Cálculo Integral: Guía III

Transcripción

1 Cálculo Integral: Guía III Profr. Luis Alfonso Rondero García INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 5//

2 Introducción Esta guía tiene como objetivo darte una introducción rápida para que inicies el curso de Cálculo Integral, comprendiendo: Qué es? Cómo se relaciona? con tu curso anterior de Cálculo Diferencial, así como ofrecerte las eplicaciones necesarias los problemas tipo resueltos de manera clara sencilla que aunadas a las eplicaciones dadas en clase por tu profesor, te permitirán iniciarte rápidamente en la resolución de integrales inmediatas de tipo algebraico, trigonométrico, eponencial logarítmico, usando el formulario básico de integrales así como el empleo del método de integración por cambio de variable para resolver aquellas integrales indirectas que no se ajustan aparentemente a ninguna de las fórmulas elementales convenidas. Los procesos matemáticos empleados en la resolución de integrales requieren de tus conocimientos básicos de algebra trigonometría, de tu capacidad deductiva de tu trabajo constante. Todos los caminos que conducen al conocimiento son intrincados difíciles pero representan la maor aventura que puede tener el intelecto humano Acepta el reto! Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

3 Cálculo Integral El curso de Cálculo Integral aplica los aprendizajes previos de: Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica Cálculo Diferencial, en el estudio significativo de las funciones sus diferenciales así como sus aplicaciones en el cálculo de áreas de regiones planas limitadas por curvas el cálculo de volúmenes de sólidos irregulares, longitudes de arco aplicaciones a la física del movimiento, trabajo energía, presión, centroides de masa, momentos de inercia, etc.. El cálculo proporciona a los estudiantes, ingenieros tecnólogos los conocimientos necesarios para operar aplicar funciones matemáticas con variable real en el planteamiento solución de situaciones prácticas que llegan a presentarse en su ejercicio profesional. La integración se considera un eje fundamental para el planteamiento desarrollo de conceptos que permiten entender asimilar conocimientos de casi todas las áreas de la ingeniería la tecnología aplicada, especialmente en la física, para finalmente abordar temáticas generales del saber específico en el campo profesional. Objetivo Particular El objetivo principal de ésta guía es la de permitir al estudiante del nivel medio superior acceder a los principales conocimientos del Cálculo Integral de manera sencilla práctica permitiéndole aplicar los algoritmos fundamentales para resolver con precisión las diferentes integrales que se presentan en diversos campos del quehacer científico técnico así como realizar la aplicación del cálculo a problemas de áreas entre curvas volúmenes de sólidos de revolución. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

4 Al término de las tres guías de Cálculo Integral habiendo realizado TODOS los problemas propuestos de manera satisfactoria, el alumno habrá logrado: Desarrollar habilidades destrezas que le permitan resolver todo tipo de integrales propuestas en el programa mediante el razonamiento, el análisis la refleión; interpretar diversos modelos en términos matemáticos que lo conduzcan a la solución de problemas teórico-prácticos. Proponer plantear problemas prácticos teóricos mediante su formulación matemática así como el modelar sistemas físicos a través del manejo de datos variables establecidas de modo empírico partiendo de las bases adquiridas durante su formación. Argumentar justificar el porqué del empleo de ciertos modelos matemáticos en la resolución de problemas teóricos prácticos específicos. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

5 Ésta guía desarrolla el programa vigente de Cálculo Integral de acuerdo al modelo de competencias Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5

6 UNIDAD III. INTEGRAL DEFINIDA Así como el concepto de la derivada proviene del problema geométrico de trazar una tangente a una curva, el problema histórico que conduce la definición de la integral definida es el cálculo de áreas bajo una curva. Tanto Newton como Leibniz presentaron versiones tempranas de este concepto, sin embargo, fue Riemann quien dio la definición. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Si una función es continua es un intervalo cerrado a, b, entonces f es integrable siempre en a, b. El teorema fundamental del cálculo señala: si una función f es continua en el intervalo a, b, entonces eiste la integral definida b f d = F b F(a) a Donde f es cualquier función. El resultado de esta integral es igual al área bajo la curva f() representada en el plano por la región R la cual está limitada además por el eje las rectas =a & =b.. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

