TEMA 1: NÚMEROS RACIONALES Y OPERACIONES

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1 TEMA : NÚMEROS RACIONALES Y OPERACIONES

2 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : NÚMEROS REALES Y OPERACIONES. Introducción. Los conjuntos numéricos N, Z Q. Su representación gráfica.. Los números irracionales (I):.. Algunos irracionales interesantes.. Representación en la recta real. 4. Los números reales (R): 4.. El conjunto de los números reales 4.. Representación sobre la recta 4.. Orden en R 4.4. Intervalos semirrectas. Unión e intersección Valor absoluto Aproimación decimal de un número decimal. Estimación, redondeo errores Potenciación Radicales: 4.8..Radicales equivalentes 4.8..Propiedades, operaciones, racionalización 4.9. Notación Científica 4.0. Logaritmos

3 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : NÚMEROS RACIONALES Y OPERACIONES. Eplica si cada frase es verdadera o falsa: a. Todo número entero es racional b. Ha números irracionales que son enteros c. Todo número irracional es real d. Algunos números enteros son naturales e. Ha números decimales que no pueden ser epresados como una fracción f. Todos los números decimales son racionales g. Entre dos números enteros ha siempre otro número entero h. Entre dos números racionales siempre ha infinitos número racionales i. Los números racionales llenan la recta.. Epresa en forma de fracción efectúa la operación indicada: ' ' Inventa dos números irracionales dados en forma decimal. 4. Observa la figura justifica que si ABAC entonces BD 5. Epresa con una desigualdad, con un intervalo gráficamente es un número maor o igual que - menor que 5 6. Escribe con intervalos representa gráficamente los siguientes conjuntos numéricos: a. Números maores que b. { / < 5} c. { / 7} d. Números menores que ecluendo el 0. e. { / 4} 7. Representa gráficamente los siguientes intervalos: a. (, ) b. (,9] c. [ 4, ) d. (,0) 8. Representa gráficamente los siguientes conjuntos: a. { / < 5} b. [,5) ( 5,7] c. (, 0) (, ),, d. ( ) ( )

4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Cuál es el menor número real perteneciente al intervalo [,5)? 0. Halla el valor absoluto de: a. 7 4 b. 0 c d. 9 e.. Para qué valores de se cumplen las siguientes igualdades? a. b. 0 c.. Para qué valores de se cumplen las siguientes desigualdades? a. < b. c.. Eplica cuáles son los números que cumplen cada una de estas epresiones: a. 5 b. c. 4 d. > 0 4. Halla los siguientes valores absolutos: 0 π π Averigua para qué valores de se cumplen las siguientes relaciones: a. 5 b. 5 c. 4 d. 4 e. 4 > f. 4 > 5 4

5 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Si R, eplica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones: a. es siempre positivo o nulo. b. es siempre positivo o nulo. c. sólo eiste si 0 d. es negativo si lo es e. es siempre negativo. 7. Es posible que una potencia de eponente negativo sea igual a un número entero? Acláralo con un ejemplo. 8. Simplificar: a. 9 b. 6 8 c. 8 d e. 5 0 f Eplica cuál es maor: 4 o 0. Reduce a índice común: a b Simplifica: a. b Reducir: a. 5 b. 9 6 c Simplificar: 5 a 6 a a b a b a b a b c c 4. Reduce:

6 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Suma simplifica: a. 5 b. 9 5 c d Racionalizar simplificar: a. 5 7 b. 4 c. 7 d. a e. 50 f. 4 8 g. 5 h. i. 5 j. k. l. 7 5 m. a a 6

7 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Efectúa las siguientes operaciones utilizando las potencias sus propiedades: ( ) a. 8 ( ) 4 b. a a a 8. Opera simplifica: 50 5 a. 8 b. 8ab a b 9. Realiza las siguientes operaciones epresadas en notación científica devuelve el resultado en notación científica: 6 8 a. ( 5 '4 0 ) ( 6' 0 ) 6 5'4 0 b. 8 6' c. 5 '8 0 7'5 0 6' Calcula en notación científica sin usar la calculadora: a. ( : 0'000) 0' b. 0 ' Opera con la calculadora epresa el resultado en notación científica: a. ( '87 0 5'96 0 ) ( '94 0 ) b. 8 '9 0 7'64 0 '4 0. Efectúa las siguientes operaciones epresa el resultado en notación científica: a. 7 5' 0 4' 0 5 '8 0 b ' 0. Hallar los siguientes logaritmos: a. log 8 b. log 0'0 c. log 5 0' d. log 0' 5 4. Sabiendo que log A ' 5 log B ' 4 calcular: A B a. log 4 A b. log B 7

