En el estudio de probabilidades se utilizan tres palabras claves: Experimento, Resultado y Evento.

Transcripción

1 Introducción a las Probabilidades.. QUE ES UNA PROBABILIDAD? La probabilidad es un número que evalúa la posibilidad de que algo suceda. Es un valor numérico que va desde cero hasta uno, inclusive que describe la posibilidad relativa de ocurrencia de un evento. En el estudio de probabilidades se utilizan tres palabras claves: Experimento, Resultado y Evento. Experimento: Cualquier proceso que genere un conjunto de datos ej: El lanzamiento de una moneda, solo existen dos resultados posibles cara ó sello; el lanzamiento de un misil y la observación de su velocidad en tiempos especificados; las opiniones de personas que votan con respecto a un impuesto. Resultado. Un suceso particular proveniente de un experimento. Ej. Al lanzar una moneda al aire puede caer cara o sello, cada una de estos es un resultado. Evento. Conjunto de uno más resultados de un experimento Más definiciones: Experimento: conjunto de pruebas o realizaciones que se llevan a cabo un número indefinido de veces y en cada realización se tiene un resultado. Puede ser: Determinístico: cuyo resultado se puede predecir con certeza. Aleatorio: cuyo resultado no se puede predecir con certeza. Espacio Muestral (E): conjunto de resultados posibles que se pueden presentar en la realización de un experimento. Ej: 2 dados E: [,2,,,5,6]. E (,) (,2) (,) (,) (,5) (,6) 2 (2,) (2,2) (2,) (2,) (2,5) (2,6) (,) (,2) (,) (,) (,5) (,6) (,) (,2) (,) (,) (,5) (,6) 5 (5,) (5,2) (5,) (5,) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,2) (6,) (6,) (6,5) (6,6) En el lanzamiento de 2 monedas. El conjunto de espacio muestral será: E: [(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)].

2 2 Suceso Favorable (A f ): conjunto éxito o aquel suceso en el cual se está interesado que suceda o se presente. Ej: el lanzamiento de dos monedas si se está interesado en que se presenten dos lados iguales A f = [(c, c), (s, s)]. En el lanzamiento de dos dados si se quiere que se presente la suma 7 Ejemplo propuesto: A f = [(,6), (2,5), (,)(,)(5,2)(6,)] En el lanzamiento de dos dados si se quiere que se presente dos números iguales A f = [(,), (2,2), (,)(,)(5,5)(6,6)] Suceso Contrario (A c ): A c = [(c, s), (s, c)]. Probabilidad Clásica: es el conjunto de números de casos favorables sobre el número de casos posibles. P = # casos favorable # casos posibles A f = n(af ) n(e) n(a f ) = numero cardinal de A f Ejemplo : El lanzamiento de dos monedas, encontrar la probabilidad: a) Que se presenten dos lados iguales. b) Que se presenten como mínimo una cara. E: [(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)] a) A f = [(c, c), (c, s)] P (A f ) = n(af ) n(e) = 2 = 0.50 = 50% b) A f = [(c, c), (c, s)(s, c)] P (A f ) = = 0.75 = 75% Ejemplo 2: El lanzamiento de tres monedas, encontrar la probabilidad: a) Que se presenten tres lados iguales. b) Que no se presenten tres lados iguales. c) Como máximo dos caras. d) Como mínimo una cara. E: [(c, c, c), (c, c, s)(c, s, c), (s, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)(s, s, s)] a) A f = [(c, c, c), (s, s, s)] P (A f ) = 2 = 0.25 = 25% 8 b) A f = [(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] P (A f ) = 6 = 0.75 = 75% 8 2

3 A f = [(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] P (A f ) = 6 = % 8 c) A f = [(c, c, c)(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] P (A f ) = 7 8 = = 87.5% Ejemplo propuesto: En dos juego de pico botella encontrar la probabilidad que se presente 2 lados iguales y como mínimo un pico c) A f = [(p, p), (b, b)] P (A f ) = n(af ) E: [(p, p), (b, b), (p, b), (b, p)] n(e) = 2 = 0.50 = 50% d) A f = [(p, p), (p, b), (b, p)] P (A f ) = = 0.75 = 75% 2. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD. 0 y : la probabilidad siempre está en 0 y por que 0 P i ; n(a f ) n(e). 2. La suma de todas las probabilidades siempre es igual a.. La probabilidad del suceso favorable más la probabilidad del suceso contrario siempre es igual a. P(A f ) + P(A c ) =.. La probabilidad del suceso vacío es igual a 0; P( ) = 0 = [ ]. 5. La probabilidad del espacio muestral es igual a ; P(E) = n(e) n(e) =.. TÉCNICAS DE CONTEO Se utiliza para encontrar el número de casos posibles en la realización de un experimento n(e) =? a) Experimentos con eventos que presentan reemplazamiento Muestreo con remplazo Muestreo sin remplazo Ejemplo : suponga una población N=, se selecciona una muestra n=2 con reemplazo encontrar: a) Espacio muestral. b) Número de casos posibles. c) Probabilidad de que se presenten 2 números iguales.

4 N= 2 n=2 a. E = [(,), (,2), (,), (2,), (2,2), (2,), (,), (,2), (,)] b. n(e) = N n = 2 = 9 c. A f = [(,), (2,2), (,)] = P(A f ) = n(af ) n(e) = 9 Ejemplo 2: moneda E = [(c, s)] = n(e) = 2; = 0. = % 2 monedas E = [(c, c), (c, s)(s, c), (s, s)] = n(e) = 2 2 a. Probabilidad que se presenten dos lados iguales A f = [(c, c), (s, s)] P (A f ) = 2 = 0.50 = 50% b. Probabilidad que se presenten como mínimo una cara A f = [(c, c), (c, s), (s, c)] P (A f ) = = 0.75 = 75% Ejemplo : se lanzan monedas encontrar: a. El espacio muestral. b. El número de casos posibles. c. Como mínimo dos caras. d. En ninguna se presente cara. e. Como máximo caras. a. E: [(c, c, c), (c, c, s)(c, s, c), (s, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)(s, s, s)] b. N n = 2 = 8 c. A f = [(c, c, c), (c, c, s), (c, s, c), (s, c, c)] P(A f ) = = 0.50 = 50% 8 d. A f = [(s, s, s)] P(A f ) = = 0.25 = 2.5% 8 e. A f = [(c, c, c)(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] P (A f ) = 7 = 8 f = 87.5%

