Modelo Muestra Aleatoria

Transcripción

1 Las técnicas de regresión lineal múltiple parten de k+1 variables cuantitativas: La variable respuesta (y) Las variables explicativas (x 1,, x k ) Y tratan de explicar la y mediante una función lineal de las x 1,, x k representada por: y = β 0 + β 1 x β k x k Debemos extender a k variables las ideas y técnicas de la regresión lineal simple 2007 Estadística; 3º CC. AA. 2 Modelo Y = β 0 + β 1 X β k X k + U Muestra Aleatoria X = matriz del diseño 2007 Estadística; 3º CC. AA. 3 1

2 Cuatro hipótesis comunes con la regresión lineal simple Normalidad Homocedasticidad Linealidad Independencia de las observaciones Es decir, {(X 1i,X 2i,,X ki,y i ): i=1,2,,n} son vectores aleatorios independientes 2007 Estadística; 3º CC. AA. 4 n > k+1 Y dos requisitos adicionales El modelo depende de k+2 parámetros. Para que la regresión tenga sentido debemos tener un número suficiente de datos (evidentemente, en la regresión lineal simple, también necesitamos más de 2 datos para que tenga sentido ajustar una recta) inguna de las X es combinación lineal de las otras (no hay colinealidad) Si alguna de las X i es combinación lineal exacta de algunas de las otras X j, el modelo puede simplificarse con menos variables explicativas. También hay que tener cuidado si alguna de las X está fuertemente correlacionada con otras Estadística; 3º CC. AA. 5 2

3 Datos y estimación de los parámetros Geométricamente, la nube de puntos ahora está en un espacio de dimensión k+1 Difícil de visualizar para k>2! X es la matriz del diseño, ahora con los datos; X es su traspuesta. Estimaciones: donde: son los residuos 2007 Estadística; 3º CC. AA. 6 Ejemplo 1 Estimación del tamaño de Trilobites En la mayoría de las condiciones de preservación, es difícil encontrar ejemplares completos de Trilobites. La cabeza (cephalon) suelta es mucho más común. Por ello, es útil poder estimar el tamaño del cuerpo en función de medidas sobre la cabeza, estableciendo cuáles de ellas constituyen la mejor determinación del tamaño total. El siguiente ejemplo está tomado de: Norman MacLeod Keeper of Palaeontology, The Natural History Museum, London 2007 Estadística; 3º CC. AA. 7 3

4 Dibujos de Sam Gon III 2007 Estadística; 3º CC. AA Estadística; 3º CC. AA. 9 4

5 y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x Estadística; 3º CC. AA. 10 Intervalos de confianza Error típico de la estimación de (desviación típica estimada de ) 2007 Estadística; 3º CC. AA. 11 5

6 Contrastes de hipótesis Rechazaremos H 0, al nivel α, si el cero no cae en el intervalo de confianza 1- α para β i. Lo que es equivalente al contraste de la t de Student para cada parámetro β i Estadística; 3º CC. AA. 12 Estimación de la respuesta media de Y para los valores x 10,, x k0 de las variables explicativas 2007 Estadística; 3º CC. AA. 13 6

7 Predicción de un nuevo valor de Y dados los valores x 10,, x k0 de las variables explicativas 2007 Estadística; 3º CC. AA. 14 Ejemplo 1 Estimación del tamaño de Trilobites Coeficientes Error típico Estadístico t p-valor Inferior 95% Superior 95% Intercepción 3,9396 4,4531 0,8847 0,3887-5, ,3349 Gabella length 2,5664 0,8771 2,9259 0,0094 0,7159 4,4170 Glabella width 0,9387 1,0730 0,8749 0,3938-1,3250 3, Estadística; 3º CC. AA. 15 7

8 Análisis de la Varianza Coeficiente de determinación 2007 Estadística; 3º CC. AA. 16 Tabla Anova Rechazaremos H 0, al nivel α, si : Relación entre F y R Estadística; 3º CC. AA. 17 8

9 Ejemplo 1 Estimación del tamaño de Trilobites Gr. de libertad Suma de cuadrados cuadrados medios F Valor crítico de F Regresión ' '11 40'32 0' Residuos '70 69'28 Total '92 R 2 =0,83 Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0'909 Coeficiente de determinación R 2 0'826 R 2 ajustado 0'805 Error típico 8'323 Observaciones Estadística; 3º CC. AA. 18 Resumen de los contrastes 2007 Estadística; 3º CC. AA. 19 9

10 Ejemplo 2 Respiración de líquenes Se estudia la tasa de respiración (nmoles oxígeno g -1 min -1 ) del liquen Parmelia saxatilis en crecimiento bajo puntos de goteo con un recubrimiento galvanizado. El agua que cae sobre el liquen contiene Zinc y Potasio que utilizaremos como variables explicativas. Los datos corresponden a: Wainwright (1993), J. Biol. Educ., 27(3), Estadística; 3º CC. AA. 20 Datos Respiration Rate Potassium ppm Zinc ppm Variable MEA MEDIA TRMEA STDEV SEMEA RespRate K ppm Zn ppm Estadística; 3º CC. AA

