Termodinámica: Determinación del coeficiente γ (gamma) del aire por el método de RüchhardtT i.

Transcripción

1 Instituto de Profesores Artigas Físia Experimental 1 Guía prátia Nº 09 Termodinámia: Determinaión del oefiiente (gamma) del aire por el método de RühhardtT i. Fundamento teório: El gas ideal: una definiión marosópia. Dada una masa de ualquier gas en estado de equilibrio térmio, podemos medir su presión p, su temperatura T y su volumen. Cuando su densidad es lo bastante pequeña los experimentos demuestran que: 1. Si se mantiene a temperatura onstante, su presión es inversamente proporional a su volumen (ley de Boyle), y. a presión onstante, su volumen es diretamente proporional a su temperatura (ley de Charles y Gay-Lussa). p. Estos dos resultados pueden resumirse en la relaión: = te (para una masa fija de gas). El T volumen que oupa un gas a temperatura y presión onstante es proporional a su masa, por lo ual la onstante debe serlo también. Ésta se expresará omo nr, donde n es el número de moles del gas y R una onstante que se deberá determinar experimentalmente. Los experimentos demuestran que, a densidades bajas, R tiene el mismo valor para todos los gases, a saber, R= J/mol.K y reibe el nombre de onstante universal de los gases. Definimos entones omo gas ideal, aquel que umpla en todas las irunstanias la relaión: p. = n. R. T Llamada euaión de estado del gas ideal. Si bien el verdadero gas ideal no existe, resulta una abstraión útil ya que a densidades bajas, todos los gases tienen un omportamiento similar al de este modelo. El gas ideal: una definiión mirosópia. Desde el punto de vista mirosópio, el gas ideal se define haiendo las siguientes suposiiones: a. Un gas está formado por partíulas idéntias llamadas moléulas. b. Las moléulas tienen un movimiento al azar y obedeen las leyes de Newton del movimiento. Las moléulas se mueven en todas direiones y on diversas veloidades.. El número total de moléulas es grande. Las moléulas pueden hoar entre ellas y on las paredes lo ual les provoa brusos ambios en sus veloidades, pero omo la antidad de hoques es muy grande, se onserva la distribuión total de veloidades y esto permite que el movimiento siga siendo al azar. d. El volumen de las moléulas es una fraión muy pequeña del volumen oupado por el gas. e. No atúan fuerzas apreiables sobre las moléulas exepto durante las olisiones. En tanto esto es ierto, la moléula se moverá on veloidad onstante entre olisiones. Estamos suponiendo que el alane de las fuerzas moleulares oinide on el tamaño de la moléula. f. Las olisiones son elástias y su duraión es despreiable. En los hoques se mantienen la antidad de movimiento y la energía inétia. El tiempo que dura el hoque es despreiable on respeto a los intervalos entre ellos. Los alores espeífios de un gas ideal: La energía de las moléulas que onstituyen un gas ideal es puramente inétia, por lo ual su energía interna (que es la suma de energías poteniales y inétias) es proporional a su temperatura Kelvin y solo depende de la temperatura. La energía interna U para un 1 gas ideal es: U = RTυ siendo υ el número de grados de libertad ii de la moléula. Como en

2 este aso tenemos solamente las tres omponentes de la traslaión, la moléula tiene tres 3 grados de libertad y U = RT (por mol). El alor espeífio de una sustania es el alor (o bien la antidad de alor) que la unidad de masa requiere para sufrir un ambio de su temperatura en una unidad. Si utilizamos el mol omo medida de la antidad de sustania, el alor espeífio orrespondiente reibe el nombre de Capaidad alorífia molar y se esribe C. En los gases se distinguen dos tipos: a. la Capaidad alorífia molar a presión onstante C p y b. la Capaidad alorífia molar a volumen onstante C v El valor de C p es siempre mayor que el de C, y para los gases ideales, se demuestra que: 3 p 5 C p -C =R, y que C = R y se define el oefiiente = Si bien este resultado es muy aproximado para gases monoatómios, está en serio desauerdo para gases diatómios y poliatómios, esto sugiere que deba revisarse el modelo si queremos que la teoría inétia sobreviva omo aproximaión útil al omportamiento de los gases reales. La equipartiión de la energía: En 1857 Clausius sugirió por primera vez una modifiaión a la teoría inétia para expliar los