5 5 b) Experimentos que presentan eventos sin reemplazamiento. n(e) = C n N = N! n! (N n)! Ejemplo : suponga una población N=, se selecciona una muestra n=2 sin reemplazo encontrar E y n(e) N= 2 n=2 E = [(,2), (,), (2,)] n(e) = C n N = N! n! (N n)! C n N = Combinaciones de N elementos en n elementos N! = N factorial N! = N(N ), (N 2)! 5! = 5 2 = 20 2! = 2 = 2! = 0! = n(e) = C n N = C 2 =! 2! ( 2)! = 2 2 = 5

6 6 Otros ejemplos: Casos posibles en el baloto: n(e) = C 6 5 = 85060; P( salga ganador) = P(X) = Casos posibles en la lotería de números: 0 = 0000 Ahora, La probabilidad que La probabilidad de que una persona se gane la lotería P(X) = /0000 Ejemplo 5: se lanzan dos dados: a. Cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos. b. Cuál es la probabilidad con cada dado de obtener puntos como máximo. c. Cuál es la probabilidad de obtener dos números iguales. E (,) (,2) (,) (,) (,5) (,6) 2 (2,) (2,2) (2,) (2,) (2,5) (2,6) (,) (,2) (,) (,) (,5) (,6) (,) (,2) (,) (,) (,5) (,6) 5 (5,) (5,2) (5,) (5,) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,2) (6,) (6,) (6,5) (6,6) E = [(,6), (2,5), (,), (,), (5,2), (6,)] a. A f = 6 = 0.6 = 6.66% 6 E = [(,2), (,), (,), (2,2), (2,), (2,)(,), (,2), (,)] b. A f = 9 = 0.25 = 25% 6 E = [(,), (2,2), (,), (,), (5,5), (6,6)] c. A f = 6 = 0.6 = 6.66% 6 Ejemplo propuesto: Suponga una caja con circulo, cuadrado y triangulo. Se selecciona una muestra de n=2 con repetición, se regresa a la caja y se vuelve a sacar. Encontrar: espacio muestral, número de casos posibles, probabilidad que se presenten 2 figuras geométricas iguales 2 n=2 6

7 7 Ejemplo propuesto: E = [(,), (,2), (,), (2,), (2,2), (2,), (,), (,2), (,)] n(e) = N n = 2 = 9 A f = [(,), (2,2), (,)] = P(A f ) = n(af ) n(e) = = 0. = % 9 Suponga en una bolsa moneda de $500, una de $200, y una de $50. Si se selecciona una muestra n=2 sin reemplazo encontrar E y n(e) A B C E = [(A, B), (A, C), (B, C)] n(e) = C n N = n(e) = C n N = C 2 = N! n! (N n)! 2! ( 2)! = 2 2 =. REGLAS DE LA PROBABILIDAD. Regla de la suma: sucesos independientes y dependientes 2. Regla de la multiplicación: sucesos independientes y dependientes Regla de la suma Sucesos independientes: Sea A y B dos sucesos independientes entonces la probabilidad que se presente el suceso A o B es igual a la probabilidad que se presente el suceso A más la probabilidad que se presente el suceso B. P(A B) = P(A) + P(B) = n(a) + n(b) n(e) n(e) Ejemplo : En una oficina hay 2 directores, 8 ejecutivos y 0 secretarias. Si selecciona un empleado encontrar la probabilidad de que ese empleado sea director o que sea ejecutivo. 7

8 = 20 P(A B) = = = 0.50 = 50% 20 Ejemplo 2: se lanza un dado encontrar la probabilidad que se presente un numero par o se presente el. E A B 2,, 6, 2, 5 E = [,2,,,5,6] A f = [2,,6] = 6 = 0.5 = 50% Af = [] = = 0.6 = 6.66% 6 Ejemplo propuesto: P(A) = = 66.66% En un colegio hay 2 profesores de química, 5 de matemáticas y de física. Si se seleccionara un profesor, encontrar la probabilidad de que sea de química o de matemáticas = 0 profesores P(A B) = = = 0.7 = 70% 0 Dependencia de la suma: Sea A y B dos sucesos dependientes, entonces la probabilidad que se presente el suceso A o el suceso B, está dada por la probabilidad que se presente el suceso A más la probabilidad que se presente el suceso B menos la probabilidad que se presenten ambos sucesos. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = n(a) + n(b) n(a B) (A B) 0. n(e) n(e) n(e) Ejemplo: En una encuesta realizada a 20 amas de casa se obtuvo la siguiente información: 0 utilizaban solamente shampoo, 8 utilizaban solamente jabón y 2 8

9 9 utilizaban ambos productos. Encontrar la probabilidad de que una ama de casa utilice shampoo o jabón. Ejemplo propuesto: = = 0.8 = 80% 20 Al hacer 5 lasañas se obtuvo la siguiente información de las ventas: 5 compraron carne, 7 compraron de pollo y fueron mixtas. Encontrar la probabilidad de que alguien compre carne o pollo. Regla de la multiplicación = = 0.59 = 59% 5 Independencia: Sean A y B dos sucesos independientes entonces la probabilidad que se presente ambos sucesos A y B es igual a la probabilidad que se presente el suceso A por la probabilidad que se presente el suceso B. P(A B) = P(A) P(B) = n(a) n(b). n(e) n(e) Ejemplo : suponga dos maquinas A y B que producen artículos defectuosos y no defectuosos. El 20% de los artículos producidos por la maquina A son defectuosos en cambio el 70% de los artículos producidos por la maquina B son no defectuosos. Si se selecciona aleatoriamente un articulo de cada producción, Encontrar la probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos. A=suceso articulo defectuoso maquina A P(A) = 0.20 B=suceso articulo defectuoso maquina B P(B) = 0.0 P(A B) = P(A) P(B) = = 0.06 = 6% Ejemplo 2: Se lanzan dos dados uno blanco y el otro negro, encontrar la probabilidad de que en ambos dados se presente un numero par. A=suceso dado blanco se presente par A = [2,,6] B=suceso dado negro se presente par B = [2,,6] 9

