Ecuaciones diferenciales elementales de 1 o orden

Transcripción

1 Grado en Matemáticas Departamento de Análisis Matemático Universidad de Sevilla

2 Qué es la modelización? v (cm/s) Cómo explicar y predecir los fenómenos naturales? -1 0 π/2 π 3π/2 2π φ Movimiento de gotas de ĺıquido sobre una placa en movimiento

3 No debemos olvidar que... Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados

4 No debemos olvidar que... Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados

5 No debemos olvidar que... Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados Las Matemáticas, y en particular el análisis, son el verdadero lenguaje de la naturaleza

6 EDOs con Maxima La ecuación d y(x) dx + a(x)y(x) = b(x), a(x), b(x) C I. se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) 0 se denomina ecuación homogénea y si b(x) 0, ecuación no homogénea. Su solución general se expresa por y(x) = Ce a(x) dx + e a(x) dx a(x) dx e b(x) dx Para probarlo basta sustituir la función y(x) anterior en la EDO y usar el Teorema fundamental del Cálculo. El PVI correspondiente a la ecuación (4) es el problema d y(x) dx + a(x)y(x) = b(x), a(x), b(x) C I, y(x 0 ) = y 0.

7 EDOs con Maxima Ejemplo: Encontrar la solución de la ecuación lineal d y d x + x y = 2x. Tenemos y = Ce x2 2 + e x2 2 e x2 2 2x dx = Ce x e x2 2 e x 2 2 = Ce x Resolver la EDO anterior con la condición inicial y(0) = 1. Como la solución general es y(x) = Ce x , tenemos y(0) = 1 = C + 2, de donde C = 1 y y(x) = 2 e x2 2.

8 EDOs con Maxima Para resolver EDOS anaĺıticamente con Maxima usamos el comando ode2 cuya sintaxis es ode2(eqn, variable dependiente, variable independiente) y que resuelve EDOs de primer y segundo orden. Por ejemplo, resolvamos la EDO z = z + x: ode2( diff(z,x)=x-z,z,x)$ Para resolver el PVI z = z + x, y(0) = 1 hay que usar el comando ic1 cuya sintaxis es ic1(solución, valor de x, valor de y) donde solución es la solución general que da el comando ode2 y el valor de x y el valor de y, son los valores que toma la y cuando x = x 0, i.e., los valores iniciales. Así tenemos expand(ic1(%,x=1,z=2));

9 EDOs con Maxima Supongamos que la función f (x, y) en la EDO y = f (x, y) admite la factorización f (x, y) = a(x)b(y). Cuando esto ocurre se dice que la EDO es separable. En general tenemos dy dx = a(x)b(y) dy = a(x)dx b(y) Luego la solución de la ecuación separable es G[y(x)] = A(x) + C, dy b(y) dy = a(x)dx. donde G(y) es una primitiva de 1/b(y) y A(x) es una primitiva de a(x).

10 EDOs con Maxima Ejemplo: Resolver la ecuación y = x/y. Usando lo anterior tenemos ydy = xdx y 2 = x 2 + C. La expresión anterior define una familia de curvas en R 2 que son solución de la ecuación diferencial propuesta. En general la solución es y(x) = ± C + x 2, donde el signo + o dependerá de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si nos interesa el PVI con la condición y(0) = 3, entonces C = 9 y la solución será y(x) = 9 + x 2.

11 EDOs con Maxima Esta orden ode2 no siempre funciona como es el caso de la EDO z = x senz, en cuyo caso la salida es false En ese caso hay que usar algún método numérico. Por ejemplo Maxima tiene dos comandos: el comando runge1 y el rk. Para usar el primero hay que cargar el paquete numérico diffeq. La sintaxis de runge1 es la siguiente runge1(f, x0, x1, h, y0) donde f es la función f (x, y) de la ecuación y = f (x, y), x0 y x1 los valores inicial, x 0, y final, x 1, de la variable independiente, respectivamente, h es la la longitud (o paso) de los subintervalos e y0 es el valor inicial y 0 que toma y en x 0. El resultado es una lista que a su vez contiene tres listas: la primera contiene las abscisas x, la segunda las ordenadas y y tercera las derivadas y.

