Introducción Introducción

Transcripción

1 Introccón 3 Introccón El transformaor es n elemento my tlzao en los sstemas eléctrcos, porqe permte trabajar en caa stacón con la tensón e ntensa más aecaas. Un caso sgnfcatvo es el e los sstemas e potenca, en los qe hace posble qe la generacón, transporte y consmo e la energía eléctrca se realcen a las tensones más rentables en caa caso. El transporte reslta más económco canto más alta sea la tensón, ya qe la corrente y la seccón e los conctores son menores (ntensaes peqeñas provocan menores péras por efecto Jole). azones tecnológcas mpen qe los alternaores e las centrales pean proporconar tensones sperores a los 30 kv. Por ello es necesara la transformacón en las centrales e estas tensones a las típcas e transporte, generalmente nferores a 400 kv (transformaores elevaores). Por otro lao, los aparatos consmores e la energía eléctrca no están señaos para tensones tan elevaas (por segra e las personas), por lo qe son normales las e 0 o 380 V, anqe tambén hay receptores e gran potenca con tensones nomnales el oren e nos pocos klovoltos. De nevo se hace necesara la reccón e la tensón meante los llamaos transformaores e strbcón. Esta reccón se realza en varas etapas, en fncón e los receptores y e las necesaes e la strbcón. Fg.. Generacón, transformacón, transporte y consmo e energía eléctrca El transformaor tambén se tlza en crctos e baja potenca y tensón para otras aplcacones como, por ejemplo, la galacón e mpeancas e carga y fente para tener máxma transferenca e potenca, el aslamento e crctos, o el aslamento frente a la corrente contna, sn perer la contna e la corrente alterna. Otra aplcacón es como spostvo axlar e los aparatos e mea, receno la tensón o corrente e n crcto para aecarla a la qe aceptan los aparatos e mea: son los llamaos transformaores e mea.

2 Análss e crctos magnétcos 5 Análss e crctos magnétcos os materales magnétcos tenen na oble mportanca en los spostvos e conversón e energía. Se peen obtener granes ensaes e fljo con nveles relatvamente bajos e ferza magnetomotrz. Por otro lao, se peen sar para elmtar y rgr a los campos magnétcos en nas trayectoras efnas: hacen en magnetsmo el papel e conctores, al gal qe los conctores eléctrcos en electrca. Para el esto el transformaor es necesaro el conocmento e los crctos magnétcos y e las leyes qe los rgen. En el análss e los crctos magnétcos habtales se emplean las ecacones e Maxwell en s forma ntegral, con lo cal resltan leyes e so común más sencllas. En concreto se tlzarán: - la ley e Ampere, - la ley e conservacón el fljo, - la ley e nccón e Faraay, y - las propeaes magnétcas e los materales empleaos.. ey e Ampere a ley e Ampere se obtene e la ecacón e Maxwell rot H J D t (.) one: H = vector ntensa e campo magnétco (A/m, ampero/metro), J = vector ensa e corrente (A/m ), D = vector esplazamento (A s/m ). En los casos qe se estan habtalmente en la técnca, al trabajar con bajas frecencas o con contna, el térmno el vector esplazamento es esprecable (es mportante, por ejemplo, en el esto e la propagacón e onas electromagnétcas), por lo qe para el esto e crctos magnétcos qea:

3 6 Transformaores rot H J (.) Escrta en forma ntegral (aplcano na ntegral e sperfce a ambos laos e la msma) reslta la ley e Ampere: rot H S S J S S H l J C S S (.3) Done se ha aplcao el teorema e Stokes para pasar e na ntegral e sperfce a na ntegral e línea. S la ensa e corrente eléctrca procee e na bobna, es ecr, e na sere e espras recorras por na ntensa qe atravesan la sperfce S, se obtene la expresón más común e la ley e Ampere: H l C (.4) one: = ferencal e camno el camno elego (m), l = ntensa qe atravesa na sperfce qe tene como límte el camno elego (A), = número e veces qe la ntensa atravesa la sperfce (veltas). Al procto tambén se le llama ferza magnetomotrz, : mm H l mm C (.5) Conveno e sgnos e la = mm Aplqemos la ley e Ampere al camno cerrao e la fgra.: H Fe l Fe (.6) one se ha hecho la hpótess e qe la ntensa e campo magnétco en el herro, H Fe, es e mólo constante (ya qe no hay varacón en la seccón el herro) y paralela a los ferencales e camno el camno elego. Aemás l Fe es la longt el camno escogo, qe salmente es el camno meo, es ecr, el qe va por la mta e la seccón.

4 Análss e crctos magnétcos 7 Camno C e longt l Fe H Fe Sperfce aberta S Fg.. Crcto magnétco e ntensa e campo magnétco El sgno postvo e se obtene aplcano la regla e la mano erecha: esta ntensa crea n campo en la reccón e H Fe. El sgno negatvo e se ebe a qe crea n campo con reccón contrara. Obsérvese qe entra al plano el papel mentras qe sale e él. H B Fg.. Campos y fljo creaos por na ntensa (regla e la mano erecha) as hpótess anterores para la resolcón e n crcto magnétco meante la ley e Ampere solo se peen efectar en el caso e qe las geometrías sean my sencllas (crctos con seccones constantes). Para la resolcón e crctos con geometrías más complcaas se ebe recrrr a técncas e resolcón nmérca como, por ejemplo, el métoo e los elementos fntos.

