Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

Transcripción

1 Capítulo 1 Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial A lo largo de este capítulo, V = V (R) denotará un espacio vectorial real de dimensión n Espacios vectoriales con un producto escalar La presente sección introduce propiedades algebraicas elementales de las formas bilineales simétricas (tensores 2-covariantes simétricos). Como referencias principales pueden tomarse [?, Ch 2] y [?, Sect. 2.3] Formas bilineales simétricas y productos escalares Definición Sea b : V V R una forma bilineal simétrica. Diremos que b es: definida positiva (resp. negativa) si b(v, v) > 0 (resp. b(v, v) < 0), v V \ {0}, semidefinida positiva (resp. semidefinida negativa) si b(v, v) 0, (resp. b(v, v) 0) v V, indefinida si no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa, no degenerada si la igualdad b(v, w) = 0, w V implica v = 0. En caso contrario, diremos que b (y eventualmente V ) es degenerada, y llamaremos a N = {v V b(v, w) = 0, w V } el radical de b. 1

2 2 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial El siguiente teorema, proporciona una base de V en la que expresar b de manera sencilla 1 : Teorema (Teorema de Sylvester) Dada una forma bilineal simétrica b en V, existe una base ortonormal de V, esto es, una base B = {e 1,..., e µ,..., e µ+ν,..., e n }, tal que b(e i, e j ) = ɛ i δ ij donde δ ij es la delta de Kronecker y ɛ i = 0 (resp. ɛ i = 1; ɛ i = 1) si i = 1,... µ (resp. i = µ + 1,..., ν, i = ν + 1,..., n); es decir, la matriz de b en la base B (con su ordenación natural) es: M B (b) = 0 µ I ν I n (µ+ν) Además, Los valores de µ y ν no dependen de la base escogida. Al valor así obtenido de ν le llamaremos índice de b. A n µ le llamaremos el rango; a µ en ocasiones se le llama la nulidad de b). Hay diversas formas de probar este teorema. Una de ellas se puede llevar a cabo en los siguientes pasos. (A) Para la existencia de bases ortonormales: (A1) tómese una base cualquiera B 1 y considérese la matriz de b en esta base, (A2) al ser esta matriz simétrica, se puede diagonalizar por congruencia, hallándose así una nueva base B 2 tal que M B2 (b) es diagonal, (A3) dividiendo cada elemento v de B 2 por la raíz de b(v, v) (si ésta no es 0), y reordenándolos si es necesario, se obtiene la base ortonormal B requerida. (B) Para la unicidad de índice y nulidad: (B1) el número µ se corresponde con la dimensión del radical de b y es por tanto independiente de la base B construida 2, y (B2) el valor de ν también es independiente de la base B: en caso contrario, si existiera una segunda base ortonormal B con, digamos ν > ν, la intersección del subespacio U generado por los µ + ν primeros vectores de B y el W generado por los n (µ + ν) últimos de B tendría dimensión mayor que 0, esto es existitiría un vector u W U \{0} el cual, necesariamente, verificaría b(u, u) > 0 y b(u, u) 0. En el ejercicio se proporciona un esquema de demostración, mediante un procedimiento similar al de ortonormalización de Gram-Schmidt, por el que se prueba no sólo la existencia de bases ortonormales sino que toda base ortonormal de un subespacio no degenerado U se puede ampliar a una base ortonormal de todo el espacio vectorial. Ese procedimiento es el útil desde el punto de vista práctico, pues, entre otras razones, el arriba descrito pasa por calcular los valores propios de una matriz simétrica, lo cual no es siempre posible explícitamente. 1 Notación: dada una base (ordenada) B = (v 1,..., v n ) de V (R), M B (b) denota la matriz de b en la base B, esto es, aquélla con elementos b ij = b(v i, v j ). 2 Alternativamente, véase la observación

