TEMA 6: FUNCIONES ELEMENTALES

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1 MATEMÁTICAS CCSSS I TEMA 6: FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES II. FUNCIONES POLINÓMICAS Las funciones polinómicas son todas aquellas cuya epresión analítica es la de un polinomio: f a + a + a + + a ( ) o... En estas funciones siempre es posible calcular la imagen de cualquier número real, por tanto, su dominio es D( f ) R. n n.. FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO Las funciones polinómicas de primer grado se denominan funciones afines y son funciones del tipo f ( ) m + n. Su gráfica es una recta que: Pasa por el punto (0,n). Al número n se le llama ordenada en el origen, por ser el punto en el que la recta corta al eje Y. y +, n,corta al eje de ordenadas en (0,) y -, n, corta al eje de ordenadas en (0,-) y 0,5, n 0, corta al eje de ordenadas en (0,0) Si n0, queda una función del tipo f ( ) m, que se llama función lineal. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas y representa una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes. Tiene pendiente m. La pendiente de una recta representa la variación de y ( y) por cada unidad de variación de ( ). Geométricamente mide la inclinación de la recta con respecto al sentido positivo del eje de abscisas o eje X; cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente, más inclinación tiene la recta. Pendiente y m y y /5 IBR IES LA NÍA

2 MATEMÁTICAS CCSSS I FUNCIONES II Si m > 0 la función es creciente. Si m 0 la función es decreciente. Si m 0, es una función constante f ( ) n (grado 0) º) Asocia razonadamente cada gráfica con su epresión analítica:. y. y. y. y º) Dibuja una recta con los siguientes datos y, después, obtén su epresión analítica:. Pendiente y ordenada en el origen.. Pendiente - y ordenada en el origen.. Pendiente 5 y ordenada en el origen -. Pendiente 0 y pasa por el punto (,) º) Halla la pendiente, la ordenada en el origen y clasifica las siguientes rectas:. y.. y + y. f ( ) 5. f ( ) 6. 6 f ( ) 5 7. y º) Obtén gráficamente la pendiente, la ordenada en el origen y la epresión analítica de las siguientes rectas: a) b) /5 IBR IES LA NÍA

3 MATEMÁTICAS CCSSS I FUNCIONES II 5º) Cuál es el único tipo de recta que conoces que no corresponde a una función? Cómo es su ecuación?. 6º) Un bidón que pesa kg se va llenando de aceite de densidad 0,8 kg/l, es decir, un litro de aceite pesa 0,8 kg. Encuentra y representa gráficamente la función que permite obtener el peso total del bidón en función del número de litros de aceite que se le añaden. 7º) Calcula la epresión analítica de la función cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos:. (,) y (-,).. (-5,) y (,).. (-,-) y (5,-). (-,) y (,). 8º) Dadas las rectas y y y 5 +, se pide:. Los puntos en los que cada una de ellas corta a los ejes de coordenadas.. El punto común de las dos gráficas.. FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO Las funciones polinómicas de segundo grado también se llaman funciones cuadráticas, y son funciones del tipo f ( ) a + b + c. Su gráfica es una parábola. Características: El dominio es R, como en todas las funciones polinómicas. b b ac El vértice está en el punto,. a a La parábola es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por el vértice. Si a > 0: Si a 0: La parábola es cóncava hacia arriba El vértice es un mínimo. La parábola es cóncava hacia abajo El vértice es un máimo /5 IBR IES LA NÍA

4 MATEMÁTICAS CCSSS I FUNCIONES II b Es decreciente en, a y creciente en b, + a b ac El recorrido es, + a b Es creciente en, a y decreciente en b, + a El recorrido es b, ac a Cuanto mayor sea el valor absoluto de a más cerradas estarán las ramas de la parábola. ) y ) y ) y ) y 6 7 Para representar una función cuadrática: f ( ) + + ) Analizamos el signo de a para saber si es o : a > 0 b b ac b ) Calculamos el vértice,, : v f ( ) 0, V (,0) a a a (no es necesario memorizar la ordenada del vértice, basta con calcular la imagen de v ) ) Obtenemos los puntos corte con los ejes: a. Eje de ordenadas: 0 f (0) : ( 0, f (0)), siempre corta en un punto al eje Y. Corta al eje Y en (0,) (siempre será el punto (0,c)) b. Eje de abscisas: y 0 0 a + b + c, esta ecuación puede tener dos, una o ninguna solución, por tanto, el eje X se puede cortar en dos, uno o ningún punto. ± ± , corta al eje X en (-,0) ) Construimos una tabla con el vértice, los puntos de corte con los ejes y completamos con más valores alrededor del vértice (para que puedan salir las dos ramas de la parábola). 5) Dibujamos la parábola apoyándonos en la simetría respecto al vértice. y V /5 IBR IES LA NÍA

