UNIDAD 3 Funciones...43 Introducción Concepto de función Notación y definiciones Formas de representar

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones UNIDAD Funciones... Introducción Concepto de función Notación y definiciones Formas de representar funciones Mediante un gráfico Mediante una tala Mediante fórmulas Función lineal Ordenada al origen Ascisa al origen Pendiente Ejemplos de funciones lineales Rectas paralelas Rectas perpendiculares Prolema de aplicación Función cuadrática Construcción del gráfico Prolema de aplicación Función eponencial Logaritmos Propiedades de los logaritmos Logaritmos decimales y logaritmos naturales Función logarítmica Trigonometría Triángulos rectángulos Teorema de Pitágoras Razones trigonométricas del triángulo rectángulo Relación entre las razones trigonométricas Ángulos Orientados Medida de ángulos Circunferencia trigonométrica Razones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica Signo de las razones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica Funciones trigonométricas Función Seno Función Coseno Función Tangente... 7 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº Interpretación de gráficas Función lineal Prolemas Función Cuadrática Prolemas Función logarítmica y función eponencial Prolemas Trigonometría...8

2 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones UNIDAD Funciones Introducción En el lenguaje cotidiano es frecuente usar la idea de asignación para estalecer relaciones. Por ejemplo, a cada persona se le asigna su nomre, a cada triángulo su perímetro, a cada alumno de la facultad un número de registro, etc. En el campo científico tamién se estalecen relaciones entre distintas variales, las cuales pueden epresarse a través de gráficos, de fórmulas o de talas. Esto permite realizar predicciones y es así como el médico sae qué ocurrirá si hace descender el nivel de glucosa en la sangre de un paciente, o el ingeniero sae cómo variará la resistencia del hormigón si modifica la relación agua/cemento en su elaoración. El concepto de función permite formalizar esta idea de asignación...- Concepto de función En primer lugar se analizará un ejemplo. Dados los conjuntos A {,,} y B N { y / y es un número natural }, se estalece una asignación que hace corresponder a cada elemento de A, su cuadrado en B. Es decir: al elemento de A, le corresponde el elemento de B, al elemento de A, le corresponde el elemento de B, al elemento de A, le corresponde el elemento 9 de B. La relación estalecida entre los elementos de A y B está representada por los pares ordenados del siguiente conjunto: {(,),(,),(,9) } f. Para indicar que el elemento de A, está relacionado por medio de f, con el elemento de B, se escrie (,) f o f ( ). Se puede oservar que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. La asignación f que se ha realizado, recie el nomre de función de A en B. Curso de Ingreso

3 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ...- Notación y definiciones Dados dos conjuntos A y B, no vacíos, se dice que f es una función de A en B, si a cada elemento de A le asigna, de acuerdo con algún criterio determinado, uno y sólo un elemento de B. Para indicar que f es una función de A en B, se escrie f : A B. A cada elemento A, le corresponde, por medio de f, un elemento y B.. Simólicamente se indica y f () y se lee y es función de, y es igual a f de o y es la imagen de a través de f. Se dice que el par ordenado (, y) f. Como el valor que adopta y depende del valor elegido para, variale dependiente y se llama variale independiente. y recie el nomre de A f B yf() En una función f : A B, el conjunto A se llama dominio de f y el B codominio de f. Simólicamente: dom ( f ) A y codom ( f ) B. Se llama imagen de una función f : A B al conjunto formado por aquellos elementos del codominio B para los cuales eiste algún elemento de A, relacionado con ellos. Simólicamente se indica im ( f ). De la definición de imagen resulta que im( f ) codom( f ). En el ejemplo analizado al comienzo de la sección, la imagen de la función considerada es: {,,9 } im ( f ). Curso de Ingreso

4 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones Ejemplos: Los siguientes gráficos estalecen distintas relaciones entre los conjuntos: { a c } y {,,} C,, E. Cuáles de ellas son funciones? ) C a f E c f { a,),(,),(,) } ( c f es una función de C en E, ya que cada elemento de C está relacionado con uno y sólo un elemento de E. dom ( f ) C codom f ) E ) ( f ) {,,} odom( ) im ( fc C a g E c g { a,),(, ),(,) } ( c g es una función de C en E, ya que cada elemento de C está relacionado con uno y sólo un elemento de E. dom ( g) C codom g) E ( im g) {,} odom( ) ( gc ) C a h E c Curso de Ingreso 5

