Cromodinámica Cuántica en la norma de Coulomb

Transcripción

1 Cromodinámica Cuántica en la norma de Coulomb Instituto de Física y Matemáticas (IFM) Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH) Morelia, Michoacán XXIV Reunión Anual de la División de Partículas y Campos de la SMF ICN-UNAM, México, D.F., de mayo de 2010

2 Este trabajo se llevó a cabo en colaboración con Markus Leder y Hugo Reinhardt, Instituto de Física Teórica, Universidad de Tübingen, Alemania Jan M. Pawlowski, Instituto de Física Teórica, Universidad de Heidelberg, Alemania

3 Contenido 1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 2 El grupo de renormalización funcional Implementación 3 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 4

4 Contenido Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 2 El grupo de renormalización funcional Implementación 3 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 4

5 Norma de Weyl Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo Teoría de Yang-Mills = Cromodinámica Cuántica sin cuarks dinámicos norma de Weyl: A a 0 (x) 0 (a = 1,..., 8) H = 1 Z d 3 δ x 2 δa a (x) δ δa a (x) + 1 Z 2 B a j = 1 h 2 ǫ jklfkl a = A a g 2 f abc A b A ci, j d 3 x B a (x) B a (x), 1 i δ a δa a = Ej = F0j a j (x) estados: ψ[a] = ψ[a U ] ante transformaciones de norma espaciales A U = U AU i g U U, U = U(x) SU(3) producto escalar: Z φ ψ = D[A] φ [A] ψ[a]

6 Norma de Coulomb conocidos en el infrarrojo Norma de Coulomb: fijar la invarianza ante transformaciones espaciales U(x) por A a (x) = 0 producto escalar: Z φ ψ = D[A] J[A] φ [A] ψ[a], a integrarse sobre las componentes transversales de A, A a j (p) = δ jk p «j p k p 2 A a k (p), J[A] = Det ( D) el determinante de Faddeev-Popov, D ab = δ ab + g f abc A c (x)

7 conocidos en el infrarrojo Eliminar la componente longitudinal de E a (x) = δ/δa a (x) a partir de la ley de Gauss no abeliana (invarianza ante tranformaciones de norma espaciales para los estados en la norma de Weyl) el H CL = 1 Z d 3 x 1 δ 2 J[A] δa a (x) J[A] δ δa a (x) + 1 Z d 3 x B a (x) B a (x) Z d 3 x d 3 1 y 2 J[A] ρa (x) J[A] x, a ( D) 1 ( 2 )( D) 1 y, b ρ b (y) = 1 2 Z d 3 δ x δa a (x) δ δa a (x) con la densidad de carga de color de los gluones Z ρ a (x) = g f abc A b (x) 1 i d 3 x A a (x) ( 2 ) A a (x) + O(g), δ δa c (x)

8 Potencial de Coulomb a color conocidos en el infrarrojo Agregar cargas de color estáticas (cuarks pesados) ρ q(x), ρ a (x) ρ a q (x) + g f abc A b (x) 1 i δ δa c (x) término de interacción entre las cargas estáticas H q = 1 Z d 3 x d 3 y ρ a q 2 (x)f ab (x, y)ρ b q (y) con el potencial de Coulomb a color para g 2 0, F ab (x, y) = x, a ( D) 1 ( 2 )( D) 1 y, b F ab (x, y) x, a ( 2 ) 1 ( 2 )( 2 ) 1 y, b = δ ab x ( 2 ) 1 y = δ ab 1 4π 1 x y en el infrarrojo, F ab (x, y) causa la interacción confinante entre los cuarks (y los gluones)

9 Contenido Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 2 El grupo de renormalización funcional Implementación 3 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 4

10 Funciones de correlación conocidos en el infrarrojo Escribir J[A] de forma local Z J[A] = Det ( D) =» Z D[ c, c] exp d 3 x c a (x)( D ab )c b (x) valores esperados en el vacío Z F = D[ c, c, A] F e R d 3 x c( D)c ψ 0 [A] 2, " ψ 0 [A] = exp 1 Z # d 3 p 2 (2π) 3 Aa ( p) p A a (p) + O(g) funciones de correlación a tiempos iguales DA a j (p) Ab k ( q) E = 1 2ω( p ) δab δ jk p j p k p 2 D E D c a (p) c b ( q) = p, a ( D) 1 q, b E «(2π) 3 δ(p q), = d( p ) p 2 δ ab (2π) 3 δ(p q)