5 8 Transformaores. ey e la conservacón el fljo Esta ley se obtene a partr e otra ecacón e Maxwell, v B 0 (.7) one: B = vector ensa e fljo magnétco, o tambén vector nccón magnétca (T=Wb/m, Tesla). Escrta en forma ntegral y tlzano el teorema e la vergenca para pasar la ntegral e volmen a na ntegral e sperfce, V v B V 0 S B S 0 (.8) 3 one: V = vector ferencal e volmen (m ), S = vector ferencal e sperfce (m ), se obtene la ley e la conservacón el fljo en s forma e escrtra más sal, cyo sgnfcao físco es qe el fljo neto qe atravesa na sperfce cerraa es nlo: neto,s s B S 0 (.9) one: = fljo magnétco (Wb, Webber). Aplcano esta ley a n crcto magnétco, en na regón en la qe concen stntas ramas, se tene (Fg..3): Sperfce cerraa S B S BS 0 s 3 0 (.0) 3 lo qe se nterpreta como qe la sma e fljos qe llegan a n no es nla. Fg..3 Conservacón el fljo

6 Análss e crctos magnétcos 9.3 Propeaes e los materales magnétcos elacón B-H e n materal a ntensa e campo magnétco y la nccón magnétca en calqer materal están relaconaas a través e la permeabla magnétca el msmo, µ, B µ H µ 0 µ r H, µ (.) one: µ = permeabla magnétca (Wb/A v m), µ 0 = permeabla magnétca el vacío (Wb/A v m), µ = permeabla relatva (sn mensones), seno: r - materales no magnétcos µ, r - materales ferromagnétcos 000 < µ < 6000 (valores sales en la zona lneal). r as naes tlzaas hasta el momento corresponen al Sstema Internaconal e Unaes (SI), anqe exsten otras qe se sgen tlzano por tracón: T = Gass (G) = 64,5 klolíneas/plg, A v/m = /80 Oerste (Oe), 8 8 Wb = 0 Maxwells (Mx) = 0 líneas. os materales ferromagnétcos, compestos e herro y ss aleacones con cobalto, tngsteno, níqel, almno y otros metales, son los materales magnétcos más comnes. S el meo magnétco es lneal, la permeabla magnétca es constante, y s no lo es, epene el valor e H. El comportamento e n materal magnétco como el herro es, en reala, no lneal, y está efno por la crva B-H. Esta crva pee tener na forma analítca aproxmaa: H a B a 3 B 3 a 5 B 5, B n ah b n H n ch, B ah b H ch (.) Tanto en la fgra.4a como en las expresones analítcas se han spesto nlas las péras por hstéress, lo qe se apreca al observar qe el área encerraa por la crva es nla (las péras por hstéress son proporconales al área encerraa por la crva). Anqe epene el tpo e materal, la satracón pee comenzar a na ensa e campo magnétco e entre y Teslas (Wb/m ). a alta permeabla relatva, µ, el herro se ebe a qe está constto por omnos magnétcos qe r realzan na amplfcacón e la exctacón magnétca exteror al orentarse en la reccón e ésta. Cano toos los omnos están orentaos esaparece el efecto e la amplfcacón, y la permeabla relatva pasa a tener n valor próxmo a la na, con lo qe aparece el fenómeno e la satracón.

7 0 Transformaores Fg..4 Característca B-H no lneal: (a) sn cclo e hstéress, y (b) con cclo e hstéress Es nteresante representar la relacón no lneal entre B y H en na bobna con n núcleo ferromagnétco en fncón e la tensón aplcaa y e la ntensa absorba. Para ello, se observa qe la ntensa e campo magnétco es proporconal a la ntensa, ya qe aplcano la ley e Ampere a n camno cerrao a través el núcleo, µ cte. Fe H Fe C H l mm H Fe l Fe (.3) Fg..5 Bobna con núcleo magnétco no lneal mentras qe la ensa e fljo magnétco es proporconal al fljo total concatenao por la bobna, ya qe (B S) (.4) y s (t) es senoal, por la ley e nccón e Faraay (Apo..5), el fljo tambén lo es: (t) (.5) ego la relacón entre la tensón y la ntensa e na bobna almentaa con tensón senoal es la msma qe entre B y H, con n cambo e escalas aecao y teneno en centa n aelanto e 90 e la tensón respecto al fljo:

8 Análss e crctos magnétcos (t) senoal (t) K B(t) senoal H(t) K (t) (t) es proporconal a B(t) (t) es proporconal a H(t) (.6) Y con calqer tpo e almentacón en general, el fljo es proporconal a la nccón y la ntensa eléctrca es proporconal a la ntensa e campo. Cclo e hstéress y correntes parástas en n materal magnétco os materales magnétcos sometos a n fljo varable en el tempo sfren n calentamento ebo a la hstéress magnétca (Fg..4b) y a las correntes parástas e Focalt. Estos fenómenos provocan las llamaas péras magnétcas (consmo e potenca actva qe se spa en forma e calor en el núcleo). as péras por hstéress son ebas a los efectos e la estrctra crstalna el materal, y se procen cano se mofcan las fronteras e los omnos magnétcos. Son proporconales a la frecenca (número e veces qe varían los omnos), y se peen expresar como p H K H fb (.7) one es n coefcente empírco cyo valor sele ser e,6. as péras por correntes ncas e Focalt son, báscamente, nas péras por efecto Jole, ebas a la resstenca eléctrca el materal. Depenen e la nccón y e la frecenca, peen expresarse como p F K F f B (.8) ormalmente se acepta qe las péras por cclo e hstéress y por correntes ncas e Focalt para na frecenca fja epenen e la nccón al carao, es ecr, e la tensón al carao: p H p F K B K U (.9) Hay os tpos e cclos e hstéress e n materal magnétco: - námco: se obtene con tensón alterna y s área nclye las péras por hstéress y por correntes ncas e Focalt, y - estátco: se obtene con tensón contna varable y s área sólo nclye las péras por hstéress. Para lmtar las péras por correntes e Focalt en los transformaores, se sele constrr el núcleo con chapas aslaas eléctrcamente entre sí, con lo qe se lmta la posbla e crclacón e correntes ncas al amentar la resstenca eléctrca qe ofrece el núcleo a este tpo e correntes (sn alterar las propeaes magnétcas).

9 Transformaores Ejemplo.- Utlzaremos la relacón B-H y las leyes e Ampere y e conservacón el fljo para el esto el crcto magnétco e la fgra.6. Se trata e n crcto magnétco con os bobnas, entreherro y fljo e spersón úncamente en na e ellas. Fe l Aplcano la ley e Ampere a los os camnos ncaos: H Fe l Fe H l H l (.0) Fg..6 Crcto magnétco con entreherro y fljo e spersón Hay qe señalar qe se está conserano qe es n fljo qe se cerra íntegramente por el are a través e n crcto magnétco fctco e longt l y seccón S. Aplcano la ley e la conservacón el fljo a na sperfce cerraa qe crce el entreherro: B Fe S Fe B S 0 (.) Sponeno qe S = S (esprecano el efecto e bores), se tene qe B = B. Fe Fe Utlzano la característca magnétca el materal: B Fe µ Fe H Fe B µ 0 H B µ 0 H (.) se peen calclar B Fe y B, ya qe reslta B Fe µ Fe l Fe B Fe µ 0 l B µ 0 l (.3) El fljo total creao por la bobna se obtene aplcano la ley e conservacón el fljo: Fe B Fe S Fe B S (.4)

10 Análss e crctos magnétcos 3.4 Moelo eléctrco e n crcto magnétco eslta my nteresante observar el paralelsmo qe exste entre los crctos magnétcos y los eléctrcos. Para ello, se mofca la notacón e la ley e Ampere. Sea n crcto magnétco con ferentes ntensaes e campo H y ferentes exctacones : C H l Hl B µ l BSl µ r µ o S l µ r µ o S (.5) Qe tambén se pee reescrbr como: m mm (.6) one: = l/(µ µ S) = relctanca magnétca (l y S son la longt y la seccón el crcto m o r respectvamente), = fljo por na e espra, = = ferza magnetomotrz. mm Esta ley y la e conservacón el fljo son sfcentes para el esto e los crctos magnétcos: m mm, 0 y son análogas a las e los crctos eléctrcos e corrente contna: (.7) Ejemplo.- I E, I 0 (.8) esolver el crcto crcto magnétco e la fgra.6 tlzano n moelo eléctrco: mm mm mm Fe Fe Fe Fe (.9) Fg..7 Moelo eléctrco el crcto magnétco e la fgra.6

11 4 Transformaores.5 ey e nccón e Faraay a ecacón e Maxwell, rot E B t (.30) one: E = vector campo eléctrco (V/m), se pee escrbr en forma ntegral aplcano el teorema e Stokes para pasar la ntegral e sperfce a la e camno: S rot E S B S t S E B l C S t S (.3) a sperfce S sobre la cal se ntegra B es na sperfce aberta cyo bore es el camno C. S este camno correspone a na espra, en los extremos e ésta se obtene na tensón, (t), corresponente a la varacón e la ensa el fljo magnétco. a ley e nccón e Faraay permte calclar la tensón, (t), en los extremos e na bobna e espras (la sperfce e ntegracón es na sperfce mltfolaa e hojas) atravesaa por n fljo por espra (t). Esta ley se escrbe como: (t) (.3) one: (t) = tensón en bornes e la bobna (V), (t) = (t) = fljo total concatenao por la bobna (Wb). El sgnfcao e (t) es evente: s caa espra e la bobna concatena n fljo (t), la bobna e espras concatenará n fljo total (t) = (t). En gran parte e la bblografía clásca e Teoría e Crctos y en la e Físca aparece n sgno negatvo en la expresón e la ley e nccón e Faraay (Ec..3). Este sgno procee el e la ecacón e Maxwell (Ec..3). Drante años se ha sego tlzano el sgno negatvo con aya e n conveno aecao para jstfcarlo. Este conveno tlza nas magntes llamaas ferza electromotrz y ferza contraelectromotrz (qe se esgnan con la letra e). En estos apntes nnca se tlzarán estas magntes, sno qe se hablará sempre e tensones o e ferencas e potencal, al gal qe se hace en la bblografía recente sobre Teoría e Crctos. Con esto se qere ecr qe la ecacón.3 va asocaa a n etermnao conveno, el cal se mestra a contnacón.