5 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ h { a,),(, ),(,),(,) } ( c h no es función, ya que al elemento del conjunto C le corresponden dos elementos en el conjunto E, el y el...- Formas de representar funciones Se presentan a continuación algunas formas de representar o epresar la relación funcional entre dos variales....- Mediante un gráfico La gráfica de la figura muestra la distancia al punto de partida, recorrida por un grupo de deportistas, entre la hora 9 y la hora 7. d (km) A(,8) t (h) Las variales relacionadas, en este caso, son: tiempo y distancia recorrida. Amas variales son numéricas. Para confeccionar el gráfico se utilizó un sistema de ejes cartesianos: un eje de ascisas (horizontal), donde se representó el tiempo en horas y un eje de ordenadas (vertical) donde se representó la distancia en kilómetros. En el eje de ascisas la unidad considerada representa hora y en el eje de ordenadas la unidad representa km. El tiempo es la variale independiente t y la distancia es la variale dependiente d. Cada punto de la gráfica corresponde a un par de valores ( t, d). El gráfico rinda información y muestra un panorama general del modo en que se relacionan las variales. Realizando un análisis detallado, puede oservarse que: Entre las 9 h y las h, los deportistas recorren una distancia de 6 km De h a h los deportistas están detenidos Cuando han transcurrido 7 horas desde la partida, los deportistas han recorrido una distancia de 8 km 6 Curso de Ingreso

6 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones El punto A(,8 ) que pertenece a la gráfica indica que a la hora, la distancia recorrida es de 8 km El dominio de la función es: dom ( f ) [9;7] La imagen de la función es: im( f ) [0;0] Cómo puede determinarse si un gráfico de este tipo representa una función? Si se logra trazar una recta vertical que corte a la gráfica en más de un punto, entonces dicha gráfica no representa una función, ya que esto indicaría que a un valor de, le corresponde más de un valor de y. Ejemplo: La gráfica no representa una función. Hay dos puntos que tienen la misma ascisa y diferentes ordenadas.... Mediante una tala La siguiente tala muestra la temperatura de un enfermo medida a intervalos de tiempo regulares durante un día. Tiempo en horas Temperatura en ºC En este caso se relacionan dos variales numéricas: tiempo y temperatura. El tiempo es la variale independiente y la temperatura es la variale dependiente. Los valores taulados tamién podrían representarse en un gráfico cartesiano, lo que permitiría una mejor visualización de la evolución de la temperatura del enfermo durante el día en que se ha realizado el control.... Mediante fórmulas Cuando eiste una relación aritmética entre las variales e y, se la puede epresar por medio de alguna fórmula. En este caso, el dominio de la función se considera como el conjunto de números reales más amplio, para el cual f () adopta un valor real. Curso de Ingreso 7

7 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Por ejemplo: Si f ( ) entonces puede tomar cualquier valor real, ya que siempre es posile calcular. El dominio de la función resulta: dom ( f ) R. Se dice: f : R R, definida por f ( ). Si g ( ), g() no puede calcularse en R. Por lo tanto, dom ( g) R { }. En este caso resulta: g : R { } R, definida por g ( ). Para determinar el dominio de una función epresada mediante una fórmula, tamién se dee tener en cuenta qué representan las variales que intervienen en la fórmula. Por ejemplo: el perímetro de un triángulo equilátero, depende de la longitud de su lado y se calcula mediante la fórmula l ( ). Considerando que la longitud del lado no puede tomar valores negativos se tiene que: dom ( l) / R 0. { } Oservación: A partir de la fórmula que define una función puede confeccionarse una tala con pares de valores (, y). Interpretando estos valores como las coordenadas de un punto del plano, es posile representar la función gráficamente. Nota: Se designa como R, al conjunto de todos los pares ordenados de números reales. R {(, y) y R },/ Desde el punto de vista geométrico R es el plano. A continuación se considerarán funciones definidas mediante fórmulas, con dominio y codominio en el conjunto de los números reales R...- Función lineal Se llama función lineal a toda función f definida por una epresión de la forma: f ( ) a +, donde a y son números reales y a 0. La variale dependiente es y f (), por lo tanto y a +. La representación gráfica de cualquier función lineal es una recta y la ecuación recie el nomre de ecuación eplícita de la recta. y a +, Ejemplo: f : R R definida por f ( ) + es una función lineal. 8 Curso de Ingreso