7 Sabemos calcular el área de algunas figuras planas como, por ejemplo, rectángulos, triángulos, trapecios, círculos, así como cualquier región del plano limitada en su etensión por líneas rectas. Imaginemos por ejemplo que nuestro problema sea el cálculo del área de una mesa que tiene la siguiente forma: Ahora supongamos que queremos revestir piezas de metal con un material aislante de la forma siguiente por lo tanto será necesario calcular el área de una de ellas. En el intento para calcular el área nos daremos cuenta de que las herramientas matemáticas de que disponemos para dicho cálculo son insuficientes. Primeramente, vamos a eaminar algunas figuras planas simples que son obtenidas a partir del gráfico de alguna función conocida. El área de un triángulo, como el mostrado en la figura, que puede ser obtenido a partir del gráfico de la función : Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 7

8 A=bh/ A=()/= u El área de un triángulo, como el de la figura siguiente, puede ser obtenido a partir del gráfico de la función: A=bh/ A=6()/=6u función: El área de la región comprendida entre el eje el gráfico de la A= + π u Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 8

9 El área de una región que se encuentra entre la parábola f()= & el eje, para valores de variando en el intervalo [-,]. En el intento para calcular ésta región nos damos cuenta de que las herramientas matemáticas de que disponemos para dicho cálculo son insuficientes. Podemos observar que por una cuestión de simetría bastará con calcular el área de la parte ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano después duplicar el valor obtenido. Para saber el valor del área sólo contamos con la geometría plana elemental, por lo que podremos tan solo obtener un valor de aproimación subdividiendo el intervalo [,] en cuatro partes iguales é inscribiendo cuatro rectángulos entre la curva el eje. Para que los rectángulos estén inscritos necesitamos que el vértice superior izquierdo de los mismos se apoe ó sea punto de la curva. La suma de las áreas de los cuatro rectángulos nos dará un valor aproimado por defecto para el área requerida: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 9

10 Como el área de un rectángulo se obtiene multiplicando su base por la altura la base de los cuatro rectángulos es la misma :.5 las alturas respectivas son :,.5,,,5 entonces las alturas deberán siempre obtenerse mediante la función limitante f() para el valor inicial de que sea etremo izquierdo de cada uno de los subintervalos que surgieron por la partición del intervalo original que en este caso son: [,.5], [.5,], [,.5] [.5,] ; de éste modo las alturas respectivas son : f()=() =, f(.5)=(.5) =.5, f()=() =, f(.5)=(.5) =.5 Finalmente el área de la región derecha tiene un valor de aproimación por defecto : Si ahora repetimos el proceso pero los mismos cuatro rectángulos los colocamos en forma e inscrita, es decir que el vértice superior derecho de cada uno de ellos se apoe en la curva entonces al sumar sus áreas estaremos encontrando un valor de aproimación de la misma por eceso de éste modo estaremos estableciendo con maor precisión el área de la región buscada constituendo un rango. Las alturas deberán siempre obtenerse mediante la función limitante f() para que el valor inicial de sea etremo derecho de cada uno de los sub-intervalos que Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

11 surgieron por la partición del intervalo original que en este caso generó los subintervalos: [,.5], [.5,], [,.5] [.5,] ; respectivas son de éste modo las alturas f(.5)=(.5) =.5, f()=() =, f()=(.5) =.5, f()=() = Finalmente el área de la región derecha tiene un valor de aproimación por eceso : De ésta manera el área de la región que se encuentra limitada por la parábola: f() =, el eje las rectas verticales : = & = se encuentra comprendida entre Finalmente podemos establecer que el área de la región original en éste problema está comprendido entre (.75)=,5 & (.75)=7,5 Este valor de aproimación lo podemos mejorar aumentando el número de rectángulos inscritos e inscritos. Subdividiendo el intervalo original: [,] en ocho partes iguales, podemos inscribir 8 rectángulos construidos de modo que la base superior esté siempre por debajo de la curva, para lo cual el vértice superior izquierdo de cada rectángulo deberá estar apoado en la curva. Los sub-intervalos que surgieron por la partición Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