12 Análss e crctos magnétcos 5 Conveno e sgnos e (t), (t) en na bobna Sea la bobna e la fgra.8a, atravesaa por n fljo (t). Para bjar la tensón (t) qe cmple la ecacón.3 es necesaro fjarse en la reccón el bobnao e las espras, o lo qe es lo msmo, el sento e na ntensa qe provoqe fljo en la msma reccón. Una ntensa qe entrara por el termnal (Fg..8b) crearía fljo en la msma reccón qe (t). Esta es la ntensa asocaa al fljo (t). a tensón (t) tene el msmo sento qe la ntensa asocaa, es ecr, va el termnal al ' (Fg..8c). A la tensón y al fljo e esta fgra se les llama concorantes. Esto no qere ecr qe la ntensa real en la bobna lleve el sento e la ntensa asocaa al fljo, ya qe ésta epenerá el resto el crcto. Fg..8 Conveno e sgnos: (a) bobna con fljo varable, (b) ntensa asocaa a (t), (c) reccón e la tensón nca a fgra.9 mestra la tensón nca en os bobnas atravesaas por el msmo fljo. (t) (t) (t) Fg..9 Tensón nca en bobnas con ferente sento e bobnao

13 6 Transformaores.6 Termnales corresponentes e bobnas acoplaas Una vez aclarao el conveno e sgnos e fljo y tensón en na bobna, es necesaro efnr el concepto e termnales corresponentes cano se spone e varas bobnas con n fljo común (bobnas acoplaas): Termnales corresponentes son aqéllos por los qe al entrar na ntensa proce fljo en la msma reccón. Tambén se peen efnr como: Termnales corresponentes son aqéllos qe al aplcarles na tensón postva crean fljo en la msma reccón. os termnales corresponentes se ncan con n pnto. Así los termnales, ' y 3' e la fgra.0 son corresponentes. (t) (t) (t) (t) (t) ' ' ' ' ' (t) (t) ' ' 3 3' 3 3 (t) 3(t) 3' 3 (a) (b) (c) Fg..0 Termnales corresponentes e bobnas acoplaas.7 Defncones e nctanca para crctos lneales y no lneales a nctanca se efne como la relacón entre el fljo qe concatena na bobna y la ntensa qe lo ha creao. En el caso e na bobna únca (sn otras acoplaas), la nctanca,, es la relacón entre el fljo total concatenao por la bobna y la ntensa qe crcla por la msma, (.33)

14 Análss e crctos magnétcos 7 S el núcleo es lneal, aplcano la ley e Ampere, C H l Hl B µ l BS µ S l µ S l µ S l (.34) µ S l one, por comparacón, reslta µ 0 µ r S l (.35) Tambén se pee escrbr como, l µ o µ r S l µ S (.36) ya qe aplcano la ley e Ohm magnétca al crcto: mm ( ) (.37) En el caso e comportamento no lneal el núcleo, la nctanca no es constante, ya qe no lo es la permeabla magnétca, µ. En fncón e cómo se trabaje con la bobna, se peen tener stntas efncones e nctanca: - nctanca en contna, - nctanca ncremental, - nctanca eqvalente. S sólo se aplca tensón contna a la bobna, la nctanca se calcla como: c (.38)

15 8 Transformaores qe correspone a la penente e la recta O-A e la fgra. Fg.. Característca - e na bobna con núcleo no lneal S se aplca a la bobna tensón contna con na tensón alterna e peqeña amplt, e forma qe la tensón total se esplaza lgeramente respecto al valor e contna, se tlza la efncón e nctanca ncremental para la componente alterna: nc (.39) qe correspone gráfcamente a la penente e la recta tangente al pnto A. Fnalmente, en el caso e na bobna almentaa con tensón senoal, se efne la nctanca eqvalente tlzano el concepto e senoe eqvalente (Anexo 3). Sponeno esprecables las péras en la bobna, eq U ef I ef (.40) one: U = tensón efcaz aplcaa a la bobna (V), ef = plsacón e la tensón (ra/s), I = ntensa efcaz, qe contene armóncos ebos a la no lneala (A). ef

16 Análss e crctos magnétcos 9.8 elacón (t), (t), (t) en na bobna con núcleo lneal Defnos los convenos tensón-fljo en na bobna y e ferza magnetomotrz, las relacones entre (t), (t) y (t) en na bobna lneal qean completamente efnas. Tomaremos como sentos e referenca los e (t), (t) y (t) e la bobna e la fgra.: (t) (t) (.4) Fg.. Sentos e referenca e -- en na bobna El sento e (t) y e (t) es el e la ntensa asocaa al fljo (t), o lo qe es lo msmo, (t) e (t) van e a '. Es ecr, (t), (t) y (t) son concorantes. S se tene na bobna one las flechas no concen con las e la fgra., tan sólo hay qe colocar n sgno negatvo en la magnt corresponente. Por ejemplo, las ecacones e la bobna e la fgra.3a son éntcas a la ecacón.4, pero cambano (t) por -(t), como se pee observar en la ecacón.4. Tambén pee sceer qe el sento el bobnao no conca, como en la fgra.3b, en cyo caso hay qe cambar los sgnos e (t) y (t) porqe ambas magntes no son concorantes con el fljo bjao (t). (t ) ( ) (t ) ( ) (.4) (t ) ( ) (t ) ( ) (.43) Fg..3 Bobnas con -- no concorantes