11 Dimensiones anómalas conocidos en el infrarrojo En el ultravioleta p Λ QCD, ω(p) = p + O(g 2 ), d(p) = 1 + O(g 2 ), dimensiones anómalas (logarítmicas) se calculan en teoría de perturbaciones D. Campagnari, AW, H. Reinhardt, F. Astorga, W. Schleifenbaum, arxiv: [hep-th] en el infrarrojo p Λ QCD, el principio variacional para funcionales de vacío Gaussianas " ψ 0 [A] = exp 1 Z # d 3 p 2 (2π) 3 Aa ( p) ω( p ) A a (p) lleva a ecuaciones de tipo Dyson-Schwinger A.P. Szczepaniak, E.S. Swanson, PRD65 (2001) ; C. Feuchter, H. Reinhardt, PRD70 (2004)

12 numéricos conocidos en el infrarrojo soluciones numéricas (para todo el rango de momentos) y analíticas en el infrarrojo: ω(p) 1 p α, d(p) 1, regla de suma: α = 2β 1, pβ solución 1: (α = 0.592, β = 0.796), solución 2: (α = 1, β = 1) D. Zwanziger, PRD70 (2004) ; C. Feuchter, H. Reinhardt, PRD70 (2004) ; W. Schleifenbaum, M. Leder, H. Reinhardt, PRD73 (2006) ; D. Epple, H. Reinhardt, W. Schleifenbaum, PRD75 (2007) Ambas soluciones: escalamiento; para p 0, 1 2ω(p) 0, d(p) se confirma el comportamiento de ω(p) en cálculos sobre redes (problemas: redes de gran tamaño, fijación de norma completa ), favorecen α = 1 G. Burgio, M. Quandt, H. Reinhardt, PRL102 (2009)

13 Potencial de Coulomb a color conocidos en el infrarrojo Ahora: incluir el potencial de Coulomb a color, D E D E F ab (x, y) = x, a ( D) 1 ( 2 )( D) 1 y, b, se deriva una ecuación de tipo Dyson-Schwinger para F ab (x, y) a partir de la relación fi Z «fl c a (x) d 3 z c d (z)( 2 z)c d (z) c b (y) D E = x, a ( D) 1 ( 2 )( D) 1 y, b fi Z «fl x, a ( D) 1 y, b d 3 z z, d ( 2 )( D) 1 z, d (diagramáticamente, los dos términos se distinguen fácilmente)

14 Factor de forma de Coulomb conocidos en el infrarrojo factorización de las funciones de correlación externas: D E F ab (p, q) = d(p) p 2 p 2 f( p ) d(p) p 2 δ ab (2π) 3 δ(p q), define el factor de forma de Coulomb f(p); f(p) = 1 + O(g 2 ) en teoría de perturbaciones d(p)f(p)d(p) 1 p 2 en el infrarrojo para confinamiento lineal incluir la ecuación para f(p) en el sistema de ecuaciones de tipo Dyson-Schwinger para ω(p) y d(p) no hay soluciones consistentes en el infrarrojo, ni analíticas ni numéricas (con escalamiento, en la aproximación considerada) D. Epple, H. Reinhardt, W. Schleifenbaum, A.P. Szczepaniak, PRD77 (2008)

15 Contenido Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills El grupo de renormalización funcional Implementación 1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 2 El grupo de renormalización funcional Implementación 3 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 4

16 Funcional generatriz El grupo de renormalización funcional Implementación Considerar la funcional generatriz de funciones de correlación a tiempos iguales, Z Z[J, η, η] = D[ c, c, A] e R d 3 x c( D)c ψ 0 [A] 2 Z exp d 3 x ˆJ a (x) A a (x) + c a (x)η a (x) + η a (x)c (x) «a introducir un corte infrarrojo k en la integral funcional, tal que la integración se restringe efectivamente a los modos p con p k: Z Z k [J, η, η] = D[ c, c, A] exp exp 1 2 Z Z! d 3 p (2π) 3 ca ( p)rk c ( p ) ca (p) d 3 p (2π) 3 Aa ( p) R A k ( p ) Aa (p) e R d 3 x c( D)c+ln ψ 0 [A] 2 R e d 3 x [J A+ cη+ ηc]!

