TEMA 3. TANGENCIAS 3º ESO

Transcripción

1 EMA 3. ANGENCIAS 3º ESO 1

2 ANGENCIAS: Dos o más figuas geométicas son tangentes cuando únicamente tienen UN UNO EN COMÚN. Los casos que nosotos vamos a estudia son ente cicunfeencias o ente cicunfeencias y ectas. La constucción de tangencias sive, básicamente, paa diseña objetos, figuas o planos donde intevengan cuvas ealizadas con compás. joyas muebles instumental oleas aquitectua juguetes encadenados ganchos gifos juegos objetos industiales Nombe alumno N. lámina Nombe lámina Cuso: Nota: ANGENCIAS

3 ROIEDADES DE LAS ANGENCIAS: Hay una tangencia cuando dos figuas geométicas tienen UN UNO en común, solamente UNO. 1. Si dos cicunfeencias son tangentes ente sí, el punto de tangencia se encuenta en la ecta que une los centos. (figua 1) Cuando queamos dibuja una cicunfeencia que sea tangente a ota cicunfeencia y que además pase po un punto de tangencia de esta última, lo que tenemos que hace es uni el cento de la cicunfeencia con el punto de tangencia y polonga. En esta ecta estaán todos los centos de las cicunfeencias (infinitas) que son tangentes a la pimea. figua 2 figua 1 CIRCUNFERENCIAS ANGENES EXERIORES CIRCUNFERENCIAS ANGENES INERIORES 2. Si una ecta es tangente a una cicunfeencia, el adio en el punto de tangencia es pependicula a la tangente. figua 3 Cuando queamos halla una cicunfeencia que sea tangente a una ecta po un punto de tangencia de ésta lo pimeo que tenemos que hace es levanta una pependicula po este punto a la ecta. figua 4 figua 2 figua 3 figua 4 90º t 3. Recodemos que una mediatiz es la ecta de todos los puntos que equidistan de otos dos (extemos de un segmento). o lo tanto el cento de cualquie cicunfeencia que pase po dos punto está en la mediatiz del segmento que lo foman. figua 5 4. El cento de cualquie cicunfeencia tangente a dos ectas se encuenta en la bisectiz del ángulo que lo foman. figua 6 t figua 5 Se pueden hace exteioes o inteioes. Mediatiz figua 6 t figua 7 Aplicación de los pincipios anteioes en un caso de tangencias: - Cicunfeencia tangente a una cicunfeencia que pase po un punto de tangencia de ésta y pon un punto exteio. figua 7 1. Se aplica la popiedad 1: se une el cento con el punto de tangencia 2. Se une con y se halla la mediatiz de. Donde cote la mediatiz con la pimea ecta estaá el cento de la cicunfeencia buscada. ENLACES: Es la unión de vaias cuvas tangentes ente sí o bien cuvas con ectas, ceando un enlace continuo o cuva continua. Mediatiz ime paso Segundo paso Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina Nota: ANGENCIAS

4 Maca solamente un ecuado con la espuesta coecta. 1. Una tangencia es:: Cuando un tiángulo se cota con un cuadado. Dos cicunfeencias que se cotan. Cuando dos figuas geométicas tienen solamente un punto en común. 2. Las tangencias más comunes son: Ente cicunfeencias y ente cicunfeencias y ectas. Aquellas que son más gandes que pequeñas. Otas: aa que haya una tangente ente dos cicunfeencias debe de pasa que: Las cicunfeencias se coten. Una cicunfeenica sea más gande que la ota. Sólo tengan un punto en común. 4. aa halla el punto de tangencia ente dos cicunfeencias que son tangentes hay que: Uni los centos de las cicunfeencias Buscalo en el libo de texto. No lo se muy bien peo lo podía deduci. 5. Dónde estaá el cento de una cicunfeencia tangente a ota y que pase po un punto de tangencia?: En el patio del instituto, ceca del pabellón. No lo se muy bien peo lo podía deduci. En la ecta esultante de uni el cento de la cicunfeencia dada con el punto de tangencia. 6. Una ecta tangente a un cicunfeencia es cuando: La ecta cota a la cicunfeencia La cicunfeencia cota a la ecta. La ecta y la cicunfeencia se cotan ente sí. La ecta y la cicunfeencia solamente tienen un punto en común. 7. Cuando una ecta es tangente a una cicunfeencia debe de pasa que: La ecta y el adio de la cicunfeencia sean pependiculaes La ecta y el adio de la cicunfeencia sean oblicuas. La cicunfeencia no tenga adio. 8. aa halla la ecta tangente a una cicunfeencia po un punto de tangencia dado: Hay que uni los centos de las cicunfeencias dadas. Hay que dibuja una ecta que sea pependicula al adio de la cicunfeencia po ese punto. Hay que peguntáselo al pofeso de sociales. Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina Nota: ANGENCIAS