17 Descrpcón el transformaor 3 3 Descrpcón el transformaor Un transformaor es na máqna eléctrca estátca qe transfere energía eléctrca e n crcto a otro, transformano la tensón ( ) y la corrente ( ) el crcto llamao prmaro en la tensón ( ) y la corrente ( ) el crcto llamao secnaro (Fg. 3.a). Fg. 3. Transformaores con núcleos tpo: (a) toroal, (b) e colmnas, y (c) acorazao Báscamente, n transformaor son os o más crctos eléctrcos acoplaos magnétcamente meante n fljo común, es ecr, son os o más bobnas acoplaas. Cano el transformaor está formao por os bobnas acoplaas, como el e la fgra 3.a, se llama monofásco. Para consegr qe haya n fljo común entre las bobnas se pee tlzar n núcleo e are, anqe reslta mcho más sencllo tlzar n núcleo e herro otro materal ferromagnétco (en este caso, el camno a través el are tambén exste, anqe el fljo no es común a los os evanaos, y se llama fljo e spersón). Para qe n evanao nzca tensón en el otro, el fljo común ha e ser varable y, para ello, tambén ha e serlo la corrente qe lo cree (con corrente contna constante no se pee ncr tensón). Una característca el transformaor es s reversbla, lo cal qere ecr qe tambén se pee almentar por el lao, y ceer energía al lao,. Por economía, los transformaores reales se constryen e mensones mínmas para qe se pean colocar los evanaos, como en las fgras 3.b y 3.c, en one se ha realzao na seccón a los msmos.

18 46 Transformaores k k k k,k k k,k c k (5.) y la ecacón magnétca (Ec. 4.): k k H Fe l Fe c c (5.) Estas ecacones se peen representar meante los esqemas eqvalentes e la fgra 5.. Fg. 5. Esqemas eqvalentes qe representan la ecacón eléctrca el evanao k-ésmo, y la ecacón magnétca e n transformaor con n evanaos Se observa qe el esqema eqvalente el crcto eléctrco e caa evanao tene na fente e tensón e valor k c Como nos planteamos la posbla e jntar toos los esqemas eqvalentes en no solo, s esta fente e tensón fera gal para toos ellos, se porían colocar en paralelo. Dveno la ecacón 5. por el número e espras obtenemos (5.3) k k ( k k k ),k k k ( k k ) c (5.4) one la ntensa se ha escrto como k k por analogía con la ecacón 5.. Aqí srge la necesa e recr a na base común, ya qe en lgar e trabajar con varables mltplcaas por constantes (como k/ ko k ) k reslta mcho más cómoo efnr nevas varables. Defnamos nos valores base e tensón, corrente, plsacón, fljo y relctanca magnétca. Observano

19 Procemento general para obtener el esqema eqvalente e n transformaor 47 la ecacón 5.4 se ece como han e ser estas bases: U b... U bk k... b b (5.5) I b... k I bk... b b ormalmente se elge =. a mpeanca e nctanca bases se obtenen a partr e las anterores: b Z bk U bk I bk, bk U bk I bk b U bk I bk (5.6) Dveno caa magnt por s corresponente valor base, se llega a la ecacón eléctrca el evanao k-ésmo reca r k r k r k r r k,k r c (5.7) y a la ecacón magnétca reca r k r c r c (5.8) r S el crcto magnétco es lneal s relctanca magnétca, c, será constante y por lo tanto r nepenente el fljo, c. En las ecacones 5.7 aparece la ervaa el fljo. Dervano la ecacón 5.8 y espejano la ervaa el fljo, obtenemos r c r c r k r c r c r k (5.9) a ervaa / se ha representao en el esqema eqvalente e la fgra 5. como na fente e c r tensón epenente, anqe tambén se pee tlzar na bobna s realzamos los cambos e varable sgentes: r k r µ M r µ r c r c M r µ r µ (5.0)

20 48 Transformaores r Esto sgnfca qe hay na relacón entre el fljo y na corrente µ. Esta corrente se llama corrente r magnetzante, y es la corrente necesara para qe se establezca el fljo c en el núcleo. S el crcto es r lneal, M µ será constante, y entonces r c M r µ r µ (5.) Fg. 5.3 Esqema eqvalente reco e n transformaor e n evanaos a fgra 5.3 mestra el esqema eqvalente qe cmple las ecacones eléctrcas y magnétca el transformaor. Se ha e recorar qe toas las magntes están recas. Es mportante recorar qe las ecacones 5. y 5. son válas para núcleos lneales o no líneales. En el caso no lneal se llega al msmo esqema eqvalente e la fgra 5.3, pero one la nctanca M µ r no es lneal (no es constante), y se representa gráfcamente como mestra la fgra 5.4. a ervaa el fljo (Ec. 5.) en este caso es r c ( M r µ r µ ) (5.) Fg. 5.4 Inctanca magnetzante no lneal