8 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones dom ( f ) R codom ( ) Rf Dee oservarse que la ecuación y + es una ecuación lineal con dos incógnitas e y y eisten infinitos pares de valores (, y) que la verifican, por lo que se dice que tiene infinitas soluciones. Los pares ordenados asociados a los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación. Se ha confeccionado una tala en la que figuran algunos de los infinitos pares ordenados (, y) que pertenecen a la función lineal, es decir que verifican la ecuación dada. y y 0 B(0,) 0 9 A(,0) O Para otener la gráfica de la función, es suficiente representar dos de los pares ordenados que pertenecen a la misma y unirlos mediante una línea recta. En el ejemplo se han utilizado: A (,0) : punto de intersección entre la recta y el eje. B (0,) : punto de intersección entre la recta y el eje y. Es posile determinar la imagen de una función a partir de su gráfica; ya que es el conjunto formado por la ordenada y de todos los puntos pertenecientes a la misma. En el ejemplo: im ( f ) R...- Ordenada al origen Toda recta que no sea vertical corta al eje y en un punto de ascisa 0. Si en la ecuación f ( ) a +, se considera 0, resulta f ( 0) a 0 +. El par ordenado ( 0, ) representa el punto de intersección entre la recta y el eje de ordenadas. recie el nomre de ordenada al origen. Curso de Ingreso 9

9 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ...- Ascisa al origen Si la recta corta al eje, el punto de intersección tiene ordenada y 0. Si en la ecuación y a +, se considera y 0, resulta: a + 0 a a El par ordenado 0, representa las coordenadas del punto de intersección entre la a recta y el eje de ascisas. a recie el nomre de ascisa al origen....- Pendiente En la ecuación y a +, a recie el nomre de pendiente de la recta. La pendiente da idea de la inclinación de la recta. Si P(, y) y Q(, y ) son dos puntos diferentes que pertenecen a la recta, entonces la pendiente a puede calcularse como: a y y y Diferencia de ordenadas Diferencia de ascisas y Q(, y ) P(, y) (,0) A a B( 0, ) O 50 Curso de Ingreso

10 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones...- Ejemplos de funciones lineales La recta definida por la ecuación f ( ) + tiene las siguientes características: Punto de intersección entre la recta y el eje y : B (0,), ya que si 0 ; f ( 0) Ordenada al origen:. Por otra parte: Si f ( ) 0, + 0, Punto de intersección entre la recta y el eje : A (,0). Ascisa al origen: Pendiente: a Para proporcionar las coordenadas de algún otro punto que pertenezca a la recta, asta con asignar un valor a y otener el correspondiente valor para f (). Si, f ( ) + 6 El punto C(,6) pertenece a la recta. Es posile graficar la recta de ecuación f ( ) + usando sólo los valores de la y ordenada al origen y la pendiente a y 6 y Otra forma de presentar la ecuación de la recta del ejemplo anterior es: y + 0 Se dice que la recta ha sido epresada mediante su ecuación general o implícita. En este caso la variale dependiente no aparece despejada. Curso de Ingreso 5

11 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ A partir de la ecuación general es posile otener la ecuación eplícita despejando y. + y y + Ecuación eplícita Dados dos puntos E(,8) y F (, ), se desea encontrar la ecuación de la recta que ellos determinan. Uno de los procedimientos posiles es: º. Se calcula la pendiente de la recta. a y y 8 ( ) Con lo cual, la ecuación resulta: y +. º. Se calcula la ordenada al origen. Dado que el punto E(,8) pertenece a la recta, sus coordenadas deen satisfacer la ecuación y por lo tanto: 8 ( ) Entonces, la ecuación de la recta que contiene a los puntos E y F puede escriirse: y + E(,8) y B(0,) O A (,0) F(, ) 5 Curso de Ingreso