5 MATEMÁTICAS CCSSS I FUNCIONES II 9º) Representa las siguientes funciones cuadráticas y estudia todas sus propiedades:. f ( ) 6 +. f ( ) +. f ( ) 0º) Indica qué tipo de función polinómica corresponde a cada una de las gráficas siguientes: º) Cuál de las siguientes funciones cumple que D( f ) R y Re c( f ) R. f ( ). f ( ) + 7. f ( ) 8 º) Calcula el recorrido de las siguientes funciones a. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) + d. f ( ) 5 º) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( ) + 7, f ( ), + f ( ). º) Halla los puntos de intersección de las gráficas de: y. (,0), (,-). y ( ± 5, ) y y + 6. INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN La interpolación es un procedimiento que nos permite conocer, de modo aproimado, valores intermedios que toma una función desconocida a partir de datos conocidos. Imaginemos que de una función conocemos dos pares de valores (dos puntos) y sabemos que el comportamiento entre ellos es aproimadamente lineal. Podemos entonces estimar el valor de y que corresponde a un valor de la variable independiente, comprendido entre los dos valores conocidos. Si conocemos dos datos (, y) y (, y ), podemos obtener la función polinómica de primer grado (recta) que pasa por esos dos puntos, y utilizar esa función para calcular las imágenes de las abscisas del intervalo [, ]. Esta interpolación es la interpolación lineal. También podemos utilizar esa función para calcular la imagen de una abscisa eterior al intervalo [, ], pero próima a él. Este proceso se llama etrapolación, y es menos fiable cuanto más alejado esté del intervalo. 5/5 IBR IES LA NÍA

6 Si conocemos tres datos de una función no alineados, podemos hallar una función cuadrática que pase por los tres puntos, y utilizarla para obtener la imagen de cualquier comprendido entre las abscisas de esos puntos. Hablamos entonces de interpolación cuadrática. Ejemplo: Una empresa transporta a 0 km una mercancía por 60 y por transportarla a 50 km cobra 500. Utiliza la recta de interpolación para obtener cuánto costará un transporte de 0 km y de 5 km. Si la recta es y m + n, y debe pasar por los puntos (0,60) y (50,500), podemos y y calcular la pendiente m 7 y 7 + n, para averiguar n 50 0 sustituimos cualquiera de los dos puntos, por ejemplo, (0,60) n 50 n. Luego la recta de interpolación es: y Para 0 y por interpolación. Para 5 y por etrapolación. Nota: También se puede obtener la ecuación de la recta de interpolación sustituyendo las coordenadas de los dos puntos (0,60) y (50,500) en y m + n, y resolviendo el sistema 0m + n 60 50m + n 500 5º) La tabla recoge los datos sobre la población mundial en los años 000 y 00. Calcula, por interpolación lineal, la población del año 008 y, por etrapolación, la población del año0. [ ; ] º) El IRPF se calcula en función de los ingresos (base imponible) de la Base imponible unidad familiar. La tabla muestra las Cuota cuotas que se deben abonar en función de la base imponible: Calcula, utilizando interpolación y etrapolación lineal, las cuotas para las bases imponibles de 500 y [5 y 87] 7º) En una gran reserva natural hay una población de antílopes pertenecientes a una especie en peligro de etinción. Se piensa que el número de estos animales durante el período ha evolucionado aproimadamente según la función f ( ) , donde representa el tiempo en años, de forma que 0 corresponde a 995 y f() denota el número de antílopes a final de año.. Calcula el número de antílopes el año 000. [500]. En qué año el número de antílopes fue de 8700? [006]. La población está aumentando o disminuyendo?. Si siguiera evolucionando de este modo, en qué año se etinguirá? [08,5] 5. Da el dominio y el recorrido y eplica su significado. 8º) El mercado se rige por la ley de la oferta y la demanda. La demanda la realizan los compradores y, a medida que el precio de un artículo aumenta, la demanda disminuye. Por el 6/5 IBR IES LA NÍA