3 1.1. Espacios vectoriales con un producto escalar 3 Ejercicio Es cierto que toda base ortonormal de un subespacio U (posiblemente degenerado) de V se puede ampliar a una base ortonormal de todo el espacio vectorial? Observación (1) En el Teorema de Sylvester, el subespacio generado por los primeros µ vectores de cualquier base ortonormal 3 < e 1,..., e µ > R coincide con el radical de b y, por tanto, no depende de la base B escogida. En cambio < e µ+1,..., e µ+ν > R sí depende de la base, al igual que < e µ+ν+1,..., e n > R. (2) Se considera un subespacio W < V. La restricción b W := b W W de b es una nueva forma bilineal sobre W, que puede ser degenerada aunque b no lo sea. (3) Sean V, V dos espacios vectoriales y b, b sendas formas bilineales simétricas sobre V y V respectivamente. Fácilmente se demuestra que existe un isomorfismo f : V V que preserve b y b (i.e. b(x, y) = b (f(x), f(y)) x, y V ) si y sólo si n = n, µ = µ, y ν = ν. Sea q b : V R, q b (x) = b(x, x), la forma cuadrática asociada a b. Es fácil comprobar que b se puede reconstruir a partir de q b mediante la relación: b(u, v) = 1 2 (q b(u + v) q b (u) q b (v)) Definición Sean V, b, diremos que v V es temporal si q b (v) < 0, luminoso si q b (v) = 0 y v 0, espacial si q b (v) > 0, causal si v es temporal o luminoso. También escribiremos, v = q b (v) 3 Notación: la envolvente lineal de un subespacio generado por un conjunto de vectores {v 1,..., v m } se denotará v 1,..., v m R. El subíndice R indicará que esta envolvente se calcula tomando como escalares a los reales (más adelante, se usará como subíndice C al usar complejos) y permitirá distinguir entre la envolvente lineal y el producto escalar usual de R n.

4 4 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial No hay un criterio universalmente aceptado para el carácter del vector cero. En ocasiones se incluye entre los luminosos y en otras entre los espaciales. Nosotros, a los vectores luminosos junto al cero los llamaremos vectores nulos, a los causales junto al cero vectores no espaciales y a los espaciales junto al cero vectores no causales. Ejercicio Pruébese que si b es indefinida existe una base formada por vectores temporales (respectivamente luminosos, espaciales) Definición Un producto escalar g sobre V es una forma bilineal simétrica no degenerada. Diremos que g es: euclídeo si ν = 0, lorentziano si ν = 1 y n 2. Por supuesto, el producto escalar será indefinido si lo es como forma bilineal simétrica. Observación La forma bilineal simétrica b es un producto escalar si y sólo si det(m B (b)) 0 (para una base B y, entonces, para cualquier base). Sean B = (v 1,..., v n ), B = (v 1,..., v n) dos bases, y sea P = M(I V, B B ) la matriz cuyas columnas proporcionan ordenadamente las coordenadas de los elementos de la base B expresados en la base 4 B; entonces: M B (b) = P t M B (b)p, det(m B (b)) = (det P ) 2 det(m B (b)). Así, el rango de la matriz M B (b) es independiente de B, y equivale al de b. Luego, para cualquier producto escalar g se tiene: ( 1) ν det(m B (g)) > 0. 4 Notación. Seguimos siempre el siguiente convenio: si f : V V es una aplicación lineal y B, B son bases (ordenadas) de V, V resp., B = (v 1,..., v n ) entonces M(f, B B) es la matriz cuyas columnas están formadas por las coordenadas de (f(v 1 ),..., f(v n )) en B. Así, dado un vector v V, el producto de la matriz M(f, B B) por el vector-columna de las coordenadas de v en B es igual al vector-columna de las coordenadas de f(v) en B. En particular, cuando f es la identidad en V, I V, se tiene la matriz de cambio de base (o paso) de B a B. De acuerdo con nuestros convenios, dada una tercera base, B se tiene: M(I V, B B )M(I V, B B) = M(I V, B B).