12 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones Oservación: Las rectas paralelas al eje representan gráficamente funciones definidas por ecuaciones del tipo y k, donde k es un número real. Una función definida de este modo no es una función lineal y recie el nomre de función constante. Las rectas paralelas al eje y no representan gráficamente funciones. Tienen ecuaciones de la forma k, con k R Rectas paralelas Si se grafican cada una de las funciones lineales definidas respectivamente por l( ) + y g ( ), se puede oservar que las rectas que resultan son paralelas. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales Rectas perpendiculares Si se grafican cada una de las funciones lineales definidas respectivamente por t( ) y h ( ) +, se puede oservar que las rectas que resultan son perpendiculares. Curso de Ingreso 5

13 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Dadas dos rectas de pendientes a y a respectivamente, se dice que dichas rectas son perpendiculares si a. a..7.- Prolema de aplicación Una empresa de gas cora el servicio del siguiente modo: un cargo fijo de $8, más un importe por el consumo en el imestre, a razón de $ el m. a) Cuánto deerá aonar una familia a la que se le registró un consumo de m en el imeste? Cargo fijo: $8 $ Facturación por el consumo en el imestre: m $ 8 m Total: $ 8 + $8 $ 6 La familia deerá aonar: $6. ) Cuál es la fórmula que define esta función para un número de metros cúicos consumidos? La variale independiente representa el volumen de gas consumido en el imestre, en m. La variale dependiente y f () representa el importe facturado en $. $ La fórmula que define esta función es f ( ) $8 +, resultando f una función m lineal. c) Representación gráfica y ($) 0 6 (,6) (m ) d) Qué representa en este caso la ordenada al origen? En este caso, la ordenada al origen representa el valor del cargo fijo que cora la empresa, aún cuando no haya consumo de gas. 5 Curso de Ingreso

14 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones e) Qué significado tiene la pendiente? La pendiente indica cuánto varía el importe facturado por cada..- Función cuadrática m de gas consumido. Se llama función cuadrática a toda función f definida por una epresión de la forma: f ( ) a ++ c donde a, y c son números reales y a 0. Ejemplo: f : R R definida por f ( ) es una función cuadrática. dom ( f ) R codom ( f ) R En la siguiente tala se muestran algunos pares (, y) que pertenecen a la función. y f () La representación gráfica de una función cuadrática o de segundo grado es una curva llamada paráola. La epresión y a + + c recie el nomre de ecuación eplícita de la paráola. Puede oservarse que: La función del ejemplo es decreciente en el intervalo (,) y es creciente en (, ). Cuando, f () adopta su mínimo valor: f ( ). El punto V (, ) se llama vértice de la paráola. im, o ien, f ) { y / } ( f ) [, ) im ( yr. La paráola presenta un eje de simetría vertical (paralelo al eje de ordenadas) de ecuación que contiene al vértice V. Curso de Ingreso 55

15 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Los puntos de intersección de la gráfica con el eje son: A(,0) y B (,0). El punto en el que la paráola corta al eje y es: C ( 0, )....- Construcción del gráfico Para realizar la representación gráfica de una función cuadrática dada por f ( ) a ++ c, no es necesario confeccionar una tala. En este caso se deen usar las características particulares de la paráola: su eje de simetría, su vértice, los puntos de intersección con el eje (si eisten) y el punto de intersección con el eje y. El punto de intersección entre la paráola y el eje y tiene ascisa 0. Si 0, f (0) a c Por lo tanto, la paráola corta al eje y en el punto C ( 0, c). Si la paráola corta al eje, y f ( ) 0. los puntos de intersección tienen ordenada Para determinar los valores de que satisfacen y 0, se calculan las raíces de la ecuación cuadrática a + + c 0. y + a ac Si la ecuación cuadrática tiene: a ac Dos raíces reales y distintas, esto significa que la curva corta al eje en los puntos A(,0) y B (,0). Dos raíces reales coincidentes, la curva tiene sólo un punto en común con el eje. Dos raíces complejas conjugadas, no hay contacto entre la paráola y el eje. Las coordenadas del vértice V v, y ), se calculan del siguiente modo: + v yv f ( v ) a v + v + c ( v Si en la fórmula + v se remplazan y por las epresiones + ac ac y, se otiene v. a a a De este modo se puede calcular v, sin necesidad de determinar previamente las raíces. 56 Curso de Ingreso

