Econometria I. Tema 4: Modelo de regresión múltiple: inferencia. Guía de respuestas para algunos ejercicios (0,085) bajo H 0.

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1 Econometria I Tema 4: Modelo de regresión múltiple: inferencia Guía de respuestas para algunos ejercicios 1. a. Output de gretl Recta ajustada: employment i 0, 545 (0,274) + 0, 489gdp i R 2 0, 59 (0,085) b. H 0 : β 1 0 vs. H 1 : β 1 0. Estadístico de contraste: t β 1 ee( β 1 ) t(25 2) bajo H 0 Valor crítico de la distribución t(23) con un nivel 2,5% (tablas): t 2,5% (23) 2, 069. Cálculo del valor t: Dado que: valor t β 1 ee( β 1 ) 0, 489 0, 085 5, 754 > 2, 069 5, 754 rechazamos la hipótesis nula y sacamos la conclusión de que el regresor gdp es estadísticamente significativo al 5%. 1

2 c. La región crítica asociada a un nivel de significación del 1% es menor que la asociada a un nivel de significación del 5%. Así, no es posible afirmar con certeza si el valor t caerá dentro o fuera de esta región. No podemos decir si gdp será estadísticamente significativo o no con un nivel 1%. Por otro lado, la región crítica asociada a un nivel de significación del 10% es más grande que la asociada al 5%. Así, si el valor t cae dentro del 5% de región crítica, también caerá en la regió crítica del 10%. Podemos concluir que si gdp es estadísticamente significativo al 5%, también lo será al 10%. Podemos comprobar estas afirmaciones buscando el valor crítico del estadístico t en las tablas para ambos niveles de significación: α 5% t 0,025 (23) 2, 069 α 10% t 0,05 (23) 1, 714 Tal y como esperabamos, el regresor gdp es aún significativo al nivel 10%, dado que 5, 754 > t(23, 0, 05) 1, 714. Para saber si gdp es estadísticamente significativo al nivel 1% hemos de buscar el valor crítico: α 1% t 0,005 (23) 2, 807. El gdp tambiém es estadísticamente significativo al nivel 1%, dado que 5, 754 > 2, 807. d. De las tablas de la distribución t(23) : valor p P rob{ t > 5, 754} 7, 33769e 06 e. El valor p corresponde a la suma de les dos áreas en gris del gráfico: f. Dado que: 7, 33769e 06 < 0, 05 rechazamos la hipótesis nula y sacamos la conclusión de que el regresor gdp es estadísticamente significativo al 5%. 2

3 g. Dado que el valor p asociado al test de significación individual de la constante es 0,0584, sabemos que rechazamos H o : β 1 0 versus H 1 : β 1 0 si α 0, 10, pero no si α 0, 05 o α 0, 01. Así, marcamos la significatividad sólo al 10% con un único. Dado que el valor p asociado al test de significación individual de gdp es 7,33769e- 06, sabemos que rechazaremos H o : β 1 0 versus H 1 : β 1 0 si α 0, 10, α 0, 05 y α 0, 01. Así, marcamos la significatividat al 10%, 5% y 1% con. h. El estadístico que hemos utilizado es: β 1 r ee( β 1 ) t(n K) bajo H 0 Para derivar la distribución de este estadístico necesitamos partir de: β 1 /X N(β 1, σ 2 (X X) 1 22 ). Para que β 1 tenga la distribución indicada, necesitamos que el mecanismo que ha generado los datos satisfaga todos los supuestos clásicos, incluida la normalidad de las perturbaciones. Es decir, necesitamos que: u i /X i.i.n(0, σ 2 ) O, equivalentmente, u/x N(0, σ 2 I n ) 4. a. Modelo restringido: y i β 0R + β 2R x i2 + β 3R x i3 + u ir b. Por imposición, ˆβ2R 0. Aplicando MCO al modelo restringido en el punto anterior (??) de este ejercicio obtenemos: ˆβ 0R, ˆβ2R, i ˆβ3R. 6. Vamos a mostrar que el estadístico F para poner a prueba las q restricciones del modelo de regresión lineal con K + 1 regresores, se puede reescribir de la siguiente forma: F (SRC R SRC)/q SRC/(n (K + 1)) (R 2 R 2 R )/q (1 R 2 )/(n (K + 1)) Recordemos que R 2 1 SRC ST C. Entonces, R 2 R 1 SRC R ST C R, 3