alores espeífios de los gases. Reordemos que el modelo suponía una moléula omo una esfera elástia dura donde su energía era puramente traslaional. El éxito del modelo en ontraste on el omportamiento de los gases monoatómios reforzó la idea de que la energía inétia media de traslaión era la que determinaba lo que se mide omo temperatura de un gas. Nos tenemos que preguntar si la moléula, ya no imaginada omo una esfera sino omo un uerpo extenso, podría almaenar energía en otras formas que no sea puramente la traslaional; Por ejemplo, que pudiese rotar y/o vibrar. En las olisiones podrían exitarse estos nuevos modos, lo ual ontribuiría a aumentar la energía interna del gas. Ahora determinaremos la energía que almaena una moléula que se traslade, vibre y rote. La 1 energía onstará de tres omponentes del tipo m. (inétia de traslaión), tres del tipo 1 I. ω (inétia de rotaión) y de omponentes asoiadas a las energía poteniales de la moléula. x Mediante la meánia estadístia se demuestra que uando el número de partíulas es grande y puede apliarse la meánia Newtoniana, todos estos términos tienen el mismo valor promedio y este valor solo depende de la temperatura. Este teorema se onoe omo de equipartiión de la energía y fue enuniado por James Clerk Maxwell. Cada modo independiente de absorión de energía se onoe omo grado de libertad (υ ). El oefiiente = gas de la siguiente forma: p = v x, que vinula los valores de apaidades alorífias, depende del = 1 + υ siendo υ el número de grados de libertad de la moléula. Gases monoatómios: en este aso la moléula puede onsiderarse una esfera por lo ual solo tiene tres grados de libertad (sus omponentes traslaionales), por lo ual =1+/3=1.67 Gases diatómios: la moléula puede onsiderarse omo formada por dos esferas unidas por una varilla rígida (que no es apaz de vibrar), por lo ual puede trasladarse y rotar en torno a los tres ejes posibles. Sin embargo, el modo de rotaión en torno a un eje que oinide on la varilla no aporta energía, teniendo que onsiderarse, entones ino grados de libertad para esta moléula. De lo anterior, =1+/5=1.40 El aire, una mezla de gases, está ompuesto fundamentalmente de Nitrógeno un gas diatómio, por lo ual se espera obtener un valor de gamma omo este. (Extraido de: R. Resnik, D. Halliday, Físia Parte 1, Ed. CECSA, Méxio, 1980 y de F. Blatt, Fundamentos de Físia, Ed. Prentie Hall, Méxio, 1991.)

3 Métodos experimentales de determinaión del oefiiente. El método más primitivo y senillo que ita la bibliografía onsultada iii es el método de Clément y Desórmes iv. En el mismo, una masa pequeña de gas a temperatura ambiente y sometida a una pequeña sobrepresión on respeto a la ambiente se expande en forma adiabátia (sin interambio de alor on el reipiente ni on el medio) para luego suministrarle alor a volumen onstante (proeso isóoro) hasta que alane la temperatura ambiente iniial. Suponiendo que la expansión adiabátia sea aproximadamente uasi-estátia (una serie de pasos suesivos donde ada uno de ellos supone equilibrio), podrá apliarse la euaión de Poisson P. = te y de la medida de presiones se obtendrá el valor del oefiiente. Rühhardt v puso en prátia un método ingenioso para la medida de que, si bien no es más preiso que el anterior, hae uso de la meánia elemental. El gas se halla ontenido en un gran reipiente de volumen. Ajustado a él hay un tubo de vidrio exatamente alibrado vi, de seión A, dentro del ual una esfera metália de masa m ajusta perfetamente omo un pistón. El gas está ligeramente omprimido por la esfera en equilibrio y, por ello, su presión es muy poo mg superior a la atmosféria P o. Así, despreiando el rozamiento, P = P + o A Si se da a la esfera un ligero desplazamiento haia abajo y después se la libera, osilará on un período τ; el movimiento será osilatorio amortiguado. Si notamos on y a la posiión de la esfera en un instante dado on respeto a la posiión de equilibrio, un pequeño desplazamiento positivo produe un pequeño aumento de volumen d y se tiene: d=y.a Análogamente, diho desplazamiento provoa una disminuión dp en la presión, siendo por tanto, negativa. La fuerza neta sobre la esfera es F=A.dP, si despreiamos el rozamiento; o sea: F dp = A Puede observarse que los signos de dp y F, son opuestos a los de y, lo ual define a la