16 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones Ejemplos:. Representar gráficamente la función cuadrática definida por: g( ) a) Si 0, g( 0) 8 Punto de intersección con el eje y : C( 0, 8) ) Si g ( ) 0, Las raíces de la ecuación cuadrática son: y. Puntos de intersección con el eje : A(,0 ) y B (,0). c) v + 5 y v Vértice: V, 9 dom ( g) R codom ( ) Rg im(g),. Representar gráficamente la paráola de ecuación: y + + a) Punto de intersección con el eje y : C (0,). ) Si y 0, ± 6 6, En este caso hay dos raíces reales coincidentes. La paráola tiene sólo un punto en común con el eje y éste coincide con el vértice V (,0). Efectivamente: v y v ( ) + ( ) + 0 a c) Para poder completar el trazado del gráfico se pueden elegir otros dos valores de (uno a cada lado del vértice) y calcular los correspondientes valores para y. Curso de Ingreso 57

17 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Por ejemplo: Si, y Si, y 9 Los puntos E(, ) y F(,9 ) pertenecen a la paráola.. Representar gráficamente la paráola cuya ecuación es: y + 5. a) Punto de intersección con el eje y : C (0,5). ) Si y 0, + 5 0, ± 0 ± 6 ± 6 ± i i i + Las raíces son complejas conjugadas. La paráola no corta al eje. ( ) c) v y v a Vértice: V (, ) d) Otros puntos de la paráola son: G(,8 ) y H (,8). 58 Curso de Ingreso

18 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones...- Prolema de aplicación En un día determinado los registros de temperatura en una zona rural, medidos entre la hora 0 y la hora, se ajustan a la función C ( t) 0, +,tt,, donde C(t) es la temperatura en grados Celsius y t es la hora del día. a) Identificar la variale independiente y la variale dependiente. La variale independiente es t y representa la hora del día. La variale dependiente es C(t) y representa la temperatura en grados Celsius. La función dada es cuadrática. ) Determinar los puntos notales de la función. Al decir puntos notales se hace referencia al punto de intersección de la curva con el eje de ordenadas, a los puntos de intersección con el eje de ascisas (si éstos eisten) y al vértice. Punto de intersección con el eje de ordenadas: C( 0;,) Puntos de intersección con el eje de ascisas: A(,0) y B(,0) Vértice: V (,0) c) Realizar la representación gráfica de la función. d) Cuál fue la temperatura máima de ese día? A qué hora se registró? La temperatura máima fue de 0 ºC. Se registró a la hora. e) En qué instantes del día la temperatura fue de 0ºC? A las y a las. f) Indicar en qué intervalos de tiempo del día huo temperaturas ajo cero. Huo temperaturas ajo cero en los siguientes intervalos de tiempo: [ 0, ) y (, ]. g) Qué temperatura se registró a las 8 de la mañana? C(8) 0, 8 +, 8, 8,º C Curso de Ingreso 59

19 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ A las 8 de la mañana se registró una temperatura de.5.- Función eponencial 8,º C. Se llama función eponencial a toda función f definida por una epresión de la forma: Ejemplo: f : R R definida por dom ( f ) R codom ( f ) R f ( ) a, donde a > 0 y a f ( ) es una función eponencial. y f () - 0,5-0,50-0,500 0,000,000,000 La gráfica de esta función corta al eje y en el punto de coordenadas ( 0,) y no tiene puntos de intersección con el eje. Cuando la variale independiente toma valores negativos que tienden a, los valores de f () se aproiman a cero. La curva se acerca cada vez más al eje de las ascisas pero nunca llega a tocarlo. Puede oservarse que los valores de y son siempre positivos, por lo tanto la imagen de la función es el conjunto de los números reales positivos, es decir: im ( f ) (0, ). Ejercicio: Representar gráficamente la función g definida por g( ). a) Determinar las coordenadas del punto de intersección entre la curva y el eje de ordenadas ) Indicar dom (g), codom (g), im (g)..6.- Logaritmos Se puede oservar que: si 8, entonces, ya que 8. Cuando se formula la pregunta: A qué eponente dee elevarse el número para otener como resultado el 8? 60 Curso de Ingreso