4 donde n ST C ST C R (y i ȳ) 2. A partir de la expresión para R 2 encontramos SRC (1 R 2 )ST C y, de manera i1 equivalente, SRC R (1 RR 2 )ST C. Si reemplazamos SRC y SRC R en la expresión inicial del estadístico F, se obtiene: F (SRC R SRC)/q SRC/(n (K + 1)) (1 R2 R )ST C (1 R2 )ST C)/q (1 R 2 )ST C/(n (K + 1)) ST C((1 R2 R ) (1 R2 ))/q ST C(1 R 2 )/(n (K + 1)) (R 2 R 2 R )/q (1 R 2 )/(n (K + 1)) 7. Supongamos que tenemos el siguiente modelo con K regresores: y i β 0 + β 1 x i β ik x K + u i. Recordemos que el coeficiente de determinación asociado a la estimación se define como: n R 2 1 SRC/ST C where ST C (y i ȳ) 2. Test de significación global: H o : β 1 β 2... β K 0. i1 Partimos de la siguiente expresión del estadístico F : F (SRC R SRC)/q SRC/(n (K + 1)) Para encontrar SRC R hemos de estimar el modelo restringido. En este caso, el modelo restringido habiendo impuesto β 1 β 2... β K 0 es: Restricted Model: y i β 0R + u ir. Fijémonos que este modelo restringido sólo tiene un regresor: la constante. Es decir, la matriz de regresores del modelo restringido esta formada per una columna de 1 s. Así, aplicando M CO en este modelo restringido: 1 1 ˆβ 0R y 1 y n 1 1 y n n y i ȳ i1 Entonces, ŷ i ˆβ 0R ȳ 4

5 û ir y i ŷ i y i ˆβ 0R y i ȳ SRC R n û 2 ir i n (y i ȳ) 2 ST C i Para el test de significación global: F (SRC R SRC)/q SRC/(n (K + 1)) (ST C SRC)/q SRC/((n (K + 1)) ( ST C SRC ST C ) ST C /q SRC /(n (K + 1)) ST C ( ) 1 SRC ST C /q (1 R 2 )/(n (K + 1)) R 2 /q (1 R 2 )/(n (K + 1)) R 2 /(K 1) (1 R 2 )/(n (K + 1)) 8. a. Las unidades de medida para los gastos de A y B son en miles de dólares. Entonces, de acuerdo con el Modelo(1) el efecto marginal de dólares de gastos del candidato A en sus votos esperados viene dado por β 1. Observe que, con que la variable vota se da como un porcentaje, β 1 nos dará el aumento en el porcentaje de votos recibidos por el candidato A cuando el gasto aumente en 1.000$. b. Output de Gretl: 5

6 Recta ajustada: vota i 33, 27+0, 0349 expenda i 0, 0349 expendb i +0, 342 prtystra i R 2 0, 57 (4,42) (0,003) (0,003) (0,088) Los resultados son los esperados: los gastos del candidato A aumentan el porcentaje de votos de este candidato, mientras que los gastos para el candidato B tendrán el efecto contrario. La medida de fuerza prtysrt tiene una relación positiva con el porcentaje de votos, es también como se esperaba, ja que hay una inercia en la sociedad y las preferencias políticas en general no cambian abruptamente. c. Test de significación individual del 5% para expenda: H 0 : β 1 0 vs. H 1 : β 1 0 Calculamos el valor del estadístico t: valor t β 1 ee( β 1 ) 0, , , 63 El valor crítico al nivel 5%: t 0,025 (169) 1, 974. Podemos ver que el valor t cae en la zona crítica debido a que 15, 92 > 1, 974; así rechazamos H 0 y concluimos que expenda es estadísticamente significativo. Test de significación individual al 5% para expendb: H 0 : β 2 0 vs. H 1 : β 2 0 Calculamos el valor del estadístico t: valor t β 2 ee( β 2 ) 0, , , 63 Podemos veure que el valor t cae a la zona crítica. Rechazamos la hipótesis nula y concluimos que expendb es estadísticamente significativo. d. El intervalo de confiança del 95% para β 1 viene dado por: [ β 1 ± t 2,5% (169) ee( β 1 )] [0, 0349 ± 1, 974 0, 003] [0, 0319, 0, 0379] e. Dado que el valor 4 no cae dentro del intervalo de confianza de β 1 al 95%, H 0 sería rechazada al nivel 5%. (Es fácil verificar que este es el caso contrastando H 0 : β 1 4 vs H 1 : β 1 4) f. La hipótesis nula que hemos de contrastar: H 0 : β 1 + β 2 0. Esta hipótesis nos dice que un aumento de 1.000$ del gasto en campaña del partido A y también del partido B deja la votación del candidato A sin cambios. 6