10 0 Ejemplo propuesto: P(A B) = P(A) P(B) = n(a) n(b) = = 9 = 0.25 = 25%. n(e) n(e) Una empresa de zapatos tiene dos sedes una en el norte y la otra en el sur. El 5% de los zapatos producidos en la sede del norte son defectuosos en cambio el 85% de los zapatos producidos en la sede norte son no defectuosos. Si se selecciona aleatoriamente un par de zapatos de cada producción encontrar la probabilidad de que ambos pares de zapatos sean defectuosos. N=suceso zapatos defectuosos sede norte P(N) = 0.05 S=suceso zapatos defectuoso sede sur P(S) = 0.5 P(N S) = P(N) P(S) = = 0.75% Dependencia: Sean A y B dos sucesos dependientes, entonces la probabilidad que se presente ambos sucesos A y B, es igual a la probabilidad que se presente el suceso A por la probabilidad que se presente el suceso B dado que ya se presentó el suceso A. P(A B) = P(A) P(B) B dado A P(B A) = P(A B). P(A) En la independencia la P(B A) = P(B). Ejemplo: en el grupo de estadística hay 20 mujeres y 0 hombres, si se seleccionan dos estudiantes aleatoriamente para constituir un comité, encontrar la probabilidad: a. Ambos estudiantes sean mujeres. b. mujer, hombre. c. Ambos estudiantes sean hombres. d. hombre, 2 mujeres. A 20 M 0 H B a. A= primer estudiante sea mujer B= segunda estudiante sea mujer P(A B) = P(A) P(B) = 20 9 = = 0.6 =.6% b. A= primer estudiante sea mujer B= segundo estudiante sea hombre P(A B) = P(A) P(B A) = 20 0 = = 0.22 = 22.98%

11 c. A= primer estudiante sea hombre B= segundo estudiante sea hombre P(A B) = P(A) P(B A) = 0 9 = = 0.0 = 0.% d. A= primer estudiante sea hombre B= primer estudiante sea mujer P(A B) = P(A) P(B A) = 0 20 = = 0.22 = 22.98% Ejemplo propuesto: En una finca hay 5 perros y 0 gatos. Si se selecciona dos animales para la venta: encontrar la probabilidad de que A. ambos sean perros; B. un perro y un gato; C. ambos sean gatos y D. un gato y un perro. a. A= primer animal sea perro B= segunda animal sea pero P(A B) = P(A) P(B) = 5 = = 66.6% b. A= primer animal sea perro B= primer animal sea gato P(A B) = P(A) P(B A) = 5 0 = = 0.5 = 5% c. A= primer animal sea gato B= primer animal sea gato P(A B) = P(A) P(B A) = 0 9 = = 0.00 =.0% d. A= primer estudiante sea hombre B= primer estudiante sea mujer P(A B) = P(A) P(B A) = 0 5 = = 0.5 = 5.5% Teorema de Bayes Consiste en dos preguntas :. Se selecciona un artículo de la gran producción encontrar la probabilidad de que ese artículo sea defectuoso. P (D) = P(A n D ) + P(A 2 n D ) + + P(A i n D ) + + P(A n n D ) = P(A )P(D A ) + P(A 2 )P(D A 2 ) + + P(A i )P(D A i ) + P(A n )P(D A n ). Mirar ejemplo Regla de la multiplicación.

12 2 2. Suponga que se seleccionó un artículo y resulto ser defectuoso, encontrar la probabilidad que ese artículo que resulto ser defectuoso sea de la maquina A. P(A i D) = P(A i )P(D A i ) P(A )P(D A )+P(A 2 )P(D A 2 )+ +P(A i )P(D A i ) +P(A 2 )P(D A 2 ) n P(A i D) = i= Ejemplo : Suponga una caja rectangular que contiene urnas U, U 2 y U con la siguiente distribución.. Se Selecciona aleatoriamente bola encontrar la probabilidad que esa bola sea blanca: P (B) = P(U )P(B U ) + P(U 2 )P(B U 2 ) + P(U )P(B U ) P(U ) = P(U 2 ) = P(U ) = P (B) = = = 9 = 0. = 0% 0 2. Suponga que se selecciona una bola y resulto ser blanca encontrar la probabilidad de que esa bola sea de: a. La urna. P(U P(U B) )P(B U ) = P(U )P(B U ) + P(U 2 )P(B U 2 ) + P(U )P(B U ) b. La urna P(U B) = = = = 0. = % 9 P(U 2 )P(B U 2 ) P(U )P(B U ) + P(U 2 )P(B U 2 ) + P(U )P(B U ) c. La urna = = = 0. = % 9 2

13 P(U B) = Ejemplo propuesto: P(U )P(B U ) P(U )P(B U ) + P(U 2 )P(B U 2 ) + P(U )P(B U ) = = 2 = 0.22 = 22% 9 Suponga una frutería que contiene 5 canastas C, C 2, C, C y C 5 con la siguiente distribución:. Se selecciona aleatoriamente una fruta encontrar la probabilidad de que esa fruta sea pera. P (p) = P(C )P(p C ) + P(C 2 )P(p C 2 ) + P(C )P(p C ) + P(C )P(p C ) + P(C 5 )P(p C 5 ) P(C ) = P(C 2 ) = P(C ) = P(C ) = P(C 5 ) = 5 P (B) = = = 8 = 0.2 = 2% Suponga que se selecciono una fruta y resulto ser pera, encontrar la probabilidad de que la pera se de la C, C 2, C, C y C 5 La canasta. P(C p) = P(C )P(p C ) P(C )P(p C ) + P(C 2 )P(p C 2 ) + P(C )P(p C ) + P(C )P(p C ) + P(C 5 )P(p C 5 ) = = = 0.25 = 5.5% 8

14 La canasta 2. P(C 2 p) = P(C 2 )P(p C 2 ) P(C )P(p C ) + P(C 2 )P(p C 2 ) + P(C )P(p C ) + P(C )P(p C ) + P(C 5 )P(p C 5 ) La canasta =5. P(C p) = P(C )P(p C ) = = = 0.6 = 6.6% 6 P(C )P(p C ) + P(C 2 )P(p C 2 ) + P(C )P(p C ) + P(C )P(p C ) + P(C 5 )P(p C 5 ) = 5 La canasta. P(C 2 p) = P(C )P(p C ) = 5 = 0.20 = 20.8% 2 P(C )P(p C ) + P(C 2 )P(p C 2 ) + P(C )P(p C ) + P(C )P(p C ) + P(C 5 )P(p C 5 ) Taller 2: = = 7 = 0.29 = 29.6% 2. Un almacén recibe pedidos de cierto artículo de tres proveedores distintos P, P 2 y P. El 50% del total se le compra a P mientras que a P 2 y a P se le compra el 25% a cada uno. El porcentaje de artículos en malas condiciones que proporciona P, P 2 y P es 5,0 y 2% respectivamente. Si los artículos se almacenan sin importar quien es el proveedor y se escoge uno al azar: 2 Estadística para las ciencias administrativas, paginas 95 y 96