20 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones en realidad, se está uscando el logaritmo en ase de 8. Simólicamente log 8. El logaritmo en ase de un número a es el número c, si elevado al eponente c da como resultado a. log a c si y sólo si a : ase del logaritmo, dee ser > 0 y. a : argumento del logaritmo, dee ser a > Propiedades de los logaritmos El logaritmo de en cualquier ase es igual a cero. log 0 Ejemplo: log 0 0, ya que 0 0. El logaritmo de la ase es. log Ejemplo: log, ya que. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log ( m n) log m + log n Ejemplo: log ( 9) log + log 9. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor. log p log q p log q 7 Ejemplo: log log 7 log 9. 9 El logaritmo de una potencia es igual al producto del eponente por el logaritmo de la ase de la potencia en cuestión. log n ( m) n log m Ejemplo: log 8 log 8. c Mediante la aplicación de la definición de logaritmo y sus propiedades se pueden resolver ejercicios del tipo de los que se presentan en los siguientes ejemplos. Ejemplos:. Calcular, aplicando propiedades de logaritmo. Curso de Ingreso 6

21 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ log log 7 + log 9 5 log log 9 7 log / + log Resolver las siguientes ecuaciones. a) ( ) + log log ( ) log + 9 log 5 log 9 log Aplicando propiedades de logaritmo se otiene: log ( ( ) ) log( + ) Como los logaritmos en amos miemros tienen la misma ase, los argumentos resultan iguales, por lo tanto: ( ) ) log + log ( ) 9 Aplicando propiedades de logaritmo se otiene: log + log ( ) 9 ( log + log ( ) ) 9 log ( ( ) ) 9 log ( ( )) Según la definición de logaritmo resulta:.( ) 8 Se otiene la ecuación cuadrática 8 0, cuyas soluciones son y 6 Curso de Ingreso

22 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones Se oserva que la solución se descarta ya que el argumento de log no puede ser negativo. Por lo tanto para este ejercicio la solución a tener en cuenta es.6..- Logaritmos decimales y logaritmos naturales Cuando la ase es 0 los logaritmos recien el nomre de logaritmos decimales. En este caso se acordó no indicar la ase. Simólicamente: log 0 a log a Otros logaritmos que se utilizan con mucha frecuencia son los logaritmos naturales o neperianos. Estos logaritmos tienen como ase un número especial, el número e. Simólicamente: log a ln a e El número e es irracional y puede otenerse con la aproimación deseada, asignando n valores muy grandes a n en la epresión n +. e,788k.6..- Función logarítmica Se llama función logarítmica a toda función f definida por una fórmula de la forma: f ( ) log donde > 0 y Como > 0 necesariamente > 0. Por lo tanto: dom ( f ) (0, ) y codom ( f ) R. Ejemplo: + g : R R definida por g( ) log, es una función logarítmica. + dom g)( R codom ( g) R y f () 0,0 -,00 0,0 -,00 0,50-0,0,00 0,00 5,00 0,70 0,00,00 00,00,00 Curso de Ingreso 6

23 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ La gráfica de la función corta al eje en el punto de coordenadas (,0). No tiene puntos de intersección con el eje y, pero se acerca a él cuando la variale toma valores próimos a cero. La imagen de la función es im ( f ) R. Ejercicio: Representar gráficamente la función h definida por h( ) ln. a) Determinar las coordenadas del punto de intersección entre la curva y el eje de ascisas. ) Indicar dom (h), codom (h), im (h)..7.- Trigonometría Es la rama de la Matemática que estudia o analiza las relaciones que eisten entre la medida de los lados de un triángulo y la medida de sus ángulos. La trigonometría plana tiene como ojetivo resolver triángulos. Cada triángulo está constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo, significa determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre ellos Triángulos rectángulos Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. c B a ABC: Triángulo rectángulo a: hipotenusa y c : catetos A C.7..- Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir: B a + c a.7..- Razones trigonométricas del triángulo rectángulo c Dado cualquier triángulo rectángulo ABC, se pueden considerar las siguientes razones entre los lados del triángulo: A C D F 6 Curso de Ingreso