12 del intervalo original en ocho partes iguales son: [,.5], [.5,.5], [.5,.75],[.75,],[,.5],[.5,.5],[.5,.75],[.75,]. La suma de las áreas de esos ocho rectángulos nos dará un mejor valor de aproimación por defecto del área buscada que el empleo de tan solo cuatro rectángulos. La base de los nuevos rectángulos es ahora de.5 las alturas respectivas son: f()=() =, f(.5)=(.5) =.65, f(.5)=(.5) =.5, f(.75)=(.75) =.565 f()=() =, f(.5)=(.5) =.565, f(.5)=(.5) =.5, f(.75)=(.75) =.65 Finalmente el área de la región derecha tiene un valor de aproimación por defecto: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

13 Si ahora repetimos el proceso pero los mismos ocho rectángulos los colocamos en forma e inscrita, es decir que el vértice superior derecho de cada uno de ellos se apoe en la curva entonces al sumar sus áreas estaremos encontrando un valor de aproimación de la misma por eceso de éste modo estaremos estableciendo con maor precisión el área de la región buscada constituendo un rango. Las alturas deberán siempre obtenerse mediante la función limitante f() para que el valor inicial en sea etremo derecho de cada uno de los sub-intervalos que surgieron por la partición del intervalo original en ocho sub-intervalos que en éste caso son: [,.5], [.5,.5], [.5,.75],[.75,],[,.5],[.5,.5],[.5,.75],[.75,] ; La base de los nuevos rectángulos es también de.5 las alturas respectivas son: f(.5)=(.5) =.65, f(.5)=(.5) =.5, f(.75)=(.75) =.565, f()=() =, f(.5)=(.5) =.565, f(.5)=(.5) =.5, f(.75)=(.75) =.65, f()=() = Finalmente el área de la región derecha tiene un valor de aproimación por eceso: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

14 De ésta manera el área de la región que se encuentra limitada por la parábola: f()=, el eje las rectas verticales : = & = se encuentra comprendida entre 5/6=.875 5/6=.875 Finalmente podemos establecer que el área de la región original en éste problema está comprendida entre (.875)=.75 & (.875)=6.75 Como hemos visto, aumentando el número de sub-intervalos mejora notablemente el valor de aproimación del área de la región considerada, sin embargo el método es mu laborioso no eacto. Qué significa una Integral Definida? Es la evaluación de una integral entre los valores límites de un intervalo numérico: entre un límite superior b un límite inferior a. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

15 Entonces, la integral tiene un valor definido en el intervalo cerrado a, b, que depende de la función f() del intervalo escogido. La integral definida es entonces una cantidad epresada mediante un número. El símbolo de la integral definida es: b a d ó b a f d se lee: La integral desde a hasta b. Y se calcula por: Teorema fundamental del cálculo b a f d = F b F(a) Lo que nos dice: La integral definida de una función continua en un intervalo dado, es igual a la diferencia de los valores de una de sus primitivas en los etremos de un intervalo. Una integral definida b f d = F b F(a) a es un número, mientras que una integral indefinida : es una función. PASOS PARA RESOLVER UNA INTEGRAL DEFINIDA.. Se resuelve la integral como indefinida, haciendo caso omiso de la constante de integración.. El resultado anterior se encierra dentro de un paréntesis rectangular afectado por los límites de integración.. En la primitiva encontrada, se sustitue en lugar de la variable el límite superior se le resta lo que resulta de sustituir el límite inferior. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5

16 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6 EJEMPLOS: 6. d d 5 ) ( ) ( () ) ( ) (. d dd d. d d d ) ( ) ( () ) ( ) (. t t dt dt t dt t dt t 6 () () () () ) ( ) ( ) ( 5. t t t dt tdt dt t dt t t t dt t 7 6. d d d

17 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 7 5 ) ( ) ( () 7. t t t t dt dt t dt t d du d du u u u du u du u d d ) ( () () 8. d du d du u u du u du u d d

18 . 8 u du d du d d du u d u u du d = ( + )³ d = ( + )³ d = ( +)⁴ = ( + )⁴ 8 = ( + )⁴ 8 - ²+)⁴ 8 = = = 6 8 = 78 u.- ( + 5 ) d ( + 5 ) d = d + 5 d = d = + 5 ² 5 ² () = Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 8