15 5 a) Determine la probabilidad de que sea defectuoso. b) Si es defectuoso, Cuál es la probabilidad de que haya sido despachado por el proveedor P? P P(P ) = 50% = 0.50 = ; Defectuoso P(D P ) = 5% P 2 P(P 2 ) = 25% = 0.25 = ; Defectuoso P(D P 2) = 0% P P(P ) = 25% = 0.25 = ; Defectuoso P(D P ) = 2% A) P(D) = P(P ) P(D P ) + P(P 2 ) P(D P 2 ) + P(P ) P(D P ) = = 0.08 = 8% 00 B) P(P P(P D) ) P(D P ) = P(P ) P(D P ) + P(P 2 ) P(D P 2 ) + P(P ) P(D P ) = = 0.75 = 7.5% 2. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre estos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar aleatoriamente dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque, si ninguno de los automóviles seleccionados tiene defectos. Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque? A = primer carro bueno B = Segundo carro bueno P(A B) = P(A) P(B A) = = 06 = 0.80% = 80% Suponga que hay tres cajas idénticas A, B y C. La caja A contiene dos monedas de cobre, la B una de cobre y dos de níquel y la C contiene una de plata, dos de níquel y dos de cobre. Se toma al azar una de las cajas y luego se saca una moneda de esta. Si es de cobre la moneda, Cuál es la probabilidad de que haya sido tomada de la caja A? De la caja B? De la caja C? 5

16 6 A. P(C C) = P(C )P(C C ) P(C )P(C C ) + P(C 2 )P(C C 2 ) + P(C )P(C C ) = = 5 = 0.57 = 57.6% 26 B. P(C C) = P(C 2 )P(C C 2 ) P(C )P(C C ) + P(C 2 )P(C C 2 ) + P(C )P(C C ) = = 5 = 0.9 = 9.2% 26 C. P(C C) = P(C )P(C C ) P(C )P(C C ) + P(C 2 )P(C C 2 ) + P(C )P(C C ) = = = 0.2 = 2.07% 26 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Se define como una función real valorada y definida sobre un conjunto, dicho conjunto son los valores que puede tomar la variable aleatoria. Ejemplo: (w) = x P P[x(w)] = x 6

17 7 Son los probabilidades asociadas a los valores que pueda tomar la variable aleatoria donde su dominio son los valores de la variable aleatoria y su codominio (rango) son las probabilidades asociados a estos valores. Teoremas: sea x una variable aleatoria (v. a) en el intervalo (a,b) t<a; t IR Teorema : si t < a P(x t) = P( ) = a ; (x t) (a < x < b) = Teorema 2:Si t > b P(x t) = P(x b) = P(E) = ;(x t) (x b) = P(x b) = E Propiedades de la función de probabilidad Sea x una variable aleatoria en el intervalo (a,b); f(x) una función de la v.a. x, f(x) es una función de probabilidad y f x (t)es una función de distribución acumulada hasta t. f x (t)es una función puntual para t.. P(a < x b) = P(x = b) P(x a) = f x (b) f x (a) 2. P(a x b) = P(x b) P(x a) + P(x = a) = f x (b) f x (a) + f(a). P(a < x < b) = P(x b) P(x a) P(x = b) = f x (b) f x (a) f(b). P(a x < b) = P(x b) P(x a) + P(x = a) P(x = b) = f x (b) f x (a) + f(a) + f(b) Nota: Las anteriores propiedades se cumplen para cuando la variable aleatoria es de tipo discreta y se utiliza sumatoria. Para cuando la variable aleatoria es continua es indiferente colocar < ó o sea que utilizando integrales: Ejemplos: 5 P(a < x b) = P(a x b) = P(a < x < b) = P(a x < b) = f x d x V.a discreta (# de autos) P(2 < x 5) = P(x 5) P(x 2) = f(x) f(x) = f (0) + f () + f (2) + + f (5) [f (0) + f () + f (2) ] x=0 2 x=0 Ejemplo propuesto: f () + f () + f (5) V.a discreta (# de motos) P( < x 6) = P(x ) P(x 6) = a b 7

18 8 6 f(x) f(x) = f (0) + f () + f (2) + + f (6) [f (0) + f () + f (2) + f () ] x=0 x=0 f () + f (5) + f (6) O también P( < x 6) = P( x 6) = 5 f(x) f () + f (5) + f (6) x= V.a continua (peso en onzas) P(2 < x 5) = P( x 5) = 5 2 P(2 x 5) f(x)d(x) Ejemplo propuesto: V.a continua (peso en gramos) P( < x 6) = P( x ) = P( x 6) f(x)d(x) Función de cuantía Sea x una variable aleatoria tipo discreta f(x)una función de probabilidad de la variable aleatoria x; se dice que f(x)es una función de cuantía si y solo si se cumple: f(x) 0; x f(x) = x Ejemplo: suponga que el número de artículos vendidos en un almacén tiene la siguiente distribución de probabilidad x 0 2 f(x) Demostrar que es una función de cuantía. f(x) 0; x f(0) = 0.5 > 0 si f() = 0.2 > 0 si f() = 0. > 0 si f(x) = f(0) + f() + f(2) + f() + f() = = x 8

19 9 Suponga que el numero de artículos defectuosos producidos por una factoría esta dada por la siguiente distribución de probabilidad f(x) = C x ( 5 )x ( 5 ) x x = 0,,2,, demostrar que es una función de cuantía f(x) 0; x P(x = 0) = C 0 ( 5 )0 ( 5 ) = > 0 si P(x = ) = C ( 5 ) ( 5 ) = > 0 si P(x = 2) = C 2 ( 5 )2 ( 5 )2 = > 0 si P(x = ) = C ( 5 ) ( 5 ) = > 0 si P(x = ) = C ( 5 ) ( 5 )0 = 625 > 0 si f(x) = x=0 f(0) + f() + f(2) + f() + f() = = f(x) Si es una función de cuantía. f(x) = K C x C 7 ; x = 0,,2, f(0) = C 0 C 7 = 5 f() = C C 7 = 5 f(2) = C 2 C 7 = 6 5 f() = C C 7 = = 7 K 7 = K = 7 Cual es el valor de K para que f(x) sea función de cuantía. f(x) = 7 C x ; x = 0,,2, C 7 f(0) = 7 C 0 C 7 = 5 f() = 7 C C 7 = 5 f(2) = 7 C 2 C 7 = 2 5 f() = 7 C C 7 = 5 K = = FUNCIÓN DE DENSIDAD Sea x una variable aleatoria continua f(x)una función de la variable aleatoria x se dice que f(x)es una función de densidad si y solo si se cumple: f(x) 0; x 9

