inesección hallaos onsucción e la cuva po acos e cicunfeencia El puno isa 0 mm e la angene, y el foco, 0 mm e la angene y 0 mm el puno Hágase aplicación e las popieaes aas en el esuio e la paábola 0 0 V v ' Q v ' Q' Q' Q ig 5 ig 6 80 UJ É - achilleao

9 Se a una elipse po su eje mayo a = 80 mm y su eje meno b = 50 mm Se pie: eemina un puno e ella aza la angene a la cuva en ese puno ibuja un cuaane e la cuva po punos aplicano su efinición ibuja un cuaane e la cuva po meio e haces poyecivos ibuja un cuaane e la cuva po meio e afinia con las cicunfeencias e aio a y b aza las angenes a la cuva ese un puno exeio cualquiea, eeminano los punos e angencia Sin consui la cuva, eemina po afinia una paeja e iámeos conjugaos e la cuva Una paeja e iámeos conjugaos e la elipse mien 80 mm y 50 mm y foman un ángulo e 60 o Se pie: Halla los ejes e la cuva VES L ELSE ibuja un cuaane e la cuva po haces poyecivos aza la angene a una elipse en un puno e ella, empleano la cicunfeencia pincipal (a = 80 mm, b = 50 mm) aza las angenes a una elipse ese un puno exeio empleano la cicunfeencia pincipal (a = 80 mm, c = 70 mm) 5 aza las angenes a una elipse paalelas a una iección aa empleano la cicunfeencia pincipal 6 eemina los elemenos e una elipse conocieno un foco, una angene con su puno e conaco y la magniu a 7 eemina los elemenos e una elipse conocieno un foco, una angene y oa angene con su puno e conaco 8 eemina los elemenos e una elipse conocieno un foco, una angene y las magniues a y b UJ GEÉR L HÉRL Una hipébola esá efinia po a = 0 mm y c = 50 mm Se pie: eemina un puno cualquiea e la cuva Sin ibuja la cuva, aza la angene en el puno ibuja una ama e la cuva ija los véices en el eje imaginaio Sin ibuja la cuva, aza las angenes ese un puno exeio y eemina con exaciu los punos e angencia aza las angenes a la cuva ese un puno impopio y eemina los punos e angencia aza las asínoas a la cuva ijaa una eca o iección, inica si es exeio o ineio a la cuva aza la angene a la hipébola en un puno e ella, empleano la cicunfeencia pincipal aza las angenes a la hipébola ese un puno exeio, empleano la cicunfeencia pincipal aza las angenes a la hipébola paalelas a una iección aa, empleano la cicunfeencia pincipal 5 eemina los emás elemenos e una hipébola conocieno los focos y y una asínoa s 6 eemina los emás elemenos e una hipébola conocieno un foco, una asínoa s y la magniu a 7 eemina los emás elemenos e una hipébola conocieno un foco, una angene con su puno e conaco y la magniu a 8 eemina los elemenos e una hipébola conocieno un foco, una angene con su puno e conaco y la magniu c UJ É - achilleao 8

10 UJ GEÉR En una paábola, el foco esá a 5 mm el véice V Se pie: onsui la cuva po punos oma un puno e ella y aza en él la angene a la cuva aza las angenes a la cuva ese un puno exeio aza la angene paalela a una iección aa L RÁL eemina los elemenos e la paábola conocieno la ieciz y os punos y e la cuva eemina los elemenos e la paábola conocieno el foco y os angenes y onsui la paábola conocieno el foco y os punos y e la cuva 5 onsui la paábola conocieno la ieciz y os angenes y 8 UJ É - achilleao