XV Congreso de la Asociación Chilena de Control Automático ACCA Santiago de Chile, Octubre de 2002.

Transcripción

1 XV Congeso de la Asociación Chilena de Conol Auomáico ACCA. Saniago de Chile, Ocube de. ESIMACIÓN DE VARIABLES DE ESADO DE ÓRBIA SAELIAL CON FILRO DE KALMAN EXENDIDO Fabicio I. Salgado Díaz Eligio O. Amhaue Cácamo Univesidad de Concepción. Chile. Resumen: Ese aículo pesena la fomulación del Filo de Kalman caso Coninuo-Disceo Exendido (C-D EKF) y su aplicación a la deeminación de las vaiables de esado de óbia saelial. Se compueba el desempeño del algoimo cuando exise un buen modelo paa el poceso y. Se esala la influencia del paso de inegación en la esimación e impoancia que da el algoimo a las pedicciones y mediciones. Palabas claves: Filo de Kalman Exendido, Modelo, Poceso, Medición. Absac: his pape pesens a fomulaion fo he Exended Kalman File in he Coninuous-Discee exended case (C-D EKF) and is applicaion in deeminaion he sae of saellie obi vaiables. he pefomance of he algoihm is veified, povided a suiable model and good measuemens exis. he influence of he inegaion sep and impoance of he pedicions and measuemens in he algoihm ae clealy bough up. Keywods: Exended Kalman File, Model, Pocess, Measuemen.. INRODUCCIÓN El Filo de Kalman iene su oigen en Rudolf E. Kalman (96) quien lo popuso en la foma iempo-disceo, luego juno a Richad Bucy (96) suge la fomulación en iempoconinuo. En definiiva el Filo de Kalman hasa ahoa ha enido algunas vaianes, desde una fomulación ipo disceo-disceo (modelo lineal disceo paa el modelo del poceso y ), coninuo-disceo (modelo lineal coninuo paa el poceso y lineal disceo paa la ) hasa finalmene la fomulación del Filo Exendido de Kalman (EKF) basado en el desaollo en seie de aylo paa pocesos modelados po ecuaciones de esado nolineales que puede se aplicado ano a modelos disceodisceo, como coninuo-disceo (Moel, 997; Nielsen, e. al., ; Welch and Bishop, ). A coninuación se pesenaá la fomulación del Filo de Kalman coninuodisceo y poseio aplicación a un caso pseudo-eal como lo es, la deeminación de las vaiables de esado de óbia saelial, cuyo poceso y son modelados en foma sencilla.. FILRO DE KALMAN CONINUO-DISCREO EXENDIDO (C-D EKF) Paa un modelo en que las ecuaciones del poceso y esán dadas po ecuaciones no-lineales esocásicas coninua y discea especivamene de la foma: x () f (x(), ) Gw() z( ) h(x( ), ) v( ) Con xir n, zir m, w() y v( ) uidos del poceso y, con disibución de pobabilidades nomal, independienes y no coelacionados, con las caaceísicas siguienes: E w() Ev( ) Ew()w() Q() v( )v( ) R( ) E Es posible obene una solución al poblema de esima el esado x() IR n, paiendo de una ayecoia de efeencia nominal x (), obenida esolviendo la ecuación difeencial con condición inicial x ( ): x () f (x (), ) () 97

2 Según la expansión en seie de aylo de f(x(),) y h(x( ), ), alededo del valo de efeencia x (), omiiendo odos los éminos excepo el valo consane y lineal, se obienen las ecuaciones que desciben el poceso de solución del algoimo (Moel, 997). El ciclo ieaivo de solución se pesena en la figua. v () () () () : Magniud de velocidad del saélie [Km/seg]. : Ángulo de ayecoia de vuelo, medido desde el hoizone local [ad]. : Disancia del saélie al ceno de la iea [Km]. : Ángulo descio po el veco de posición del saélie con el Ecuado [ad]. P( / ) Acualización en el iempo ( pedicción) Condiciones iniciales xˆ ( / ), P( / ) K=,,,... xˆ ( / ) f (x (), )d c.i: xˆ ( / ) (, )P( A() df (x, ) dx / ) (, ) x xˆ ( / ) (, )GQ()G (, ) : maiz de ansición de esados obenida a pai de A() K( ) P( Acualización de la (coección) dh(x, ) H( ) dx / )H( ) (H( )P( x xˆ ( / ) d / )H( ) R( ) xˆ ( / ) xˆ ( / ) K( )(z( ) h(xˆ( ( / ) (I K( )H( ))P( / ) P Acualización en el iempo (Pedicción) Acualización de la medida (coección) / )) Figua. Ciclo de funcionamieno ecusivo del C-D EKF. 3. VARIABLES DE ESADO DE ÓRBIA SAELIAL Si se asume que el movimieno del saélie es esingido a una óbia plana y modelamos la iea como una masa punual al igual que el saélie consideando solo la fueza de aacción gaviaoia iea-saélie (UPM, ), el modelo bidimensional esulane paa la esimación de posición y velocidad es función de las siguienes 4 vaiables de esado paa nueso poceso: Debiendo noase que el saélie puede pesena ano una óbia geoesacionaia (gio en ono a la iea en el plano ecuaoial a la misma velocidad y senido de gio) o no Figua. Vaiables de esado de óbia saelial. La figua, muesa una gáfica de las vaiables. En ausencia de peubaciones, la ayecoia del saélie es descia po el siguiene sisema de ecuaciones difeenciales en iempo coninuo: v () sin( ()) () v() ( ) cos( ()) () v()() () v() sin( ()) v() ( ) cos( ()) () Donde = Km 3 /seg, coesponde a la consane de Keple: GM : Consane de Keple G=6.67* - [m 3 Consane de gaviación /(Kg*seg)] : univesal M=5.977* 4 [Kg] : Masa de la iea Consideando las ecuaciones difeenciales el veco de esados esula se: v() () x() () () 98