19 = = = 7 6 u = 6 u.- ( + ) d + d = d d + d = - + = - + = ( - ) ()² + (-) = 7-(8-) + = 7+8+ = u 6.- ( ) d ( ) d= d d = 6-6 = 6 = = 89 7 = 6-7 = 6u ²d HACIENDO EL CAMBIO DE VARIABLE u= + du d = 6 + Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 9

20 6 + + d= + = () + = 6,7u - ACTIVIDAD I. Resolver las siguientes integrales definidas. ) 6) ) ) 7) ) ) 8) ) ) 9) ) 5) ) 5) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

21 Propiedades de la integral definida. Si f & g son dos funciones integrables en [ a,b ] con a<b además f () g() [ a,b ] entonces se cumple : Gráficamente observamos en Fig. que el área bajo f() está representada por el trapecio curvo PabS en color azul es menor que el área del trapecio curvo QabR que representa el área bajo g() Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

22 Figura UNIDAD IV. APLICACIONES GEOMÉTRICAS... ÁREA BAJO LA CURVA. El teorema fundamental del cálculo señala que si una función f es continua en un intervalo a, b, entonces eiste la integral definida: Fórmula : b f d = F b F(a) a donde f es cualquier función. El resultado de esta integral es igual al área bajo la curva f() representada en el plano por la región R la cual está limitada además por el eje las rectas =a & =b.. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

23 Ejemplo Calcular el área de la región limitada por la curva: = & las rectas: -= & -= d = = () () = 7 = 9 = 6 u = 8.66 u Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

24 Ejemplo Determina el área acotada por la parábola: & el primer cuadrante del plano cartesiano. Presentar dos soluciones: Integrar con respecto a después integrar con respecto a. Trazar la grafica. Tabulando: Integrando con respecto a Y Dada despejamos la variable : () 8 6 ( ) d () [] 5.u Integrando con respecto a X ( ) ( ) ( ) (8) 6 d 5.u Como pudimos observar en éste caso,la integración con respecto a ó a da el mismo resultado pero se dificulta el cálculo al integrar respecto a Y, asi que es ésta la verdadera razón de optar por una ú otra integración. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

25 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5 Ejemplo Hallar el área de una circunferencia con radio 8. Se sugiere emplear la fórmula canónica de la circunferencia. Trazar gráfica. r r arc sen r r arc sen r r r r arc sen r r r r r arc sen r r d r r r Como la región analizada es la cuarta parte de la circunferencia debemos entonces multiplicar por el área obtenida para así tener el área total: A= r () = r

26 Ejemplo Hallar el área de la elipse (se sugiere emplear la fórmula canónica de la elipse). Trazar la gráfica. Fórmula canónica. a b b a a a a b d arc sen a a ba a a a ab semultiplica A ab u a ba a arc sen a b() a a por para obtener el área ba arc sen a Área entre dos curvas. La Figura nos permite ver claramente que la región de color morado representa la región comprendida entre las gráficas de las funciones f() & g() las rectas =a & =b. El área bajo g() está representada por el trapecio curvilíneo QabR se calcula con: b a g d. El área bajo f() está representada por el trapecio curvilíneo PabS se calcula con: b a f d. Como el trapecio QabR es maor que el trapecio PabS entonces queda claro que al restar ambas regiones se obtiene la intermedia (región morada) por lo que: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

27 A = g d f d a b Y como una resta de integrales equivale a la integral de una resta simplificamos la epresión como: a b A = b a g f() d siendo g() f() Si se requiere calcular el área comprendida entre las curvas : = f & = g (), en donde f g() para algunos valores de pero g f() para otros valores de, entonces la región dada S se divide en varias regiones S S con áreas A A como se muestra en la gráfica : Gráfica Luego, definimos el área de la región S como la suma de las áreas de las regiones menores: S S : A = A + A + Puesto que f g = f g cuando f g g f cuando g f Se tiene la siguiente epresión de A: El área comprendida entre las curvas = f g, entre las rectas = a = b es: A = V = f g d b a Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 7

