UNIDAD 3: Ecuaciones de Primer y Segundo Grado

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1 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Unidad ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO A) Ecuaciones de primer grado con una incógnita Se darán algunas definiciones. Identidad algebraica: Es una igualdad entre dos epresiones algebraicas que es verificada cualesquiera sean los valores atribuidos a las variables contenidas en las epresiones, ecluidos aquellos valores para los cuales al menos una de las dos epresiones pierde significado. Ejemplo. Ecuación algebraica: Es una igualdad entre dos epresiones algebraicas que es verificada solamente para valores particulares de las variables contenidas en las dos epresiones. Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica Miembros de la ecuación: son las dos epresiones algebraicas que forman la ecuación. Se llama primer miembro a la epresión algebraica que se encuentra a la izquierda del signo igual segundo miembro a la que se encuentra a la derecha. Solución de una ecuación: son los valores que, atribuidos a las variables incógnitas, producen una igualdad entre los dos miembros de la ecuación. Resolver una ecuación: consiste en hallar todas las soluciones de la ecuación. Una ecuación puede clasificarse en: i) Compatible determinada: cuando tiene un número finito de soluciones. ii) Compatible indeterminada: cuando tiene infinitas soluciones. iii) Incompatible: cuando no eiste ninguna solución. Ejemplo. La ecuación 0; tiene una sola solución, La ecuación ; tiene infinitas soluciones La ecuación ; No tiene solución en el campo de los números Reales. Una ecuación puede clasificarse, de acuerdo al número de incógnitas en: Ecuación de una incógnita Ecuación de dos incógnitas, etc. Ecuación de primer grado con una incógnita Es toda epresión de la forma: a b 0 con a, b R a 0 ; : variable

2 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones en la misma incógnita se dicen equivalentes cuando todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda, viceversa, todas las soluciones de la segunda ecuación son también soluciones de la primera. Metodología para resolver una ecuación Debido al hecho que dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, es claro que cuado se quiere resolver una ecuación se puede resolver una ecuación cualquiera que sea equivalente a la dada; por lo tanto será particularmente mu ventajoso cuando la segunda ecuación se presente en una forma más simple que la primera. El procedimiento para resolver una ecuación consistirá en la transformación de la ecuación en otra equivalente pero más simple, así sucesivamente, hasta llegar a una ecuación equivalente a la dada, de la cual, se sabe encontrar con facilidad sus soluciones. Por lo tanto es esencial ver cuáles son las operaciones que se pueden hacer sobre una ecuación para transformarla en otra equivalente. Se tienen las siguientes propiedades: Principio de adición: si a ambos miembros de una ecuación se le suma una misma constante (o un mismo polinomio) la ecuación obtenida es equivalente a la dada. Ejemplo: 0 si se le suma a cada miembro 0 8 esta ecuación es equivalente a la dada, tienen la misma solución. Principio de multiplicación: si a ambos miembros de una ecuación se le multiplica por una constante distinta de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Resolver: 0 Si se suma a ambos miembros: Si ahora se multiplica por ambos miembros.. entonces:

3 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Que consecuencias prácticas podemos obtener de estas propiedades? a) Lo que en un miembro está sumando pasa al otro restando. (cambia de signo al pasar de miembro) Ej. 0 b) Lo que en un miembro está como factor pasa al otro miembro como divisor. Ej. Ejemplo: Resolver (-6 pasó al do. Miembro +6 pasó al er. Miembro como ) (- que es un factor en el er. Miembro pasa al do miembro como divisor de ) 7 La verificación de la solución obtenida se realiza reemplazando la solución en la ecuación dada. ( 7) 6 ( 7) 8 ; 6 8; 7 7 verifica B) Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: Función lineal Se llama ecuación de primer grado con dos incógnitas, a toda epresión que tiene la siguiente forma: a b c 0 donde a, b, c son números reales, tales que a, b no se anulen simultáneamente, es decir a b 0. Ejemplo: 0 donde a ; b ; c Tendremos ahora infinitos pares de valores (, ) que reemplazados en la ecuación la verifican. Para encontrar algunos de estos pares conviene despejar en función de.