8 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Hallar con la calculadora: a. log 5 80 b. log Halla: c. log 500 d. log e. log 5 00 f. log a. log 6 b. log 9 c. log 4 64 d. 4 ln e e. log 5 0'04 f. log 0'5 g. log 0' h. log Calcula el valor de la en cada apartado: a. log 7 b. log 6 c. log 5 d Epresa como un solo logaritmo: ln b ln c ln d 8

9 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 9

10 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 9. Calcular: a. ( ) ( ) b. ( 5 ) ( ) c. ( ) ( ) 4 d. ( ) ( ) 40. Calcula: a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) ( ) 4. Un polinomio A() es de tercer grado un polinomio B() es de segundo grado. Cuál es el grado del polinomio A( ) B( )? 4 4. Calcular el producto de los polinomios P ( ) 5 Q ( ) 4. Efectuar: ( 6) ( ) 44. Desarrolla simplifica esta epresión: ( ) ( )( )( ) Dividir P ( ) 5 entre el polinomio Q ( ) Dividir P( ) 6 5 entre el polinomio Q( ) 47. Calcula el cociente el resto de la división: 5 4 ( ) : ( ) 48. En una división de polinomios, el dividendo es de grado cinco el divisor de grado dos. Cuál es el grado del cociente? Qué puedes decir del grado del resto? 0

11 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Un polinomio A() es de grado 4 otro B() es de grado. a. Cuál será el grado de A( ) B( )? b. Y el grado de A() entre B()? c. Cuál puede ser el grado del resto de la división A ( ) : B( )? 50. Responde a las siguientes preguntas: a. Cuánto han de valer a b para que la siguiente división sea eacta? 4 ( 5 a b) : ( 5 ) b. Cuánto ha de valer a b para que el resto de la división sea -7? Calcula el valor numérico del polinomio P ( ) cuando la toma los valores: a. -5 b. - c. d Epresa el resultado de las siguientes divisiones en la forma a. 9 6 b. 5 c. 4 5 D d c 5. Efectúa las siguientes divisiones escribe el cociente resto de cada una: 4 a. ( 5) : ( ) b. ( ) : ( ) 54. Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente el resto de las siguientes divisiones de polinomios: 4 : a. ( ) ( ) 5 4 b. ( ) : ( ) c. ( 5 8) : ( ) 4 d. ( ) : ( ) 55. Calcular el cociente el resto de las siguientes divisiones aplicando la Regla de Ruffini: 4 5 : a. ( ) ( ) 5 b. ( ) : ( ) c. ( ) : ( ) d. ( '5 '5 '5 4.5) : ( ) 5 e. ( 4) : r d

12 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Si la división P( ) : ( ) es eacta, qué puedes afirmar del valor de P()? 57. Si P ( 5), cuál será el resto de la división P ( ) : ( 5)? Sin hacer la división hallar el resto de dividir P ( ) 5 7 entre (Solu: 4) Calcula el valor de k para que la división ( 5 k ) : ( ) sea eacta. 60. Calcular utilizando las identidades notables: a. ( ) b. ( 6 ) c. ( 4 ) ( 4 ) d. ( ) e. ( )( ) f Son - raíces del polinomio P ( ) 5 0 6? 6. Descomponer en factores este polinomio: 4 P ( ) Factorizar el siguiente polinomio: 4 H ( ) Factorizar el polinomio P( ). P ( ) ) (Solu: ( )( ) 65. Factorizar el polinomio P ( ) 4 4. P ( ) ) (Solu: ( )( )( ) 66. Descomponer en factores los siguientes polinomios decir cuáles son sus raíces: 4 a. P ( ) 4 48 ( Solu : ( 4). Las raíces son 0 4) 4 b. Q ( ) 4 ( Solu : ( )( )( ). Las raíces son -) c. H ( ) 6 ( Solu : 6. Las raíces son / -/) d. ( ) 6 P ( Solu : ( )( )( )., - ) 67. Escribir un polinomio que tenga por raíces -, 5,, Hallar las raíces del polinomio P( ) 4. (Solu: 0, -, - ) Las raíces son -,

