T2. PATRONES Y RELACIONES

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1 T2. PATRONES Y RELACIONES MATEMÁTICAS PARA 3º ESO MATH GRADE 9 CURRÍCULUM MATEMÁTICAS NOVA SCOTIA ATLANTIC CANADÁ TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS

2 PATRONES Y RELACIONES Analizar, generalizar, y crear patrones y relaciones para modelar y resolver matemáticamente situaciones problemáticas del mundo real. Representar patrones y relaciones en una variedad de formatos y usar estas representaciones para predecir y justificar valores desconocidos. Interpretar gráficos que representan datos lineales y no lineales. TABLA Y GRÁFICO Representa gráficamente en los ejes señalados los puntos dados por la tabla. Busca una fórmula que describa el patrón que siguen los puntos de la tabla y del gráfico. A B DOBLANDO PAPEL Tras doblar una hoja de papel, representa gráficamente el número de dobleces frente al número de regiones. Determina el área de cada región después de cada doblez, y determina qué fracción del área original representan las nuevas áreas. Representa gráficamente el número de dobleces frente al área de cada región, y también frente a la fracción del área original que representa cada región. Se observa algún patrón en los datos? CUBOS Construye varios cubos con cubitos unidad, tales como uno 2x2x2, uno 3x3x3, Imagina que has pintado el exterior de cada cubo grande y lo dejas aparte. a) Completa la tabla con la información requerida. Dimensiones del cubo grande Núm. de cubitos con 3 caras pintadas 2 caras pintadas 1 cara pintada 0 caras pintadas b) Dibuja la gráfica que muestra la dimensión del cubo grande frente a cada número de caras pintadas, situando las cuatro gráficas en los mismos ejes coordenados. Comenta la forma de las gráficas. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 2

3 c) Escribe una expresión general, con palabras o simbólicamente, para el patrón que se muestra en la tabla para ilustrar la relación entre las dimensiones de los cubos y el número de caras pintadas en cada una. Nota: Es necesario hacer una tabla grande para ver el patrón más claramente. JARDÍN RECTANGULAR Haz una tabla de todos los posibles números naturales que pueden ser dimensiones de un jardín rectangular utilizando exactamente 48 metros de valla. Construye un gráfico que muestre como el cambio en la anchura está relacionado con el área del jardín. Escribe cuál es el área máxima y mínima e indica cómo se pueden localizar en el gráfico. Compara tu gráfico con los de tus compañeros de clase. NORIA Clayton está montado en un asiento de la noria de una feria. Haz un gráfico de la altura de Clayton respecto del suelo para una noria de radio 7 m, y donde una rotación completa tiene lugar cada 15 segundos. Discute con tus compañeros cómo puede cambiar el gráfico si la velocidad de rotación o el radio fuera incrementado. Qué supuestos hay que hacer? Analizar, generalizar y crear patrones y relaciones para modelar y resolver matemáticamente problemas en situaciones procedentes del mundo real. Analizar relaciones funcionales para explicar cómo el cambio en una cantidad se relaciona con el cambio en otra cantidad. Construir y analizar tablas y gráficos para describir cómo los cambios en una cantidad afectan a cantidades relacionadas. EL FRENAZO Debbie estaba subido en su bicicleta cuando un perro cruzó corriendo, causando un fuerte frenazo. La velocidad v a diferentes tiempos t desde que comenzara a frenar su bicicleta se muestran en la siguiente tabla: Tiempo t (s) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Velocidad v (m/s) a) Describe la relación entre la velocidad y el tiempo. b) Dibuja un gráfico de la relación entre v y t. c) Escribe una ecuación para la relación. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 3

4 d) Como el tiempo se mide en intervalos constantes, qué puedes indicar sobre las diferencias en las velocidades? e) Qué relación hay entre las diferencias constantes a intervalos constantes y las relaciones lineales? Cómo se relacionan esas diferencias con la pendiente de la gráfica? NÚMEROS RECTANGULARES Los siguientes conjuntos de puntos están ordenados como rectángulos. a) Cuáles son los cuatro primeros números rectangulares y cuáles son las dimensiones de esos rectángulos? [2, 6, 12, 20]. b) Halla los dos siguientes números rectangulares y sus dimensiones. c) Representa gráficamente la relación. d) Comenta sobre el cambio (diferencia) en el patrón numérico de un número al siguiente. e) Observa el patrón de las diferencias en los números y discute tus observaciones. Señala un patrón en las diferencias. f) Escribe una expresión para el término n. Si es preciso, haz una tabla como la siguiente: Figura nº N Núm. de puntos 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 nx(n+1) NÚMEROS CUADRADOS El patrón numérico siguiente representa los cuatro primeros números cuadrados a) Cuáles son los cuatro siguientes números cuadrados? b) Haz una tabla y un gráfico para observar el patrón. Cómo se puede usar el patrón para averiguar si la relación es lineal? Algunos piensan que la relación no es lineal porque aparentemente no hay un cambio constante en las diferencias. Qué opinas? c) Escribe una expresión para el término enésimo, usando los patrones observados en la tabla. TRES TABLAS Determina si las tablas siguientes representan gráficos lineales, parabólicos o exponenciales y justifica la elección. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 4