5 1.1. Espacios vectoriales con un producto escalar 5 Si g es un producto escalar y B = {e 1,..., e ν, e ν+1,..., e n } cualquier base ortonormal entonces v = ɛ i g(e i, v)e i, ɛ i = g(e i, e i )(= ±1) i=1 (la demostración es inmediata, teniendo en cuenta que v n i=1 ɛ ig(e i, v)e i es ortogonal a todos los vectores de la base y, por tanto, pertenece al radical de b). Las bases ortonormales se supondrán por defecto ordenadas, de modo que todas ellas tienen el mismo valor de (ɛ 1,..., ɛ n ). A esta n upla se le llama la signatura de g. Dada nuestra definición de base ortonormal en el Teorema de Sylvester, suponemos por defecto la signatura (,...,, +,..., +). Para productos escalares cualesquiera, retendremos la nomenclatura de los euclídeos. Así, p.ej., si f es un endomorfismo (vectorial) de (V, g) diremos que f es una isometría (resp. autoadjunto) si g(u, v) = g(f(u), f(v)) (resp. g(u, f(v)) = g(f(u), v)) para todo u, v V. Ejemplo En R n definimos el producto escalar usual de índice ν,, ν, como: (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) ν = ν a i b i + i=1 i=ν+1 Definición Sea (V, g) un espacio vectorial con un producto escalar g. Sean v, w W, v se dice ortogonal a w, v w si g(v, w) = 0. Consecuentemente, para A, B V, se dice que A es ortogonal a B, A B, si v w, v A, w B. Denotaremos A al subespacio: A = {w V : g(v, w) = 0, v V } Ejemplo Considérese R 2 con el producto escalar: (t, x), (t, x ) = tt + xx. Obsérvese, por ejemplo, las siguientes relaciones de perpendicularidad, que contrastan fuertemente con las euclídeas: (y, 1) ±(1, y), < (1, 1) > R < (1, 1) > R. Definición Sea (V, g) un espacio vectorial con un producto escalar. Un subespacio vectorial W < V se dice no degenerado si W W = {0} (o, equivalentemente, si la restricción g W es no degenerada). Proposición Sea W < V, entonces: a i b i.

6 6 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial Figura 1.1: R 2 con el producto lorentziano usual (el eje vertical se asigna a la primera coordenada, t). Dos rectas vectoriales son ortogonales si y sólo si se obtiene una de la otra por reflexión a lo largo de una diagonal. (1) dim W + dim W = dim V, (2) (W ) = W, (3) V = W + W W es no degenerado ( W es no degenerado). Demostración : (1) Sea B = {e 1,..., e ρ, e ρ+1,..., e n } una base de V tal que {e 1,..., e ρ } es una base de W. Si v = n i=1 a ie i, entonces: v W g(v, e i ) = 0 i {1,..., ρ} g ij a j = 0 j=1 i {1,..., ρ}, donde g ij = g(e i, e j ). Como g es no degenerada, el subespacio W viene dado como solución de un sistema lineal de ρ ecuaciones independientes con n incógnitas, luego dim W = n ρ. (2) La inclusión (W ) W es trivial, y como, por (1), dim(w ) = dim W, se tiene la igualdad. (3) Es consecuencia directa de (1) (la afirmación entre paréntesis de (2)). Como consecuencia del resultado anterior, se tiene:

7 1.1. Espacios vectoriales con un producto escalar 7 Corolario Toda base ortonormal B U = {e 1,..., e ν, e ν +1,..., e n } de un subespacio no degenerado U de V, ν ν, n n, se puede ampliar hasta una base ortonormal de (V, g). Demostración : Como U tampoco es degenerado, complétese B U con una base ortonormal de U. Ejercicio Obsérvese que la demostración de la proposición es directa, y se puede llevar a cabo sin más que un mínimo conocimiento preliminar de sistemas de ecuaciones lineales. A partir de ella se puede obtener una demostración del Teorema de Sylvester, así como una extensión del corolario al caso de formas bilineales simétricas degeneradas, mediante un procedimiento constructivo que generaliza al de ortonormalización de Gram-Schmidt. Se propone realizar esto siguiendo el siguiente esquema. Sea b una forma bilineal simétrica: (1) Supongamos que b es no degenerada. (1A) Sea el conjunto H = {e 1,..., e ν, e ν +1,..., e n } (posiblemente vacío) una base ortonormal de un subespacio no degenerado U V. Entonces existe un vector v U tal que H {v} es ortonormal y genera un subespacio no degenerado. (1B) Demuéstrese la existencia de una base ortonormal inductivamente a partir del resultado anterior. (1C) Pruébese el resto de afirmaciones del Teorema de Sylvester (en su enunciado 1.1.2). (1D) Sea B = (v 1,..., v n ) cualquier base tal que v 1,..., v k es un subespacio no degenerado para k = 1,..., n. Constrúyase una base ortonormal a partir de B mediante un procedimiento análogo al de ortonormalización de Gram-Schmidt. (2) Si b es degenerada con radical N: (2A) Demuéstrese que b se induce en una forma bilineal simétrica no degenerada b sobre el espacio cociente V/N, definida por b([u], [v]) = b(u, v) u, v V, donde [u], [v] denotan, resp., las clases de u y v en V/N. (2B) Aplíquese el caso (1) a b y pruébese el Teorema de Sylvester para b Acotación de una forma bilineal simétrica por un producto escalar Sea g un producto escalar euclídeo. Se sabe que, para cualquier forma bilineal simétrica b, existe una base ortonormal B = (e 1,, e n ) de g tal que b(e i, e j ) = λ i δ ij. Así, si λ i 1 para todo i, necesariamente b(v, v) g(v, v) para todo v V. La situación cambia drásticamente si el producto escalar es indefinido. Para su demostración, precisaremos la siguiente sencilla propiedad técnica. Lema Sea v un vector luminoso, entonces existen sendas sucesiones {u k } k, y {v k } k convergentes a v tal que u k es temporal, y v k es espacial para todo k N.

8 8 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial Demostración : Sea u un vector temporal tal que g(u, v) 0, y w un vector espacial no nulo tal que g(v, w) 0 (obviamente, tales vectores pueden conseguirse cambiando u, w por u, w si es preciso). Las sucesiones requeridas son: u k = v + 1 k u, w k = v + 1 k w. Teorema (Criterio de Dajczer, Nomizu y otros) Sea (V, g) un espacio vectorial con un producto escalar indefinido, n = dim V, ν = índice de g, y sea b una forma bilineal simétrica. Equivalen: (1) b = c g para algún c R, (2) q b = 0, sobre vectores luminosos de g, (3) a > 0 : q b /q g a sobre vectores temporales de g, (4) a > 0 : q b /q g a sobre vectores espaciales de g distintos de cero, (5) a R : q b /q g a sobre vectores no luminosos de g distintos de cero, (6) a R : q b /q g a sobre vectores no luminosos de g distintos de cero. Demostración : (1) (resto) Es obvio. (2) (1) Distinguimos casos: Caso I: Si n = 2, ν = 1: Sea B = {e 1, e 2 } una base ortonormal para g, entonces v 1 = e 1 + e 2 y v 2 = e 1 e 2 son vectores luminosos. Si b ij = b(e i, e j ) se tiene: Luego b = b 22 g. 0 = b(v 1, v 1 ) = b b 12 + b 22 0 = b(v 2, v 2 ) = b 11 2b 12 + b 22 } { b12 = 0 b 11 = b 22 Caso II: Si n > 2, ν = 1: Sea B = {e 1,..., e n } una base ortonormal para g con g(e 1, e 1 ) < 0, y b ij = b(e i, e j ). Aplicando el Caso I a cada plano e 1, e i R, i {2,..., n}, se obtiene b 1i = 0, b ii = b 11, i {2,..., n}. Luego tenemos por el momento:

9 1.1. Espacios vectoriales con un producto escalar 9 M B (b) = c 0 c?. 0..? c con c = b 11. Si definimos el vector luminoso v(θ) = e 1 + cos(θ)e i + sen(θ)e j, para i, j > 1, i j, se sigue que: 0 = b(v(θ), v(θ)) = b 11 + cos 2 (θ)b ii + sen 2 (θ)b jj + 2 sen(θ) cos(θ)b ij = sen(2θ) b ij. Así b ij = 0, con lo cual: M B (b) = c 0 c c Caso III: Si n 2, ν = n 1: Este caso se resuelve como el anterior pero considerando el producto escalar g en vez de g. Caso IV: Si n 3, 1 < ν < n 1: Sea B = {e 1,..., e ν, e ν+1,..., e n } una base proporcionada por el teorema de Sylvester para g, y b ij = b(e i, e j ). Razonando como en el Caso II al restringirnos al subespacio < e k, e (ν+1),..., e n > R para cada k {1,..., ν}, se obtiene: M B (b) = c?... 0? c 0 c I n ν Se termina razonando como en el Caso III, al restringirnos al subespacio < e 1,..., e ν, e k > R para un valor de k {ν + 1,..., n}: ( ciν 0 M B (b) = 0 c I n ν Para el resto de la demostración del teorema será necesario usar el Lema )

10 10 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial (3) (2) Sea u un vector luminoso, y u k una sucesión de vectores temporales convergentes a u; de nuestra hipótesis (3) se tiene que: Tomando límite se tiene: 0 q b (u k ) a q g (u k ). 0 q b (u) a q g (u) (= 0). Luego q b (u) = 0, para todo vector luminoso u. (4) (2) Se prueba análogamente a (3) (2), haciendo uso del lema anterior. (5) (2) Sea u un vector luminoso, u k y v k sendas sucesiones convergentes a u de vectores temporales y espaciales, respectivamente. Por hipótesis: Tomando límite: Luego, q b (u) = 0, u luminoso. (6) (2) Se prueba análogamente a (5) (2). q b (u k ) aq g (u k ), q b (v k ) aq g (v k ). q b (u) aq g (u) = 0, q b (u) aq g (u) = 0. Como consecuencia inmediata de este teorema se obtiene la siguiente caracterización de los productos escalares homotéticos. Corolario Sean g, g dos productos escalares indefinidos sobre V con igual índice ν n/2. Entonces c > 0 : g = cg g, g tienen iguales vectores luminosos (La excepción ν n/2 se impone sólo para asegurar que la constante c sea positiva) Subiendo y bajando índices. El espacio dual Recordemos que, dado el espacio vectorial de dimensión finita V (R), se define su espacio dual como el espacio vectorial V (R) constituido por todas las formas lineales sobre V, esto es, las aplicaciones lineales ϕ : V R. Necesariamente, las dimensiones de V y V coinciden; de hecho,

11 1.1. Espacios vectoriales con un producto escalar 11 fijada cualquier base (ordenada) B = (v 1,..., v n ) de V, se define su base dual B = (ϕ 1,..., ϕ n ) como la única base de V tal que ϕ i (v j ) = δj i. En consecuencia, se tiene: v = ϕ i (v)v i, v V, ϕ = i=1 ϕ(v j )ϕ j, ϕ V. Resulta bien conocido que, si f : V V es una aplicación lineal, la aplicación traspuesta de f, f t : V V, definida por f t ( φ) = φ f es lineal. Fijadas bases B, B de, resp., V y V, se tiene entonces M(f t, B B ) = M(f, B B) t. Más aún, existe un isomorfismo canónico entre V y su espacio bidual V = (V ) definido por Φ : V V, v Φ v donde Φ v (ϕ) = ϕ(v), ϕ V. En cualquier base B y la correspondiente bidual B = (B ), se tiene que M(Φ, B B) es la matriz identidad, I n. j=1 Isomorfismos bemol y sostenido Definición Sea g un producto escalar de V, se define el isomorfismo bemol, : V V, como: (v) v : V R v (w) = g(v, w), v, w V. El isomorfismo inverso de es el llamado sostenido, : V V : (ϕ) ϕ, caracterizado por: g(ϕ, w) = ϕ(w), w V, ϕ V. No es difícil comprobar que, efectivamente, ambas aplicaciones son isomorfismos vectoriales 5. En coordenadas los isomorfismos bemol y sostenido se escriben de la siguiente manera. Sea B = (v 1,..., v n ) una base (ordenada) de V, y B = (ϕ 1,..., ϕ n ) su correspondiente base dual. Denotamos g ij = g(v i, v j ), g ij = (M B (g) 1 ) ij. Si v = n i=1 ai v i, entonces: v = a j ϕ j, donde a j = j=1 g ij a i ; 5 La aplicación bemol tiene sentido además como aplicación lineal para cualquier forma bilineal, aunque sea degenerada, pero fallaría la biyectividad, al coincidir el núcleo de con el radical de b. i=1