3 La ecuación no-lineal del poceso, con la incopoación de la vaiable aleaoia desconocida w() (peubación o uido), coesponde a: x () f (x(), ) w() w(), epesena la aleación al poceso de aseo desde una esación eena, pudiendo se esa: vaiaciones en el campo gaviacional eese, spin o gio del saélie sobe su eje, fueza de aacción del sol y la luna, ec. El modelo paa w() es de uido blanco (no coelacionado en el iempo), con función de disibución de pobabilidades de ipo gaussiana o nomal con las siguienes caaceísicas de valo medio y maiz de covaianza: Ew() Q() E w()w() Donde Q() 4, coesponde a la maiz de covaianza de los 4 uidos, vaiable en el iempo, que genealmene es consideada diagonal y consane, juno con la covaianza de los uidos de (foma esacionaia del filo de Kalman). Po simplicidad se asumiá que () y (), son diecamene obsevables. Po lo ano la expesión paa el veco de obsevaciones esula: Con z( ) Hx( ) v( ) H v( ), es uido blanco gaussiano modelado en iempo disceo, con dimensión, al que: E Ev( ) v( )v( ) R( ) 4. RESOLUCIÓN CON C-D EKF La aplicación del algoimo C-D EKF, equiee de la esolución de la ecuación () en la eapa de acualización de la pedicción, eniendo condición inicial xˆ ( / ) en cada paso. Esa solución es genealmene obenida a avés de méodos numéicos. En ese caso se uilizaá el méodo de Eule. Mediane ese méodo se subdividiá el inevalo de inegación [, + ] en L subinevalos [,, ], [,,, ],..., [,L-, + ], en que la ecuación: xˆ( / ) f (x (), ) d Con condición inicial xˆ ( / ) endá un equivalene: xˆ ( xˆ (,l,l / ) / ) xˆ( xˆ(,l,l / ) / ) ( (,l,l,l,l )xˆ( )f (xˆ(, l,l / ) ), Donde l=,,..., L-. Así mismo, ambién es equeido el cálculo de la maiz de ansición de esados (, ), la cual es obenida a avés de la apoximación: (, (, ) e ) I nd i A( ) i ( ) A i! En que nd, oma genealmene los valoes 3 ó 4, dependiendo de la exaciud que se equiea en la apoximación. 5. CASOS DE APLICACIÓN El pime caso de aplicación se basa en los daos de obsevación o mosados en la abla. del Anexo, dichos daos fueon geneados con un inevalo de mueseo de seg (equivalene a + - =), consideando un poceso y eal con maices de covaianza de uido: Q() Ce 4 R( ) Ce i. La opeación coeca del modelo de esimación de esado seá pobada consideando Q y R supuesas iguales a las eales, esando el modelo fomulado sobe la base de Q nula. La aplicación del méodo de Eule con un paso de lago igual a, o en oas palabas,l+ -,l = y los siguienes valoes iniciales: 8.5. xˆ() (). P 4., l ) 99