5 FUNCIONES Usando las siguientes ecuaciones, haz tablas de valores. Analiza cada tabla de valores para determinar si la ecuación representa gráficos lineales, parabólicos o exponenciales. Si tienes dificultades para tomar decisiones basándote en los patrones observados en la tabla de valores, construye la gráfica para ayudarte. Usa una calculadora gráfica. a) y 4x 3 2 b) y 3 x c) y 7x 4 d) x y 3 Representar patrones y relaciones de múltiples formas (incluyendo el uso de expresiones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones y exponentes). Construir y analizar tablas y gráficas para describir cómo cambios en una cantidad afectan a la cantidad relacionada. LAS PULGAS DE FIDO Fido no tenía pulgas cuando llegó el perro corriendo. Sin embargo, el número de pulgas que tuvo en días sucesivos creció como se muestra en la tabla, donde n representa el número de días y f el número de pulgas. n f a) Cuántas pulgas tuvo Fido el sexto día? b) Hay una diferencia común en los valores de la variable dependiente? c) Hay un crecimiento constante en la diferencia de valores? d) Será significativo observar el número de pulgas en el décimo día? e) Si los cocientes de los valores consecutivos de la variable dependiente permanecen constantes, el crecimiento es exponencial. Qué tipo de crecimiento se produce en los datos de la tabla? CAJAS Toma una pieza cuadrada de papel cuadriculado (la cuadrícula puede ser de 1/2 o 1 cm). Recorta una cuadrado de 1 unidad por lado en cada esquina y dobla los bordes de los lados para hacer una caja abierta sin tapa. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 5

6 Posteriormente corta un cuadrado de 2 unidades por lado de cada esquina, y de la misma forma para cuadrados de 3 unidades por lado, y de 4 unidades por lado, hasta que el límite del tamaño del cuadrado cortado de cada esquina haya sido alcanzado. a) Observa todas las cajas que has construido y predice cuál tiene el mayor volumen y cuál el menor volumen. b) Completa la información en la siguiente tabla: Longitud del lado del cuadrado cortado Dimensiones de la caja Volumen (en unidades cúbicas) c) Representa gráficamente la longitud del lado del cuadrado cortado en el eje OX y el volumen de la caja en unidades cúbicas en el eje OY, y discute y describe la forma del gráfico. d) Supongamos que la longitud del lado del cuadrado cortado es x unidades de longitud. Completa la fila de la tabla anterior que le correspondería con la información apropiada. Escribe una expresión general para el volumen de la caja. Usa tecnología gráfica para obtener la gráfica más fácilmente. e) Crea otras cajas de formas diversas y representa gráficamente sus volúmenes en función de x, usando tecnología gráfica. Escribe tus conclusiones sobre los gráficos de modelos cúbicos. Representar patrones y relaciones de múltiples formas (incluyendo el uso de expresiones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones y exponentes) Determinar las ecuaciones de rectas obteniendo sus pendientes y ordenadas en el origen a partir de los gráficos, y esbozar gráficos de ecuaciones usando la ordenada en el origen y la pendiente. RECTAS 2 Representa gráficamente cada una de las ecuaciones y x 1, y 2x 3 usando una 3 tabla de valores. a) Halla la pendiente de cada una de las gráficas. b) Halla la ordenada en el origen de cada gráfica. c) Compara las pendientes y ordenadas en el origen con las ecuaciones originales y explica tus conclusiones. d) Halla los puntos de corte de cada gráfica con los ejes coordenados y exprésalos mediante coordenadas. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 6