12 12 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial a la definición de los a j se le llama bajar índices. Análogamente para subir índices : si ϕ = n j=1 b jϕ j, entonces ϕ = b j v j, donde b j = g ij b i. i=1 Observación Sea B = (e 1,..., e ν, e ν+1,..., e n ) una base ortonormal, { 1 si i ν g ij = δ ij ε i, ε i = 1 si i > ν + 1 Si g es euclídea entonces a i = a i. En cambio, si g es lorentziana, a 1 = a 1, a i = a i, i > 1. Extensión a otros tipos de tensores Las aplicaciones y permiten establecer isomorfismos entre los espacios de tensores (r, s) (r contravariantes, s covariantes), y (r, s ) sobre V, siempre que r + s = r + s. Por ejemplo, sea el tensor 2-covariante: T : V V R Podemos construir el 2-contravariante T : V V R como T (v, w ) = T (v, w), v, w V. En coordenadas, se dice que T se obtiene subiendo los índices de T. Explícitamente, si T = i=1 t ij φ i φ j, T n = t kl v k v l i,j=1 k,l=1 entonces: t kl = t ij g ik g jl. i,j=1 Ejercicio Obténganse expresiones análogas para los tensores (1,1) obtenidos subiendo sólo el primer índice y sólo el segundo de T. Cuándo coinciden estos dos tensores? Contracción métrica Recordemos asimismo que, dado un tensor (r, s) con r, s 1 se puede definir un nuevo tensor eligiendo un índice covariante, uno contravariante, y contrayendo en ellos. Así, por ejemplo, si

13 1.1. Espacios vectoriales con un producto escalar 13 T es un tensor (1, 1), su contracción (en los únicos índices posibles) no es más que n i=1 ti i = n i=1 T (ϕi, v i ) donde (v 1,..., v n ) es cualquier base de V y (ϕ 1,..., ϕ n ) su base dual. Como en el caso euclídeo, cualquier producto escalar permite la contracción métrica de cualquier par de índices covariantes (o contravariantes) de un tensor. Así, por ejemplo, si T es un tensor 2-covariante su contracción métrica se obtiene subiendo uno de sus dos índices y contrayendo. En coordenadas: g ij T (v i, v j ). Tensores (1,1) y endomorfismos i,j=1 Recordemos que existe un isomorfismo natural (independiente de g) entre el espacio de los tensores (1, 1) y el de endomorfismos sobre V. Concretamente, a cada endomorfismo f se le asigna el tensor T f definido por T f (φ, v) = φ(f(v)), v V, φ V. Ejercicio Demuéstrese que para cualquier base B, las matrices de coordenadas asociadas a f y T f en en B coinciden. Fijado el producto escalar g, a cada tensor 2-covariante T podemos también asignarle un endomorfismo f T : basta subir su primer índice, y tomar el endomorfismo asociado al correspondiente tensor (1,1). Explícitamente f T queda caracterizado por: g(u, f T (v)) = T (u, v), u, v V. Ejercicio Demuéstrese que la contracción métrica de T coincide con la traza de f T. Es de remarcar que en el caso particular de que T sea un tensor 2-covariante simétrico, el endomorfismo f T resulta autoadjunto para g. Ejercicio Sea V un espacio vectorial, g un producto escalar sobre V, b una forma bilineal simétrica y f b el correspondiente endomorfismo autoadjunto asociado. (a) Probar que, para cualquier base B: M(f b, B) = M B (g) 1 M B (b). (b) Demostrar que equivalen: (i) El endomorfismo f b es diagonalizable. (ii) Existe una base ortonormal B de g tal que M B (b) es diagonal. (iii) La matriz M B (g) 1 M B (b) es diagonalizable (por semejanza). (c) Justificar por qué si el producto escalar g es euclídeo entonces todo endomorfismo autoadjunto es diagonalizable, pero esto no es cierto si g es un producto escalar indefinido.