4 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Al darle valores a, puedo determinar valores de, algunos de las cuales pueden especificarse en una tabla de valores de la forma: Si se representa en un sistema de ejes coordenados cartesianos todos estos pares, se tendrá una recta. (se toma en el eje de abscisas la primera componente en el eje ordenadas, la segunda componente de cada par). (-,) eje (0,) (,) (,-) eje Las coordenadas de cualquier punto de la recta, verifican la ecuación: 0 también cualquier par (,) solución de dicha ecuación está sobre la recta. FUNCIÓN LINEAL Si se considera la ecuación: a b c 0 (cua representación gráfica es una recta) de ella se despeja, se obtiene: b a c a c b b si se llama con m a c k se obtiene: b b m k Esta relación es una función pues cumple las condiciones de eistencia unicidad. (para cada valor de, eiste es único el valor de ). La gráfica de esta función es una recta la función recibe el nombre de Función lineal. Si consideramos una función lineal m k cua gráfica es: 6

5 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado k Al número k se lo llama ordenada al origen nos da la ordenada del punto donde la recta corta al eje de ordenadas. El valor m mide la pendiente de la recta nos dice cuanto se incrementa o disminue la ordenada al incrementarse en la abscisa. Por lo tanto m tg el ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje. Conociendo m k es mu sencillo representar gráficamente a la recta. La ecuación de la recta se la puede obtener también con los siguientes datos: a) Recta que pasa por un punto (0, 0) que tiene una pendiente m. m 0 0 b) Recta que pasa por dos puntos dados P ( ) P,, c) Recta que corta al eje en = a al eje en = b a b 7

6 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado 8 Ejercitación ) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita: a) 7 b) c) 8 8 d) 9 e) f) g) h) i) j) ) Resolver: a) b) 6 c) d) e) 8 f) 0 ) Resolver: a) 6 b) c) d) 7 e) 7 f) 9 ) Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) 7 c) d) 0 6 e) f) 0

7 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado ) Representar gráficamente, determinar la pendiente la ordenada al origen: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 0 l) 6) Representar gráficamente, determinar la pendiente la ordenada al origen: a) f) b) c) g) d) h) e) 0 7) Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) (0, ) ; (, ) b) (, ) ; (, ) c) (, 0) ; (0, -) d) (, ) ; (-, ) e) (0, ) ; (, ) 8) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) tiene pendiente m: a) (, -), m = b) (, -), m = - c) (-, -), m = d) (, -/), m = -/ e) (-, -), m = -/ 9) Determinar la ecuación de la recta paralela al eje, que pasa por el punto (6, ). Es una función? 0) Determinar la ecuación de la recta. a) Bisectriz del primer tercer cuadrante. b) Bisectriz del segundo cuarto cuadrante. c) eje d) eje )Una empresa agropecuaria fabrica un producto que tiene costos variables de $ 6 por unidad costos fijos de $80. Cada unidad tiene un precio de venta de $0. Determine el número de unidades que deben venderse para que la empresa obtenga utilidades de $60. 9

8 RESPUESTAS EJERCITACIÓN UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado ) a) = b) = -/ c) 0 d) incompatible e) = f) = g) = / h) = / i) = j) = -/ ) a) = / b) = 9/7 c) = -/ d) = -8 e) = f) = /9 ) a) = -/ b) = c) = d) = -0/ e) = f) = ) a) = 9 b) = incompatible c) = d) = -/ e) = ^ =0 f) incompatible ) a) m = ; b = b) m = ; b = - c) m = ; d) m = ; b = - e) m = ; b = f) m = - ; g) m = - ; b = h) m = -/ ; b = - i) m = -/ ; b = j) m = - ; b = k) m = / l) m = / ; b = 6/ 6) a) m = - ; b = b) m = ; b= c) m = - ; b = d) m = / ; b = -8/ e) m = 0 f) m = ; b = - g) m = ; b = 8 h) m = -/ ; b = -8/ 7) a) = / + b) = c) = d) = e) = + 8) a) = b) = - + e) = -/-8/ c) = + d) = -/ + / f) = -/ 8/ 9) = 6 - NO 0) a) = b) = - c) = 0 d) = 0 0

