Determinación del número de Repeticiones

Transcripción

1 Determinación del número de Repeticiones Introducción (Región de estabilidad) Cuando se modela un sistema mediante un programa de computadora los resultados que se obtengan se deberán analizar de manera estadística, puesto que la simulación se basa en conjuntos de aleatorios que representan los posibles valores obtenidos en la realidad en cada variable, en consecuencia, para tener una visión clara de lo que es posible que ocurra con mayor probabilidad, es necesario utilizar diversos conjuntos de aleatorios y estudiar en el sentido estadístico los resultados de la simulación. Para estudiar estadísticamente los resultados de la simulación es necesario, a su vez, determinar el tamaño de la muestra que se necesita para ello. Este tamaño de muestra debe ser tal, que permita suponer (razonablemente) que si se aumentan más datos, estos no cambiarán significativamente la inferencia estadística que se pueda hacer. Existen diversos criterios para determinar ese tamaño de muestra, a continuación se verá el criterio de la media acumulada para determinar el número de repeticiones necesario en un programa de simulación. Criterio de la Media Acumulada Suponga que está analizando los resultados del programa de simulación del torno computarizado (lección de simulación con hoja de cálculo sesión II), donde el parámetro de interés es la hora a la que desocupará el torno, después de procesar 5 lotes de piezas (en el turno matutino). Los resultados de cada repetición son diferentes y se tienen que analizar de manera estadística para poder hacer una inferencia válida. El criterio de la media acumulada indica que si calcula la media de las repeticiones conforme se obtienen, ésta se estabilizará (eventualmente) en algún valor después de muchas repeticiones, en caso de que el programa sea estable. Si el programa no lo es, entonces no se encontrará un numero de repeticiones tal que la media sea estable. Teóricamente, no existe forma de garantizar que la zona de estabilidad permanecerá sin importar el número mayor de repeticiones, así que, quien simula debe determinar con base en su experiencia (y las necesidades en la precisión de sus resultados) cuándo considera que su programa alcanzó la estabilidad.

2 Ejemplo: Encuentre la región de estabilidad del siguiente programa de simulación. El programa simula el proceso de construcción de un cilindro con dos láminas roladas (curvadas) y soldadas, con el fin de determinar la distribución de la circunferencia que tendrán sus cilindros. Las láminas se cortan (de 2 m) con una máquina cuya precisión es de +/- 1 mm en el corte y la soldadura tiene un grosor de 0.5 cm +/ cm. El programa en hoja de cálculo sería: A B C D E 1 Este programa está formulado en milímetros 2 Grosor soldadura 1 3 Longitud lámina 2 4 Grosor soldadura 2 5 Longitud total de la El circunferencia expresado en milímetros.. Considere los siguientes resultados de las primeras 30 repeticiones, la media acumulada sería: Datos de las repeticiones y la media acumulada. Repetición Longitud de la Circunferencia Media acumulada Repetición Longitud de la Circunferencia Media acumulada

3 Gráfica de la media acumulada. De la gráfica se aprecia que el programa alcanzó su estabilidad después de 20 repeticiones (aprox.) ya que la media acumulada presenta una tendencia horizontal en su comportamiento (es decir tiende a oscilar alrededor de un valor fijo). Con base en una estimación de punto (como la anterior) para la media es todo lo que puede hacer, además de esperar que el programa se comporte "bien" y permanezca estable alrededor de un valor aproximadamente. Sin embargo, en este momento, no tiene una medida estadística que le indique la probabilidad de que su media acumulada se mantenga dentro de ciertos límites de variación, que le pueda indicar si espera grandes (o pequeñas) variaciones en la media acumulada, para saber si considera el programa como estable ó no. Para esto será necesario hacer una estimación de intervalo para la media. Como se presenta a continuación.

4 Estimación de intervalo para la media La estimación de intervalo para la media requiere de un método para estimar la varianza de la media con base en un conjunto de datos. Sea: el estimador puntual de la media, y sea: el estimador para la varianza de la media. Entonces el estimador: Sigue una distribución t de Student con n-1 grados de libertad. Donde n es el numero de datos (en este caso de repeticiones) que se toman en cuenta para calcular los estimadores de la media y la varianza; theta es la media verdadera de la población, la cual no se conocerá, pero se acotará dentro de dos límites de variación con un nivel de confianza alfa ( a ). Para lograrlo, se pide como condición que la probabilidad de que el estimador t se encuentre dentro de dos límites sea 1- a como se muestra a continuación: Y substituyendo el valor del estadístico t en la expresión se obtiene que:

5 Por tanto el intervalo donde se localiza la media verdadera de la muestra es: Con el 1- a % de confianza. Ahora, para evaluar numéricamente el intervalo, es necesario contar con la expresión del estimador para la varianza de la media, lo cual puede hacer de la siguiente manera: Estimación de la varianza de la media Se pueden utilizar algunos resultados teóricos para estimar la varianza de la media, por ejemplo: Si {y1, y2, y3,..., yn } son observaciones estadísticamente independientes, donde yi es una medida de los resultados de salida de la réplica i, obtenidas mediante condiciones iniciales independientes y con diferentes corrientes aleatorias (listas de aleatorios diferentes), entonces: J. Banks,"Discrete events system simulation"

6 Si {y1, y2, y3,..., yn} no son estadísticamente independientes. entonces como: J. Banks,"Discrete events system simulation" Así que ahora está en posibilidad de calcular el intervalo de variación de su media verdadera con base en un conjunto de datos producto de sus repeticiones: Una vez que cuente con el intervalo donde se localizará su media, decida con base en él si está suficientemente estable o si necesita una mayor certeza (un intervalo más estrecho) en sus valores como para que los pueda considerar como estables (útiles para sus propósitos).

7 Verifique que pueda responder las siguientes preguntas antes de continuar. 1.- Calcule el intervalo donde se encontrará su media con el 95% de confianza tomando en cuenta los siguientes datos, producto de las repeticiones de un programa. Considere los datos estadísticamente independientes Suponga que cuenta con un programa cuyas repeticiones tienen un a media y una desviación estándar estables (aprox.), después de 35 repeticiones. Sin embargo usted desea una certeza de +/ en el valor de su media (con el 95% de confianza), para ello hará más repeticiones. Cuántas repeticiones necesitará para llegar a conocer su media con la precisión deseada?. Tome un valor para la media (estable aprox.) de y una desviación estándar de los datos (estable aprox.) de Bibliografía : Referencia(s): J. Banks,"Discrete events system simulation" Azarang, García, "Simulación y análisis de modelos estocásticos" Law & Kelton, "Simulation Modeling & Analysis" F.S. Hillier, G.J. Lieberman, "Introducción a la Investigación de Operaciones" Ing. Luis Zuloaga Rotta