13 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Descomponer en factores el siguiente polinomio Sol. 5 ( ( ) ( )( )( )) 70. Calcula las raíces en cada caso: a. 6 9 b. c. d Cuánto debe de valer k en cada caso para que la división sea eacta? 5 0 k : a. ( ) ( ) b. ( k ) : ( ) 7. Razona por qué -,, 5, -5 son, en principio, posibles divisores del polinomio 5 5 a. Razona por qué - no puede serlo b. Descomponer en factores el polinomio Descomponer el polinomio P ( ) ( ) ( ) ( 5 7) ( Sol. P( ) 74. Cuáles de estos polinomios son irreducibles? a. b. 9 c. 5 d. e. 5 f. 4 4 g. 4 4 h Calcular el m.c.m. el m.c.d. de cada pareja de polinomios: a. P ( ) 4 Q ( ) 4 4 b. 4 P ( ) Q( ) 4 c. P ( ) 4 Q ( ) Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: a. 4 ( Sol. ) b. ( Sol. 6 9 ( ) ) 77. Efectúa:

14 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Efectúa: ( ) 7 Sol Calcular: Sol 80. Opera: a. 6. Sol b. : 5. 4 Sol 8. Efectuar: :. Sol 8. Opera: ( ) : 4 4 ( ) ( ) 4. Sol

15 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS 5

16 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS 8. Resolver la ecuación 4 0 representar la parábola Resolver la ecuación representar la parábola Representa las siguientes parábolas: a. 6 4 b. 4 4 c. 5 6 d. 86. Resolver estas ecuaciones: a b c d. 0 0 e f g. 7 0 h Resuelve las siguientes ecuaciones: a. 6 b. 7 4 c. ( ) ( 4)( 4) d. ( ) ( )( ) e. ( 4) ( ) 5 4 f. ( ) ( ) Resolver las siguientes ecuaciones incompletas de º grado sin aplicar la fórmula general: a. ( ) ( ) ( ) 0 b c. 5 6

17 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas: a Sol:,,, 4 b. 4 0 Sol:, c d Resolver las siguientes ecuaciones con radicales: a. Sol: b. 5 c. 5 4 d Sol: 4 9. Resolver las siguientes ecuaciones factorizando previamente: 0 Sol:,, Sol: 7 5,,, Resolver las siguientes ecuaciones factorizando previamente: a. 7 0 b c d Tres amigos cobran 756 por realizar un trabajo. El primero ha dedicado el trabajo horas, el tercero, que ha dedicado el doble de horas que el segundo, ha cobrado 60. Cuántas horas cuánto dinero corresponde a cada uno? Solu: º horas 6 º 0 horas 80 º 0 horas Interpretar resolver gráficamente estos sistemas: 6 0 a. Sol: (,5) 0 b Sol: (-, 0) (4,0) c. 4 4 Sol: No tiene 7

18 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: d Sol: No tiene e f La nota media de matemáticas en la clase de ºA es 5 4 en la clase de ºB es 6 4. Cuántos estudiantes ha en cada grupo si en total son 50, con una media de 5 88? Sol: ºA tiene 6 estudiantes; ºB tiene Resolver por el método de sustitución: 9 Sol: Resolver los siguientes sistemas: a. 0 Sol: 4 b z z z Sol: 5 0 z- 98. Resolver el siguiente sistema: 8) 0( 4'8 t e t e Sol: e t e t 99. Resolver el siguiente sistema: Sol: 7'6 8'4 0'6 6 0' ) ) ) )

19 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más oportuno: 0 a. 4 b. c. d. 4 5 z Resolver las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita: a. < 7 b. 0 c. 5 > 0. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales: 9 < 0 a. Sol : [,) 4 0 b. c. 0 5 > Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas gráficamente: a b. 5 4 < 0 c d. 5 4 > 0 e f g. 4 < 0 h

20 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Resuelve los sistemas: a < 0 b > Resolver las siguientes inecuaciones lineales con dos incógnitas: a. 6 b. 6 c. 6 d Un polinomio A() es de tercer grado un polinomio B() es de segundo grado. Cuál es el grado del polinomio A( ) B( )? 0

21 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA 4: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