9 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado C) Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Definición: se llama ecuación de segundo grado en la incógnita, a toda epresión de la forma: a b c 0, a R, b R, c R, a 0 () Definición: Se llama discriminante de la ecuación a la epresión: Teorema: b ac () Si 0, entonces la ecuación () tienen dos soluciones, dadas por las siguientes epresiones: b b, () a a Si 0, entonces la ecuación () tiene una solución doble, dada por la b epresión siguiente: a Si, 0 entonces la ecuación () no tienen ninguna solución real. Tiene dos raíces complejas (una es la conjugada de la otra), dadas por las siguientes epresiones: b i, a a b i () a a donde i = es la unidad imaginaria. Si 0, entonces los coeficientes a, b, c de la ecuación () están relacionados con las dos raíces o ceros () de la ecuación () de la siguiente manera: Propiedad: Si 0, entonces se tienen las relaciones: b (), a c. (6) a Las relaciones () (6) continúan aún siendo válidas para los otros dos casos 0 0. Propiedad: Si son las dos raíces de la ecuación () entonces se tiene la siguiente factorización para el polinomio de segundo grado, dado por:

10 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado 0 a b c a( )( ), R (7) Si 0, entonces la factorización (7) viene dada por: a b b c a (8) a Si 0, no eiste factorización en el campo de los números reales. Corolario: Sea 0, entonces: i) si b = 0, se tiene ; ii) si a c tienen igual signo (ambos positivos o ambos negativos) entonces las dos raíces tienen igual signo. Además, el signo de las raíces está dado por el signo del número b/ a. iii) si a c tienen distintos signos (uno es positivo el otro negativo) entonces las dos raíces tienen distintos signos. Ejemplos i) La ecuación 0 no tiene ninguna solución real pues: 0. Sus dos soluciones complejas son i. ii) La ecuación 0 tiene una única solución real (doble) = pues 0. Además ( ) iii) La ecuación 0 tiene dos soluciones pues 9 0. Como a 0 c 0 se verifica además que las dos raíces tienen signos opuestos. Por otro lado, se tiene que: ( )( ) iv) La ecuación 0 tiene dos soluciones pues 0. Como a 0 c 0 se verifica además que las raíces tienen igual signo, el cual coincide con el signo del número b a 0. Por otro lado, se tiene: ( )( ) Corolario: Una ecuación de segundo grado que tiene por raíces a dos números reales está dada por: ( ). 0 (9) s siendo p. entonces: s p 0

11 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado La forma general de una ecuación de segundo grado con incógnita es: a + b + c = 0 con a 0. A modo de resumen se puede decir que: a + b + c = 0 con a 0 Completa Incompleta b 0, c 0 b 0, c = 0 a +b = 0 b = 0, c 0 a +c = 0 b = 0, c = 0 a = 0 Ejemplos -+ = = = 0 Ejemplo = 0 Ejemplo 8 = 0 Ejemplo = 0 Método de completar cuadrado: Cuando una epresión no puede ser factorizada fácilmente la ecuación no tiene la forma de c, se puede encontrar las raíces completando cuadrado. Se aplica a la epresión: b c 0 la epresión debe tener coeficiente principal. Se rescribe la epresión b c de manera que solamente los términos con la variable estén en el primer miembro. Luego agregamos (b / ) a ambos lados: b b c ( b ) ahora el primer miembro es un cuadrado perfecto: aquí sí es fácil despejar. b ( b ) c

12 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Ejemplo: Resolver 0, completando cuadrados: a) Dividir ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de b) Se escribe la ecuación como: 0 / c) Se añade a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de. ( / ) / (/ ) d) Entonces se tiene: ( / ) / e) Se despeja : D) Ecuación de Segundo Grado con dos Incógnitas. FUNCIÓN CUADRÁTICA. Sea la función cuadrática a b c de RR a 0 () Su representación gráfica es una parábola. Se puede demostrar que todas las funciones cuadráticas tienen una gráfica de forma similar a la gráfica de f ( ). Puede darse que: Si a > 0 en (), la parábola se abrirá hacia arriba (Fig.). Si a < 0 en (), la parábola se abrirá hacia abajo (Fig. ). En el caso del polinomio cuadrático de término único f () a, a 0 ; f () a, a 0 a través del eje (Fig. ). f ( ) a las gráficas de son simples refleiones una de otra a, a 0 a, a 0 Fig. Fig. Fig.