21 Procemento general para obtener el esqema eqvalente e n transformaor Esqema eqvalente el transformaor monofásco con péras en el crcto magnétco A la vsta e los resltaos el apartao anteror, reslta my sencllo el esto e n transformaor monofásco conserano las péras magnétcas. Fg. 5.5 Transformaor monofásco con evanao cortocrctao en el núcleo as ecacones e los os evanaos son:,, c,, c (5.3) Asocaremos las péras magnétcas a las qe se prozcan en n tercer evanao cortocrctao embebo en el núcleo magnétco, como el e la fgra 5.5. Por estar cortocrctao, s tensón es nla. Tampoco tene fljo e spersón al estar ntegrao en el núcleo. Sponeno qe tene na sola espra, la ecacón eléctrca e este evanao es: Y la ecacón magnétca: 0 3 3,3 3 3 c k k H Fe l Fe c c (5.4) (5.5)

22 50 Transformaores Para recr las ecacones, se elgen las bases mostraas en la ecacón 5.5: U b U b U b3 b b (5.6) I b I b I b3 b b Se observa qe las tensones y correntes base cmplen la relacón e transformacón, al gal qe en el resto e reccones realzaas en estos apntes, U b U b I b I b r t (5.7) Tomaremos =. eceno las ecacones: b r r r r r, r c r r r r r, r c (5.8) 0 r 3 r 3 r c r r r 3 r c r c M r µ r µ r y s se spone qe el núcleo es lneal, la nctanca M µ será constante. Estas ecacones recas están representaas en el sgente esqema eqvalente: Fg. 5.6 Esqema reco el transformaor monofásco nclyeno las péras en el herro Comparano con el esqema e la fgra 4.9 se peen entfcar los parámetros el herro: r 3 r Fe, r 3 r Fe (5.9)

23 Expresones temporales el transformaor monofásco 33 4 Expresones temporales el transformaor monofásco Un transformaor monofásco son os bobnas acoplaas. En el caso más general, las bobnas y el núcleo no serán eales, como en el mostrao en la fgra 4.. a resstenca nterna e los evanaos está representaa por y. Fg. 4. Transformaor monofásco con los fljos concatenaos por caa evanao os fljos concatenaos por los evanaos son: c fljo por espra concatenao por la bobna (fljo total) fljo por espra concatenao solamente por la bobna (fljo e spersón) fljo por espra concatenao por las bobnas y (fljo común) fljo por espra concatenao por la bobna (fljo total) fljo por espra concatenao solamente por la bobna (fljo e spersón)

24 34 Transformaores Se observa qe se cmple: (4.) 4. Transformaor monofásco con núcleo no lneal Aqí se ecrán las ecacones más generales e n transformaor monofásco, es ecr, con bobnas y núcleo no eales. Esto sgnfca qe: - las bobnas tenen resstenca nterna, - hay fljo e spersón (el acoplamento no es perfecto), - el núcleo tene permeabla magnétca fnta (µ Fe = µ o µ r ), - el núcleo no es lneal (µ Fe = µ o µ r cte), y - el núcleo tene péras por correntes parástas y por cclo e hstéress. Una bobna real tambén tene n certo comportamento capactvo ebo a la capaca parásta qe aparece entre ss espras. Análogamente, en nas bobnas acoplaas habría na capaca entre espras e caa bobna y otra capaca entre espras e ferentes bobnas. o obstante, los efectos e estas capacaes sólo son aprecables cano las tensones e almentacón tenen frecencas my elevaas. Ss efectos a 50 y 60 Hz son esprecables. A contnacón se van a jstfcar las ecacones generales el transformaor monofásco con núcleo no lneal (con satracón) pero sn tener en centa las péras en el núcleo. as péras en el núcleo se peen ncorporar al crcto eqvalente el transformaor añaeno na resstenca. Una forma e jstfcar s colocacón es estano n tercer evanao cortocrctao embebo en el núcleo (por analogía con los peqeños crctos qe recorren las correntes ncas e Focalt). a forma traconal e jstfcar la colocacón e esta resstenca es menos elegante, pes se basa en eccones físcas. Aqí se realzará e las os formas: en el apartao 4.4 se añarán las péras en la forma traconal y en el capítlo 5 estano el evanao cortocrctao. Sea el transformaor monofásco e la fgra 4.. Aplcano la ley e nccón e Faraay (Ec..3) a las os bobnas: (t) (t) (4.) El fljo total concatenao por caa bobna es:

25 Expresones temporales el transformaor monofásco 35 ( ) ( ) (4.3) Como los crctos e spersón se cerran prncpalmente a través el are, se peen conserar lneales (e permeabla µ 0). Al ser lneales, los fljos totales concatenaos e spersón, y, se peen escrbr en fncón e nos coefcentes e spersón (constantes) y e las ntensaes, (4.4) one y se porían escrbr como, µ l S, µ l S (4.5) seno l, l, S y S las longtes y seccones fctcas e los crctos por los qe se cerran los fljos e spersón. Por el contraro, el crcto qe se cerra a través el núcleo ferromagnétco no es lneal, por lo qe: (4.6) Teneno en centa la resstenca nterna e las bobnas, las tensones en bornes e las msmas son: (4.7) Para etermnar el fljo común,, se esta el crcto magnétco. Aplcano la ley e Ampere (Ec..4) c a n camno cerrao a través el núcleo e la fgra 4. se obtene:

26 36 Transformaores H l B µ l / S µ l µ l S (4.8) one se ha spesto qe la ntensa e campo magnétco en el herro, H Fe, es e mólo constante y paralela a los ferencales e camno el camno elego, l. Tambén se ha spesto constante la seccón el núcleo, S Fe. a no lneala el núcleo está reflejaa en la relctanca magnétca el crcto, c, pes contene a la permeabla magnétca, µ Fe, qe a s vez epene el fljo en el núcleo, c: f (µ ) f ( ) (4.9) El comportamento el transformaor está completamente efno por las ecacones tensón-corrente (Ec. 4.7) y la ecacón magnétca (Ec. 4.8). Para profnzar más en el comportamento no lneal el transformaor en el caso e almentacón senoal, véase el anexo 3. Obsérvese qe s se hbera estao n transformaor e n evanaos, las ecacones habrían so éntcas (s se bjan tensones y correntes concorantes con los fljos). a ecacón eléctrca para el evanao k-ésmo es: y la ecacón magnétca: (4.0) H l (4.) c k (t) k k,k (t) k (t),k k k' Fg. 4. Devanao k-ésmo e n transformaor con n evanaos

27 Expresones temporales el transformaor monofásco Transformaor monofásco eal Un transformaor monofásco eal son os bobnas acoplaas con las sgentes característcas: - los evanaos no tenen resstenca nterna ( = = 0); - no exste fljo e spersón ( = = 0), es ecr, el acoplamento es perfecto (k = ); - el núcleo magnétco carece e cclo e hstéress y no exsten correntes e Focalt (las péras en el herro son nlas); - el meo magnétco tene permeabla nfnta (µ Fe = µ o µ r =, fgra 4.5c); y - las capacaes propas y mtas entre evanaos son nlas. (t) (t) (t) (t) ' r m: = / t ' Fg. 4.3 Transformaor monofásco eal Fg. 4.4 epresentacón el transformaor monofásco eal Fg. 4.5 Crva característca B-H e materal ferromagnétco: (a) no lneal µ Fecte, (b) lneal µ Fe=cte, y (c) con permeabla magnétca nfnta µ Fe=

28 38 Transformaores Aplqemos na tensón (t) al prmaro el transformaor eal. Como no hay resstenca nterna, esta tensón conce con la nterna, (t), al gal qe en el secnaro:, (t) (t), (t) (t) (4.) El fljo qe se crea vene ao por la ley e nccón e Faraay, y como no hay fljo e spersón, (t) = (t) = (t), las ecacones 4.7 se converten en: c (t) (t) (t) (t) (4.3) as ecacones 4.3 sgnfcan qe el fljo qe se orgna, (t), epene úncamente e la tensón e c almentacón, (t), y qe la tensón qe aparece en el secnaro epene úncamente el fljo creao, es ecr qe (t) epene e (t), sn nflr para naa las ntensaes (t) e (t). En la práctca, la nccón en el núcleo, B = / S, no sele ser speror a.5 T. Dveno ambas expresones se c c Fe obtene la relacón entre tensones e prmaro y secnaro, llamaa tambén relacón e transformacón, r : t (t) (t) r m: (relacón e transformacón) (4.4) a relacón e transformacón nca la relacón entre las tensones e prmaro y e secnaro en vacío. En la bblografía e Teoría e Crctos se sele escrbr como la relacón m: y tambén como a:. El transformaor eal no tene péras n almacena energía en forma e campo eléctrco o magnétco, por lo qe la potenca nstantánea neta qe absorbe es nla. Esto eqvale a ecr qe la potenca nstantánea qe absorbe el prmaro se cee nstantáneamente al secnaro y vceversa. p(t) (t) (t) (t) (t) 0 (t) (t) (t) (t) (4.5) De las ecacones 4.4 y 4.5 se obtene la relacón entre ntensaes e prmaro y secnaro, qe en el transformaor eal es la nversa e la relacón e transformacón: (t) (t) (t) (t) r (4.6) A la vsta e la expresón 4.6 reslta nteresante revsar la efncón e transformaor aa al comenzo el capítlo 3: "transforma la tensón ( ) y la corrente ( ) el crcto llamao prmaro en la tensón ( ) y la corrente ( ) el crcto llamao secnaro".

29 Expresones temporales el transformaor monofásco 39 a relacón entre ntensaes tambén se poría haber eco a través e la ecacón magnétca el crcto. Veámoslo. Aplcano la ley e Ampere a n camno cerrao a través el núcleo e la fgra 4.3, y sponeno qe la ntensa e campo magnétco en el herro, H Fe, es e mólo constante y paralela a los ferencales e camno el camno elego, l, y sponeno tambén qe la seccón el núcleo, S Fe, es constante, se obtene la ecacón magnétca el crcto (Ec. 4.8): H l B µ l /S µ l µ l S (4.7) Como la permeabla magnétca el transformaor eal es nfnta, la relctanca magnétca el crcto es nla, seno n valor fnto efno por la ecacón 4.3, lego: c µ 0 0 (t) (t) (4.8) 4.3 Transformaor monofásco con núcleo lneal Conseremos ahora el transformaor e la fgra 4. con el núcleo lneal y sn ncorporar toavía las péras por correntes parástas y por cclo e hstéress. Es ecr: - las bobnas tenen resstenca nterna, - hay fljo e spersón (el acoplamento no es perfecto), - el núcleo tene permeabla magnétca fnta (µ Fe = µ o µ r ), - el núcleo es lneal (µ Fe = µ o µ r = cte), y - el núcleo no tene péras por correntes parástas n por cclo e hstéress. S el crcto magnétco se consera lneal, es ecr, e permeabla magnétca constante, µ Fe = cte, la relctanca magnétca el crcto tambén lo es, c = cte. Despejano c e la ecacón 4.8:, µ l S cte (4.9) y ssttyénolo en la ecacón 4.7: (4.0)