5 1. Cicunfeencias tangentes EXERIORES a una cicunfeencia a la dada y ente ellas. Dada la cicunfeencia debemos dibuja una cicunfeencia que sea tangente a la pimea. Después vamos a dibuja ota cicunfeencia que sea tangente a y a. 1. aa halla cicunfeencia exteioes hay que suma datos, es deci SUMAMOS LOS RADIOS. Sumanos el adio de + el adio de, y desde dibujamos una cicunfeencia concéntica a. 2. Si no tenemos ota condición, pondemos en cualquie punto de esta cicunfeencia concéntica a. 3. aa halla el punto de tangencia ente y, UNIMOS LOS CENROS mediante una ecta. Donde cota la ecta a la cicunfeencia estaá Dibuja la cicunfeencia. one el compás en el cento y abi hasta aa dibuja la cicunfeencia hay que suma + (ya la tenemos dibujada anteiomente) y suma los adios de +, después dibujamos un aco con esta medida hasta que cote a la cicunfeencia concéntica. Ese punto seá el cento. Uni con y con paa halla los puntos de tangencia 2 y Cicunfeencias tangentes INERIORES a una cicunfeencia a la dada y ente ellas. Dada la cicunfeencia debemos dibuja una cicunfeencia que sea tangente a la pimea. Después vamos a dibuja ota cicunfeencia que sea tangente a y a. 1. aa halla cicunfeencias inteioes hay que esta datos, es deci RESAMOS LOS RADIOS. Restamos el adio de - el adio de, y desde dibujamos una cicunfeencia concéntica a. 2. Si no tenemos ota condición, pondemos en cualquie punto de esta cicunfeencia concéntica a. 3. aa halla el punto de tangencia ente y, UNIMOS LOS CENROS mediante una ecta. Donde cota la ecta a la cicunfeencia estaá Dibuja la cicunfeencia. one el compás en el cento y abi hasta aa dibuja la cicunfeencia hay que esta - (ya la tenemos dibujada anteiomente) y suma los adios de +, después dibujamos un aco con esta medida hasta que cote a la cicunfeencia concéntica. Ese punto seá el cento. Uni con y con paa halla los puntos de tangencia 2 y Cicunfeencias tangentes EXERIORES a una cicunfeencia a la dada y que pase po un punto dado. Dada la cicunfeencia debemos dibuja una cicunfeencia que sea tangente a la pimea y que además pase po el punto (habá dos cicunfeencias y ). 1. Sumanos adios: y y con esta medida dibujamos una cicunfeencia concéntica a. 2. Desde el punto dibujamos una cicunfeencia con el adio de. 3. Donde cote esta última cicunfeencia a la cicunfeencia concéntica estaá el cento de. Como en ealidad se cota en dos puntos pondemos dos cicunfeencias y. 4. Uni los centos. Unimos con paa halla 1, punto de tangencia de ambas. 5. Hacemos lo mismo com y. 6. Dibuja las cicunfeencias y compoba que son tangentes a y que pasan po Cicunfeencia tangente EXERIOR a una cicunfeencia dada, que pase po un punto y po el punto de tangencia. Dada la cicunfeencia y un punto de tangencia de ella, debemos dibuja una cicunfeencia que sea tangente a la pimea po y que además pase po el punto que nos dan. 1. Lo pimeo que debemos hace es dibuja una ecta que pase po el cento de y po el punto de tangencia. En esta ecta están ODOS los centos de ODAS las cicunfeencias que son tangentes a. Nosotos buscamos solamente una: la que pase además po. Como debe de pasa po y po tenemos un poblema de geometía ya estudiado: Dibuja una cicunfeencia que pase po 2 puntos. El cento de estaá a la misma distancia de y de (tendá el mismo adio). 2. Unimos y y dibujamos la mediatiz de este segmento. 3. Donde la mediatiz cote a la ecta estaá el cento de buscado. Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina ANGENCIAS ENRE CIRCUNFERENCIAS Nota:

6 5. Cicunfeencias tangentes EXERIORES a dos cicunfeencias dadas. Dadas las cicunfeencias y debemos dibuja una cicunfeencia (en el ejecicio dibujamos dos y O4) que sea tangente común EXERIOR a y a. aa ello deducimos que el adio de seá el mismo hasta la cicunfeencia como hasta la cicunfeencia. Recoda el ejecicio nº 1 de esta lámina. SUMAMOS DAOS, SUMAMOS LOS RADIOS. 1. Sumamos los adios de y de. Desde el cento de dibujamos una cicunfeencia concéntica con esta medida. 2. Realizamos la misma opeación con y, los sumamos y dibujamos una cicunfeencia desde. 3. Donde se coten las dos cicunfeencias concénticas auxiliaes dibujadas estaá el cento de. Como se cotan en dos puntos, pondemos y O4. 4. UNIMOS CENROS paa halla los puntos de tangencia. 5. Donde cote la ecta con la cicunfeencia estaá 1. Donde cote la ecta con estaá 2, Haemos lo mismo con O4 paa halla 3 y aa dibuja pone el compás en el cento y abilo hasta 1. Al dibuja la cicunfeencia ésta debe de pasa po 2. No debe quedase cota ni cota a. Se puede ectifica el cento paa pone el compás si el ejecicio no coincide con 1 y 2. Cicunfeencia + Cento 1 2 Cicunfeencia + Cento 4 3 O4 6. Cicunfeencias tangentes INERIORES a dos cicunfeencias dadas. Dadas las cicunfeencias y debemos dibuja una cicunfeencia (en el ejecicio dibujamos dos y O4) que sea tangente común INERIOR a y a. aa ello deducimos que el adio de seá el mismo hasta la cicunfeencia como hasta la cicunfeencia. Recoda el ejecicio nº 2 de esta lámina. RESAMOS DAOS, RESAMOS LOS RADIOS. 1. Restamos los adios de y de. Desde el cento de dibujamos una cicunfeencia concéntica con esta medida. 2. Realizamos la misma opeación con y, los estamos y dibujamos una cicunfeencia desde. 3. Donde se coten las dos cicunfeencias concénticas auxiliaes dibujadas estaá el cento de. Como se cotan en dos puntos, pondemos y O4. 4. UNIMOS CENROS paa halla los puntos de tangencia. ene en cuenta que en este ejecicio la ecta se ROLONGA hasta cota. 5. Donde cote la ecta con la cicunfeencia estaá 1. Donde cote la ecta con estaá 2, Haemos lo mismo con O4 paa halla 3 y aa dibuja pone el compás en el cento y abilo hasta 1. Al dibuja la cicunfeencia, ésta debe de pasa po 2. No debe quedase cota ni cota a. Se puede ectifica el cento paa pone el compás si el ejecicio no coincide con 1 y 2. Cicunfeencia - Cento 3 Cicunfeencia - Cento O4 Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina ANGENCIAS ENRE CIRCUNFERENCIAS Nota:

7 1.- Dibuja 2 cicunfeencias adio 10 mm. que sean ANGENES EXERIORES a la dada y ente ellas. 2.- Dibuja 2 cicunfeencias adio 10 mm. que sean ANGENES INERIORES a la dada y ente ellas. R = 32 mm R = 23 mm 3.- Dibuja las cicunfeencias de = 12 mm., ANGENES a la dada y que pase po el UNO. 4.- Cicunfeencias tangentes a ota de = 18 mm. dada, que pase po un punto exteio y po un punto de tangencia. R = 18 mm El adio de la cicunfeencia que se busca se sabá cuando se acabe el ejecicio. 5.- Halla las cicunfeencias tangentes COMUNES EXERIORES de = 12 mm., a las cicunfeencias dadas y. = 10 mm = 15 mm - = 40 mm 6.- Halla las cicunfeencias tangentes COMUNES INERIORES de = 35 mm., a las cicunfeencias dadas y. = 10 mm = 15 mm - = 30 mm Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina ANGENCIAS ENRE CIRCUNFERENCIAS Nota:

8 1.- Dibuja 2 cicunfeencias adio 10 mm. que sean ANGENES EXERIORES a la dada y ente ellas. 2.- Dibuja 2 cicunfeencias adio 10 mm. que sean ANGENES INERIORES a la dada y ente ellas. R = 10 mm 1 R = 10 mm 2 R = 32 mm 1 R = 23 mm Dibuja las cicunfeencias de = 12 mm., ANGENES a la dada y que pase po el UNO. 4.- Cicunfeencias tangentes a ota de = 18 mm. dada, que pase po un punto exteio y po un punto de tangencia. 1 2 R = 18 mm El adio de la cicunfeencia que se busca se sabá cuando se acabe el ejecicio. 5.- Halla las cicunfeencias tangentes COMUNES EXERIORES de = 12 mm., a las cicunfeencias dadas y. = 10 mm = 15 mm - = 40 mm 6.- Halla las cicunfeencias tangentes COMUNES INERIORES de = 35 mm., a las cicunfeencias dadas y. = 10 mm = 15 mm - = 30 mm O4 O4 Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina ANGENCIAS ENRE CIRCUNFERENCIAS Nota:

9 1. Recta tangente a la cicunfeencia po un punto. Dada la cicunfeencia debemos dibuja una ecta que sea tangente a ella po el punto de tangencia. Como veíamos al pincipio del tema en el esumen de tangencias, la máxima de tangentes ente ectas y cicunfeencias es: el adio de la cicunfeencia es pependicula a la ecta tangente. aa halla los puntos de tangencia ente ectas y cicunfeencias hay que dibuja una pependicula desde el cento de la cicunfeencia hasta la ecta. Como lo que tenemos nosotos en el ejecicio es el punto de tangencia, habá que hace exactamente lo contaio: dibuja una pependicula al adio de la cicunfeencia. 1. Dibuja el adio de la cicunfeencia que pase po el punto. 2. Dibuja una ecta pependicula al adio po el punto. 3. Repasa más oscuo o bien en colo igual de fino. 2. Dibuja una cicunfeencia de adio que sea tangente a la ecta dada po. Este ejecicio es exactamente al contaio que el nº1 anteio. Lee toda la teoía inicial del ejecicio poque es exactamente igual. 1. Dibuja una ecta pependicula a la ecta po el punto de tangencia. 2. Desde el punto pone el compás con la medida del adio que debemos dibuja. 3. Dibuja un aco que cote a la ecta pependicula: éste seá el cento de la cicunfeencia buscada. 4. one el compás en y abilo hasta y dibuja la cicunfeencia. 3. Dibuja las ectas tangentes a una cicunfeencia desde un punto exteio. Esta es una constucción específica de tangencias: 1. Uni el punto con el cento de la cicunfeencia. 2. Dibuja la mediatiz de 01 paa halla el punto medio (pm). 3. Con cento en pm dibuja una cicunfeencia que pasa po y po. 4. Esta cicunfeencia cota a en los puntos de tangencia 1 y Uni mediante ectas con 1 y aa compoba que las ectas son tangentes a la cicunfeencia, dibuja los adio de hasta 1 y 2 y compoba que foman ángulos de 90º. pm Dibuja la cicunfeencia de adio 15 mm. que sea tangente a las ectas que se cotan dadas Dibuja una cicunfeencia de adio que sea tangente a dos ectas que se cotan. El adio de la cicunfeencia que buscamos seá el mismo tanto desde t como de s, las dos ectas que se cuzan. o lo tanto: 1. Dibuja paalelas desde s y desde t con el adio de la cicunfeencia buscada. 2. Donde se coten las dos paalelas: cento de la cicunfeencia. 3. Desde dibuja pependiculaes a t y a s paa halla los puntos 1 y 2 de tangencia. 4. one el compás en y abilo hasta 1 y dibuja la cicunfeencia. 5. La cicunfeencia debe de pasa po 1 y 2. t 1 s 2 Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina ANGENCIAS ENRE RECAS Y CIRCUNFERENCIAS Nota:

10 5. Dibuja las RECAS tangentes comunes EXERIORES a dos cicunfeencias dadas. 1. Uni y mediante una ecta. 2. Halla el punto medio de (pm). 3.Dibuja una cicunfeencia auxilia que pase po y, le llamaemos. 4. aa este ejecicio se RESAN los adios de cicunfeencia y, y con esa medida se dibuja una cicunfeencia concéntica a (es deci, con la medida que nos da de esta - se dibuja una cicunfeencia poniendo el compás en : es la cicunfeencia oja). ambién se puede ealiza este punto 4 de foma gáfica: Se toma con el compás la medida del adio de y se señala en el adio de, desde el exteio hacia el inteio. Desde el cento se dibuja una cicunfeencia que pase po esa maca. 5. La pimea cicunfeencia auxilia que pasa po y cota a ésta última (la oja -) en los puntos M y N. 6. asa líneas o adios de po M y po N hasta que coten a la cicunfeencia. Los puntos de cote seán 1 y 2 espectivamente. 7. Dibuja una paalela a 1 po el cento de la cicunfeencia dada hasta que la cote: seá el punto Dibuja una paalela a 2 po el cento de la cicunfeencia dada hasta que la cote: seá el punto Uni 1 con 3. Uni 2 y 4 con ectas. 3 M = pm 1 Este ejecicio está basado en el ejecicio 3 de ectas tangentes desde un punto a una cicunfeencia dada. 4 pm N 2 6. Halla las RECAS tangentes comunes INERIORES a las dos cicunfeencias dadas. Este ejecicio es básicamente igual al anteio peo con la difeencia que paa ectas INERIORES los adios y se SUMAN. 1. Uni y mediante una ecta 2. Halla el punto medio de (pm). 3.Dibuja una cicunfeencia auxilia que pase po y, le llamaemos. 4. aa este ejecicio se SUMAN los adios de cicunfeencia y, y con esa medida se dibuja una cicunfeencia concéntica a (es deci, con la medida que nos da de SUMAR + se dibuja una cicunfeencia poniendo el compás en : es la cicunfeencia oja). ambién se puede ealiza este punto 4 de foma gáfica: Se toma con el compás la medida del adio de y se señala en el adio de, hacia el exteio de la cicunfeencia. Desde el cento se dibuja una cicunfeencia que pase po esa maca. M La pimea cicunfeencia auxilia que pasa po y cota a ésta última (la oja -) en los puntos M y N. 6. asa líneas o adios de po M y po N hasta que coten a la cicunfeencia. Los puntos de cote seán 1 y 2 espectivamente. 7. Dibuja una paalela a 1 po el cento de la cicunfeencia dada hasta que la cote: seá el punto 3. 3 N 2 8. Dibuja una paalela a 2 po el cento de la cicunfeencia dada hasta que la cote: seá el punto Uni 1 con 3. Uni 2 y 4 con ectas. Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina ANGENCIAS ENRE RECAS Y CIRCUNFERENCIAS Nota:

11 1.-Dibuja la ecta tangente a la cicunfeencia po el punto dado de tangencia (). 2.- Dibuja la cicunfeencia de adio 13 mm. que sea tangente a la ecta dada y que pase po el punto dado. 3.- Dibuja las ectas tangentes a la cicunfeencia 01 dada y que pasen po 4.- Dibuja la cicunfeencia de adio 15 mm. que sea tangente a las ectas que se cotan dadas. 5.- Halla las RECAS tangentes COMUNES EXERIORES a las dos cicunfeencias dadas.. = 14 mm = 23 mm = 10 mm = 22 mm 6.- Halla las RECAS tangentes COMUNES INERIORES a las dos cicunfeencias dadas.. Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina Nota: ANGENCIAS ENRE RECAS Y CIRCUNFERENCIAS

12 1.-Dibuja la ecta tangente a la cicunfeencia po el punto dado de tangencia (). 2.- Dibuja la cicunfeencia de adio 13 mm. que sea tangente a la ecta dada y que pase po el punto dado. 3.- Dibuja las ectas tangentes a la cicunfeencia 01 dada y que pasen po 4.- Dibuja la cicunfeencia de adio 15 mm. que sea tangente a las ectas que se cotan dadas. 15 mm 15 mm 5.- Halla las RECAS tangentes COMUNES EXERIORES a las dos cicunfeencias dadas.. = 14 mm = 23 mm = 10 mm = 22 mm 6.- Halla las RECAS tangentes COMUNES INERIORES a las dos cicunfeencias dadas Nombe alumno Cuso: N. lámina Nombe lámina Nota: ANGENCIAS ENRE RECAS Y CIRCUNFERENCIAS

13 EJERCICIO DE ANGENCIAS. Dibuja la figua dada a escala 1:1 dejando constancia de las opeaciones gáficas. Debe queda centada en la lámina. C1 C2 C3 C5 C4 C6 : Alumno/a: Cuso: Nº Lámina: Nombe de lámina: Calificación: ANGENCIAS Y ENLACES angencias y enlaces

14 EJERCICIO DE ANGENCIAS. Dibuja la figua dada a escala 1:1 dejando constancia de las opeaciones gáficas. Debe queda centada en la lámina. 26,5 C1 15 t C2 C3 C5 C4 R 5 14,5 C : Alumno/a: Cuso: Nº Lámina: Nombe de lámina: Calificación: ANGENCIAS Y ENLACES angencias y enlaces

15 Los óvalos. Los óvalos son fomas que ecuedan a las elipses. Se constuyen tazando cuato acos iguales dos a dos. Los óvalos son siméticos según sus dos ejes pependiculaes, eje mayo y eje meno. Los centos de los acos también seán siméticos. Constucción de un óvalo conociendo el EJE MAYOR. MN es el segmento eje mayo del óvalo. 1. Se divide el segmento MN en tes pates iguales obteniendo los puntos y. 2. Con cento en Y se tazan las cicunfeencias de adios M y N. 3. Los puntos de intesección de estas dos cicunfeencias, y O4, seán los centos de los otos dos acos del óvalo. Uni, como siempe en tangencias, los centos de los acos paa maca los puntos de tangencia. M N O4 Constucción de un óvalo conociendo el EJE MENOR. Q es el segmento eje meno del óvalo. 1. Se dibuja una cicunfeencia de diámeto Q y se taza el diámeto pependiculaes t. 2. Se une, que es igual a, con que es el punto que se obtiene cuando se cota la cicunfeencia antes dibujada con el eje mayo, pependicula a Q. 3. Se actua de igual manea con Q que seá y O4. 4. Con cento en en estos puntos se tazan los cuato acos que foman el óvalo: ento en y adio. Etc. O4 O Q Constucción de un óvalo cicunscito a un ombo. (constucción de un óvalo conociendo los dos ejes). O4 M Las diagonales del ombo coinciden con los ejes del óvalo. 1. Se dibuja un aco con cento en O y adio igual a la mitad del eje mayo OA. Este aco cota a la polongación del eje meno en M. 2. Se taza un aco con cento en D y adio DM que cote al lado del ombo AD en. 3. Se dibuja la mediatiz del segmento A. Esta mediatiz cota al eje mayo en y al eje meno en. 4. Los siméticos de y con especto a los ejes seán y O4. 5. Faltaía uni, como en todas estas cuvas, los centos de los acos paa acota los puntos de tangencia. con O4 y con. A D O C B Constucción de un óvalo inscito en un ombo. Se dibujan las mediatices de los lados del ombo. Las intesecciones de dichas mediatices son los centos y. Estos centos estaán siempe en el eje mayo del ombo. O4 y O5 son los vétices A y C del ombo. (figua 1). Cuando el ombo tiene dos ángulos de 60º, tenemos un caso paticula ya que las mediatices de los lados coinciden con las medianas y los vétices del ombo. Se utiliza paa simula las elipses en las constucciones de pespectivas en la isomética. (figua 2) (figua 1) C O4 O4 C (figua 2) D B D B A O5 O5 A Nombe de Alumno Cuso Nº de lámina ítulo de lámina ÓVALOS Y OVOIDES. Nota