20 20 f (x) d x x Ejemplo: la ganancia de un vendedor de electrodomésticos es una variable aleatoria x cuya función esta dada f(x) = 2( x) 0 < x f(x) = 0 para cualquier otro caso. Demostrar que esta es una función de densidad. f(x) 0; x = Para x = 0.5 f(0.5) = 2( 0.5) = > 0 si cmple f (x) d x 0 = 2 ( x)d x 0 0 x2 0 ] = 2 [ 0 = 2 [ x 2 = 2 ( x)d x 0 = 2 [ d x 0 x] ] = 2 [ 2 ] = 2 [ 2 ] = Si es función de densidad por que cumple las dos propiedades. ESPERANZA METAMATEMÁTICA (VALOR ESPERADO) La esperanza matemática de una variable aleatoria x que está definida por: E(X) = X x f(x) cuando al variable aleatoria Xes E(X) = X X f(x) cuando al variable aleatoria Xes cantinua. Ejemplo: suponga que la función de distribución de las ventas de un artículo es: F(X) = 7 C X C 7 a) Encontrar el promedio de ventas diarias. b) Variación. c) Desviación estándar., X = 0,,2, Media = μ x = E(X) = X x f(x) Varianza = Γx 2 = E(X 2 ) [E(x)] 2 Desviacion estandar = Γx = E(X 2 ) [E(x)] 2 20

21 2 Solución: a) E(X) = X x=0 f(x) 0f(o) + f() + 2f(2) + f() 0 7 C 0 C C C C 2 C E(X) = 28 5 E(X) =.86 5 C C 7 b) Γx 2 = E(X 2 ) [E(x)] 2 E(X 2 ) = X 2 x=0 f(x) 0 2 f(o) + 2 f() f(2) + 2 f() 0 7 C 0 C C C C 2 C E(X 2 ) = C C 7 2

22 22 E(X 2 ) =.2 Γx 2 = E(X 2 ) [E(x)] 2 Γx 2 =.2 (.80) 2 Γx 2 =.2. Γx 2 = 0,8 c) Γx = E(X 2 ) [E(x)] 2 Γx = 0,8 Γx = o. 89 Ejemplo: suponga que X es una variable aleatoria que indica el nuero de artículos defectuosos producidos en una fábrica con una función de producción dada por: F(X) = C X (0.5) X (0.5) X, X = 0,,2, a) Demostrar que f(x) es una función de cuantía. b) Encontrar la media. c) La varianza. d) Desviación estándar. Solución: a) Si es función de cuantía. b) F(0) = C 0 (0.5) 0 (0.5) 0 = F() = C (0.5) (0.5) = 0,75 0 F(2) = C 2 (0.5) 2 (0.5) 2 = F() = C (0.5) (0.5) = E(X) = X x=0 f(x) 22

23 2 0f(o) + f() + 2f(2) + f() 0(0.25) + (0.75) + 2(0.75) + (0.25) 0 + 0, E(X) =.5 b) Γx 2 = E(X 2 ) [E(x)] 2 E(X 2 ) = X 2 x=0 f(x) 0 2 f(o) + 2 f() f(2) + 2 f() 0(0.25) + (0.75) + (0.75) + 9(0.25) E(X 2 ) = Γx 2 = E(X 2 ) [E(x)] 2 Γx 2 = (.5) 2 Γx 2 = 2.25 Γx 2 = 0,75 c) Γx = E(X 2 ) [E(x)] 2 Γx = 0.75 Γx = 0.86 Ejemplo propuesto: suponga que X es una variable aleatoria que indica el nuero camisas mal confeccionadas producidos en una fábrica con una función de producción dada por: F(X) = C X (0.6) X (0.) X, X = 0,,2, 2

24 2 e) Demostrar que f(x) es una función de cuantía. f) Encontrar la media. g) La varianza. h) Desviación estándar. Solución: c) Si es función de cuantía. F(0) = C 0 (0.6) 0 (0.) 0 = F() = C (0.6) (0.) = 0,288 0 F(2) = C 2 (0.6) 2 (0.) 2 = F() = C (0.6) (0.) = d) E(X) = X x=0 f(x) 0f(o) + f() + 2f(2) + f() 0(0.06) + (0.288) + 2(0.2) + (0.26) E(X) =.8 b) Γx 2 = E(X 2 ) [E(x)] 2 E(X 2 ) = X 2 x=0 f(x) 0 2 f(o) + 2 f() f(2) + 2 f() 0(0.06) + (0.288) + (0.2) + 9(0.26) E(X 2 ) =.0 2

25 25 Γx 2 = E(X 2 ) [E(x)] 2 Γx 2 =.0 (.8) 2 Γx 2 =.0.2 Γx 2 = 0,77 c) Γx = E(X 2 ) [E(x)] 2 Γx = 0.77 Γx = 0.87 DISTRIBUCIONES DISCRETAS Ensayo experimental de Bernoulli: es un experimento que se realiza y se obtiene un resultado que puede ser éxito o fracaso: X = variable aleatoria que indica el numero de exito X = 0 no se presenta exito; X = se presenta exito. P = probabilidad de exito q = probabilidad de fracaso. P + q = Función de cuantía f(x) = P X q X ; X = 0, I) f(x) 0; X para X = 0 f(0) = q 0; para X = f() = q 0; si cumple. II) f(x) = f(0) + f() = q + P = x=0 Media = μ x = E(X) = X X=0 f(x) = 0f(0) + f() = P Varianza = Γx 2 = E(X 2 ) [E(x)] 2 E(X 2 ) = X 2 f(x) = 0 2 f(0) + 2 f() X=0 E(X 2 ) = P Γx 2 = P P 2 Γx 2 = P( P) Pq 25