4 Se analizaá además la influencia del paso de inegación uilizado en la esimación. El segundo caso de aplicación coesponde a la esimación de esado (disancia, (); velocidad, v()), paa el saélie HUBBLE, eniendo daos en el sisema de coodenadas inecial Eah-Ceneed Ineial (ECI), obenidos de un sofwae de pedicción de óbia saelial (Winobi3.6), de libe acceso. Las venanas de pesenación de dicho pogama se muesan a coninuación. [Rad] esimación Figua 5. C-D EKF. Esimación () [ad],,l+ -,l = esimación 7 v() [Km/seg] Figua 3. Venanas de pesenación Winobi3.6. Paa la esimación de esado, la maiz de covaianza de uido de la fue ajusada, de foma al de obene una buena espuesa. Los valoes iniciales paa el veco de esado se obuvieon de un análisis de los daos disponibles Figua 6. C-D EKF. Esimación de v() [Km/seg],,l+ -,l =..3. esimación 6. RESULADOS. Las siguienes figuas (figuas 4 a 8) muesan el buen compoamieno del C-D EKF, aplicado a la esimación de esado, paa el pime caso de aplicación. A modo de obseva lo ocuido al vaia el paso de inegación,l+ -,l, se muesa la esimación de (). Paa compaación con el caso base de,l+ -,l =, la vaiación se ealiza en foma incemenal, ya que no se obsevan cambios, a valoes bajos. [Rad] Figua 7. C-D EKF. Esimación de () [ad],,l+ -,l =..4 x 4.4 x esimación.. () [Km] () [Km] esimación (,l+-,l=) esimación (,l+-,l=) Figua 4. C-D EKF. Esimación de () [Km],,l+ -,l = Figua 8. C-D EKF. Esimación de () [Km],,l+ -,l =,.

5 Lo obsevado en la figua aneio, coesponde a una caaceísica común en la esimación de las demás vaiables de esado. Es fácil obseva que el aumeno del paso de inegación poduce un deeioo de la esimación confome se incopoa mayo canidad de mediciones al algoimo, eso debido a que del poceso de inegación depende la pimea esimación de esado en cada iempo (pedicción) y po lo ano la diección de búsqueda del valo de las vaiables de esado. Una solución a lo aneio seía vaia la vaianza de los uidos de de () (supuesa) hacia valoes más bajos povocando que la pedicción eónea sea disminuida, favoeciendo las mediciones, sin embago esa no es la mejo solución a ese poblema, fácilmene esuelo po la disminución del paso de inegación. () [Km] esimación En cuando al segundo caso de aplicación se consideo 6 punos de en las vaiables () y (), a inevalos de seg. En Las figuas 9, y, se muesa la esimación de () y una compaación de la esimación de v(), con la de la misma, esa úlima no consideada en el veco de mediciones del algoimo. La peubación obsevada en la figua, es debida a la influencia de los valoes de xˆ () y P() lo cual povoca que uno de los éminos de K 4 () elacionado con (), enga un valo negaivo, causando que la coección paa el iempo enga a v() en un valo meno al inicial. Al ealizase la coección, luego de la segunda medida, la ganancia de Kalman K 4 comienza a oma valoes posiivos en odos sus éminos, acecándose en foma más efeciva al valo eal que se esima. Se debe menciona que el compoamieno del filo es poyeca un valo de la vaiable de esado a esima, paa luego gacias a la, ealiza la coección la cual se uiliza como condición inicial paa el siguiene insane de iempo Figua 9. C-D EKF. Esimación de () [Km],,l+ -,l = K() esimación 7. CONCLUSIONES v() [Km/seg] Figua. C-D EKF. Esimación de v() [Km/seg],,l+ -,l =. v() esimado-v() medido [m/seg] x En ese abajo se ha mosado la fomulación del C-D EKF, y su aplicación a la esimación de las vaiables de esado de óbia saelial, a avés, de un modelo sencillo y enendible. Se pudo veifica la buena opeación del algoimo compobándose nuevamene las caaceísicas de filado de uido, suavizado y peviso, consiuyéndose en una heamiena de esimación podeosa ane pocesos modelados en iempo coninuo a avés de funciones no lineales. Se ha obsevado que el paso de inegación uilizado paa el méodo paicula de Eule, iene complea influencia sobe la impoancia que da el algoimo sobe la pedicción y las mediciones. Un aumeno del paso da como esulado una mala pedicción de los esados mienas que una disminución poduce una buena pedicción. Lo aneio es impoane ya que genealmene el poceso de esimación es hecho en línea y el iempo de mueseo de las mediciones debe da pie a que el poceso de inegación se ealice en buena foma, po al azón po lo geneal se pefiee y considea más pácico la uilización de la foma discea del EKF (disceo-disceo EKF). Figua. Eo ene la esimación v() [Km/seg],,l+ -,l = y su.

6 8. REFERENCIAS Dayl Moel (997). Exended Kalman File Lecue Noes. EEE 58-Sping. Jan Nielsen, e. al. (). Esimaing Paamees in Disceely, Paially Obseved Sochasic Diffeenial Equaions. UPM (). Radiocomunicaciones II: Comunicaciones Vía Saélie. Apunes del Cuso. Escuela écnica Supeio de Ingenieos de elecomunicación de la Univesidad Poliécnica de Madid. Geg Welch, Gay Bishop (). An inoducion o he Kalman File. Univesiy of Noh Caolina a Chapel Hill, Depamen of Compue Science, Chapel Hill, NC , SIGGRAPH. 9. ANEXO abla. Daos paa la esimación. Pime caso de aplicación. (seg) () [Km] () [Rad] (seg) () [Km] () [Rad]