17 Propiedades de las funciones del corte El grupo de renormalización funcional Implementación Propiedades de las funciones Rk c(p), RA k (p): (i) para p k, R c,a k (p) integración sobre modos p k exponencialmente suprimida (ii) para p k, R c,a k (p) 0, en particular, para k 0: R c,a k (p) 0, entonces Z k [J, η, η] Z[J, η, η] nuestra elección: R c k (p) = p2 r k (p), R A k (p) = 2p r k(p), r k (p) = exp Estrategia: empezar con un valor k = k 0 grande:! k 2 p 2 p2 k 2 libertad asintótica ψ 0 [A] para A(p) con p k 0 se reduce a la funcional perturbativa, " ψ 0 [A] = exp 1 Z # d 3 p 2 (2π) 3 Aa ( p) p A a (p) + O(g) y Z k0 [J, η, η] se puede determinar en teoría de perturbaciones

18 Aproximación del flujo El grupo de renormalización funcional Implementación Ecuación diferencial funcional exacta para ( / k)z k [J, η, η] sistema infinito de ecuaciones diferenciales para las funciones de correlación a tiempos iguales; integrar hasta k = 0 Aproximación más sencilla: (i) mantener la dependencia del momento completamente en las funciones de correlación de dos puntos, D E A a i (p) Ab j ( q) δ ij p «i p j p 2 (2π) 3 δ(p q), D c a (p) c b ( q) = 1 k 2ω k (p) δab E = d k(p) k p 2 δ ab (2π) 3 δ(p q) D(ii) utilizar el teorema E de no renormalización de Taylor para el vértice fantasma-gluon c a (p) c b (q) A d j (r) k

19 Ecuaciones de flujo El grupo de renormalización funcional Implementación E (iii) despreciar el vértice de tres gluones DA a j (p)ab l (q)a d m (r) k propios de cuatro y más puntos; justificado en el infrarrojo en el caso de dominio de fantasmas: 1 0, 2ω(p) d(p) para p 0 resultado de estas aproximaciones: las ecuaciones de flujo y todos los vértices» 1 2 k ω k (p) = k Rk A (p) = p» 1 p 2 k d 1 k (p) = k Rk c (p) = p p + p p + p propagadores externos truncados, = k R c,a k las integrales sobre los momentos en los lazos están regularizadas en el infrarrojo y el ultravioleta por las propiedades de las R c,a k

20 Contenido Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills El grupo de renormalización funcional Implementación 1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 2 El grupo de renormalización funcional Implementación 3 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 4

21 Ecuaciones integrales El grupo de renormalización funcional Implementación Convertir ecuaciones de flujo en ecuaciones integrales Z k0 2 ˆω k1 (p) ω k0 (p) = 2 dk k ω k (p) = k 1 " # p 2 1 d k1 (p) 1 Z k0» = dk d k0 (p) k 1 ω k1 (p) y d k1 (p) dadas en términos de ω k (q) y d k (q), k 1 k k 0 (y 0 q < ) y condiciones iniciales ω k0 (p), d k0 (p) Z k0 k 1» dk p + p p + p solución numérica por iteración con relaxación, representación de ω k (p) y d k (p) por polinomios de Chebyshev en p y k, en escala logarítmica, integración sobre q y k con el método de Gauss-Legendre (extrapolación en q utilizando propiedades conocidas de ω k (q) y d k (q)),

22 Condiciones iniciales El grupo de renormalización funcional Implementación Condiciones iniciales ω k0 (p) y d k0 (p) determinados por condiciones de normalización: (i) para k 1 k 0 y p k 0 (k 1 < p < k 0 y p Λ QCD ) ω k1 (p) ω k0 (p) = a + b p, (a, b = const.) elegir ω k0 (p) = a, para que ω k1 (p) = b p (b 1) (ii) implementar dominio de fantasmas: d 1 k (p = 0) 0 para k 1 1 0; en la práctica se integra hasta k 1 = k min > 0 y hay que implementar la condición de manera diferente: se ajusta d 1 k 0 = d 1 k 0 (p) (constante en p) de tal manera que d 1 k min (p) = A p B (A, B = const.) para k min < p Λ QCD «d d 1 ln dk (p) = 0, dp d ln p min da una ecuación para d 1 k 0