7 g. Haciendo servir Gretl para calcular el valor del estadístico: Podemos ver que: valor F 7, 01403e 008, que es prácticamente zero. Buscando en las tablas el valor crítico al nivel 5%: F 5% (1, 169) 3, 897 Dado que valor F es menor que el valor crítico, no rechazamos la hipótesis nula, sacamos la conclusión de que un aumento del gasto a favor del candidato A en media se contraresta con el gasto a favor del candidato B. h. Ahora nos gustaría reproducir el valor F, asociado a la prueba anterior, usando la estimación del modelo restringido. Es decir, utilizando la seguiente expresión del estadístico F: F (SRC R SRC)/q SRC/(n (K + 1)) Model restringit en aquest cas: vota i β 0R + β 1R (expenda i expendb i ) + β 3R prtystra i + u ir 7

8 Utilizando outputs de los modelos restringido y no restringido: F (20901, , 63)/ , 63/(173 (4 + 1)) V alor f coincide con la que obtuvimos a través de Gretl menú. i. Ara queremos estimar el seguiente modelo: Modelo(2) vota i β 0 +β 1 expenda i +β 2 expendb i +β 3 prtystra i +β 4 (expenda i expendb i )+u i Este modelo dice que el efecto marginal de gastos del candidato A dependerá de los gastos del candidat B. Por tanto, el efecto marginal de 1.000$ adicionales para el candidato A en sus votos esperados será de β 1 + β 4 expendb. j. Estimamos el modelo: Contrastamos la hipótesis de que el efecto marginal de los gastos del candidato A dependerá de los gastos del candidato B. Es decir: H 0 : β 4 0 vs. H 1 : β 4 0. Calculamos el valor del estadístico: valor t β 4 ee( β 4 ) 8 6, 62960e 06 7, 18636e 06 0, 92

9 El valor crítico al nivel de significación del 5%: t 0,025 (169) 1, 974. Podemos ver que el valor absoluto de valor t es menor que el nivel crítico: 0, 92 < 1, 974; así que no podemo rechazar la hipótesis nula H 0 y concluimos que expenda no es independente de expendb. 11. a. Tenemos Q period1 2721, 1 y Q period2 2328, 8. Podemos ver que la media de ventas de materiales de construcción en el período 1 es mayor que en el período 2, pero no podemos necesariamente deducir que esta diferencia ha sido causada por la campaña negativa de la competidora. Podria haber ocurrido una subida de precios del material, por ejemplo, o una caída del volumen de construcción a la zona. b. Esperemos que β 1 sea negativa ya que es una elasticidad precio. Por otro lado, esperamos que β 2 > 0, debido a que esperemos que haya una relación positiva entre las ventas de material de la compañía y el volumen de construcción de la zona. c. Output de estimación del M odelo(1): d. El Modelo(1) no nos permite estudiar los posibles efectos de la campaña debido a que este modelo impone que los tres parámetros, β 0, β 1 y β 2 sean iguales para todos los meses, tanto los de antes como los de después, no dejando por tanto la posibilidad de que la campañaa haya podido afectar negativamente a la estructura de determinación de las ventas. (Piensa que querría decir negativamente en este caso) 9