fuerza omo restauradora. Si la freuenia de osilaión de la esfera es grande, podemos onsiderar las variaiones de P y de omo adiabátias vii ; si sus variaiones dp y d son pequeñas, podemos, además, onsiderar que el gas pasa por suesivos estados de equilibrio, y por tanto, que el proeso es aproximadamente uasi-estátio viii. Bajo estos supuestos se aplia: 1 PA P. = te y P d + dp = 0, sustituyendo los valores de d y dp, F =. y, lo ual india que el volumen de gas atúa en forma uasi elástia, omo un resorte de onstante ix k= PA /. Sometida a la aión de esta fuerza, la esfera metália osilará on un movimiento armónio simple que se amortiguará, en primera aproximaión, debido a rozamientos visosos de tal forma que las fuerzas de roe dependen de la veloidad en primer orden. La medida de esta amortiguaión es el oefiiente b, y la euaión diferenial que rige las osilaiones es: d y dy PA d y b dy PA m. + b. + ( ). y = 0 o bien, +. + ( ). y = 0 dt dt dt m dt m uya soluión es la euaión horaria y=f(t) que desribe el movimiento de la esfera, que es de la forma: y = A. e o β. t ( ). sen( ωt + ϕ).donde β = donde puede apreiarse que la amplitud deae on el tiempo según una exponenial inversa. PA En la euaión diferenial, el oefiiente de y es 0 m no amortiguada. Para alular su valor a partir de los valores de β y ω, podremos apliar: b m ω =, orrespondiente a la osilaión

4 β ω = ω0, y alular el valor del oefiiente a partir de: 4 τ = 0 4π m A P Nuestro dispositivo experimental: El desarrollo del experimento requería de lo que se onoe omo un tubo de preisión de vidrio, que no se onsigue en plaza x. Con él onetado a un reipiente de vidrio de 10l, la esfera osila on poa amortiguaión, grandes amplitudes y baja freuenia, por lo ual el período de osilaión puede determinarse ontando las osilaiones por observaión y aionando un ronómetro de mano. Lo anterior introdue, omo es de esperar, inertezas en la determinaión del período que son importantes así omo su peso relativo en la determinaión del oefiiente. La duraión de las medidas también atenta ontra los supuestos del experimento. Para poder desarrollar el experimento, ideamos sustituir el montaje original por una jeringa de vidrio xi, donde el émbolo sustituía a la esfera. Esta modifiaión produía, por el pequeño volumen de gas enerrado (utilizamos una jeringa de 0 ml), freuenias muho mayores que las del diseño original (unas deenas de Hertz), lo ual nos obligaba a registrar las osilaiones on métodos alternativos, optando por utilizar una interfae para ello. La deisión siguiente onsistió en elegir qué magnitud medir para registrar la osilaión y así determinar los valores del oefiiente b y el período de osilaión amortiguada τ, para alular el valor del período sin amotiguar τ o ; El sensor de posiión no podía utilizarse ya que las amplitudes eran del orden de magnitud de la apreiaión del mismo. No se disponía de sensor de presión que aparee omo el más apropiado luego del anterior xii. Un artíulo referido al tema xiii sugería el registro de la aeleraión en funión del tiempo on un aelerómetro, por lo ual se optó por este sensor, ya que ontábamos on él. El laboratorio disponía de un sensor aelerómetro ( Low-g Aelerometer ) onetado a la interfae Lab Pro de ernier Software & Tehnology xiv, que fue el que deidimos utilizar. Proedimiento: 1. Se monta una jeringa de vidrio de 0 ml limpia y sea on tapón removible en la punta (o mejor, válvula de tres pases) en un soporte omo se muestra. Se le adhiere al émbolo el sensor aelerómetro on adhesivo removible xv omo muestra la figura.. Se determina la masa del onjunto émbolo-sensor, on las preauiones que haya disutido previamente. 3. Se remueve el tapón y se seleiona el máximo volumen, oloándolo nuevamente. 4. Se gira el onjunto jeringa-sensor hasta apoyar el tapón en la base, de tal forma que no se permita osilar a la estrutura de soporte. 5. Se ejeuta el programa Logger Pro. La freuenia de muestreo mínima debe elegirse de auerdo a que registraremos freuenias del orden de las deenas de osilaiones por segundo. Disuta la posibilidad de fijar un valor de disparo ( trigger ) a partir del ual omenzar el registro. 6. El émbolo puede girar. Elija la posiión óptima de tal forma que al presionarlo y liberarlo, se observen la mayor antidad de osilaiones posibles.