12 EDOs con Maxima kill(all); load(diffeq); A continuación definimos la función f, y el paso h, para, a continuación, invocar la orden runge1 f(x,y):=1+y; h:1/20; solnum:runge1(f,0,1,h,1); wxplot2d([discrete,solnum[1],solnum[2]])$ Como esta ecuación es exactamente resoluble podemos comparar sus gráficas. Usamos ode2 e ice1 para resolver el PVI: sol: expand(ode2( diff(w,x)=1+w,w,x)); expand(ic1(sol,x=0,w=1)); define(solw(x),second(%)); Y ahora dibujamos ambas gráficas plot2d([[discrete,solnum[1],solnum[2]],solw(x)],[x,0,1])$

13 EDOs con Maxima Para usar el comando rk cargamos el paquete dynamics. Su sintaxis para el PVI y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 es rk(f,y,y0,[x,x0,x1,h]) donde f es la función f (x, y), x0 y x1 los valores inicial, x 0, y final, x 1, de la variable independiente, respectivamente, h es la la longitud de los subintervalos e y0 es el valor inicial y(x 0 ) = y 0. El resultado es una lista con los pares [x, y] de las abscisas x y las ordenadas y. Ejemplo: Resolver la EDO z = x senz (intentar con ode2) load(dynamics)$ h:1/20;kill(x,y); numsolrk:rk(x-sin(y),y,1,[x,0,1,h]); wxplot2d([discrete,numsolrk],[color,blue])$

14 Aplicaciones

15 Aplicaciones geométricas Encontrar una familia de curvas y(x) tal que el segmento de la tangente t a la curva y en un punto cualquiera P(x, y) dibujado entre P y el eje 0y quede bisecado por el eje Ox. y y(x) t P(x,y) 0 (x/2,0) x Q

16 Aplicaciones geométricas Encontrar una familia de curvas y(x) tal que el segmento de la tangente t a la curva y en un punto cualquiera P(x, y) dibujado entre P y el eje 0y quede bisecado por el eje Ox. y = 2y/x y y(x) t P(x,y) 0 (x/2,0) x Q

17 Aplicaciones geométricas Ejemplo Encontrar una familia de curvas y(x) tal que la pendiente de la tangente t a la curva y en cada punto sea la suma de las coordenadas del punto. Encuentra además la curva que pasa por el origen. y = y + x

18 Aplicaciones EDOs de 1 o orden Se sabe que la intensidad i de circuito está gobernada por la EDO L di + Ri = U, dt donde L es la impedancia, R la resistencia y U el voltaje. Supongamos que el voltaje U es constante y que i(0) = i 0. Encontrar la dependencia de i respecto al tiempo t. R U L Dibujar si L = 1H (henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios).

19 Aplicaciones EDOs de 1 o orden Se sabe que la intensidad i de circuito está gobernada por la EDO L di + Ri = U, dt donde L es la impedancia, R la resistencia y U el voltaje. Supongamos que el voltaje U es constante y que i(0) = i 0. Encontrar la dependencia de i respecto al tiempo t. R U L Dibujar si L = 1H (henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios). Realizar el mismo estudio si U = U 0 sen(ωt). Dibujar si L = 1H (henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios) y ω = 50Hz (hercios)

20 Aplicaciones EDOs de 1 o orden Ejemplo La ecuación barométrica de Pascal es la EDO p (h) = λp(h), λ > 0, donde p es la presión en función de la altura h. Si h = 0, la presión es la presión al nivel del mar (usualmente 1 atm o 760 mm de mercurio). Cómo varía la presión con la altura? La solución: p(h) = p 0 e h/h 0 Usemos el valor de h 0 = 8000m.

21 Aplicaciones EDOs de 1 o orden Pico San Cristóbal Torre Cerredo Grazalema (Cádiz) Picos de Europa (Cantabria) 1654m, 0.81atm 2648m, 0.71atm

22 Aplicaciones EDOs de 1o orden Mulhace n Sierra Nevada (Granada) 3478m, 0.64atm Departamento de Ana lisis Matema tico Universidad de Sevilla Everest Himalaya (Nepal / China) 8848m, 0.32atm Ecuaciones diferenciales elementales de 1o orden