10 e. Output de estimación del M odelo(2): f. La estimación de la elasticidad de los precios antes de la campaña de desprestigio es ˆβ 1 2, 856 y después de la campaña es ˆβ 1 + ˆβ , 456 3, 312. Así, parece que después de la campaña, el producto de esta empresa se ha vuelto más elástico respecto el precio. La estimación de la elasticidad respecto a C t es ˆβ 2 4, 54 antes y ˆβ 2 + ˆβ 5 4, 54 1, 17 3, 37 después de la campaña de desprestigio. Así, parece que ha disminuido la elasticidad respecto el volumen de construcción. La estimación del parámetro asociado a la constante antes de la campaña era ˆβ 0 8, 59 y ˆβ 0 + ˆβ 3 8, , 13 2, 46 después. g. H 0 : β 3 β 4 β 5 0 vs. H 1 : no H 0. F (SRC R SRC)/q SRC/(n (K + 1)) (39, , 47600)/3 32, 47600/(75 6) 4, 8156 El valor crítico al nivel 1% de significación asociado a F (3, 69): F 0.01 (3, 69) tablas 4, Dado que 4, 8156 > 4, 0788, podemos rechazar la hipótesis nula y se puede concluir que la campaña de desprestigio tuvo efecto estadísticamente significativo sobre las ventas de la compañía. 10

11 h. El output de la estimación del Modelo(3) es: La estimación de la elasticidad de los precios antes de la campaña de desprestigio es ˆβ 1 2, 856 y después de la campaña es ˆβ 1 3, 31 (igual que antes utilizando fictícias). La estimación de la elasticidad respecto C es ˆβ 2 4, 54 antes y ˆβ 2 3, 37 después de la campaña de desprestigio. La estimación de la constante es ˆβ 0 8, 59 antes y ˆβ 0 2, 45 después de la campaña. i. Contraste: H 0 : β 0 β 0 y β 1 β 1 y β 2 β 2 versus H 1 : no H 0 Estadístico de contraste: F (SRC R SRC)/(K + 1) SRC/(n 2(K + 1)) (SRC R (SRC 1 + SRC 2 ))/(K + 1) (SRC 1 + SRC 2 )/(n 2(K + 1)) bajo H o F (K + 1, n 2(K + 1)) 11

12 SRC 1 será la suma de los cuadrados de la primera regresión del Modelo(3) y SRC 2 será la suma de los cuadrados de la segunda regresión del Modelo(3). Por otro lado, SRC R es la suma de los cuadrados de los residuos del Modelo(1). Así, valor F (SRC R SRC)/(K + 1) SRC/(n 2(K + 1)) (SRC R (SRC 1 + SRC 2 ))/(K + 1) (SRC 1 + SRC 2 )/(n 2(K + 1)) (39, (13, , 71620))/3 (13, , 71620)/(75 2 3) (39, , 47600)/3 32, 47600/69 4, 8156 Este es el mismo valor del estadístico F que en el apartado anterior utilizando una sola variable fictícia, tal como esperabamos. 13. a. Gretl output: Recta ajustada: deathrate t 210, 34 66, 08 calc t + 10, 60 cigs t + 2, 92 edfat t + 0, 098 meat t + (138,80) (76,62) (4,83) (1,62) (0,24) +22, 60 (8,02) spirits t 3, 31 beer t 7, 32 wine t R 2 0, 73 (1,21) (14,36) 12

13 b. Podemos sospechar la presencia de colinealidad en la muestra ya que el consumo de cerveza, vino y otras bebidas alcohólicas pueden estar correlacionadas. Un resultado desconcertante es la relación positiva aparente de spirits y la tasa de mortalidad con una relación negativa de beer y wine con la tasa de mortalidad. Además, spirits podrían estar correlacionados con consumo de tabaco. Las personas que beben mucho también tienden a fumar más. También, podemos sospechar colinealidad entre el consumo de calorías diarias (calc) y el consumo diario de grasa (edfat) y el consumo diario de carne (meat). Como más grasa y carne se consume, más calorías se ingesta. El signo negativo para calc juntamente con signos positivos para edfat y meat es otra señal a la que podríamos prestar atención. c. Para estimar F IV 7, estimamos la regresión auxiliar para el regresor wine: Después, utilizando R 2 de esta regresión calculamos F IV 7 : F IV 7 1/(1 R 2 7) 1/(1 0, 9748) 1/0, , 68 Como vemos, F IV 7 > 10, así que tenemos un problema de colinealidad que han afectado a la estimación del parámetro (gran var( β 7 )). 13