13 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado a b c Si se considera la función, para graficarla se debe encontrar donde la parábola corta al eje. Para ello basta con igualar el trinomio a cero resolver la ecuación cuadrática: a b c 0 Esto puede factorizarse: a ( )( ) 0 donde son raíces o ceros de la ecuación. Para hallar éstas raíces se aplica la resolvente: b b ac a Puede observarse que la gráfica de la función cuadrática puede o no tener intersección con el eje : a b c 0 b b ac a b ac 0 Dos raíces reales diferentes. Dos intersecciones con el eje : =, = La gráfica atraviesa el eje dos veces b ac 0 Raíces reales e iguales. La intersección con el eje es: b a La gráfica es tangente al eje. b ac 0 No ha raíces reales. No ha intersecciones con el eje. La gráfica está completamente por arriba o por debajo del eje. Si el coeficiente: a 0, las ramas van hacia arriba., las ramas van hacia abajo. a 0 El vértice de la parábola se encuentra en el punto: b b, f a a La intersección con el eje : es f(0) = c.

14 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Ejemplo: 6 donde: a =, b = -, c = 6 a 0 ramas de la parábola hacia arriba. f(0) = 6 corta al eje en = 6 Se aplica resolvente: ()(6) ()() Son dos raíces reales distintas son los valores que la curva corta al eje. El vértice está en el punto: o sea: P (, ) P, ( ), f Gráfica: Y V, X 6

15 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Ejercitación ) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 0 e) b) 7 0 c) f) 7 0 d) g) h) ) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado en la incógnita ( a, b R) ab a b a) ab ab 9 b) a a 0 c) 6 a a 0 d) a a a a e) ) Escribir una ecuación de segundo grado que tenga por raíces las siguientes duplas de números: a) d) b) c) / e) f) / ) Hallar dos números cua suma sea s cuo producto sea p. a) s 0, p c) s, p 8 b) s, p d) s 7/ 6, p / 7

16 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado ) Representar en un sistema de ejes coordenados cartesianos las siguientes funciones: a) b) b) c) d) e) f) g) 6) Graficar la función dada. Hallar el vértice de la parábola sus intersecciones. a) f) b) g) 6 c) h) d) 6 e) 7) Factorizar las siguientes epresiones: a) b) c) 0 d) 8 8) Utilice la técnica de completar el cuadrado de las siguientes epresiones en la forma: ( h) k a) 6 b) 0 c) 9t 6t d) u u 0 9) Un jardín rectangular de 0 m de largo por m de ancho está rodeado por un camino de ancho uniforme. Hallar el ancho de dicho camino si se sabe que su área es 0 m 0) En cada un de las esquinas de una plancha de cartón de forma cuadrada se recorta un cuadrado de cm de lado doblando pegando, se forma una caja de 80 cm. Hallar el lado de la hoja inicial. ) Dentro de años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace trece años. Calcular la edad de Marcela. ) El número de cerdos atacados cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función: f() = , donde representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcule: a. Cuántos cerdos enferman el quinto día? b. Cuándo deja de aumentar el número de animales enfermos? c. Cuándo desaparecerá la enfermedad? RESPUESTAS EJERCITACIÓN ) a) 8 e) 0, 9, 9 0 b) / f) / c) Soluciones complejas d) / g) h)

17 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado ) a) e) 0 ab b) / / a a c) a 6 d) 0 0 a ) a) 8 0 b) 0 c) 7 0 d) 0 e) 0 f) ) a) b), c), 9 d), 6) a) V (, -) b) V (/, 9/) = c) V (, ) d) V (, -) 6 e) V (, 0) f) V (, 0) g) V (, ) h) V (-, /) 9 7) a) ( )( / ) i i b) c) ( ) d) ( )( )( 6) 8) a) ( ) 9 b) ( ) 8 c) 9(t ) 9) m d) ( u ) 0) 6 cm 9

18 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Incógnitas. DEFINICIÓN: un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, es el dado por el: (s) i) a b c a b c ii) donde a, b, a b R, de manera que no sean simultáneamente nulos. Los números a, b, a b son coeficientes del sistema de ecuaciones los números c c se llaman términos independientes. DEFINICIÓN: se llama solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas,, a un par ordenado de números reales, de manera que sustituidos respectivamente en las letras, satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. DEFINICIÓN: resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa encontrar el conjunto de raíces comunes, es decir, la intersección de los conjuntos solución de ambas ecuaciones. Si s es el conjunto solución de i) s es el conjunto solución de ii) s s s Entonces el conjunto solución se epresa: Un sistema s, puede ser: A - Compatible: tiene solución: - Determinado: admite una única solución. - Indeterminado: admite infinitas soluciones. B - Incompatible: no tiene solución. Recordando que cada una de las ecuaciones que constituen el sistema son funciones lineales, su representación gráfica es una recta en el plano,. Como se ve en las Fig., Fig. Fig., respectivamente, ha tres casos para representar gráficamente las diferentes posibles soluciones de un sistema: i) Las rectas se intersectan en un solo punto. ii) Las ecuaciones describen la misma recta. iii) Las dos rectas son paralelas. Fig. Fig. Fig. 0