26 26 Desviacion estandar = Γx = Pq Ejemplo: se lanza una moneda. Encontrar la probabilidad. a) Que no se presente cara. b) Que se presente cara. c) Encontrar la media d) Varianza e) Desviación estándar. Solución: X = variable aleatoria que indica el numeroo de exitos (cara) a) P(X = 0) = ( 2 )0 ( 0 2 ) = 2 b) P(X = ) = ( 2 ) ( 2 ) = 2 c) d) μ x = P = 2 Γx 2 = Pq = ( 2 ) ( 2 ) = = 0.25 Γx = 0.25 = 0.5 Ejemplo propuesto: un estudiante esta presentando un examen y le falta responder una pregunta cuyas opciones de respuesta son SI o NO. Encontrar la probabilidad. a) Que no responda NO. b) Que responda NO. c) Encontrar la media 26

27 27 d) Varianza e) Desviación estándar. Solución: X = variable aleatoria que indica el numeroo de exitos (cara) a) P(X = 0) = ( 2 )0 ( 0 2 ) = 2 b) P(X = ) = ( 2 ) ( 2 ) = 2 c) d) μ x = P = 2 Γx 2 = Pq = ( 2 ) ( 2 ) = = 0.25 Γx = 0.25 = 0.5 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Es un experimento de Bernoulli que se realiza n veces y en cada realización se obtiene un resultado se obtiene un resultado con probabilidad con probabilidad de éxito o una probabilidad de trabajo donde: X = variable aleatoria que indica el numero total de exitos en las n pruebas X = variable aleatoria que indica el numero de exito en la primera prueba X = 0, X 2 = variable aleatoria que indica el numero de exito en la segunda prueba X 2 = 0, X n = variable aleatoria que indica el numero de exito en la enesima prueba X n = 0, X = X + X 2 + X n X = 0,.. n f(x) = C x n P x q n x ; X = 0,,2,.. n 27

28 28 Ejemplo: demostrar que f(x) es una función de cuantía. I) f(x) 0; X para X = 0 f(0) = C 0 n P 0 q n 0 q n 0; para X = f() = C n P q n p n 0; si cumple. 2 n II) f(x) = C n x P x q n x = (P + q) = n = si, x=0 n x=0 donde f(x)es una funcion de cuantia 2 (a + b) 2 = C 2 x a x b 2 x = a 2 + 2ab + b 2 x=0 C 2 x a x b 2 x = C 2 0 a 0 b 2 0 = C 2 a b 2 = C 2 2 a 2 b 2 2 = a 2 + 2ab + b 2 x=0 Media = μ x = E(X) = E(X + X 2 + X + X n ) = = E(X) = E(X ) + E(X 2 ) + E(X ) + E(X n ) = P + P + P μ x = np, por ser independiente Varianza = Γx 2 = E(X) = var(x + X 2 + X + X n ) = P = Γx 2 = var(x ) + vare(x 2 ) + vare(x ) + var(x n ) = Pq + Pq + Pq RESUMEN Γx 2 = npq Desviacion estandar = Γx = npq f(x) = P X q X X = 0, μ x = P Γx 2 = P Γx = Pq f(x) = C n x P x q n x X = 0,,2,, n μ x = np Γx 2 = npq Γx = npq Ejemplo: se lanza una moneda 5 veces encontrar la probabilidad de: 28

29 29 a) Que ninguna se presente cara b) Exactamente una cara c) Exactamente 2 caras d) Menos de 2 caras e) Como máximo 2 caras f) Como mínimo 2 caras g) Más de dos caras h) Todas caras i) Encontrar media, varianza y desviación estándar. Solución: X= variable aleatoria que indica el número de éxito. E = (C, S) P = 2 q = 2 n = 5 f(x) = C x 5 ( 2 ) x q 5 x ; X = 0,,2,, a) P(x = 0) = C 5 o ( 2 )0 ( 2 )5 0 = ( 2 )5 = = 0.0 =.2% 2 b) P(x = ) = C 5 ( 2 ) ( 2 )5 = 5 ( 2 )5 = 5 = = 5.62% 2 c) P(x = 2) = C 5 2 ( 2 )2 ( 2 )5 2 = 0 ( 2 )5 = 0 = 0.25 =.25% d) P(x < 2) = P(X ) = 2 f(x) = f(0) + f() = + 5 = 6 x=0 = = 8.75% e) P(x 2) = 2 f(x) = f(0) + f() + f(2) = x=0 = 0.5 = 2 2 5% f) P(x 2) = P(X = 2) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 5) P(x 2) = P(X < 2) = P(X ) 2 =

30 0 P(X ) = F(x) x=0 = 8.25% {f(0) + f()} = 6 2 = 26 2 = g) P(x 2) = P(X 2) = {f(0) + f() + f(2)} = 6 2 = 6 2 = 0.5 = 5% h) P(x = 5) = C 5 5 ( 2 )5 ( 2 )5 5 = 0.0 =.2% 2 i) μ x = np = 5 ( 2 ) = 2.5 Γx 2 = npq = 5 ( 2 ) ( 2 ) =.25 Γx = npq =.25 =.8 Se sabe que el 80% de las arandelas producidas en una planta de producción están en buenas condiciones. Si se selecciona aleatoriamente 0 arandelas cual es la posibilidad de: Rta: a) Ninguna defectuosa b) Exactamente defectuosas c) Como mínimo 2 defectuosas d) P( 2< X 5 ) P: 0,20 Q: 0,80 0 a. F(0) = C 0 ( ) ( 00 ) = 0,07= 0,7% 0 b. F() = C ( ) ( 00 ) = 0,20 = 20% 0 c. F(0,,2) = C 0 ( ) ( 00 ) + 0 C ( ) ( 0,67=67% 0 d. F(,,5) = C ( ) ( 0,57=,5% ) + 0 C2 ( ) ( ) = ) + 0 C ( ) ( ) + 0 C5 ( ) ( ) Ejemplo propuesto: se realiza una pregunta a cinco estudiantes con opción de respuestas A, B o C encontrar la probabilidad de: 0

31 a) Que ninguno responda A b) Exactamente uno responda A c) Exactamente 2 respondan A d) Menos de 2 respondan A e) Como máximo 2 respondan A f) Como mínimo 2 respondan A g) Más de dos respondan A h) Todos respondan A i) Encontrar media, varianza y desviación estándar. Solución: X= variable aleatoria que indica el número de éxito. E = (A, B, C) P = q = 2 n = 5 f(x) = C x 5 ( ) x q 5 x ; X = 0,,2,, a) P(x = 0) = C 5 o ( )0 ( 2 )5 0 = ( 2 )5 = 2 = 0.6 =.6% 2 b) P(x = ) = C 5 ( ) ( 2 )5 = 5 ( ) (6) = 80 = = 2.92% 8 2 c) P(x = 2) = C 2 5 ( )2 ( 2 )5 2 = 0 ( 9 ) ( 8 27 ) = 80 d) P(x < 2) = P(X ) = 2 f(x) = f(0) + f() = = 6.08% 2 = = 2.92% + 80 = 2 x=0 = e) P(x 2) = 2 f(x) = f(0) + f() + f(2) = = 79.0% = 6 x=0 = f) P(x 2) = P(X = 2) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 5) P(x 2) = P(X < 2) = P(X )