5 7. Enere el sensor, omiene la reoleión de datos, presione el émbolo y libérelo. 8. La gráfia a= f(t) debe orresponder a un movimiento osilatorio amortiguado donde la envolvente es una exponenial inversa. Use su olfato adquirido hasta el momento para deidir si lo ha onseguido o no. Otórguese la libertad de repetir su medida hasta lograrlo. No va a enontrar en esta guía el ok para detenerse en ese intento. 9. Repita el proedimiento para el onjunto de volúmenes que elija. 10. Determine los valores de β, τ, y alule el valor de τ o omo se le ourra, y justifique sus proedimientos. Realie las medidas neesarias para determinar el valor del oefiiente a alular. 11. Calule del gas utilizado. 1. Disuta y determine la inertidumbre que afeta al valor alulado. Si no obtuvo el valor esperado ( bajo qué supuestos?) explique uál o uáles pueden ser las fuentes de la posible disrepania. Esta guía ha sido esrita, revisada y/o orregida por los profesores del urso de Físia Experimental 1, de la espeialidad Físia, del Instituto de Profesores "Artigas": Guzmán Trinidad, Alejandra Delgado, Gustavo Carbonell y Daniel Baino. La primera versión fue esrita en 008. La última revisión se ha heho en 010. Referenias: i Puede enontrarse también omo Ruhhardt, Rühardt, Rühhard, Ruhardt, o Ruhard. ii Un grado de libertad es ualquier oordenada o omponente de veloidad que apareza a la segunda potenia en la expresión para la energía de un sistema. Por ejemplo, la energía de una partíula puntual (omo un átomo aislado) tiene tres grados de libertad, una por omponente de su veloidad de traslaión. Un sistema masa resorte que esté forzado a osilar en el eje x posee dos grados de libertad, uno asoiado a la energía potenial elástia y el otro a la inétia de traslaión. Una moléula diatómia, si se onsidera omo un par de esferas unidas por un resorte poseería siete grados de libertad, tres traslaionales, tres asoiados a ada omponente por eje de rotaión y dos asoiados a la vibraión de los átomos a lo largo del eje que los une. iii Zemansky, M.W., Calor y Termodinámia, Ed. Aguilar, 4ª ed., (Ed. original: Heat and thermodynamis, M graw-hill, in, 1968). iv J. de phys. 89, 31, 48 (1819) v E. Rühhardt, Eine einfahe methode zur bestimmung von C p /C v, Phys. Z. 30, (199). vi El equipo se vende en atálogos de empresas de venta de material didátio, omo por ejemplo: Apparatus of determining the ratio of speifi heat apaties C p /C (37105), pag. 11, General Catalogue Physis, LEYBOLD DIDACTIC GMBH, Germany, 199. El experimento está desrito en Instruiones de serviio , Tubo de osilaión para determinar C p /C v, LEYBOLD DIDACTIC GMBH, Leyboldstrasse 1, Germany. vii Este supuesto está justifiado para osilaiones donde la presión y el volumen experimentan pequeñas variaiones porentuales y uando la freuenia es de algunos Hertz. viii Una transformaión termodinámia reversible es un proeso ideal que supone una suesión de estados de equilibrio, donde las derivadas temporales de la presión y el volumen deben ser pequeñas. Pueden onsiderarse reversibles, on buena aproximaión, aquellos proesos reales que involuren grandes ambios de Presión y olumen que suedan muy lentamente o muy pequeños ambios de P y que suedan muy rápidamente (G. Torzo, G. Delfitto, B. Peori, P. Satturin, A new miroomputer-based laboratory version of the Rühardt experiment for measuring the ratio = C p /C in air, Am. J. Phys. 69 (11), November 001.) ix Estritamente no se trata de una onstante, ya que depende del oiente P/ que varía, pero para variaiones pequeñas, se trata de un aproximaión razonable. x Agradeemos la olaboraión del ténio en vidrio de la Faultad de Químia (UdelaR) Daniel Aosta y Lara por la ayuda que nos brindó en la búsqueda del tubo. xi También vaya nuestro agradeimiento al Prof. Eduardo Núñez del Lieo Solymar 1 por la sugerenia de utilizar una jeringa de vidrio omo sustituto. Un equipo alternativo más similar al adaptado por nosotros puede enontrarse en Ruhhardt s method of measuring the ratio of speifi heats, EX-9910, pág. 399, 004 Physis worldwide Catalog and experiments guide, PASCO sientifi, CA, USA. ( xii Intentamos utilizar el Sensor de presión sanguínea (54050) de la interfae CASSY (Leybold Didati) on la modifiaión sugerida en el artíulo Proyeto para termodinámia de Collado, O., Prieto, O., Delgado, A., Ramirez, S. y Falón, S. (Revista Eduaión en Físia,. 6, Nº1, Mayo de 000, APFU), pero tenía un tiempo de respuesta exesivamente largo, no pudiendo medir presiones a la freuenia requerida (1000 Hz). xiii J.L. Hunt, Aurate experiment for measuring the ratio of speifi heats of gases using an aelerometer, Am.J.Phys. (7), July 1985.En este artíulo se fotografiaba la pantalla del osilosopio que registraba la señal del aelerómetro en funión del tiempo, para luego digitalizarla. xiv xv En nuestro aso utilizamos TACK-IT TM de Faber-Castell, pudiéndose utilizar ualquier equivalente.