22 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL 07. Indica cuál es la población la variable estadística de cada uno de los siguientes estudios estadísticos. Señala, además, de qué tipo es la variable estadística: a. Preferencias deportivas de los compañeros/as de tu clase b. Tiempo medio invertido por los trabajadores españoles en desplazarse desde su domicilio hasta el centro de trabajo c. Número de veces, en un año, que asisten al teatro los habitantes de tu municipio 08. En un estudio estadístico cua población son todos los ciudadanos españoles, se selecciona una muestra entre los habitantes de cinco comunidades autónomas. Crees que es representativa esta muestra? 09. Indica variables estadísticas discretas continuas que se pueden considerar en el conjunto de alumnos/as de tu clase. 0. Un equipo de baloncesto en 0 partidos ha anotado los siguientes puntos: 80, 0, 9, 80, 0, 8, 0, 75, 80, 07, 75, 85, 80, 0, 0, 9, 85, 0, 85, 80 Construe la tabla de frecuencias para esta variable cuantitativa discreta. Las calificaciones obtenidas por un grupo de 49 alumnos en un eamen son: 4, 7, 4 7, 6 5, 6 7, 4, 5 9, 5 8, 4,, 5 8, 4 6, 4, 5, 6 8, 5, 5 9,, 4, 4 5, 4, 4 8, 8, 4 7, 7 7, 6 0,, 5 7, 4 5, 4 9,, 4 8, 4 7, 7 7, 6,, 5 7, 4 5, 4 9,, 4 8, 4 7, 5, 8, 6,, 5 5, 4 4, 6. Construe la tabla de frecuencia de esta variable cuantitativa continua.. Representa los datos del ejercicio 4 mediante un diagrama de barras.. Representa los datos del ejercicio 5 mediante un histograma traza el polígono de frecuencias. 4. La siguiente tabla recoge la distribución de alumnos/as del curso 006/07 en los diferentes niveles: Enseñanza Alumnos/as Infantil 498 Primaria Secundaria 94 Bachillerato FP 80 Universidad Elabora el diagrama de sectores correspondiente. 5. Calcula la moda, la media aritmética la mediana para los datos del ejercicio Calcula la moda, la media aritmética la mediana para los datos del ejercicio 5.

23 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: El número de faltas de ortografía cometidas por 40 alumnos/as de º Bachillerato en un dictado se muestra en la siguiente tabla. Calcula la moda, la media aritmética la mediana. Número de Faltas Número de alumnos/as La siguiente tabla refleja la medida del tóra de un grupo de varones adultos. Calcula la moda, la media aritmética la mediana. Medida del tóra (cm) Número de individuos [80,85) 9 [85,90) 9 [90,95) 509 [95,00) 97 [00,05) 694 [05,0) 0 [0,5) [5,0) 9. Calcula el recorrido, la desviación media, la varianza la desviación típica para los datos del ejercicio Calcula la desviación media, la varianza la desviación típica para los datos del ejercicio 5.. El número de pisos habitados de cierta comunidad autónoma, así como su correspondiente superficie, se epone en la siguiente tabla. Calcula la varianza la desviación típica. Superficie (m ) Nº pisos habitados (miles) [0,0) 0 [0,60) 486 [60,90) 06 [90,0) 50 [0,50) 9 [50,80) 6 [80,0) [0,40) [40,70) 8 [70,00) 6. Calcula Q, Q, P considerando los datos del ejercicio 4.

24 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA 5: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 4

25 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. En cada caso indica: Cuáles son las variables que se relacionan Si se trata de una relación funcional o de una relación estadística El signo de la correlación a. Renta mensual de una familia gasto en electricidad b. Litros de lluvia recogidos en una ciudad tiempo dedicado a ver la televisión por sus habitantes c. Peso del alumnado de bachillerato número de calzado que usan d. Toneladas de tomate recogidas en una cosecha precio del kg de tomate en el mercado. 4. La tabla muestra cómo se ordenan entre sí diez países, A, B, según dos variables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice natalidad). Representa los resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión di cómo te parece que es la correlación. País A B C D E F G H I J RPC IN La tabla muestra los resultados que se hab obtenido al medir la temperatura (en ºC) la presión atmosférica ( en mmhg) durante siete días en una ciudad. a. Es una distribución bidimensional? Qué variables se relacionan? b. Es una relación estadística o funcional? ºC mmhg La tabla muestra la nota de un eamen de matemáticas de 0 estudiantes, las horas dedicadas a su preparación, las horas que vieron la televisión los días previos al eamen el peso de cada uno. Estudia gráficamente la correlación entre la nota cada una de las otras tres variables. Nota Horas estudio Horas TV Peso (kg)

26 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Traza, aproimadamente, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bidimensionales: a. Cuáles de ellas tienen correlación cuáles -? b. Una de ellas presenta relación funcional. Cuál es? Cuál es la epresión analítica de la función que relaciona las dos variables? c. Ordena de menor a maor las correlaciones. 8. Razona cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta. Si la pendiente de una recta de regresión es negativa: a. La correlación es mu débil b. La correlación es mu fuerte c. La correlación es inversa d. La correlación es directa 6