7 DIAGONALES Sea s el número de lados de una figura. a) Dibuja una serie de diagramas, empezando con un triángulo y aumentando el número de lados en uno por cada figura hasta tener 10 lados. b) Dibuja todas las posibles diagonales desde un vértice en cada figura. c) Dibuja todas las posibles diagonales que se pueden hacer en la figura. d) Construye tablas con la siguiente información y registra los datos: Núm. de lados Núm. diagonales desde un vértice Núm total de diagonales e) Dibuja la gráfica de los datos de las columnas 1 y 2, y de las columnas 1 y 3. f) Escribe una expresión general para el número de diagonales desde un vértice y para el número de diagonales en total basándose en n lados [ diagonales desde un vértice=n-3, diagonales en total = n(n-3)/2 ], g) Determina la pendiente y la ordenada en el origen para la relación lineal. h) Considera las diferencias comunes de la relación lineal y compáralas con la pendiente de la recta. Cuál es tu conclusión? PENDIENTES DE RECTAS Es posible construir más de una recta con una pendiente -4? Explica por qué si o por qué no, usando diagramas para ayudarte en tu explicación. Qué significa que la pendiente de una recta sea igual a cero? Cómo es entonces la recta? Cuál puede ser la pendiente de una recta vertical? DIBUJA RECTAS Dibuja la gráfica de cada relación a partir de una tabla de valores y halla la pendiente y la ordenada en el origen de cada gráfica. Compara la pendiente y la ordenada en origen de cada gráfica con la ecuación original. Cuáles son tus conclusiones? MONTAÑA La base de una montaña está situada en el punto (-2, 1). La cumbre está en el punto (-6, 13). a) Si un alpinista está situado en (-4, 7), qué distancia hay hasta la cumbre? b) Qué distancia ha cubierto el alpinista cuando alcanza el punto (-4, 7)? c) Halla la pendiente de la escalada desde la base de la montaña hasta el punto (-4, 7) y úsala para hallar la ecuación de la recta. d) Halla la pendiente de la escalada desde (-4, 7) hasta la cumbre y úsala para hallar la ecuación de la recta. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 7

8 Explicar las conexiones entre representaciones algebraicas y no algebraicas de patrones y relaciones. Explicar las conexiones entre diferentes representaciones de patrones y relaciones. DIABETES El azúcar en la sangre de una persona se aumenta bebiendo regularmente bebidas rápidas. La mayor parte de la gente puede arreglárselas con ciertos aumentos en los niveles de azúcar en la sangre, pero algunos se convierten en bastante hiperactivos. Se ha determinado que el nivel de azúcar en la sangre que desencadena hiperactividad es alcanzado cuando cantidades específicas de bebida rápida son consumidas, y este número crítico depende de la masa corporal. Esta tabla está basada en el número de mililitros de bebida consumida en 2 horas que desencadena hiperactividad para ciertas masas corporales: Masa corporal (kg) ml de bebida rápida 750 ml 800 ml 1000 ml 1200 ml 1400 ml 1500 ml 1650 ml 1700 ml a) Haz un registro gráfico de los datos y dibuja la línea de mejor ajuste. b) Halla la pendiente de la recta y explica su significado en este contexto. c) Determina la ordenada en el origen y discute si es significativa. d) Escribe un modelo algebraico que represente la recta. e) Compara/contrasta tu método con el utilizado en clase. RELACIONES EXPONENCIALES Dibuja las gráficas de las funciones x y 2 e x 1 y 2, usando una tabla de valores que contenga valores positivos y negativos de x. Describe cada gráfica y explica cómo parecen estar relacionadas entre ellas. Si tienes disponible tecnología gráfica, dibuja cada ecuación de nuevo, usando tecnología para confirmar que los gráficos obtenidos en papel son precisos. PROCESOS PERIÓDICOS Recoge información sobre cada uno de los cuatro procesos que se indican a continuación, construye una gráfica con los datos recogidos y compara los gráficos. Qué tienen en común los gráficos? a) Información sobre la marea en un período de 24 horas b) Información sobre la marea para un período de seis meses c) Precipitación media de lluvia por mes en un período de tres años d) Temperatura media mensual en un período de tres años. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 8

9 Aplicar métodos algebraicos para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales e investigar ecuaciones no lineales. Resolver algebraicamente ecuaciones de una sola variable y verificar las soluciones. ECUACIONES Halla el valor o valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones: ECUACIONES CON BALDOSAS Resuelve las siguientes ecuaciones, usando baldosas o teselas, y registrando cada paso algebraicamente: ALMENDRAS Tu colegio está vendiendo almendras para recaudar fondos. Las almendras se venden a 1 euro por caja y el colegio recibe el 40% de las ganancias. a) Cuántas cajas deben ser vendidas para obtener euros? b) Cuántas cajas deben ser vendidas para obtener al menos euros? c) Cuántas cajas deben venderse para obtener más de euros, pero menos que o igual que el máximo permitido por las regulaciones de distrito para la recaudación de fondos. (Las regulaciones de distrito establecen un máximo de euros en cada proyecto de recaudación de fondos), CUADRILÁTERO Cada lado de un cuadrilátero es 2 cm más largo que el anterior. Si el perímetro es de 44 cm, cuál es la longitud del máximo lado posible del cuadrilátero? NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 9