7 contrario, la oferta la realizan los vendedores y, normalmente, aumenta a medida que el precio aumenta. Supongamos que la cantidad de ordenadores ofertados por parte de los vendedores (función de oferta) depende de su precio p según la función O ( p) 0,50 p 0. La función que nos da la cantidad de ordenadores demandada por los compradores (función de demanda) también depende del precio p según la epresión D( p) 600 0, 5p.. Cuáles son las cantidades de ordenadores ofertadas y demandadas si el precio es de 500, 700 o 900? [0 y 75; 0 y 5; 0 y 75]. Di si estas funciones son crecientes o decrecientes y eplica su significado.. Represéntalas y da el dominio y el recorrido de cada una.. Halla el precio de equilibrio, es decir, aquel que hace que la oferta coincida con la demanda. [80] 9º) En el contrato de trabajo de un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas: Contrato tipo A: Sueldo fijo mensual de 0 más el % de las ventas que consiga. Contrato tipo B: El 6% de las ventas que haga de libros. a) Escribe la epresión de las funciones que nos dan lo que ganaría este vendedor según la modalidad del contrato que eligiera. b) Representa las gráficas correspondientes en los mismos ejes de coordenadas. c) Eplica cuál de los dos contratos le interesa más. 0º) La compañía de servicio de aguas tiene establecida una cuota fija por suministro de 6 más una cantidad variable que depende del consumo a razón de 0,5 /m.. Escribe la función que nos permite obtener el importe de un recibo en función de los m de agua consumidos.. Cuánto habrá que pagar por un consumo de m de agua? [6,5]. Cuál habrá sido el consumo si hemos pagado un total de 0 en el último recibo?. Escribe una nueva función para obtener el total de la factura si todos los conceptos (cuota fija y consumo) se incrementan en un % por el IVA. º) El coste de la factura de la energía eléctrica se obtiene con una cantidad fija, que se debe pagar obligatoriamente, más una cantidad proporcional al total de energía consumida. En dos meses distintos, una persona ha pagado 7,0 por 0 kw h y 6,8 por 8 kw h. Cuál es la cantidad fija que se debe pagar y cuál es el precio del kw h? Encuentra la función que nos da el coste de la factura dependiendo de la energía consumida. [7, 0 6] º) El precio de un viaje en tren es función, entre otras cosas, de los kilómetros recorridos en el trayecto. Recorrer 57 km cuesta, y recorrer 68 km vale,5. Averigua:. La función afín que epresa el coste del billete en función de los km recorridos.. Por etrapolación, el precio del billete cuando la distancia recorrida sea de 500 km.[5,5]. Si un billete cuesta 5,9, cuántos km tiene el recorrido?[8] º) Durante días consecutivos, las acciones de la compañía A han tenido una cotización dada por la función C( ) 0, + 75, donde es el nº de días transcurridos.. Cuál fue el precio de las acciones el quinto día? [6,5]. En algún momento las acciones cotizaron a 0?. Dominio y recorrido de la función.. Cuáles han sido las cotizaciones máima y mínima de la compañía? En qué días se consiguieron? [78, y 5,5; y 5] 5. Durante qué período de tiempo las acciones estuvieron al alza? Y a la baja? º) Los costes de producción (en euros) de una empresa vienen dados por C( q) q + q, siendo q el nº de unidades producidas. El precio de venta de cada unidad es de 50.. Epresa en función de q el beneficio de la empresa y represéntalo gráficamente. 7/5 IBR IES LA NÍA