27 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: No es un ejercicio, es sólo para que observes las diferencias: 7

28 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Dada la información recogida en la siguiente tabla: Alumno/a A B C D E F G H I J K L Matemáticas Física Calcular la correlación entre las variables nota en Matemáticas, X, nota en Física, Y. Para ello deberás calcular previamente, σ, σ, σ. 6 5 σ '45 Sol : σ '58 σ 5'9 r 0'94, Es una correlación mu fuerte, mu próima a. Calcula el coeficiente de correlación entre las variables, de la tabla siguiente, siendo: X: gastos en publicidad de un producto en miles de Y: ventas conseguidas en miles de X Y '5 8'5 σ '7 Sol : σ '45 σ r 0'97 0'75 Es una correlación mu fuerte, mu próima a. La cotización en bolsa (en cientos de euros) de los dos valores Minerocat (X) Construcat (Y) a lo largo de 6 días de sesión son los siguientes: Calcula el coeficiente de correlación e interpreta el resultado. X Y

29 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: '8 4'8 σ '069 Sol : σ 0'66 σ 0'559 r 0'85 Una correlación lineal positiva fuerte por su proimidad al, lo que se interpreta como que ambos valores cotizan a la alza o a la baja simultáneamente.. Indica cuál es la correlación correspondiente a cada una de las nubes de puntos eplica por qué: r0 95 r- r0 r Indica cuáles de las correlaciones dadas se corresponden con las nubes de puntos de las figuras eplica por qué. r0 7 r-0 98 r r 5. Asocia razonadamente las siguientes rectas de regresión con las nubes de puntos de las figuras: a. 0 b. 4 9

30 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: c. La recta a corresponde a la nube de puntos de la gráfica b, puesto que tiene pendiente negativa ésta es la única gráfica en la que se aprecia una correlación negativa. La recta b tiene pendiente positiva por tanto puede corresponder a la nube de puntos de las gráficas a o c. Sin embargo, que la pendiente de la gráfica c es más acusada que la de la gráfica a. Luego la recta b corresponde a la gráfica c. Y la recta c a la gráfica a. 6. Asocia razonadamente las siguientes rectas de regresión con las nubes de puntos de las figuras: a. 5 b. 4 c. 7. Hemos calculado las rectas de regresión de Y sobre X de X sobre Y en una distribución bidimensional, obteniendo las epresiones siguientes: a. 0' 6 0' b. 5 '44 8' 77 Cuál es el coeficiente de correlación de la distribución? Sol: r0 9 0

31 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Las rectas de regresión de Y sobre X de X sobre Y de una distribución bidimensional son las siguientes: a. 0'9 5' 88 b. 0 '85 ' 4 Cuál es el coeficiente de correlación de la distribución? Sol: r A partir del ejercicio 0, calcula la recta de regresión de Y sobre X, la de X sobre Y, responde a las siguientes cuestiones: a. La cotización en bolsa de Minerocat alcanza el valor de 9 en un cierto día. Qué cotización en bolsa cabe esperar que alcance el valor Construcat? b. En otra ocasión, la cotización en bolsa de Construcat alcanza un valor de 5. Qué cotización en bolsa cabe esperar que alcance el valor Minerocat? 0'489 '49 Sol a): ˆ(9) 5'89 6 '47 0'06 Sol b): ˆ('5) 4' Una asociación dedicada a la protección de la infancia desea estudiar la relación entre la mortalidad infantil en cada país el número de camas de hospital por cada 000 habitantes. Para ello, posee los siguientes datos sobre 0 países concretos que pueden considerarse representativos del resto, donde X representa el números de camas por cada 000 habitantes e Y representa el tanto por ciento de mortalidad infantil. Se pide: a. Hallar el coeficiente de correlación b. Para un país que tiene 50 camas, qué índice de mortalidad se espera? X Y camaspor 000h '05% mortalidad σ 68'59 Sol a): σ '87 σ 05' 5 r 0'8