23 Ejemplo Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills El grupo de renormalización funcional Implementación Generación gradual de la ley de potencia en el infrarrojo por el flujo, para d k (p): 1e+04 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-05 1e-02 1e+01 1e+04 p 1e-04 1e+041e+021e+00 1e-02 k

24 Contenido Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 2 El grupo de renormalización funcional Implementación 3 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 4

25 Función de correlación de fantasmas Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 10 4 k min ~ k min ~10-4 k min ~ p [GeV] en el infrarrojo: d(p) 1 p β, β = 0.64

26 Función de correlación de gluones Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 100 k min ~10-3 k min ~10-4 k min ~ p [GeV] en el infrarrojo: ω(p) 1 p α, α = 0.28

27 Interpretación Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb Se cumple la regla de suma α = 2β 1 los exponentes (α = 0.28, β = 0.64) son más pequeños que los de las dos soluciones conocidas con ecuaciones de tipo Dyson-Schwinger se interpreta que corresponden a la solución conocida (α = 0.592, β = 0.796) y que la diferencia se debe a las aproximaciones: de resultados similares en la norma de Landau, se espera que para funciones del corte R c,a k generales, los exponentes sean más pequeños que los exactos la otra solución conocida (α = 1, β = 1) no se reproduce ( es inestable?)

28 Contenido Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills conocidos en el infrarrojo 2 El grupo de renormalización funcional Implementación 3 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb 4

29 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb Ecuación de flujo para el potencial de Coulomb Ecuación de flujo para el factor de forma de Coulomb: p 2 k f k (p) = k p = p p p = p p2 f k (p) (propagadores externos truncados), falta marcar algunos correladores como k-vestidos conversión en ecuación integral; condición de normalización: para k 1 k 0 y p k 0, f k1 (p) = 1 (arbitrario, ecuación es lineal en f k ) solución por iteración, con las soluciones para ω k (p) y d k (p) dadas

30 Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb Resultado para el factor de forma de Coulomb 1e+03 k min = 10-2 k min = e+02 k min = e+01 1e+00 1e-04 1e-02 1e+00 1e+02 1e+04 p en el infrarrojo: f(p) 1 p γ, γ = 0.57

31 Confinamiento lineal? Dimensiones anómalas Factor de forma de Coulomb Para el potencial de Coulomb a color, F(p) = d(p) p 2 en el infrarrojo, casi confinamiento lineal, p 2 f(p) d(p) 1 p 2 = p 2+2β+γ = 1 p 3.85 F(p) 1 p 4 tomar en cuenta que el resultado para β (β = 0.64) probablemente es más pequeño que el correcto

32 Formulación Hamiltoniana de la teoría de Yang-Mills en la norma de Coulomb Potencial entre cargas de color estáticas explícito en el Hamiltoniano, causa el confinamiento de los cuarks y los gluones Principio variacional para la funcional del vacío lleva a dos diferentes soluciones con escalamiento en el infrarrojo, incompatibles con la ecuación correspondiente para el potencial de Coulomb a color Nuevo método: flujos Hamiltonianos, una aplicación del grupo de renormalización funcional (en tres dimensiones) a la formulación Hamiltoniana En la aproximación más sencilla se encuentra una solución con escalamiento en el infrarrojo, correspondiente a una de las soluciones conocidas La ecuación de flujo para el factor de forma de Coulomb es compatible con las otras ecuaciones de flujo, y para el potencial de Coulomb a color resulta en el infrarrojo F(p) 1 p 3.85, cerca del resultado para confinamiento lineal, F(p) p 4

33 Colaboración en IRQCD Grupo actual en el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Tübingen en Alemania: H. Reinhardt, M. Quandt, G. Burgio, P. Watson, M. Leder, D. Campagnari, M. Pak, W. Schleifenbaum Grupo en formación en el Instituto de Física y Matemáticas de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo: F. Astorga, A. Bashir, V. Villanueva, P. Dell Olio, AW