16 Los ovoides. El ovoide es una cuva plana, ceada fomada po cuato acos de cicunfeencia: uno de ellos es una semicicunfeencia y dos de ellos son siméticos. El ovoide tiene un eje un eje, llamado eje mayo, y un diámeto llamado también eje meno. El ovoide es simético unicamente sobe su eje mayo. M Constucción de un ovoide conociendo el EJE MAYOR. MN es el segmento eje mayo del ovoide. 1. Se divide el segmento MN en seis pates iguales. (teoema de thales). Se numean y se llama al númeo 2 como y al númeo Con cento en y adio N se dibuja un aco que cote a la polongación del eje meno (diámeto de la cicunfeencia M) en los centos y O4. 3. Se unen los centos y O4 con, polongando. 4. Se dibujan los acos coespondientes. O N Constucción de un ovoide conociendo el diámeto o EJE MENOR. B AB es el segmento diámeto del ovoide y eje meno. 1. Se dibuja la cicunfeencia de cento, cento del segmento AB, y adio A. 2. Los puntos A y B seán los centos de los acos y O4. 3. Se taza una pependicula po el cento de AB, que seá el eje mayo. 4. Donde la pependicula cote a la cicunfeencia seá. 5. Se unen los centos y O4 con paa delimita los acos con los puntos de tangencia. 6. Se tazan los acos de centos,, y O4. A O4 Constucción de un ovoide conociendo el diámeto y el eje mayo. MN es el eje mayo y AB el diámeto. 1. Se dibuja la cicunfeencia de diámeto AB y cuyo cento es. 2. Se taza po el punto la ecta pependicula a AB, que cota a la semicicunfeencia en M. 3. Sobe la pependicula anteio y a pati del punto M se lleva el eje mayo MN. 4. A pati de los puntos A, B y N se llevan hacia el inteio los segmentos A, BQ y NR, iguales al adio del aco meno del ovoide N, que se elige abitaiamente. 5. Se hallan las mediatices de los segmentos o2 y Qo2 que cotan a la polongación del diámento AB en los puntos y O4. A M M A O4 B R N N Q CURVAS ÉCNICAS. Se constuyen con acos de cicunfeencias y con los enlaces en cada unión de cada cuva. Es deci, paa constui una cuva técnica hay que halla los centos de los acos a taza y los puntos de tangencia de los enlaces. Los óvalos y los ovoides están fomados a pati de cicunfeencias tangentes ente sí. Son fomas muy utilizadas en el diseño industial y aquitectónico, dada la sencillez de su tazado. B Nombe de Alumno Cuso Nº de lámina ítulo de lámina ÓVALOS Y OVOIDES. Nota

17 Espiales. - La espial es una línea cuva que se da vueltas alededo de un punto. ueden se infinitas tanto hacia el inteio como hacia el exteio. Se llama paso a la distancia adial que existe ente dos vueltas consecutivas. - Las Volutas no son espiales popiamente dicho aunque lo paezcan. Son cuvas fomadas po acos de cicunfeencia, cuyos adios se van ampliando o educiendo. Los centos de los acos pueden se desde dos hasta cualquie nº de vétices que tenga un polígono egula. - La evolvente del cículo es una cuva que se genea po ectas tangentes a una cicunfeencia. - Las hélices son cuvas que se genean po un punto que se mueve sobe una supeficie de evolución. Constucción de volutas de vaios centos. - Voluta de dos centos (espial de Honnecout). Está fomada po cicunfeencias tangentes ente sí con centos en dos puntos dados: 1. Se dibuja una ecta y en ella se colocan los dos centos. 2.Se dibuja una semicicunfeencia con cento en y adio. 3. Con cento en se dibuja ota cicunfeencia tangente a la pimea. ( cento y adio M). Así sucesivamente. - Voluta de tes centos (centos en los vétices de un tiángulo). 1. Se dibuja el polígono egula. En este caso un tiángulo. Si nos dan el paso, éste seía de la siguiente manea: medida del lado del tiángulo = 1/3 del paso, luego medida del paso /3. 2. Se polongan los lados de manea que no se coten las polongaciones. 3. Desde el vétice A y con adio AC se dibuja un aco de medida el ángulo del lado y la polongación. 4. Desde B y enlazando con el aco anteio se dibuja un segundo aco hasta que cote a la polongación del vétice B. 5. Desde C y enlazando donde cote el aco anteio se dibuja oto aco. Continua así tantas veces como sea necesaio. Se pueden dibuja volutas con las polongaciones de cualquie polígono egula B C A Constucción de la Espial de Aquímedes. Es la consecuencia del desplazamiento de un punto con un movimiento angula egula con especto a oto punto fijo cental. 1. Sea el paso de la espial OM. 2. Se divide la cicunfeencia en tantas pates como vamos a dividi OM. En nuesto caso en 12 pates iguales. 3. Se tazan las cicunfeencias concénticas con cento en en punto O y adios,,,... Así nos daán los puntos A, B, C, etc. 4. Se unen a mano alzada o con plantilla los punto anteioes, que configuaán la espial. o C A B M Constucción de la Espial áuea. Está basada en la constucción del ectángulo áueo, está fomada po acos de cicunfeencia tangentes ente sí que cumplen que / = f. aa constuila dibujaemos un ectángulo de oo y en él la sucesión de divisiones áueas en foma de cuadados y ectángulos áueos. azaemos los acos áueos como se indica en la figua. Constucción de la evolvente de la cicunfeencia conociendo el adio. D 1. Se dibuja la cicunfeencia. 2. Se divide en un númeo igual de pates (8 en el ejemplo) 3. o cada división se dibujan tangentes. 4. El pime aco 1A. Esta distancia es la ectificación del aco En la tangente desde 2 se pone la distancia - ectificación de 1-8 dos veces o bien se ectifica el aco 2-8. Se ealiza la misma opeación con todos los puntos. Los puntos obtenidos A, B, C, D, etc. se unen a mano alzada o con plantilla. Se puede hace una vaiante con acos de cicunfeencia desde 1, 2, 3, 4, etc. y adios 1A, 2B, 3C, 4D, etc. B A 8 C E 7 5 F Nombe de Alumno 6 Cuso Nº de lámina ítulo de lámina ÓVALOS Y OVOIDES. Nota

18 Las angencias Dos elementos son tangentes cuando tienen un punto en común denominado punto de tangencia. Estos elementos son cicunfeencias (o acos de cicunfeencia, en algunos casos cuvas conicas también) y ectas. Un enlace es la unión amónica de cuvas con cuvas o cuvas con ectas. Los enlaces son la aplicación páctica de las tangencias. opiedades fundamentales de las tangencias 1- Los centos de dos cicunfeencias tangentes ente sí están alineados con el punto de tangencia. 2- Una ecta tangente a una cicunfeencia es siempe pependicula al adio coespondiente al punto de tangencia. 3- El cento de cualquie cicunfeencia que pasa po dos puntos se encuenta en la mediatiz del segmento que definen los dos puntos.odo adio pependicula a una cueda de cicunfeencia divide a esta en dos mitades iguales. 4- El cento de cualquie cicunfeencia tangente a dos ectas se encuenta en la bisectiz del ángulo que estas poducen. Las tangencias: definición y popiedades