32 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Sol b): 0'0 5'59 ˆ(50) '9 4. Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el número de conciertos dados durante el verano por 5 grupos musicales las ventas de discos de estos grupos (epresados en miles de discos CD), obteniendo: CD Conciertos [0,0) [0,40) [40,80) [,5) 0 0 [5,0) 4 [0,0) 0 5 a. Calcular el número medio de CD vendidos por estos grupos b. Cómo es el grado de dependencia del número de conciertos dados por el grupo el número de discos vendidos? c. Obtener la recta de regresión que eplica la dependencia anterior. d. Si un grupo musical ha vendido 8000 CD, qué número de conciertos es previsible que dé? Sol a): X Nº CDs vendidos Y Nº conciertos Transformar la tabla de doble entrada en una simple, sustituendo cada intervalo por su marca de clase. 9'6 Número medio es de 9 6 miles de CDs 9600 CDs Solu b): 9'6 4 σ 4'7 σ 6'55 σ 6'4 r 0'8 Una correlación alta. Sol c): '87 ' 45 Solu d): ˆ (8) 65 conciertos

33 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA 6: DISTRIBUCIÓN PROBABILIDAD DISCRETA: BINOMIAL

34 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA : DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA: BINOMIAL Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, conveo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es conveo se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos..- Sea el eperimento lanzar un dado en forma de dodecaedro observar la puntuación de la cara superior. Define por etensión los siguientes sucesos asociados al eperimento: A Obtener un número par B Obtener un 8 C Obtener un 5 D Obtener un número impar maor que 5 Al realizar una prueba del eperimento se obtiene como resultado una puntuación de 9. Indica cuáles de los sucesos anteriores se verifican. Es alguno de ellos el suceso seguro? Y el suceso imposible? 4

35 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO:

36 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: REGLA DE LAPLACE 8.- Lanzamos dos veces un dado con forma de tetraedro. Cuál es la probabilidad del suceso A la suma de los puntos de las caras ocultas es un número primo? Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser forzosamente un poliedro conveo, sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. 9.- Una bolsa contiene tres bolas blancas, tres bolas rojas tres bolas verdes. Etraemos una bola, miramos el color la devolvemos a la bolsa. Repetimos el proceso dos veces más. Cuál es la probabilidad del suceso A obtener tres bolas de distinto color? Y la probabilidad del suceso B obtener dos bolas rojas una verde son importar el orden? 0.- En una urna tenemos cinco bolas blancas, tres bolas rojas cuatro bolas negras. Si se etrae al azar una bola de la urna, calcula la probabilidad de los sucesos A: bola negra; B: bola blanca o negra; C: bola azul..- Cogemos una ficha de dominó del montón inicial. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: A: que sea la blanca doble B: que la suma de los puntos sea 7.- Un juego consiste en lanzar dos dados. Si la diferencia entre los puntos de ambos es par, ganamos. En cambio, si la diferencia es impar, perdemos. Calcula la probabilidad de ganar la de perder..- En una bolsa ha tres bolas blancas, tres bolas negras tres bolas rojas. Se etraen tres bolas sucesivamente con reposición. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos, suponiendo que no importa el orden: A: que sean dos bolas blancas una roja. B: que sean las tres del mismo color. C: que sean las tres de distinto color. D: que sean las tres rojas. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD 4.- Halla la probabilidad de los sucesos C, C C, A B sabiendo que : P ( A) 4 P ( B) 4 P ( A B) 6 P ( C) 6

37 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Lanzamos un dado trucado en el que se cumple que: P ( Salir) P( Salir) P( Salir4) P( Salir5) P( Salir6) P( Salir) P( Salir6) Calcula la probabilidad del suceso A: salir resultado par. 7.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno haa aprobado Matemáticas es 0 45; la de que haa aprobado Lengua es de 0 4; la de que haa aprobado alguna de las dos materias es 0 7. Elegido un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que haa aprobado ambas materias? 8.- Etraemos una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de que la carta sea el re de oros, sabiendo que la carta etraída es de oros. 9.- Lanzamos un dado. Calcula la probabilidad de que sea un 4, sabiendo que hemos obtenido un número par. VARIABLE ALEATORIA 0.- Consideramos el eperimento aleatorio consistente en lanzar un dado. Si definimos la variable aleatoria X como el doble del valor numérico de la puntuación observada: a) Especifica el dominio el recorrido b) Indica si X es una variable aleatoria discreta o continua. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN.- Considera la v.a. X que cuenta el número de caras que se obtienen al lanzar simultáneamente tres monedas. a) Halla la función de probabilidad b) Halla la función de distribución..- Sea el eperimento aleatorio consistente en lanzar dos dados. Definimos la v.a. X como la suma de sus puntuaciones. a) Halla la función de probabilidad b) Halla la función de distribución..- La v.a. X cuenta el número de ases obtenidos al etraer, con reemplazamiento, cuatro cartas de una baraja española. a) Halla la función de probabilidad b) Halla la función de distribución. 7