24 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones a ; c a ; c Dado un triángulo semejante al ABC, por ejemplo el triángulo DBF Se cumple: a DF c BD DF ;; BF a BF c BD Por lo que es posile afirmar: Las razones entre los lados de un triángulo rectángulo no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las llama razones trigonométricas. Definición: Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo ABC son: cateto opuesto a sen hipotenusa cos a cateto adyacente a hipotenusa cateto opuesto a tg cateto adyacente a c cateto adyacente a cot g cateto opuesto a c a c sec hipotenusa cateto adyacente a a c hipotenusa cos ec cateto opuesto a.7..- Relación entre las razones trigonométricas tg sen cos a cot g tg sec cos cos sen cos ec sen Ecuación fundamental de la trigonometría: sen + cos Curso de Ingreso 65

25 Unidad : Funciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Ángulos Orientados Un ángulo es la figura engendrada por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen en un sentido determinado. La posición inicial se llama lado inicial, OA, la posición final se llama lado terminal, OB. El punto fijo se llama vértice, O. B Si la rotación se realiza en sentido antihorario (levógiro) el ángulo se considera positivo, como en la figura, en caso contrario negativo (detrógiro). O A Es posile representar los ángulos orientados referidos a un par de ejes perpendiculares e y, llamados ejes cartesianos ortogonales. Dada una semirrecta con origen en el origen de coordenadas y coincidiendo con el semieje positivo, al rotarla genera un ángulo. y y O O Ángulo positivo Ángulo negativo Un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje. Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro partes, llamados cuadrantes. Un ángulo pertenece a un cuadrante dado si en él está uicado el lado terminal del ángulo. No hay límite para la magnitud de un ángulo. Si una semirrecta efectúa una rotación completa en sentido antihorario, hará generado un ángulo de 60º o ángulo de un giro. Dos rotaciones completas en el mismo sentido generarán un ángulo de 70º. La figura muestra dos ángulos distintos a pesar que coinciden los lados iniciales y los lados terminales. ; + 60º y O 66 Curso de Ingreso

26 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Funciones Entonces: Dos ángulos orientados son iguales si y sólo si están generados por la misma rotación Medida de ángulos Se utilizarán dos sistemas de unidades: Seagesimal La unidad es el grado seagesimal ( º ), que resulta de dividir la circunferencia en 60 partes; el ángulo sutendido por cada arco mide un grado seagesimal. El ángulo recto mide 90º. Cada grado seagesimal está dividido en 60 minutos y se lo simoliza así: 60'. Cada minuto seagesimal está dividido en 60 segundos y se lo simoliza así: 60". Las calculadoras científicas tienen este sistema identificado con la sigla DEG. NOTA: Haitualmente, las calculadoras traen tamién la areviatura GRA para traajar con ángulos, pero significa grado centesimal (unidad francesa). En este sistema se divide la circunferencia en 00 partes y el ángulo sutendido por cada arco es un grado centesimal. Se asigna al ángulo recto 00 grados centesimales. Circular La ventaja de este sistema es que se miden los ángulos en radianes, que son números reales. La unidad es el radián (rad) y es unidad oficial del SI y del SIMELA.. Las calculadoras tienen este sistema identificado con la sigla RAD. La medida de un ángulo en radianes (areviada rad) se define como: donde S: es la longitud del arco que aarca dicho ángulo; y R es el radio. S R Este sistema se asa en el hecho de que dado un ángulo, la relación entre S y R es constante e independiente del radio. Dee tenerse en cuenta que S y R deen epresarse en la misma unidad de longitud. Un radián es aquel ángulo cuya longitud de arco es igual a la longitud del radio. La longitud de la circunferencia es equivalen a: R S S R! R ; dividiendo por R da como resultado que los 60º ( rad ) Arco Radio S R S" R"! R 60 º! 6,8... R 80 º!,59... ( rad ) ( rad ) Curso de Ingreso 67

4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA

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