30 40 Transformaores (4.) El coefcente e nccón mta e os bobnas acoplaas es (ver anexo ): M (4.) Ssttyeno en las ecacones 4.0 y 4.: M M M (4.3) M M M (4.4) Defneno la nctanca e magnetzacón como: M M (4.5) a nctanca e magnetzacón así efna se llama refera al prmaro, porqe es gal al coefcente e nccón mta refero al prmaro (Fg. A.4). a ecacón ferencal anteror qea: M M (4.6)

31 Expresones temporales el transformaor monofásco 4 Vamos a ntentar escrbrlas e forma qe las varables sean e ( / ). Para ello, mltplcamos la segna ecacón por ( / ): M M (4.7) Por clara, realzamos n cambo e notacón: M M (4.8) En estas ecacones, ', ', ' y ' son los llamaos valores recos al prmaro. S representacón meante n crcto eléctrco (Fg. 4.6) consttye el enomnao esqema reco al prmaro. Fg. 4.6 Crcto eléctrco eqvalente e las ecacones 4.8, qe consttye el esqema reco al prmaro. as varables el secnaro están recas al prmaro: ' = ( / ) e ' = ( / ) Para tener en el secnaro el crcto e la fgra 4.6 las varables e, qe son las qe hay realmente en el secnaro el transformaor e la fgra 4., se pee colocar n transformaor eal con relacón e transformacón ( / ), ya qe según las ecacones 4.6 y 4.8:

32 4 Transformaores r t (4.9) El resltao se mestra en la fgra 4.7. Fg. 4.7 Crcto eléctrco eqvalente e las ecacones 4.8. as varables el secnaro son e os componentes referentes a la bobna el secnaro ( y ) se selen representar en el secnaro el transformaor. Para pasar na mpeanca el prmaro al secnaro e n transformaor eal hay qe vrla por el carao e la relacón e transformacón (r t /, ver capítlo 0.3 y fgra 0.5). Haceno esto se obtenen los valores reales e y (valores no recos), fgra 4.8. Fg. 4.8 Crcto eléctrco eqvalente e las ecacones 4.30

33 Expresones temporales el transformaor monofásco 43 as ecacones qe está representano el esqema e la fgra 4.8 son: M µ M µ (4.30) Se sele efnr la corrente magnetzante, ', como: µ µ H Fe l Fe c c (4.3) qe representa la corrente necesara para crear el fljo c en el núcleo. Es la ntensa qe consme el transformaor cano el secnaro está en vacío, ya qe: + = + 0 = '. µ Esta corrente es consecenca e tener n núcleo con permeabla fnta. Ssttyeno µ ' en la ecacón M µ M µ µ µ (4.3) 4.4 Incorporacón e las péras en el núcleo: transformaor monofásco real El transformaor monofásco real tene n comportamento no lneal efno por las ecacones 4.7 y 4.8. Pero el moelo qe se emplea en la práctca es n moelo lneal qe tene en centa las péras en el núcleo. S valez está lmtaa a qe se pean esprecar los efectos e satracón el núcleo, lo qe scee en la mayoría e los casos. as péras qe provocan la hstéress magnétca y las correntes parástas e Focalt (péras magnétcas) no están nclas en el esqema e la fgra 4.8. Sea por eccones físcas o con apoyo matemátco (Cap. 5), se termna ncorporano en el esqema na resstenca fctca, Fe', tal qe s potenca mea spaa conca con estas péras. Como son proporconales aproxmaamente al carao e la tensón e almentacón el transformaor, se sele colocar en paralelo con M µ '. El esqema resltante es el sgente.

34 44 Transformaores Fg. 4.9 Esqema eqvalente el transformaor monofásco real nclyeno péras en el núcleo Se efne la corrente e vacío refera al prmaro, ', como la sma e la magnetzante y la e péras o en el núcleo, tambén referas al prmaro: o Fe µ (4.33) a corrente e vacío es la qe consme el transformaor cano el secnaro está en vacío, y es necesara para establecer el fljo en el herro y para compensar las péras magnétcas. Se pee observar qe las relacones tensón-corrente en el transformaor real son algo más complcaas qe en el transformaor eal (Ec. 4.6). o obstante, el comportamento e ambos es caltatvamente éntco. Del transformaor real e la fgra 4.9 se pee llegar al eal esprecano las resstencas nternas (, ), las caías e tensón por fljo e spersón (, ), las péras en el herro ( Fe') y la corrente magnetzante, ( µ '), consecenca e n núcleo con permeabla fnta.