10 DINERO Cada una de las ecuaciones siguientes representa una situación en la que están involucradas dos cantidades de dinero que fueron invertidas con diferentes tipos de interés, y la cantidad de interés ganado: i) x 0.06 x 10 j) x 0.09 x 230 a) Escribe dos problemas, de forma que cada uno de ellos pueda ser resuelto usando una de las ecuaciones dadas. b) Resuelve cada ecuación y relaciona la solución con el enunciado del problema que te has inventado. ECUACIONES RELACIONADAS Explica cómo están relacionadas las siguientes cuatro ecuaciones: 2p 4 4p 8, 2p 4 8, 4p 8 8p 16, 2p 4 TORRES CÓNICAS 1 El volumen de un cono se halla por la fórmula V 2 r h. Sarah está experimentando para 3 hallar qué altura necesita para construir una torre cónica de almacenamiento. Sabe que el volumen del material que está guardado es 112 m 3. Decide reescribir la fórmula de forma que h sea la incógnita y entonces experimenta con diferentes valores de x. a) Cómo puedes escribir la fórmula con h como incógnita? b) Elige varios valores de r y halla los correspondientes valores de h. Aplicar métodos algebraicos para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales e investigar ecuaciones no lineales. Resolver algebraicamente inecuaciones de primer grado con una variable, verificando las soluciones, y mostrando sus soluciones en la recta numérica. Resolver y crear problemas que involucren ecuaciones e inecuaciones lineales. DESIGUALDADES Partimos de las desigualdades verdaderas -2<4 y 5>1. Construye una gráfica para cada desigualdad e investiga cómo la verdad de cada una se ve afectada cuando se realizan las siguientes operaciones en ambos lados de la desigualdad: Sumar un número positivo Restar un número positivo Multiplicar por un número positivo Dividir por un número positivo Sumar un número negativo Restar un número negativo Multiplicar por un número negativo Dividir por un número negativo NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 10

11 BALANZAS Halla varios valores verdaderos para la incógnita en cada uno de los casos siguientes. Dibuja la gráfica del conjunto de respuestas en la recta numérica y describe tus conclusiones a la vista de las respuestas: TEMPERATURAS Supongamos que un cierto producto se dobla a temperaturas superiores a 50ºC y se rompe a temperaturas por debajo de 0ºC. Escribe un problema basado en esta información y resuélvelo. TESTS MATEMÁTICOS Taylor recibió 77%, 70%, 81%, y 78% en sus cuatro primeros tests de matemáticas. Qué puntuación necesita obtener en el quinto test para lograr como mínimo un 80% de media? INECUACIÓN Verifica si 2, 3, 5, 1, 9, 9, 14 son soluciones de la inecuación 2x 5 7. Resuelve la inecuación y representa gráficamente la solución en la recta numérica. Determina cuántos de los números del conjunto citado forman parte de la solución gráfica. INVENTA PROBLEMAS Para cada una de las siguientes ecuaciones o inecuaciones a) Inventa un problema que pueda resolverse usando la ecuación o inecuación b) Resuelve la ecuación o inecuación y relaciona la solución con el problema ADELANTAMIENTO Dos conductores dejan la ciudad de Summerside con 1 hora de diferencia. El primero conducía con una velocidad de 80 km/h. El segundo conductor adelanta al primero cuando ha recorrido una distancia de 320 kilómetros. Inventa y resuelve cuestiones que estén basadas en la información anterior. DOS INECUACIONES Explica por qué las inecuaciones 3n 2 8 y 3n 4 14 no tienen soluciones en común. Modifica una de las inecuaciones para que tengan exactamente una única solución en común. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 11

12 EQUIVALENTES a) Inventa tres ecuaciones que sean equivalentes, y explica por qué son equivalentes. b) Inventa tres inecuaciones que sean equivalentes, y explica por qué son equivalentes. Interpretación y construcción de gráficos lineales y no lineales Análisis de cambios en variables y relaciones Construcción de modelos algebraicos de relaciones lineales y no lineales Ecuaciones y representación de rectas interpretando el significado de la pendiente y la ordenada en el origen Conexiones entre patrones y relaciones Resolución gráfica, pictórica y algebraica de ecuaciones con una sola incógnita Resolución de problemas mediante ecuaciones e inecuaciones lineales NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 12