32 2 P(X ) = F(x) x=0 = 5.90% {f(0) + f()} = 2 2 = 2 = g) P(x 2) = P(X 2) = {f(0) + f() + f(2)} = 6 8 = 7 8 = = 20.98% h) P(x = 5) = C 5 5 ( )5 ( 2 )5 5 = = 0.00 = 0.% 2 i) μ x = np = 5 ( ) =.66 Γx 2 = npq = 5 ( ) (2 ) =. Γx = npq =. =.05 Ejemplo propuesto: Se sabe que el 70 % de las partes de una productora de autos se encuentran en buen estado, si se selecciona aleatoriamente 2 partes, encontrar la probabilidad de: a. Ninguna defectuosa. b. Exactamente defectuosas c. Entre 5 y 8 en buen estado Solución: 2 a. F(0) = C 0 ( ) ( 00 ) = 0,0=, % 2 b. F() = C ( ) ( 00 ) = 0,2 = 2, % 2 c. F(5 < x < 8 ) = C 6 ( ) ( 00 ) + 2 C7 ( 0 00 = 0, ,589 = 0,27 = 2,7 % ) ( ) = 00 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Tiene una variable aleatoria discreta que indica el número total de éxitos en la realización de un experimento n veces. Se utiliza como una aproximación de la distribución binomial cuando el tamaño de la muestra es muy grande y tiende a infinito y la probabilidad de éxito es muy pequeña y tiene a 0. Se puede decir que es perfecta cuando la media U x = np en la distribución binomial es menor a 5. 2

33 U x = np < 5 Esa función de cuantía de la distribución de Poisson es igual a e Ux F(x) = e Ux x! Esta distribución también se utiliza en los procesos Poissonianos cuando se refiere a sucesos y a eventos con respecto al tiempo eje: llegada de clientes a un banco durante un tiempo determinado. Ejemplo: Suponga que el % de los artículos producidos por una maquina son defectuosos si se toma una muestra aleatoria de 00 artículos encontrar la probabilidad de: a) Ninguno defectuoso b) Exactamente 2 defectuosos c) Menos de 2 defectuosos d) Más de 2 defectuosos. X= V.a que indica # total de éxito. P=0,0; n= 00; U= np= 00x 0,0= < 5 a. P (0) = e 0 0! b. P (2) = e 2 2! c. P (x<2) = e 0 0! = 6,79% = 8,% + e! = 7,5 % d. P (x > 2) =- P( X 2 ) = - e 0 0! + e! + e 2 2! = 8 % A una oficina de correo llegan hombres, mujeres y niños siguiendo una distribución de Poisson así: 2 hombres cada hora 6 mujeres cada 0 min Y 5 niños cada media hora a) Exactamente 2 hombres cada 5 min b) Más de 2 mujeres cada 8 min c) Exactamente niños cada 5 min d) Exactamente cliente cada 5 min

34 Rta: a. 2 h 60 min X 5 min = H cada 5 min P (2)= e 2 = 8, % 2! b. 6muj 0 min X 8 min =,2 mujeres. P(x > 2)= p(x 2) = - ( e,2,2 0 0! + e,2,2! + e,2,2 2 2! ) = 2,26 % c. 5 min 0 X 5 = X =0,8 P (2)= e 0.8 0,8! =,% d. 6 mujeres 0 min X 5 min x =0,75 5 min 0 X 5 = X =0,8 2 hombres 60 min X 5 min: x = U x = 2,58 F ()= e 2,58 2,58! = 9% Ejemplo propuesto: Suponga que el 5 % de las flores producidas en un vivero son defectuosas, si se toma una muestra aleatoria de 00 flores, encontrar la probabilidad de: a. Ninguna defectuoso b. Exactamente 8 defectuosos c. Menos de 2 defectuosos Solución: P = 5 % = 5 00 ; n= 00 P n = 5 = U x

35 5 a. P (0) = e ! b. P (8) = e ! c. P (x<2) = e ! = 0,0067 x 00 = 0,67% = 0,0652 x 00 = 6,5% + e 5 5! = 0,00 x 00 = % = 0, ,0 DISTRIBUCIÓN NORMAL Sea x una variable aleatoria continua que indica los éxitos con función de densidad F (x) = ( x Ux ) 2 2π rx e 2 rx X ~ N (U x ; r x ) = Z ~ N (U x = 0; r x = ) P (x < x < x2) Teorema central: Z = X Ux rx f (x)dx = P (x < x < x2) = x2 x,5,5 2,5 2,5 0,5 f (x)dx P (x < x < x2)= P ( X Ux rx < X Ux rx P (Z < Z < Z2)= < X2 Ux rx ) 5

36 X Z P (Z < Z < Z2) = N (Z2) P (Z <,) = N (,)= 0,96 B. a la derecha de,8 P ( Z <,8 ) = N (,8 )= - P ( Z,8 ) = N (,8 ) = 0, 969 = 0, 05 =, 5 % Z,8,9 6

37 7 C. izquierda de Z =,8 P ( Z <,8 ) = N (,8 )= 0,906 = 9, % D. Z = -,8 ; Z=,8 P( -,8 <,8 ) = N (,8) N (-,8) = 0,906-0,52 = 0,895= 89,5 % 2. En una distribución normal estándar encontrar el valor de Z cuando el área bajo la curva a la derecha de Z es de 0, P ( Z > z ) = 0, = - P ( Z z ) = 0, = 0,59 Z 0, 0,2 0, 0,2 0,59. U x = 0 meses r x = 6, meses a. P ( X > 2 ) = P ( Z > 2 0 ) 6, P (Z > - 8 ) = P (Z >,27) 6, = - P (Z,27) = 0,020 = 0,898 = 89 % 2 Ux= 0 Z Entre 5 y 5 meses P( 5 < x < 5 ) = P ( 5 0 6, < z < 5 0 6, ) = N ( -0,79 ) N ( 0,79 )= 0,7852-0,28 = 57 % 7