19 angencias: eoemas fundamentales y lugaes geométicos Conociendo los cuato teoemas fundamentales de las tangencias aun no sabemos lo suficiente paa esolve poblemas básicoas de tangencias. 1º Centos alineados con el punto de tangencia 2º Radio pependicula a ecta tg. po el punto de tg. Es necesaio conoce el concepto de LUGAR GEOMÉRICO. Y hace uso de al menos dos tipos de lugaes geométicos. 3º Centos de ci. que pasan po dos ptos. en mediatiz 4º Centos de ci. tg. a dos ectas. en bisectiz Un LUGAR GEOMERICO es un conjunto de puntos en el plano que cumplen unas cicunstancias, caacteísticas o popiedades comunes especto a un elemento geometico (puede se un plano, una cicunfeencia, un segmento, un ángulo, etc) aa esolve poblemas básicos de tangencias tenemos que tene claos dos lugaes geometicos: Las ectas paalelas y las cicunfeencias concénticas. Lugaes Geométicos: ARALELAS Y CIR. CONCENRICAS d d d d d DEFINICIONES DE ALGUNOS LUGARES GEOMÉRICOS IMORANES ARA ANGENCIAS MEDIARIZ: Luga geomético de los puntos del plano que equidistan de dos puntos. Una mediatiz contiene los centos de ODAS las cicunfeencias que pasan po los extemos del segmento. Cuanto más se aleje el cento del punto medio del segmento más amplio seá el adio. BISECRIZ: Luga geomético de los puntos del plano que equidistan de dos ectas. esente en las popiedades fundamentales de las tangencias. La bisectiz de un ángulo contiene a todos los centos de cicunfeencias tangentes a los lados. Cuanto más alejado esté el cento del vétice del ángulo más amplitud tendá el adio de la cicunfeencia tangente. EJE RADICAL: El es luga geomético de los puntos del plano que son centos de cicunfeencia de igual adio tangentes a otas dos. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNRICAS Una ci. concéntica de adio (+d) a ota de adio () es el luga geomético de los puntos del plano que son centos de las cicunfeencias ANGENES EXERIORES de adio (d) a la cicunfeencia de adio (). ARALELAS A UNA DISANCIA Una ecta paalela a una distancia (d) es el luga geomético de los puntos del plano que son centos de cicunfeencias de adio (d) tangentes a una ecta que se encuenta a la distancia (d) de su paalela. d d -d +d d d Una ci. concéntica de adio (-d) a ota de adio () es el luga geomético de los puntos del plano que son centos de las cicunfeencias ANGENES INERIORES de adio (d) a la cicunfeen cia de adio (). Las tangencias y los lugaes geométicos

20 RESOLUCIÓN DE ROBLEMAS DE ANGENCIAS Las soluciones a los poblemas de tangencias son ectas y cicunfeencias tangentes a otas ectas y/o cicunfeencias. eo la base de las soluciones y un equisito impotante en estas es situa coectamente LOS UNOS DE ANGENCIA Y LOS CENROS (si la solución es una cicunfeencia). Dados dos puntos, taza la cicunfeencia que pasa po estos con un adio ' 1 ' ' 2 ' 3 1º- azamos un aco con adio ' con cento en el pime ' punto (luga geomético donde se encontaá el cento solución, ci. concénticas). 2º-azamos oto aco con adio ' con cento en el segundo punto (luga geomético donde se encontaá el cento solución, ci. concenticas). 3º- En el punto de intesección se encuenta la solución. azamos la cicunfeencia. ' ' ' EL CENRO DE LAS SOLUCIONES SIEMRE SE ENCONRARÁ EN LA MEDIARIZ DEL SEGMENO QUE ASA OR DOS UNOS. ARA ESE ROBLEMA ENCONRAMOS ORA SOLUCIÓN EN EL LADO OUESO DEL SEGMENO. Dados tes puntos, taza la cicunfeencia que pasa po estos º- Unimos dos puntos y tazamos su mediatiz. 2º- Unimos el oto punto con cualquiea de los anteioes y tazamos la mediatiz del segundo segmento. 3º- En el punto de intesección se encuenta la solución. azamos la cicunfeencia. LA MEDIARIZ DEL SEGMENO QUE ASA OR DOS UNOS CONINENE ODOS LOS CENROS DE LAS CIRCUNFERENCIAS QUE ASAN OR ESOS DOS UNOS. EL UNO DE INERSECCIÓN DE DOS MEDIARICES DE DOS SEGMENOS RODUCIDOS OR RES UNOS ES EL CENRO DE LA CIRCUNFERENCIA QUE ASA OR LOS RES UNOS. CIRCUNCENRO DE UN RIÁNGULO. Dada una ecta y el punto de tangencia sobe ella, taza la cicunfeencia tangente con un adio ' ' ' ' ' 1º- azamos una ecta pependicula a la dada po el punto de tangencia.(luga geomético donde se encontaá el cento solución, deivado de los teoemas de las tangencias). 1 2 ' 3 2º- Con cento en el punto de tangencia tazamos un aco de adio ' que cota a la pependicula. (luga geomético donde se encontaá la solución, cicunfeencia concéntica). 3º- En el punto de intesección se encuenta la solución. azamos la cicunfeencia. Dadas dos ectas y el punto de tangencia sobe una de ellas, taza la cicunfeencia tangente con un adio 1º- azamos la bisectiz del ángulo fomado po las dos esctas (luga geomético de todos los centos de ci. tg a ambas ectas). 2º- azamos una pependicula a la ecta que contiene el pto. de tg. pasando po este. (Luga geomético de todos los centos de ci. que son tangentes po ese puntoa la ecta). 3º- La intesección de la bisectiz con la pependicula es el cento buscado. (Coincidencia de dos lugaes geométicos). Desde ese cento tazamos una pependicula a la ota ecta que nos da el oto pto. de tg. 4º- azamos la ci. buscada. Dadas dos ectas, taza la cicunfeencia de adio tangente a ambas. 1º- azamos una paalela a una distancia de una ecta. 2º- Hacemos lo mismo con la ota ecta. Donde las paalelas se cotan es el cento de la solución. 3º- Desde el cento tazamos pependiculaes a las ectas del enunciado paa halla los ptos. de tg. azamos la ci. LA BISECRIZ DE UN SEGMENO DE UN ÁNGULO RODUCIDO OR DOS RECAS CONINENE ODOS LOS CENROS DE LAS CIRCUNFERENCIAS ANGENES A ELLAS. EL UNO DE INERSECCIÓN DE DOS BISECRICES DE DOS ÁNGULOS RODUCIDOS OR RES RECAS ES EL CENRO DE LA CIRCUNFERENCIA ANGENE A LAS RES. INCENRO DE UN RIÁNGULO. ' Las tangencias poblemas básicos una, dos o tes ectas o puntos.