11 Plano de regresión Tasa de respiración = β 0 + β 1 Potasio + β 2 Zinc Datos 2007 Estadística; 3º CC. AA. 22 Regresión de la tasa de respiración (RespRate) sobre el Potasio (K) y el Zinc (Zn). La ecuación de regresión estimada es: RespRate = K Zn Predictor Coef Stdev t-ratio p Constant K ppm Zn ppm Estadística; 3º CC. AA

12 Análisis de la varianza (tabla A OVA) Source df SS MS F p Regression Error Total Estadística; 3º CC. AA. 24 ANÁLISIS DE VARIANZA (sólo Zn) gr. Libertad Suma de cuadrados cuadrados medios F p-valor Regresión , ,58 30,51 0, Residuos 7 493,42 70,49 Total Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0,90 Coeficiente de determinación R^2 0,81 R^2 ajustado 0,79 Error típico 8,40 Observaciones 9 ANÁLISIS DE VARIANZA (sólo K) gr. Libertad Suma de cuadrados cuadrados medios F p-valor Regresión , ,51 6,22 0,04 Residuos ,49 199,93 Total Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0,69 Coeficiente de determinación R^2 0,47 R^2 ajustado 0,40 Error típico 14,14 Observaciones Estadística; 3º CC. AA

13 Extensiones: 1- interacciones Del análisis anterior concluiríamos que el Potasio (K) no es un importante predictor para la tasa de respiración del liquen (A pesar de que se sabe que es significativo en ausencia de Zinc) Sin embargo, el Análisis de la Varianza permite también estudiar interacciones entre las variables predictoras. Por ejemplo, podemos definir la interacción creando una nueva variable resultante de multiplicar K por Zn (la nueva variable es KZn). Los resultados de una regresión multilineal con predictores K, Zn, KZn son Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Intercepción 106,07 10,32 10,28 0,00015 K -0,0678 0,020-3,41 0,01898 Zn -0, , ,81 0,00055 KZn 0, ,85E-06 3,92 0, Estadística; 3º CC. AA. 26 Tabla ANOVA ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados F Valor crítico de F Regresión ,6 848,52 43,10 0,00054 Residuos 5 98,4 19,69 Total , Estadística; 3º CC. AA

14 Al poner el producto de las dos variables como tercer predictor no tenemos un plano sino una superficie curva. Tasa de respiración = β 0 + β 1 Potasio + β 2 Zinc +β 3 Potasio x Zinc Ejercicio: comentar y criticar este ejemplo 2007 Estadística; 3º CC. AA. 28 Extensiones: 2-regresión no lineal El océano, que cubre el 70% de la superficie terrestre y tiene una permanente interacción con la atmósfera, juega un papel fundamental en el equilibrio global. Para identificar y comprender los vínculos (pasados, presentes y futuros) del océano con el clima es importante entender el comportamiento de los ciclos nutrientes y el carbono marino. La transferencia de carbono desde la superficie del océano a las aguas profundas puede tener una influencia importante en los niveles atmosféricos de CO 2 a largo plazo. La siguiente diapositiva muestra un ejemplo de regresión no lineal del flujo de carbono hacia las profundidades marinas con la correspondiente profundidad del agua y la producción primaria de carbono en la superficie. Los datos provienen de: AWI Foundation for polar and marine research Schlüter M., Sauter E. J., Schäfer A., and Ritzrau W. (2000) Spatial budget of organic carbon flux to the seafloor of the northern orth Atlantic (60-80 ). Global Biogeochemical Cycles 14(1), Estadística; 3º CC. AA

15 podemos convertirlo en una relación lineal? 2007 Estadística; 3º CC. AA. 30 Ejemplo 3 Predicción de estados tormentosos en Florida Experimental forecasting of dry season storminess over Florida and the southeast United States from the ENSO (niño-southern oscillation) signal using multiple linear regression techniques. Bartlett C. Hagemeyer, National Weather Service, Melbourne, Florida Rebecca A. Almeida, Florida Institute of Technology, Melbourne, Florida 13th Symposium on Global Change and Climate Variations and 16th Conference on Probability and Statistics in the Atmospheric Sciences. American Meteorological Society. El objetivo del estudio es predecir, con la mayor anticipación posible, la aparición de temporales en Florida durante la estación seca. Para ello se propone utilizar los valores del índice iño 3.4 proporcionados por el Centro de Predicción del Clima Estadística; 3º CC. AA

16 Las regiones del IÑO El índice iño 3.4 representa la temperatura anómala de la superficie marina (en grados centígrados) sobre la región limitada por 120 O-170 O y 5 S Estadística; 3º CC. AA. 32 Se encontró que el índice iño 3.4 podía ser un indicador significativo de anomalías en el nivel de la presión media marina y estados tormentosos en la estación seca en Florida. Entre otros resultados, el mejor pronóstico de temporales basado en dos índices iño 3-4 resulta de los índices de septiembre y enero. Septiembre es el indicador principal de tormentas en noviembre y diciembre y enero confirma la tendencia durante la estación seca (Más detalles en Storminess ( ov-apr) = β 0 + β Sep ( ino3.4 Sep )+ β Jan ( ino3.4 Jan ) R= 0.74 F significativo al nivel 0,01 y los contrastes de la t al nivel 0, Estadística; 3º CC. AA