19 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado En estos casos se dice, respectivamente: i) El sistema compatible o consistente las ecuaciones independientes. Tiene eactamente una solución, es decir, el par ordenado de números reales correspondiente al punto de intersección de las rectas. ii) El sistema es consistente pero las ecuaciones son dependientes. Tiene infinitas soluciones, esto es, todos los pares de números reales correspondientes a los puntos de una recta. iii) El sistema es incompatible o inconsistente. No ha soluciones. Diferentes métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Se eplicitará la metodología de algunos métodos se la aplicará, como ejemplo, para la resolución del siguiente sistema: cua única solución está dada por = ; = -. A) Método de sustitución: a) Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones (de la que resulte más fácil sencillo). b) Se reemplaza esto en la otra ecuación: c) Se resuelve la ecuación de primer grado en la incógnita que queda: 6 d) Este valor hallado, se reemplaza en la ecuación encontrada en a) para obtener el valor de la incógnita : () e) Verificación: Se reemplazan los valores hallados en cada una de las ecuaciones del sistema dado:

20 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado () B) Método de igualación () verifica. ( ) verifica. a) Se despeja una de las incógnitas de cada una de las ecuaciones o, indistintamente, por ejemplo la : (i) (ii) b) Se igualan las epresiones obtenidas para obtener una ecuación de primer grado en una variable, en este caso, en la variable : c) Se resuelve la ecuación obtenida, respecto de la ecuación : = d) Se reemplaza, este valor de obtenido, en una de las ecuaciones halladas en a) i) o a) ii): () e) Verificación: Se sustituen los valores obtenidos en cada una de las ecuaciones del sistema. C) Método de reducción o de sumas restas a) Se multiplican las dos ecuaciones por un número conveniente de manera que los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo la, sean iguales: En este caso, se multiplica la primer ecuación por : 6 b) Se suman o restan las ecuaciones, de acuerdo a que los coeficientes resulten de distinto o igual signo respectivamente:

21 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado 0 c) Se resuelve la ecuación hallada respecto de la incógnita : = d) Se reemplaza este valor hallado en una de las ecuaciones dadas, se despeja la otra incógnita: e) Verificación: se sustitue los valores encontrados en cada una de las ecuaciones del sistema dado: En la ecuación (): En la ecuación (): () ( ) verifica. () ( ) verifica.

22 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado PROBLEMAS CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA? El siguiente método le permitirá contar con una guía para resolver problemas: Paso : representar la cantidad desconocida mediante un símbolo algebraico tal como, que denote que es una variable. Paso : epresar las demás cantidades en términos de. Paso : traducir el problema en epresiones algebraicas, en las cuales intervenga. Paso : resolver la epresión algebraica (ecuación) se obtendrá la solución buscada. Ejemplo : Leonardo Marcelo son mellizos, Matías tiene dos años más que ellos las edades de los tres suman años. Cuántos años tiene Matías? Solución: Paso : Se llama con a la edad de Leonardo o a la de Marcelo Paso : Si Matías tiene años más que ellos, entonces tendrá: + años Paso : Las edades de los tres, sumadas, dan, se escriben con los símbolos que se denotaron: + + ( + ) = Paso : Se resuelve la ecuación planteada en la incógnita : = 7 Respuesta: Leonardo tiene 7 años. Marcelo tiene 7 años. Matías tiene 9 años. Ejemplo : En un terreno rectangular uno de sus lados mide m. Más que el otro. Si la superficie del terreno es de 8 m. Cuánto mide cada lado? Solución: Paso : Se llama con a uno de los lados. Paso : El otro lado será: Paso : El área de un rectángulo es: Lado lado, en este caso igual a 8, por lo tanto: Paso : Se resuelve la ecuación cuadrática en la incógnita : 8 0