21 ANGENCIAS ENRE DOS CIRCUNFERENCIAS: RINCIIOS. Nos pueden pedi tes tipos de cicunfeencias tangentes a una dada. 1- Las tangentes inteioes que se encuentan contenidas po la cicunfeencia dada, con la cual compaten el punto de tangencia. Obviamente estas tendán que tene un adio meno a la dada paa pode se contenidas sin se secantes. 2- Las tangentes exteioes que se encuentan fuea de la cicunfeencia dada. 3- Las cicunfeencias tangentes que contienen a la dada. Estas tendán que tene un adio mayo a la cicunfeencia dada. EN CUALQUIER CASO LOS CENROS DE CIRCUNFERENCIAS ANGENES SIEMRE ESÁN ALINEADOS CON EL UNO DE ANGENCIA. Dada una cicunfeencia de adio R y el punto de tangencia sobe ella, taza la cicunfeencias tangentes con un adio 1º- azamos una ecta que une el cento con el punto de tangencia (luga geomético donde se encontaá el cento solución, deivado de los teoemas de las tangencias). 2º- Con cento en el punto de tangencia tazamos un aco de adio (luga geomético donde se encontaá la solución, cicunfeencia concéntica)que cota a la ecta en dos puntos, los cuales seán los centos de las soluciones. 3º- En el punto de intesección se encuenta la solución. azamos la cicunfeencia. Dada una cicunfeencia de adio y el punto de tangencia sobe ella, taza la cicunfeencias tangentes con un adio R. R 1º- azamos una ecta que une 1 el cento con el punto de R 2 R 3 tangencia (luga geomético donde se encontaá el cento solución, deivado de los teoemas de las tangencias). 2º- Con cento en el punto de tangencia tazamos un aco de adio R (luga geomético donde se encontaá la solución, cicunfeencia concéntica)que cota a la ecta en dos puntos, los cuales seán los centos de las soluciones. 3º- En el punto de intesección se encuenta la solución. azamos la cicunfeencia. Dada una cicunfeencia de adio R y un punto exteio a ella, taza las ci. tangentes de adio que pasan po el punto º- azamos un adio abitaio y a pati del punto de intesección con la cicunfeencia copiamos (), tazamos un aco concéntico a la cicunfeencia de adio (+). 2º- Con cento en el punto dado tazamos una cicunfeencia de adio (). Los puntos de intesección con el aco anteio son los centos de la solución (coincidencia de dos lugaes geométicos). 3º- Unimos los centos hallados con el cento de la cicunfeencia dada paa halla los puntos de tangéncia. 4º- azamos las cicunfeencias buscadas. Dada una cicunfeencia de adio y un punto exteio a ella, taza las ci. tangentes de adio R que pasan po el punto. R R R R º- azamos un diámeto abitaio y a pati del punto de intesección con la cicunfeencia copiamos (R) sobe la totalidad del diámeto), tazamos un aco concéntico a la cicunfeencia de adio. 2º- Con cento en el punto dado tazamos una cicunfeencia de adio (R). Los puntos de intesección con la cicunfeencia anteio son los centos de la solución (coincidencia de dos lugaes geométicos). 3º- Unimos los centos hallados con el cento de la cicunfeencia dada paa halla los puntos de tangéncia. 4º- azamos las cicunfeencias buscadas. Cicunfeencias ANGENES a ota cicunfeencia dado el adio de la solución y un punto

22 ANGENCIAS DADOS DOS ELEMENOS (ectas o cicunfeencias) y el adio de la cicunfeencia solución. Dada una ecta y una cicunfeencia de adio R, taza la cicunfeencia de adiodado (meno al adio de la dada) tangente a ambas º- azamos una paalela a una distancia de la ecta. 2º- azamos un aco conc'entico a la dada de adio (+). Conseguimos esto tazando un adio abitaio y a pati del punto de cote con la cicunfeencia tanspota la medida (). Los puntos de intesección con la ecta paalela seán los centos de las cicunfeencias soluciones. (coincidencia de sos lugaes geométicos) 3º- Hallamos los puntos de tangencia: a pati de los centos pependiculaes a las ectas y segmentos con el oto extemo en la cicunfeencia de la dada. azamos las cicunfeencias que solucionan el poblema. Dada una ecta y una cicunfeencia de adio, taza las cicunfeencias de adiodado R (mayo al adio de la dada) tangente a ambas. R 1 R 2 R R +R R 1º- ocedeemos del mismo modo que en el poblema anteio paa halla las mismas soluciones. g exteioes. 2º- Situaemos la medida de R sobe el diámeto a pati de un extemo paa enconta lso centos de las ci. tg que contienen a la dada. Unimos los centos solución con el dado paa halla ptos. de tg y desde estos tazamos pependiculaes a las ectas paa halla ptos. de tg. sobe la ecta. azamos las ci. solución que contienen a la dada. Dadas dos cicunfeencias taza las cicunfeencias de adio dado tangentes exteioes a ambas º- Sumamos a los adios de ambas cicunfeencias y tazamos dos acos concenticos que se cotan en dos ptos que seán los centos de las soluciones. 2º- Unimos los centos de la solución con los dados y obtenemos los ptos. de tg. azamos las ci. solución. Dadas dos cicunfeencias taza la cicunfeencia de adio dado tangente a ambas quedando la cicunfeencia gande del enunciado dento de la solución º- A un diámeto cualquiea de la ci. que va a se contenida po la ci. solución le estamos el adio. azamos una ci. concéntica con ádio hasta la maca sobe el diámeto. 2º- azamos un adio a la ci. que va a queda tg. exteio a la ci. solución y le sumamos el adio. azamos un aco concéntico con adio hasta la maca. Los puntos de intesección con el oto aco concéntico son los centos de las soluciónes. 3º- Unimos los centos de las ci. dadas con los centos obtenidos paa halla los ptos. de tg. y tazamos las soluciónes. Cicunfeencias ANGENES a dos elementos (ectas o cicunfeencias: cc,, c)