14 d. Con la ayuda de Gretl calculamos los factores de inflación de la varianza para todas las variables, utilizando la opción de menú: Contrastes Colinealidad... Como podemos observar, los factors de inflación de la varianza para el consumo de tabaco (cigs), grasa (edf at), alcoholes (spirits), cerveza (beer) y vino (wine) son más grandes que 10, lo que indica un problema de colinealidad. En esta situación, las estimaciones de los coeficientes de la regresión pueden cambiar de forma errática en respuesta a pequeños cambios en los datos. La colinealidad no reduce la capacidad de predicción o la fiabilidad del modelo en su conjunto, almenos dentro de las propios datos de la muestra, sólo afecta a los cálculos que hacen referencia a las estimaciones individuales. Es decir, un modelo de regresión múltiple con variables explicativas correlacionadas puede indicar que tanto bien todo el conjunto de predictores predice la variable de resultado, pero no puede dar resultados válidos sobre cualquier regresor individual. 14

15 17. a. Estimamos que la media de la variable SALAMES por separado para hombres y mujeres. Para esto, en primer lugar, hemos de restringir nuestra muestra. Utilizando Muestra Restringir a partir de criterio, restringimo la muestra primero MUJER 0 y después eliminamos la restricción mediante la aplicación de Muestra Restaurar rango completo y restringimos la muestra de nuevo a M U JER 1. Utilizando Variable Estadísticos Principales nos encontramos con las medias de salarios para a hombres y mujeres: Como vemos, los hombres tienen salarios más grandes que las mujeres en media: 1937,3 euros versus 1389,4 euros. No obstante esto hemos de tener cuidado en la elaboración de conclusiones en lo que respecta a la discriminación de género a partir de estas cifras. Puede ser que los hombres incluidps en la muestra tienen diferentes características en lo que respecta al grupo de mujeres. Por ejemplo, tienen educación superior o más años de experiencia. Con sólo mirar las estadísticas descriptivas no tomamos esta posible explicación en cuenta. La regresión nos permite controlar por estas diferencias. b. Estimamos el modelo que nos permetirá observar las diferencias de salarios entre hombres y mujeres, controlando al mismo tiempo por características importantes 15

16 de un trabajador como la educación o los años de experiencia: Model(3) ln(salames i ) β 0 + β 1 ESCOLA i + β 2 EXP ER i + β 4 MUJER i c. Gretl output de este modelo: +β 5 (ESCOLA i MUJER i ) + β 6 (EXP ER i MUJER i ) + u i Como se observa a partir del output, el retorno de la educación para las mujeres es de 1,4 % más alta que para los hombres, mientras que el retorno de la experiencia es de 0,58 % inferior a la de los hombres. En media, log-salarios para las mujeres es 0,4 puntos menor que para los hombres. d. Ahora nos gustaría probar la presencia de la discriminación de género. Vamos a comprobar si las mujeres tienen el mismo salario que los hombres, lo que se corresponde con la siguiente hipótesis H 0 : β 4 β 5 β 6 0 versus tienen diferente salario: H 1 : no H o. Calculamos el F-test utilizando la siguiente expresión para el F-test: (R 2 RR 2 F )/q (1 R 2 )/(n (K + 1)) 16

17 donde el modelo restringido será M odelo(1). Output para M odelo(1): Calculamos valor-f: F (R 2 R 2 R )/q (1 R 2 )/(n (K + 1)) (0, , )/3 (1 0, )/(5000 7) 255, 52 Valor crítico al 5 % es F(3,4993)2, Por tanto, rechazamos la hipótesis nula y podemos concluir que puede haber discriminación de género (o algunos otros factores que hacen que hombres y mujeres sean diferentes en el mercado laboral, con excepción de la educación y los años de experiencia) porque valor F > F critical : 255, 52 > 2, Repetimos la prueba a través de Gretl opción de menú: Contrastes Restricción lineal y introducimos b[4]0; b[5]0; b[6]0. Esto nos da el siguiente output con exactamente el mismo resultado: 17