23 Aplicaciones EDOs de 1 o orden. EDOs separables. Ejemplo Sea una esfera hueca homogénea de radio interior r 1 y radio exterior r 2. Supongamos que la temperatura de la cara interior es T 1 y la exterior es T 2. Encontrar la temperatura en la esfera en función del radio. Sea Q es la cantidad de calor que pasa entre la esfera interior (en blanco) y la exterior (sombreada). Asumiendo que Q es constante tenemos T r r T2 1 Q = κr 2 dt dr, κ > 0 dr r 2 = κ Q dt 1 r + C = κ Q T (r),

24 Aplicaciones EDOs de 1 o orden dr r 2 = κ Q dt 1 r + C = κ Q T (r), pero T (r 1 ) = T 1, luego C = κ Q T 1 r 1, de donde deducimos 1 r 1 r 1 = κ Q (T (r) T 1). Ahora bien, como ha de ser T (r 2 ) = T 2, podemos eliminar Q en la ecuación (el cual en general no es conocido) para obtener Q = κ(t 2 T 1 )r 1 r 2 r 2 r 1 ( 1 T (r) = T 1 + (T 2 T 1 )r 1 r 2 r 2 r 1 r 1 r 1 ).

25 Aplicaciones EDOs de 1 o orden Ejemplo Supongamos que tenemos una reacción química A + B C y que en t = 0 la concentración de A es a y la de B es b. Se sabe que la velocidad la velocidad de formación de C es proporcional a la concentración de A y B. Lo anterior nos conduce a la EDO x = κ(a x)(b x), x(0) = 0. Asumamos que a b. Cómo varía x con el tiempo?

26 Aplicaciones EDOs de 1 o orden dx a x = κdt log (a x)(b x) b x = (a b)κt + C, como x(0) = 0, C = a/b, luego x(t) = ab 1 e(a b)κt b a e (a b)κt. Si b > a entonces lim t x(t) = a y si b < a, lim t x(t) = b. Lo anterior es evidente pues la reacción acabará cuando se acabe uno de los dos reactivos A o B.

27 La velocidad de escape v E de la Tierra Ejemplo Queremos encontrar v E al espacio exterior de un cuerpo que se encuentre en la superficie de la Tierra. Usando la ley de Newton dv dt = GM T r 2 = gr2 r 2 G es la constante universal gravitatoria, M T es la masa de la tierra y g la aceleración de la gravedad. Como r varía con el tiempo la ecuación anterior es, en general, complicada de resolver. Usando la regla de la cadena dv/dt = (dr/dt)(dv/dr) = v dv/dr, luego v dv dr = gr2 r 2.

28 Aplicaciones EDOs de 1 o orden La solución de esta EDO usando el método de separación de variables es v 2 = 2gR 2 /R + C. Llamando v 0 la velocidad inicial del cuerpo sobre la superficie terrestre obtenemos v 2 (r) = 2gR r + v 2 0 2gR. Si queremos enviar una nave y que ésta escape de la gravedad terrestre necesitamos que r > R, v 2 0. De hecho para que escape definitivamente de la tierra es suficiente que v 0 cuando r, i.e., lim v(r) 0 v 2 r 0 2gR 0 Sustituyendo los datos R = metros y g = 9.8m/s 2 obtenemos v 0 = 11200m/s = 11.2Km/s.

29 Aplicaciones EDOs de 1 o orden Ejemplo Resolvamos la ecuación dv g κv r = dt t t 0 = La velocidad v(t) de caída de un cuerpo en un medio viscoso se puede modelizar mediante la ecuación v = g κv r, v(0) = v 0, donde g y κ son ciertas constantes (la gravedad y la viscosidad). v Escojamos r = 2, por ejemplo. Entonces v 0 dv g κv r = 1 v g v 0 dv 1 ω 2 v r, ω2 = κ g.

30 Aplicaciones EDOs de 1 o orden v v 0 dv 1 ω 2 v r = 1 2ω Despejando v tenemos la solución v(t) = 1 ω ( 1+ωv0 (1 + ωv) (1 ωv 0 ) log (1 ωv) (1 + ωv 0 ) = g(t t 0). ) 1 ωv 0 e 2gω(t t0) 1 ( ), ω = 1+ωv0 1 ωv 0 e 2gω(t t0) + 1 κ g > 0. Como ω > 0, entonces si t el cuerpo sólo podrá alcanzar la velocidad ĺımite v max = 1/ω independiente del valor v 0 inicial. Ejercicio Resolver el caso r = 3.