28 Sin embargo, cuando se calcula la integral en Fórmula todavía debemos dividirla en integrales correspondientes a: A A etc. Ejemplo Determina el área de la región acotada por la parábola: la recta : =..().Trazar la grafica correspondiente. Sugerencia: integrar con respecto al eje de las ordenadas. = () Despejando en ambas ecuaciones tenemos : En () : = / ; En () : = + / Igualando : = + = + 8 ; 8 = ; + = ; De éste modo hallamos los límites de integración : = -, = + d = + d = + 8 d = + 8 = = + 8() ( ) + 8( ) ( ) = = 9u Graficando : Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 8

29 Ejemplo Calcular el área de región limitada por las parábolas = & =. Solución: Primeramente se encuentran los puntos de intersección de las parábolas resolviendo sus ecuaciones simultáneamente. Esto da: =, o = & (-) =, de tal modo que = & =. Los puntos de intersección son (, ) (, ) la región se muestra en la Figura. b Al hacer uso de la Fórmula : A = V = f g d a para calcular el área es importante asegurarse de que f() g() cuando a b. En este caso, en la gráfica se puede ver que: - para Y así se elige f =, g() =, a = b =. Entonces : A = ] = ( ) d = [ ] = [ ] = Gráfica Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 9

30 Ejemplo Determina el área de la región limitada por la gráfica de las funciones: f ( ) & f ( ) ( ) ( ) d d u 6 6 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

31 UNIDAD IV. APLICACIONES GEOMÉTRICAS... ÁREA BAJO LA CURVA.PROBLEMAS RESUELTOS. Hallar el área limitada por la gráfica de la función: f ( ) las rectas : = & -= ( ) d d d () () 8 () 6 7.u d. Hallar el área limitada por la función: 5 d (5) () 8 u f() = -5= = Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

32 . Obtener el área de la región comprendida entre -=,=,- = el eje. () d d () 8 u Comprobar el resultado por un método geométrico elemental.. Calcula el área de la parábola f ( ) 9 que está limitada por el primer cuadrante del plano cartesiano. Trazar la gráfica. 9 8u () 9 d 9 9() 7 9 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

33 5. Calcule el área de la sinusoide en los siguientes intervalos muestra mediante una gráfica los valores obtenidos: a) a) b) c) d) send cos cos5 ( cos ) 7. 9u b) send cos cos9 cos u Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

34 c) sen cos cos9 cos 5.7u d) send cos cos8 cos u Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

35 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5 6. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de las funciones: 7. Determina el área acotada por la parábola, presentar dos soluciones. Integrar con respecto a después integrar con respecto a. trazar la gráfica. Con respecto a Y 5.u 6 8 () () )d ( Con respecto a X 5.u 6 (8) ) ( ) ( ) ( d d () () u u d

36 8) Calcule el área bajo la curva el eje. Traza la gráfica correspondiente. A d X Y )Calcula el área acotada por la parábola el eje el eje. du u du A a d u u du d du d u u. 77 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

37 X Y ACTIVIDAD II. I.- AREA BAJO LA CURVA Determina el área de la región limitada en cada caso traza la gráfica señalando la región pedida. ) el eje ) el º cuadrante ) el eje ), el eje las rectas: 5) 7 6 las rectas =o, = Y =6. 6), =, = Y = 6. 7) 8 el eje " " las rectas :, 8) 6 8 el eje Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 7

38 9) 5, =, = =7 ) las rectas =, = - Y =. ) 8 las rectas =-, = Y =. ) el eje de las. ) ( ) 8( ) eje ), el eje las rectas ; 8 5) 8 el eje 6) Encuentra el área de la elipse. (Se sugiere emplear la fórmula CANÓNICA de la ELIPSE) 7) Encuentra el área de la circunferencia. (Se sugiere emplear la fórmula canónica de la circunferencia) 8) Hallar el área de la superficie limitada por la curva dada, el eje de las las coordenadas dadas en cada caso. a) c) b) 9 d) 9) Hallar el área de la superficie limitada por la curva dada, el eje las rectas dadas en cada caso. a) b) c) ln d) 8 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 8