38 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Calcula la esperanza, la varianza la desviación típica de la v.a. X, cua función de probabilidad viene dada por la tabla siguiente: i -4-5 p i Calcula la esperanza, la varianza la desviación típica de la v.a. X, que cuenta el número de caras que se obtienen al lanzar simultáneamente tres monedas. 6.- Calcula la esperanza, la varianza la desviación típica de la v.a. X, que indica la suma de las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados. JUEGOS DE AZAR A un juego de azar podemos asociarle siempre una v.a. X, cuos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados. La esperanza de X representa el beneficio medio en cada jugada cuando se considera un número mu elevado de ellas. Si μ > 0 se dice que el juego es favorable al jugador Si μ < 0 se dice que el juego perjudica al jugador Si μ 0 se dice que el juego es equitativo 7.- Un juego consiste en etraer una bola de una urna que contiene ocho bolas blancas dos bolas negras. Cobramos si la bola etraída es blanca, pagamos 4 5, si la bola es negra. Determina si el juego es equitativo. Sol: μ 0' Cabe esperar una pérdida de 0 céntimos por partida. 8.- Un juego consiste en lanzar dos dados, de forma que se cobran tantos euros como indique la suma de puntos si ésta es un número primo, o bien, se pagan 6 en caso contrario. a) Obtén la función de probabilidad de la v.a. X que indica la ganancia correspondiente a cada resultado. b) Determina si el juego es equitativo. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 9.- Revisamos 500 tornillos fabricados por una máquina que elabora un 0% de piezas defectuosas observamos si presentan o no alguna anomalía. Razona si la v.a. X que cuenta el número de tornillos defectuosos corresponde a una distribución binomial. De serlo, indica sus parámetros. 0.- Se lanza un dado 00 veces se observa, en cada lanzamiento, si el resultado es par o impar. Comprueba si la v.a. X que epresa el número de veces que se ha registrado resultado par sigue una distribución binomial. De serlo, indica sus parámetros. 8

39 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Lanzamos una moneda perfecta 50 veces observamos el resultado. Comprueba que la v.a. X que cuenta el número de veces que se obtiene cruz sigue una distribución binomial. De serlo, indica sus parámetros. CALCULAR PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON AYUDA DE LA TABLA.- Tenemos una moneda trucada tal que, al lanzarla, se obtiene cara en un 5% de los casos. La lanzamos tres veces contamos el número de caras obtenidas. a. Comprobar si la v.a. X que indica el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos es binomial halla la función de probabilidad. b. Calcula la esperanza, la varianza la desviación típica c. Halla la probabilidad de obtener 0,, caras d. Calcula la probabilidad de obtener a lo suma una cara e. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara.- Un eamen tipo test consta de 0 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Una alumna que no ha estudiado responde al azar todas las precuentas. a. Comprobar si la v.a. X que cuenta el número de aciertos es binomial halla la función de probabilidad. b. Calcula la probabilidad de que la alumna apruebe el eamen, es decir, que acierte al menos 5 preguntas c. Calcula la esperanza, la varianza la desviación típica de X. 9

40 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA 7: DISTRIBUCIÓN PROBABILIDAD CONTINUA: NORMAL 40

41 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: TEMA 4: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA: NORMAL [ ] k si,5. Calcular k para que la función f ( ) sea una función de 0 resto densidad. Hallar las probabilidades: a. P ( < ) b. P ( < 5) c. P ( < 7). Calcular m para que la función densidad. Hallar P ( < < ) [ 0,4] m si f ( ) sea una función de 0 resto [ ] k si,8. Calcular k para que la función f ( ) sea una función de 0 resto densidad. Hallar las probabilidades: a. P ( 4 < < 6) b. P ( 6) c. P ( < 5) d. P ( 5 < 0) [ ] m si,7 4. Calcular m para que la función f ( ) sea una función de 0 resto densidad. Hallar las probabilidades: a. P ( < < 5) b. P ( 4 6) c. P ( 5 < 7) d. P ( 6 < ) 5. Hallar la función de distribución de la variable aleatoria continua cua función de si [ 0,4] densidad es: f ( ) 8 0 resto 4