14 14 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial 1.2. Espacios vectoriales lorentzianos Conos temporales Por (V, g) denotaremos un espacio vectorial dotado de un producto escalar lorentziano, o espacio vectorial lorentziano, de dimensión n 2. Existencia Proposición El conjunto de los vectores temporales (resp., causales; luminosos si n > 2), tiene dos partes conexas. A cada una de estas partes la llamaremos cono temporal, (resp. cono causal; cono luminoso). Demostración : Sea B = (e 1,..., e n ) una base ortonormal de V proporcionada por el teorema de Sylvester, v V \ {0}, v = n i=1 ai e i. Obviamente, { a v es luminoso 1 = (a 2 ) (a n ) 2 a 1 0 v es temporal a 1 > (a 2 ) (a n ) 2, { a v es causal 1 (a 2 ) (a n ) 2 a 1 0 Luego en cada caso existen dos partes conexas: la correspondiente a a 1 < 0 y la correspondiente a a 1 > 0. Definición Una orientación temporal de un espacio vectorial lorentziano es una elección de uno de los dos conos temporales (o, equivalentemente, de uno de los causales o luminosos). Al cono elegido le llamaremos cono futuro, y al otro pasado. Proposición Dos vectores temporales v y w caen en el mismo cono temporal si y sólo si g(v, w) < 0. Demostración : Podemos suponer sin pérdida de generalidad v = 1, y completarlo hasta una base ortonormal B = {e 1 = v, e 2,..., e n }. Observando que w = g(v, w)v + g(e 2, w)e g(e n, w)e n, queda claro que v y w están en el mismo cono si y sólo si g(v, w) > 0. Proposición Cada cono temporal es convexo (el segmento que une cada dos de sus puntos también está incluido en él).

15 1.2. Espacios vectoriales lorentzianos 15 Demostración : Sean v, w temporales en el mismo cono, y a, b > 0 entonces, usando la proposición anterior: g(v, av + bw) = ag(v, v) + bg(v, w) < 0, g(av + bw, av + bw) < 0. De la última desigualdad, av +bw es temporal, y de la primera cae en el mismo cono que v Desigualdades invertidas Proposición (Desigualdad de Cauchy-Schwarz invertida) Si v, w son temporales, entonces: (1) g(v, w) v w, además la igualdad se da si y sólo si v, w son colineales. (2) Si v y w están en el mismo cono, entonces existe un único ϕ 0 tal que: g(v, w) = v w cosh(ϕ) Demostración : (1) Sea a un número real y w un vector tales que w = av + w con w v (es obvio que esta descomposición siempre puede realizarse, Proposición (3)). Entonces g(w, w) = a 2 g(v, v) + g(w, w), por lo que sustituyendo a 2 g(v, v) de esta expresión y usando g(w, w) 0, g(v, w) 2 = a 2 g(v, v) 2 = g(v, v)(g(w, w) g(w, w)) g(v, v)g(w, w) = v 2 w 2 Además la igualdad se da si y sólo si g(w, w) = 0, es decir si y sólo si v, w son colineales. (2) Si v, w están en el mismo cono entonces: Luego existe un único ϕ 0 tal que: g(v, w) v w 1. cosh(ϕ) = g(v, w). v w Proposición (Desigualdad triangular invertida) Si v, w son temporales que están en el mismo cono: v + w v + w y la igualdad se da si y sólo si v, w son colineales.