23 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado Se aplica la fórmula cuadrática o resolvente: El valor = -7 debe descartarse pues no puede haber lados de longitud negativa (físicamente imposible) Luego un lado mide: = m Y el otro lado: +, o sea 7 m Respuesta: un lado mide m el otro lado mide 7 m. Ejemplo : La suma de un número, más el duplo de otro, es el duplo del primero menos el segundo es. Cuáles son los números? Solución: Paso : Se llama con al primer número. Paso : Se llama con al otro número. Paso : Se plantean las ecuaciones que resultan de leer el problema obteniéndose el siguiente sistema: Paso : Se resuelve dicho sistema por el método que se considere conveniente, en este caso, por sustitución: - Si se despeja de la primera ecuación: - Se reemplaza en la segunda ecuación se obtiene: - Se resuelve dicha ecuación en la incógnita quedando: - Si se sustitue este valor de en la primera ecuación: 9. 8 Respuesta: los números correspondientes son. 7

24 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado 6 Ejercitación ) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: a) b) 9 c) d) 0 6 e) 7 9 f) 9 7 g) h) 6 i) 9 9 j) ) Resolver las siguientes ecuaciones: a) a a a b) a a a c) 0 a b b a d) a b b a ) Representar gráficamente los sistemas epresados en los siguientes ítems, e interpretar su solución: a) ; d) ; g) ; h) ; a) ; b) ; c)

25 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado ) Problemas de aplicación ) Determinar dos números consecutivos cua suma sea 7. ) Una persona compra una mercadería pagando $0 por adelantado cuotas fijas por un valor igual a / del precio total Cuánto cuesta la mercadería? ) El área de un rectángulo no cambia si se aumenta la altura en metros se disminue la base en. El área del rectángulo aumenta en 6 m si se aumenta la altura en m se disminue la base en metros. Indicar cuál es la altura la base de dicho rectángulo. ) Un productor ganadero compró 000 novillos a $0 cada uno. Vendió 00 de ellos, obteniendo una ganancia del %. A qué precio deberá vender las 600 que le quedaron si la utilidad promedio del lote deberá ser del 0%? ) Un ciclista con viento a favor avanza a km por hora en contra del viento avanza a 0 km por hora. Cuál es la velocidad del ciclista cuando no sopla el viento? 6) Un camión de entregas llega a un almacén con 8 cajas pequeñas grandes. El cobro total por cajas, incluendo el impuesto los gastos de envío, es de $8. El flete de una caja grande cuesta $.00 más que el de una caja pequeña Cuáles el costo del flete de cada una de las cajas? 7) Si una fábrica A invirtió $0000 menos que otra fábrica B entre ambas suman $0000, cuál es el monto de la inversión realizada por cada fábrica? 8) El área total sembrada en un campo es 00ha. El área sembrada con maíz ecede en ha a la sembrada con trigo en 6 ha a la sembrada con cebada. Encuentre el área sembrada con cada cereal. 9) En un establecimiento agropecuario, se alimentan 000 vacunos de dos razas diferentes Shorton Aberdeen Angus. Del total se envían a faena 00 animales, de los cuales se sabe que un 60 % corresponde a la raza Shorton el resto a la segunda raza. Indique la cantidad de animales de cada raza que se faenarán. 0) En una envasadora de café se trabaja con granos de dos calidades diferentes, cuando se toma kg de la primera calidad kg de la segunda resulta una mezcla que puede venderse a $,/kg, cuando se toma kg de la primera clase kg de la segunda resulta la mezcla a $7 /kg Cuál es el precio de cada calidad de café? 7

26 UNIDAD : Ecuaciones de Primer Segundo Grado RESPUESTAS EJERCITACIÓN ) a) b) c) d) 0 e) / f) 7 g) incompatible h) indeterminado i) j) ) a) Si a = indeterminado Si a única solución: = 0, = a b) a R : única solución: =, = 0 c) Si a = 0 ó b = 0: el sistema no está definido Si a 0 b 0 : única solución: = a, = b d) Si a = 0 ó b = 0: el sistema no está definido. Si a 0 b 0 : a b : in det er min ado a b incompatib le a b : única ) ) ) $0 ) 8m m ) $00 ) 7km/h 6) $ $6 solución ab, b a : ab b a 8