38 8 Ejemplo propuesto: En una distribución estándar encontrar el valor de Z cuando el área bajo a curva a la derecha de Z es 0,52 P (Z > z) = 0,52 P (Z z) = 0,8 Ejemplo propuesto: Se regula una máquina de helados que sirve en promedio 200 gramos por cono, si la cantidad de helado se distribuye normalmente, con una desviación estándar de 8 gramos. Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 89 y 20 gramos? U x = 200; r x = 8 P (89 < Z < 20) P ( < Z < ) = - 0,6 < Z < 0,66 = N (0,66) - N (-0,6) = 0,5675 0,2709 = 0,2966 x 00 = 29,6% Ejemplo propuesto: En una distribución estándar encontrar el valor de Z cuando el área bajo a curva a la derecha de Z es 0,52 P (Z > z) = 0,52 P (Z z) = 0,8 Ejemplo propuesto: Se regula una máquina de helados que sirve en promedio 200 gramos por cono, si la cantidad de helado se distribuye normalmente, con una desviación estándar de 8 gramos. Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 89 y 20 gramos? U x = 200; r x = 8 P (89 < Z < 20) P ( < Z < ) = -0,6 < Z < 0,66 = N (0,66) - N (-0,6) = 0,5675 0,2709 = 0,2966 x 00 = 29,6% Ejercicios capitulo 6. Dada la distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que esta 8

39 9 a) A la izquierda de z=.; z =. P(z <.) N(.) = = 92.6% b) A la derecha de z=-0.89; z = 0.89 P(z > 0.89) = P(z 0.89) N( 0.89) = = 0.8 = 8.% c) Entre z=-2.6 y z=-0.65; P( 2.6 < z < 0.65) = N( 0.65) N( 26) = = 0.22 = 2.2% D A la izquierda z=-.9; z =.9 P(z <.9) N(.9) = = 8.2% e) A la derecha de z=.96; z =.96 P(z >.96) = P(z.96) N(.96) = = = 25% f) Entre z=-0.8 y z=.7 P( 0.8 < z <.7) = N(.7) N( 0.8) = = 0.65 = 6.5% 2. Encuentre el valor de z si el área bajo una curva normal estándar a) A la derecha de z es 0.622; P(Z > z) = P(Z z) = P(Z z) = N(z) = z = 0. 5 b) A la izquierda de z es 0.; P(Z < z) = 0. N(z) =.2 c) Entre 0 y z, con z>0, 0.88; P(Z < 0) = 0.88 P(Z < 0) = = N(z) = z = 0.0 d) Entre-z y z, con z>0, es ; P(Z > 0) = P(Z 0) = = 0.05 =.59 N(z) = 0.05 z 9

40 0 7. un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de 0 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que las vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con un desviación estándar de 6. meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva. U x = 0 meses r x = 6. meses X ~ N (U x = 0 meses ; r x = 6. meses) a) Mas de 2 meses P(x > 2) P (z > ) = P (z > ) = P(z >.27) = P(z.27) = N(.27) = = = 89.80% b) Menos de 28 meses P(x < 28) = P (z c) Entre 7 y ) = N(.90) = = 2.87% P(7 < x < 9) = P ( < z < ) = P( 0.7 < Z <.2) = N(.2) N( 0.7) = = = 75.62% 8. Las barras de pan de centeno que ciertas panadería distribuyen a las tiendas locales tiene una longitud promedio de 0 cm y una desviación estándar de dos centímetros. Suponga que las longitudes están distribuidas normalmente Qué porcentaje de las barras son a) Mas largas que.7cm? U x = 0 cm; r x = 2 cm.7 0 P(x >.7) = P (z > ) = P(z 0.87) = N(0.87) = = = 9.22% b) Entre 29. y.5 centímetros de longitud? P(29. < x <.5) = P ( < z <.5 0 ) = P( 0.5 < Z <.75) = N(.75) 2 2 N( 0.5) = = = 59.6% c) Mas cortas que 25.5 centímetros? 0

41 P(x < 25.5) = P (z ) = N( 2.25) = =.22% 2 9. Se regula una maquina despachadora de refrescos para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si l a cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 5 mililitros, a) Qué fracción de vasos obtendrán más de 22 mililitros? μ x = 200 δ x = 5m P(X > 22) P (Z ) P(Z >.6) P(Z.6) N(.6) 5 = = 0.05 = 5.8% b) Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre9 y 209? P(9 < x < 209) = P ( < z < ) = P( 0.6 < Z < 0.6) = N(0.6) 5 5 N( 0.6) = = 0.5 = 5.% c) Cuántos vasos probablemente se derramaran si se utilizan vasos de 20 mililitros para las siguientes 000 bebidas? P(X > 20) P (Z ) P(Z > 2) N(2) = = = 2.28% 5 d) por debajo de que valor obtendremos 25% de las bebidas mas pequeñas? P(Z < z) = 0.25 N(z) = El diámetro interior del anillo de un pistón ya terminado se distribuye normalmente con una media de 0 cm y una desviación estándar de 0.0 cm, a) Qué proporción de anillos tendrán diámetros interiores que excedan centímetros? U x = 0 cm; r x = 0.0 cm P(x > 0.075) = P (z > ) = P(z 2.5) = N(2.5) 0.0 = = 0.62% b) Cuál es al probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro interior entre 9.97 y 0.0 centímetros?

42 P(9.97 < x < 0.0) = P ( < x < ) = P( < Z < ) = N() N( ) = = = 68.26%.. Las alturas de 000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 7.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Suponga que las alturas se registran al medio centímetros mas cercano, cuantos de estos estudiantes esperaría que tuvieran alturas a) Menores que 60.0 cm? U x = 7.5 cm; r x = 6.9cm P(x < 60.0) = P (z ) = N( 2.0) = =.79% 6.9 b) Entre 7.5 y 82.0 cm inclusive? P(7.5 < x < 82.0) = P ( < z < ) = P( 0. < Z <.08) = N(.08) N( 0.) = = = 52.6% c) Igual a 75.0 cm? P(X = 75) P (Z ) = P(Z = 0.072) = P(z = 0.072) 6.9 N( 0.072) = 0.72 = = 52.79% d) Mayor que o igual a 88.0 cm? P(x 88.0) = P (z > ) = P(z.95) = N(.95) = 0.97 = = 2.56% 2