39 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página () 7() 6(6) 7(6) ) 7 ( ) ( 5) 8 ( u d d ) ( 9 ) ( 9 6 ) ( () ) ( u d d d UNIDAD IV. APLICACIONES GEOMÉTRICAS... ÁREA ENTRE DOS CURVAS PLANAS.. Determinar el área de la superficie limitada por las curvas. Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por estas ecuaciones, hallamos los puntos de intersección de las curvas (,) (6,7).. Determinar el área de la superficie limitada por curvas. Resolviendo el sistema d ecuaciones formado por las dos curvas, encontramos los puntos de intersección (5,) (,) e integrando con respecto a tendremos:

40 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página ) 9( d d d 9 9 () () () () 6 6 u d d d d. Determinar el área de la superficie limitada por las curvas. 6 Y 6 9 Resolviendo el sistema de ecuaciones graficando tenemos, que los puntos de intersección son (,) despejando a de ambas tenemos: Aplicando fórmula:. Calcular el área entre las curvas: Graficando resolviendo el sistema de ecuaciones formado por curvas obtenemos los puntos de intersección (,) (,) así los vértices (,) (,-). Por lo tanto el área será: ) (arcsen( arcsen() arcsen () 6 8 arcsen 6 8 arcsin 6 8 arcsin 6 6 v v a 6 a

41 5. Determinar el área entre las curvas: ( ) d d Graficando resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las curvas obtenemos los puntos de intersección (,), (,) (,). Por lo tanto el área buscada será: 6. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones: =sen ; =cos, trazar la gráfica correspondiente. Para encontrar los puntos de corte se realiza el siguiente análisis: cos cos cos sen sen sen Los puntos de intersección de las dos curvas tienen la misma ordenada por lo que se igualan ambas ecuaciones : Sen = cos Elevando al cuadrado ambos miembros : sen cos sen sen sen sen arcsen 5, Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

42 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página cos 5 5 cos cos cos 5 5 sen sen sen sen ) ( ) ( f f 7. Determinar el área de la región limitada por la gráfica de las funciones u d d d

43 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página ")." ( 8 8) ( 8 p 8. Determina el área de la región limitada por las gráficas de las funciones. ) ( u d d d 9. Determinar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones, selecciona el procedimiento más sencillo: Integrar con respecto al eje o con respecto al eje. Igualamos resulta: 8 X X 8) X (X 8X X 8 Y ()

44 Los límites de integración son : -, la integral queda: ( ) d u () () ( ) () ( ) ( ). Determina el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones dadas. Trazar la gráfica correspondiente. d ( ) ( ) 6 u ACTIVIDAD III. ÁREA ENTRE DOS CURVAS PLANAS Determina el área de la región limitada en cada caso traza la gráfica señalando la región pedida. ) la recta = - ) =- el primer cuadrante. ) la recta: ) 6 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

45 5) 8 5 6) 6 7 su lado recto 7) 9 8) 9), =, = ), + = el eje... VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. Llamaremos Sólido de Revolución a aquel que se engendra al hacer girar alrededor de un eje, una superficie plana. Volumen de un sólido de revolución obtenido por la rotación en torno al eje X o Y de una región A Sea f una función contínua en el intervalo: [ a,b ],siendo f() para todo, tal que. Consideremos el conjunto A, delimitado por el eje X,la gráfica de f las rectas : =a =b. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5

46 Considerando una partiçición P del intervalo : [ a,b ] tal que : P= a =,,. = b donde : a= < < < < < n=b, siendo : donde i- i- i para todo i tal que: i n que és una suma de Riemann para toda función : g() = π(f()), relativa a la partición P del intervalo [ a,b ]. Definimos el volumen del sólido B como : Es preciso observar que cada sección transversal del sólido B, obtenida a partir de [ a,b ]., es en realidad un circulo con centro en el punto (,) radio : f(), por lo tanto, su área es : π(f()). Finalmente B es el sólido obtenido a través de la rotación del conjunto A en torno al eje X. Consideremos que la superficie limitada por la gráfica de la función f, el eje las rectas =a =b gira alrededor del eje. Si dividimos esta superficie en n rectángulos, cada uno de ellos engendrará un cilindro recto cuo volumen será siendo d su altura. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6 f d