8 . Para qué cantidad de unidades producidas tendrán pérdidas?[de 0 a 00 y más de 00]. Se puede afirmar que a mayor nº de unidades producidas corresponde mayor beneficio?. Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máimo? Cuál es ese beneficio?[50,500] 5º) Supongamos que para un determinado artículo, las funciones que nos dan la oferta y la demanda con respecto al precio del artículo,, en euros, son: O( ) 0,05 50 y D( ) 00. Calcula el precio del artículo para que se alcance el punto de equilibrio entre la oferta y la demanda.[00 ] 6º) Un comerciante está interesado en comprar todos los abrigos que produce una fábrica de ropa. Ahora disponen de 000 abrigos y el precio actual de mercado es de 80, pero, cada día que pasa, este precio disminuye 0,80. Si la fábrica produce 00 abrigos al día, determina la función que proporciona el dinero que ingresa la fábrica si vende los abrigos un día, tomando el día de hoy como 0. Qué día le interesa a la fábrica vender los abrigos al comerciante? Cuánto obtendrán por la venta?[5 días, ]] 7º) Encuentra una función cuadrática cuya gráfica pase por los puntos (,0 ), (,) y (,). [ f ( ) + 5 ]. FUNCIONES RACIONALES Una función racional es aquella cuya epresión algebraica es el cociente de dos polinomios: P( ) f ( ). Q( ) En las funciones racionales es posible calcular la imagen de cualquier número real, ecepto cuando éste anule el denominador, por tanto el dominio está formado por todos los números reales que no anulan el denominador. 8º) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. f ( ) b. f ( ) 9 c. f ( ) + 5 d. f ( ) + + e f ( ) + f. 7 + f ( ) 6 6 8/5 IBR IES LA NÍA

9 9º) Una empresa produce ratones inalámbricos para ordenadores. Atendiendo a los gastos de puesta en marcha de la maquinaria, al salario de sus trabajadores y a otros factores, se ha llegado a la conclusión de que producir ratones tiene un coste total, en euros, de C( ) a. Encuentra la epresión de la función C m que nos da el coste de cada ratón al fabricar ratones. b. Calcula C m (0) y C m (00). A qué es debido que haya tanta diferencia entre un coste y otro? c. Cuál es dominio de C m ()?. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: HIPÉRBOLAS Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por cualquier factor, la otra queda dividida por el mismo factor. Esto equivale a decir que: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las cantidades correspondientes de ambas es constante y k. k Luego la función que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales es de la forma y. k La función f ( ), siendo k un nº real distinto de cero, se llama función de proporcionalidad inversa. Su gráfica es una curva que se llama hipérbola equilátera. Las funciones de proporcionalidad inversa son funciones racionales. Características: El dominio es D( f ) { 0} El recorrido es Re c( f ) { 0} R. En 0(eje Y) hay una asíntota vertical. cortar. En y 0 hay una asíntota horizontal. R. La función se acerca a y 0 (eje X), aunque no lo llega a No corta a los ejes de coordenadas. k k Es una función impar (simétrica respecto al origen): f ( ) f ( ). Si k > 0 es decreciente, y la curva está en el primer y tercer cuadrantes. Si k 0 es creciente, y la curva está en el segundo y cuarto cuadrantes. No tiene etremos relativos ni absolutos. 9/5 IBR IES LA NÍA

10 0º) Asocia cada gráfica con una de las siguientes epresiones algebraicas. Estudia en cada una de ellas el crecimiento, las asíntotas y la simetría. ) ) f ( ) f ( ) 5 ) 5 f ( ) 7 ) f ( ) 7 º) Halla la epresión algebraica de estas hipérbolas: a) b) c) º) Una máquina envasa un pedido de latas de tomate en 8 horas. Se ponen varias máquinas idénticas a trabajar. a. Halla la función que epresa el tiempo de envasado en función del nº de máquinas. b. Identifica la función obtenida y represéntala. 5. FUNCIONES CON RADICALES (IRRACIONALES) Una función irracional es aquella en cuya epresión analítica la variable independiente aparece bajo el signo radical: f ( ) n g( ) Si el índice n del radical es impar, es posible calcular la imagen de cualquier nº real siempre que la epresión g() sea un número real. Si el índice n del radical es par, sólo es posible calcular las imágenes cuando g ( ) 0. Ejemplos:. f ( ) Como n es par tenemos que eigir que 0 D( f ) 0, f() 0 [ [. f ( ) Como n es impar D ( f ) R f() º) Estudia todas las propiedades de las dos funciones irracionales anteriores. 0/5 IBR IES LA NÍA