42 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Hallar la función de distribución de la variable aleatoria continua cua función de si [,8] densidad es: f ( ) 8 0 resto 7. Hallar la función de distribución de la variable aleatoria continua cua función de si [,7] densidad es: f ( ) 0 0 resto 0 si < k si 4 8. Calcular k para que la función f ( ) sea una función de k si 4 < 6 0 si > 6 densidad. Hallar las probabilidades: a. P ( < ) b. P ( 5) Obtener la función de distribución correspondiente. 0 si < 0 9. Calcular b para que la función f ( ) 0'6 0' 0 si > b si 0 b sea una función de densidad. Hallar la probabilidad: a. P ( < < ) b. Obtener la función de distribución correspondiente 4

43 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: En una distribución N(0, 0) calcular: a. P ( > 0) b. P ( 0 < < 0) c. P ( 0 < < 0) d. P ( 0 < < 0) e. P ( 90 < < 00) f. P ( 90 < < 0) g. P ( < 00). Los pesos, en kilogramos, de los soldados de un reemplazo se distribuen N(66, 8). Queremos saber qué proporción de ellos pesa: a. Más de 66 b. Entre 66 8 c. Menos de 58 Calcula las probabilidades de estos apartados. Consideramos Z una variable aleatoria que sigue una distribución N(0,).. Halla las siguientes probabilidades: a. P (z 0'84) b. P (z < ) c. P (z < '5) d. P (z < 4) e. P (z < '5) f. P (z < '87) g. P (z < 0) h. P (z ). Calcula el valor de k en cada caso: a. P ( z k) 0' 709 b. P ( z k) 0' 5040 c. P ( z < k) 0' 8997 d. P ( z < k) 0'

44 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Di el valor aproimado de k en cada caso: a. P ( z < k) 0' 95 b. P ( z k) 0' 6 5. Halla: a. P (z > ') b. P (z < ') c. P ( z > ' ) d. P ( ' < z < '96) e. P ( '96 < z < ') f. P ( ' < z < '96) g. P ( '96 < z < '96) 6. Calcula las siguientes probabilidades: a. P (z ') b. P (z ' 5) c. P (z 0'8) d. P (z > '7) e. P ( 0'7 < z < '6) f. P ( < z < 0'5) 7. Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades: a. P ( z ) b. P ( z ) c. P ( z ) d. P ( 4 z 4) 8. En una distribución N(7,6), halla las siguientes probabilidades: a. P ( 7) b. P ( 80'5) c. P ( 74 80'5) d. P ( 6 70) e. P ( 6 80'5) f. P (X 74) 44

45 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: Las estaturas de los individuos de una población se distribuen normalmente con media 75cm desviación típica 0 cm. Calcula la probabilidad de que: a. Un individuo tenga una estatura maor que 80 cm b. Un individuo tenga una estatura menos de 70 cm c. Qué proporción de individuos tiene una estatura comprendida entre 70cm 80cm? 0. La distribución de puntos obtenidos por los participantes en unas oposiciones es una normal de media 0 puntos desviación típica 5 puntos. a. Cuál es la probabilidad de que un opositor obtenga más de 5 puntos? b. Para aprobar es necesario obtener 00 puntos o más. Qué porcentaje de opositores aprueba? c. Cuántos puntos, como mínimo, debe obtener un opositor para estar entre el 5% de los mejores?. Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante aproimación a la normal correspondiente (en todas ellas, ten en cuenta el ajuste de media unidad que ha que hacer al pasar de una variable discreta a una continua). a. X B(00;0' ), Calcula P ( X 0), P( X < ), P(5 < X < 5) b. X B(000;0'), Calcula P ( X > 0), P( X < 80) c. X B(50;0'9), Calcula P ( X > 45), P( X 0). Se efectúan 5 lanzamientos de una moneda. Calcula la probabilidad de que: a. Salgan eactamente 9 caras. b. Salgan entre 8 caras.. Un eamen tipo test consta de 8 preguntas a contestar verdadero o falso. El eamen se aprueba si se contestan correctamente al menos a 0 preguntas. Un alumno responde al eamen lanzando al aire una moneda contestando verdadero si sale cara falso si sale cruz. Halla: a. Probabilidad de aprobar el eamen b. Probabilidad de acertar más de 4 menos de. 4. Ciertos estudios demuestran que el consumo de gasolina de los coches es una variable normal con media de 7 litros a los 00 kilómetros una desviación típica. Qué porcentaje de coches consumen entre 6 8 litros por cada 00 kilómetros? Calcula el consumo C si se sabe que el 0% de los coches tienen un consumo superior a C. FIN 45