47 De lo anterior podemos concluir que: Cuando el eje de revolución es tendremos: b V f()d siendo =f() a Cuando el eje de revolución es tendremos: b V f()d siendo =f() a Como lo dijimos anteriormente, un Solido de Revolucion es aquel que se engendra al hacer girar alrededor de un eje una superficie plana. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 7

48 En éste caso es la superficie limitada por la gráfica de la función f, el eje las rectas =a & =b la cual gira alrededor del eje, generando de modo instantáneo el siguiente cono recto truncado. Si dividimos esta superficie en n rectangulos, cada uno de ellos engendrará un cilindro recto: Diferencial del Volúmen : dv = π d= Area de la Base por su altura. El limite de la suma de los volumenes de los n cilindros engendrados cuando n a será el volumen del sólido de revolución; esto es, la suma de los volumenes de los n cilíndros desde = a hasta = b,nos da el volumen del sólido de revolución. v = b π a d = π b a d Cuando el eje de revolución es siendo = f ( ) b Cuando el eje de revolución es tendremos v = π a d siendo = g ( ) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 8

49 Siendo un sólido de revolución el sólido generado al girar alrededor del eje, la región limitada por la gráfica de una función cualquiera: = f(), el eje las gráficas de =a =b, el eje que es el eje de rotación de la región plana señalada anteriormente se convierte en un eje de simetría de dicho sólido la sección recta plana perpendicular a dicho eje, es un círculo. Ejemplo La región delimitada por la gráfica de la función que representa a un semicírculo, el eje X las rectas: +a= & -a= gira alrededor del eje X originando como sólido a una esfera de radio: a El volumen de la esfera generada está dado por: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 9

50 La esfera del Ejemplo es un caso de un sólido de revolución, a que se puede obtener al hacer girar un círculo en torno a un diámetro. En general, sea S el sólido que se obtiene al hacer girar la región plana R limitada por = f(). =, = a = b en torno al eje. = f() = a R = b rotación a b = f() S a b Dado S se obtiene mediante una rotación, la sección transversal determinada en perpendicular al eje, es un disco circular de radio = f(), entonces el área de la sección transversal es: A() = π = π [f()] Por consiguiente, al usar la fórmula básica V = fórmula de un volumen de revolución: b a A d, se tiene la siguiente V = b π [f()] a d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5

51 En particular, puesto que la esfera se puede obtener haciendo girar la región comprendida bajo la semicircunferencia: = r -r r En torno al Ejemplo se podía haber resuelto utilizando la fórmula del volumen con f = r ; a= -r b = r. Ejemplo La región comprendida por la gráfica de Gira en torno al eje : en el intervalo, La rotación de esta región genera el siguiente sólido con un hueco: Calculando la intersección entre las dos gráficas: ; ; ; Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5

52 El volumen del sólido resultante está dado por: V = V + V Siendo Y : Finalmente: Ejemplo Una región del plano delimitada por el eje X, la gráfica de en el intervalo es rotada alrededor del eje X. El volumen del sólido generado está dado por: b V ( f ( )) d I a Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5

53 Ejemplo Si la misma región del problema anterior se hace girar en torno al eje Y,el sólido obtenido es diferente su volumen queda definido por : V ( f ( )) d II b a Ejemplo 5 Calcule el volumen del sólido obtenido por la rotación, en torno al eje, de la curva: La región indicada es la siguiente Haciéndola rotar obtenemos un toroide: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5

54 Como este sólido está hueco podemos observar un radio interior un radio eterior por lo que su volumen se calculará considerando la fórmula: b V (f) (g) d III a Donde f() es el radio eterior g() es el radio interior. Despejando tenemos que: De donde f() = g()= Aplicando: III unidades cúbicas. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 5

55 CALCULAR EL VOLUMEN DE LOS SÓLIDOS QUE SE FORMAN AL GIRAR LA REGIÓN LIMITADA POR LA CURVA DADA ALREDEDOR DEL EJE X..- = + de = a = v = π d = π ( + ) d = π + d = π + = () + + = π = π u.- = de = a = v = π d = π ( ) d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 55

56 = π (6 8 + )d = π 6 d 8 d + d = π = π ( () ) ( ) = π 56 5 = 56π 5 u.- = de = a = v = π d = π d π d d = π = π ( ) = = π = π 6 = π = πu.- = de = a = Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 56