23 En el enunciado se pesenta una cicunfeencia con su cento y un punto exteio a ella. Se piden las ectas tangentes a la cicunfeencia que pasan po el punto exteio ENUNCIADO SOLUCIÓN aa esolvelo necesitamos taza cietos tazados auxiliaes que se pueden explica cuato pasos 1º- Unimos el cento de la cicunfeencia con el punto exteio a ella tazando un segmento. 2º-azamos la mediatiz del semento obteniendo el punto medio de este. 3º- Con cento en el punto medio y adio hasta el punto exteio o el cento (lo cual es lo mismo), tazamos una cicunfeencia que cota a la dada en dos puntos, los untos de tangencia. 4º azamos adios hasta los puntos de tangencia 5º Desde el punto exteio hasta los puntos de tangencia tazamos las ectas que son solución Rectas tangentes: cicunfeencia-punto

24 angentes exteioes e inteioes a dos cicunfeencias ENUNCIADO SOLUCIÓN tangentes exteioes SOLUCIÓN tangentes inteioes aa esolve estos dos poblemas necesitamos educilos al poblema pto-cicunfeencia. tendemos que hace el esfuezo de "olvidanos" (ignoa visualmente) el enunciado oiginal y esolve el poblema ptocicunfeencia. una vez conseguido el esultado del poblema oiginal no tae mas dificultad que lleva las ectas y los adios a su sitio tazando paalelas con escuada y catabón angentes exteioes a dos cicunfeencias 1º azamos el segmento que une los dos centos 1 2º Sobe el segmento, a la cicunfeencia gande, con el compás, le estamos el adio de la cicunfeencia pequeña. 1 2 DE ESE MODO HEMOS REDUCIDO EL ROBLEMA A RECAS ANGENES UNO-CIRCUNFERENCIA 3º- Resolvemos el poblema educido, tazamos los adios que van a (t1) y (t2) lo suficientemente lagos paa que coten a la cicunfeencia gande oiginal. 4º- A pati del cento de la cicunfeencia pequeña oiginal tazamos adios con la misma inclinación (escuada y catabón). Así,con los cuato adios tazados obtenemos t1 yt2 sobe la gande y t1' yt2' sobe la pequeña 5º- Unimos t1 con t1' y t2 con t2' 3 (t 1 ) 4 5 t 1 ' t (t 2 ) t 2 ' t 2 angentes inteioes a dos cicunfeencias 1º azamos el segmento que une los dos centos 2º Sobe el segmento, a la cicunfeencia gande, con el compás, le sumamos el adio de la cicunfeencia pequeña. DE ESE MODO HEMOS REDUCIDO EL ROBLEMA A RECAS ANGENES UNO-CIRCUNFERENCIA º- Resolvemos el poblema educido,obteniendo así (t1) y (t2), peo esta vez no tazamos las ectas tangentes paa no contamina con demasiadas lineas el dibujo. 4º- azamos adios paalelos a los de la cicunfeencia gande en la cicunfeencia pequeña, peo invitiendo su posicion (el adio de aiba en la gande, abajo en la pequeña y vicevesa). Los puntos de tangencia del poblema oiginal se encuentan en las intesecciones de los adios. 5º- Unimos t1' con t1 y t2' con t Rectas tangentes a doscicunfeencias

25 Dadas dos cicunfeencias y sus centos, taza las tangentes exteioes empleando las popiedades de la homotécia. 1º- azamos una ecta que une los centos de las dos cicungfeencias. 2º- azamos dos adios paalelos a las cicunfeencias y unimos los dos puntos de inteseccion con las cicunfeencias paa DEERMINAR sobe la ecta que une los centos de las cicunfeencias el CENRO DE HOMOECIA diecta 3º- Hallamos los puntos de tangencia de las ectas tangentes a la cicunfeencia más póxima al cento de homotecia que pasan po este. No las dibujamos todavía, sólo los adios que van a los puntos de tangencia. 4º- En la cicunfeencia mayo tazamos adios paalelos (homotéticos) a los hallados en el paso anteio y deteminamos los puntos de tangencia. 5º- Las ectas tangentes exteioes deben de pasa po los puntos de tangencia dos a dos y po el cento de homotecia, las tazamos. HEMOS ENCONRADO EL CENRO DE HOMOECIA DIRECA, HALLADO LOS UNOS DE ANGENCIA CON UNA CIR. Y ENCONRADO SUS HOMOÉICOS EN LA SEGUNDA ARA RESOLVER EL ROBLEMA. Dadas dos cicunfeencias y sus centos, taza las tangentes inteioes empleando las popiedades de la homotécia. BUSCAMOS EL CENRO DE HOMOECIA INDIRECA: 1º-Unimos los centos de las cicunfeencias. Sobe este segmento se encontaá el cento de homotecia. 2º-azamos dos adios paalelos a las cicunfeencias peo en lados opuestos de la ecta que une los centos. Obtenemos dos puntos de intesección, uno en sobe cada cicunfeencia. Los unimos y el punto de intesección de este segmento con el que une los dos centos de la cicunfeencia es el CENRO DE HOMOECIA INVERSA. 3º- Hallamos los puntos de tangencia de las ectas tangentes que pasan po el cento de homotecia a una de las cicunfeencias (hemos usado la más gande po claidad). No tazamos las tangentes peo si sus adios. 2º- azamos adios paalelos a los ultimos en la ota cicunfeencia peo invitiendo el lado de la ecta que une los centos al que se encuentan. Asñi obtenemos los puntos de tangencia en la ota cicunfeencia. 5º- Unimos los puntos de tangencia paa obtene las ectas tangentes, estas tienen que cotase en el cento de homotecia. angentes inteioes y exteioes a una cicunfeencia o homotecia