16 16 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial Demostración : Como v, w están en el mismo cono, v + w es temporal y g(v, w) < 0, por lo que: v + w 2 = g(v + w, v + w) = v 2 + w g(v, w) v 2 + w v w = ( v + w ) 2. Además, la igualdad se da si y sólo si g(v, w) = v w, es decir si y sólo si v, w son colineales Conos luminosos y causales A continuación consideramos algunas propiedades análogas de los conos luminosos y causales. Proposición Sean u, v vectores luminosos, entonces: Demostración : {u, v} es linealmente dependiente g(u, v) = 0. Obvio. Salvo una constante de proporcionalidad para u y otra para v, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que las coordenadas de los vectores u y v para una base ortonormal B = {e 1,..., e n }, son: u = e 1 + a i e i, v = e 1 + b i e i. i=2 Por tanto, como g(u, v) = g(u, u) = g(v, v) = 0: 1 = a 2 b a n b n = (a 2 ) (a n ) 2 = (b 2 ) (b n ) 2 La desigualdad de Cauchy Schwarz ordinaria implica entonces que a 2 e a n e n y b 2 e b n e n son vectores colineales, y que la constante de proporcionalidad es positiva. Como además a 2 e a n e n = b 2 e b n e n se tiene u = v. Ejercicio i=2 1. Sean u, v dos vectores causales independientes, entonces: 2. Los conos causales son convexos. u, v caen en el mismo cono causal g(u, v) < 0.

17 1.2. Espacios vectoriales lorentzianos Subespacios Definición Sea (V, g) un espacio vectorial lorentziano. Diremos que un subespacio de V, W < V es: espacial, si g W es euclídea temporal, si g W es no degenerada con índice 1 (esto es, Lorentz si dimw 2) luminoso, si g W es degenerada, (W W 0) Proposición Un subespacio W < V es temporal si y sólo si W es espacial. es no dege- Demostración : Como consecuencia de que g W es no degenerada, se tiene que g W nerada y viceversa; es decir W W = {0}. Con lo cual V = W W, y por tanto: índice(g) = índice(g W ) + índice(g W ). De aquí se tiene, para la implicación directa, índice(g W ) = 0, y, para la recíproca, índice(g W ) = 0. Proposición Sea W < V, dim(w ) 2. Equivalen: (1) W es temporal, (2) W contiene 2 vectores luminosos linealmente independientes, (3) W contiene 1 vector temporal. Demostración : (1) (2) Como W es temporal, se considera una base ortonormal B = {e 1, e 2,..., e k } de W tal que e 1 es temporal y e 2 espacial. Entonces e 1 + e 2, y e 1 e 2 son dos vectores luminosos linealmente independientes. (2) (3) Sean v, w dos vectores luminosos linealmente independientes de W, entonces o v + w o v w es temporal. Esto se deduce de: g(v + w, v + w) = g(v, v) + 2g(v, w) + g(w, w) = 2g(v, w), g(v w, v w) = g(v, v) 2g(v, w) + g(w, w) = 2g(v, w). Obsérvese que g(v, w) no es cero por la proposición

18 18 Capítulo 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial (3) (1) Sea u un vector temporal de W. Si g W fuera degenerada, existiría un vector del radical de g W, z 0 (en particular, z sería luminoso). Como u, z son linealmente independientes, sabemos por el Ejercicio 1.2.8: { si u, z están en el mismo cono causal g(u, z) < 0 si u, z están en distintos conos causales g(u, z) > 0. Cualquiera de estos dos casos contradice que z está en el radical. Por tanto, g W debe de ser no degenerada. Ejercicio Sea W < V. Equivalen: 1. W es luminoso. 2. W contiene un vector luminoso, pero no uno temporal. 3. La intersección de W con el el conjunto de vectores nulos (luminosos o cero), forma un subespacio vectorial de dimensión 1.