57 v = π d = π ( ) d = π d = π 5 5 v = π = π 5 = π 5 u 5.- = de = a = v = π d = π ( ) d = π d = π = π = π 8 = 5 πu Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 57

58 6.- = m de = a = h v = π (m) d Sea u = m ; du = m ; du = d d m v = π m u = π m (m) = π m (m) m() v = π m (m) = πm = π(r ) = πr Volumen del cono : πr Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 58

59 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 59 () ) ( ) ( u d d d () 6() 5 8() 6() u d d d d d d volúmen ) ( ) ( (). u d d d d Problemas resueltos Calcular el volumen de los sólidos que se forman al girar la región limitada por las gráficas de las funciones dadas alrededor del eje en cada caso. P.- P.- P.-

60 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6 P.- Calcula el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por, 8, alrededor del eje. d d V V 5 5 P5. Calcula el volumen del solido generado al hacer rotar sobre el eje la región del plano limitado por la curva f, el eje, el valor la recta. 5 5 d V.u u 5 V V

61 ACTIVIDAD III. VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. - DETERMINA EL VOLUMEN DEL SÓLIDO FORMADO HACIENDO ROTAR SOBRE EL EJE INDICADO LA REGIÓN LIMITADA POR LAS FUNCIONES SEÑALADAS EN CADA CASO: - Traza la gráfica el dibujo del sólido formado en ( D). ) Calcular el volumen del sólido de revolución generado por la región del plano comprendida entre la curva, el eje, las rectas = =, al girar alrededor del eje. ) Calcular el volumen del sólido de revolución, generado por la región del plano comprendida por, = =, al girar alrededor de la recta =. ) Calcular el volumen del sólido de revolución generado por la región del plano comprendida entre la recta =, al girar alrededor de la recta = ) La región del plano comprendida entre la curva la recta, gira alrededor del eje X. Calcular el volumen del sólido generado. 5) La región del plano comprendida entre la parábola la recta gira alrededor del eje Y. Calcular el volumen del sólido generado. 6),,, ; rotación sobre el eje 7),,, 8) 9 6 ; rotación sobre el eje 9) 9 6 ; rotación sobre el eje ; rotación sobre el eje Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

62 ), 8, ; rotación sobre el eje ), ; rotación sobre el eje = ), a) eje de rotación b) eje de rotación ),, ; rotación sobre el eje ) Hallar el volumen de la esfera generada por la rotación del círculo: r alrededor de su diámetro. 5) Encontrar el volumen del sólido que se genera cuando la región entre las gráficas de f() g(), en el intervalo, gira en torno al eje. 6) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por las curvas: alrededor del eje. 7) Encuentra el volumen de un cono circular recto de radio: r altura: h Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

63 SOLUCIONES DE LA ACTIVIDAD I ) ) ) ) 5) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

64 6) 7) 8) 9) ) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

65 ) ) ) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 65

66 ) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 66

67 5) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 67

68 BIBLIOGRAFÍA AYRES, F. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. SERIE SCHAUM, MC GRAW-HILL, MÉXICO. BOSCH-GUERRA. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.ED.PUBLICACIONES CULTURAL,MÉXICO DEL GRANDE, D. CÁLCULO ELEMENTAL. ED. HARLA, MÉXICO ELFRIEDE W. DIDÁCTICA _ CÁLCULO INTEGRAL.GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.MÉXICO. FINNEY,R.L. CÁLCULO DE UNA VARIABLE. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO. FUENLABRADA, S. CÁLCULO INTEGRAL. ED. TRILLAS, MÉXICO GRANVILLE,W.A. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, ED. LIMUSA, MÉXICO LEITHOLD, L. CÁLCULO, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS, MÉXICO PURCELL, E.J. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA.ED.LIMUSA, MÉXICO. STEWART, J. CALCULO DE UNA VARIABLE. ED.THOMPSON, MÉXICO. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 68

69 SWOKOWSKY, E. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO. ZILL,D.G. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO. FINNEY,R.L. CÁLCULO DE UNA VARIABLE. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO. PÁGINAS ELECTRÓNICAS TML Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 69