11 º) Representa las funciones: f ( ) 5º) Calcula el dominio de: a. f ( ) + + b. f ( ) 9 c. d. e. f ( ) 6 + f ( ) f ( ) f. + f ( ) + g. + f ( ) +, f ( ), f ( ), f ( ) + h. i. j. k. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Una función definida a trozos (o definida por intervalos) es aquella que tiene varias epresiones analíticas diferentes, dependiendo del valor de la variable independiente. si Así, la función dada por: f ( ) si o bien si es una función definida en tres trozos. Para calcular la imagen de un elemento observamos a qué intervalo pertenece y lo sustituimos en la epresión analítica correspondiente a dicho intervalo. Por ejemplo: Si, sustituimos en f ( ). Así f ( ) Si, la imagen no está definida, ya que - no pertenece a ningún intervalo de definición de la función. Si 0' 5, sustituimos en f ( ). Así f ( 0'5) Si, sustituimos en f ( ). Así f ( ) f ( ) si si si ], ] ], [ [, + [ Puesto que las epresiones que definen cada uno de los trozos tienen sentido para cualquier número real, el dominio está formado por la unión de los intervalos dados en la definición de la función. D ( f ) ], ] ], [ [, + [ ], ] ], + [ Si observamos la gráfica de la función vemos que su recorrido es: Rec ( f ) [, + [ 6º) Representa gráficamente las siguientes funciones e indica el dominio y el recorrido de cada una de ellas: /5 IBR IES LA NÍA

12 /5 IBR IES LA NÍA a ) ( f b. + ) ( f c. > ) ( f d. ( ) 5 f + 7º) Dibuja la gráfica de la función > + 5 ) ( f. A la vista de la gráfica, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 8º) Halla el dominio de las siguientes funciones (representa la función b): a. 0 6 ) ( f b. ( ) f > c. > + 5 ) ( f 9º) En el recibo del agua de un municipio se cobra una cuota fija de. Los primeros 50 m consumidos se pagan a 0 /m y, a partir de ahí, el precio es de 0 5 /m. Determina la función que permite conocer el importe de la factura según los metros cúbicos de agua consumidos y represéntala gráficamente. Es creciente? 0º) La dosis de un fármaco comienza con 0 mg y cada día debe aumentar mg hasta llegar a 0 mg. Cuando llegue a esa cantidad debe seguir 5 días tomando 0 mg y, a partir de entonces, irá disminuyendo mg cada día: a. Representa como gráfica de una función toda la información del enunciado. b.obtén la epresión analítica de dicha función c. Di cuál es su dominio y su recorrido º) Calcula la epresión analítica de la función representada en la gráfica e indica su dominio y su recorrido: º) El precio de un artículo que ha estado los últimos años en el mercado, en función del tiempo t (en años), ha seguido la siguiente función ) ( t t t t t P a. Representa la función precio en los últimos años. b. Estudia cuándo ha ido aumentando y cuándo disminuyendo el precio del artículo. c. Cuál fue el precio máimo que alcanzó el artículo? Cuál es le precio actual?

13 7. FUNCIONES VALOR ABSOLUTO Y PARTE ENTERA El valor absoluto de un número coincide con el propio número si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo. Luego la función valor absoluto f ( ) es una función definida a 0 trozos ya que su epresión depende de que sea mayor o menor que 0: f ( ). 0 Su gráfica está formada por dos semirrectas, una decreciente y la otra creciente, que pasan por el origen de coordenadas: Observa que esta gráfica se podría representar a partir de la gráfica de f ( ), sustituyendo la semirrecta con imágenes (ordenadas) negativas por su simétrica respecto al eje X, con imágenes positivas: Podemos hacer esto mismo para representar cualquier función del tipo y f () : primero dibujamos la gráfica de y f () y después sustituimos los trozos con ordenada negativa por sus simétricos con ordenada positiva. º) Justifica cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función f ( ) º) Representa gráficamente las siguientes funciones e indica su dominio y su recorrido: a. f ( ) + c. f ( ) b. f ( ) d. f ( ) + e. f ( ) + /5 IBR IES LA NÍA

14 Función parte entera : E() mayor nº entero menor o igual que. Si el nº es entero su parte entera es el propio número. Si no lo es, el número estará comprendido entre dos número enteros consecutivos; el menor de estos números es su parte entera. E (,) porque,. Puede ser más llamativo el hecho de que la parte entera de un nº negativo sea el entero anterior: E (,) porque - -, -. 5º) Representa gráficamente la función que asigna a un nº real,, su parte entera f ( ) E( ), e indica su dominio y su recorrido. 6º) Asocia razonadamente cada gráfica con su epresión analítica: f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) + ( ) 5 f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) 9 f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) /5 IBR IES LA NÍA

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