Qué tienes que saber?

Transcripción

1 Qué tienes que saber? QUÉ tienes que saber? Ten en cuenta Para realizar operaciones combinadas con fracciones: Se resuelven los paréntesis. Se calculan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. Se resuelven las sumas. Ten en cuenta Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico puro o mixto. La fracción irreducible equivalente a un número decimal exacto o periódico se denomina fracción generatriz del número decimal. Ten en cuenta Si a es una aproximación del número x: Error absoluto = x a Error relativo = x a x Calcula: + : Para dividir, multiplicamos por la fracción inversa. + : = + = + = = + = + = 0 = = = 0 = 0 Simplificamos el resultado. Operaciones con fracciones Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador. Para sumar, reducimos a común denominador. Determina las aproximaciones a las décimas por redondeo y por truncamiento de,. Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete en cada caso. Aproximación Error absoluto Error relativo Por redondeo, Por truncamiento, generatriz Halla la fracción generatriz de estos números racionales. a), b),, a) a =, b) b =, c =, 000a = 0b =, 00c =, a = 000 = b =, 0c =, 00 b = 0c = b = = Aproximaciones 0 0 = 0 = 0 0 = = c = 0 = 0 0 = 0 = = 0,0 = % = 0,0 = % Fracciones Halla la fracción equivalente a cuyo numerador es 00. Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes. 0 0 Halla la expresión irreducible de tres números racionales situados entre y. Ordena las fracciones de menor a mayor. a) 00 b) Efectúa las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía de las operaciones. a) + b) 0 : : : Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición del paréntesis altera el resultado. a) + b) + Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible. a) + : b) + : : Actividades Finales Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible. a) : + + b) + : : + + : e) + : : : : Los de los alumnos de un centro escolar hacen uso del servicio de comedor. Calcula el número de alumnos matriculados en el centro, sabiendo que se quedan a comer en el colegio. Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le corresponden dos quintos de la misma, y al mediano, la tercera parte. Qué fracción de la herencia le han dejado al hermano pequeño? Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil que incluye la realización de llamadas a otros móviles durante 0 min a lo largo del mes. Si la primera semana consume tres cuartos del tiempo establecido, y la segunda semana, la tercera parte de lo que le quedaba, de cuántos minutos dispone aún Pilar según dicha tarifa? Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Efectuar operaciones combinadas en las que aparecen fracciones. Obtener la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos. Calcular aproximaciones de números reales por redondeo y por truncamiento. Emplear las nociones de error absoluto y relativo para estimar la aproximación más adecuada de una medida. Actividades finales Soluciones de las actividades Halla la fracción equivalente a cuyo numerador es 00. Multiplicamos por 0 numerador y denominador: 00 0 Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes. Las parejas de fracciones equivalentes son: =, =, =, 0 = Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.º ESO

2 Números racionales Halla la expresión irreducible de tres números racionales situados entre y. Respuesta abierta, por ejemplo: Escribimos las fracciones equivalentes a las dadas con denominador ; esto es: y 0 De modo que: = < < < < 0 = Así, los tres números racionales son:,, Ordena las fracciones de menor a mayor. a) 00 b) a) < < < 00 < 0 b) 0 < 0 00 < 0 < 0 < 0 m.c.m. (, ) = = = = 0 0 < < < < < < Efectúa las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía de las operaciones. a) + b) 0 : a) + = b) = = : : = : = = Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición del paréntesis altera el resultado. a) + b) + a) + 0 = b) = 0 = 0 = = Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.º ESO

3 Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible. a) + : b) + : : a) + = + = = b) + = = = = = = Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible. a) : : b) + : e) + : + + : : : : a) : 0 + = + = = b) + : = = = 0 = 0 : = : = : = : + = ( ) : (+ ) = = e) : + = + = = : : : = : ( ) = : ( ) = Los de los alumnos de un centro escolar hacen uso del servicio de comedor. Calcula el número de alumnos matriculados en el centro, sabiendo que se quedan a comer en el colegio. Como alumnos son del número de alumnos matriculados, el total es: : = 0 alumnos Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le corresponden dos quintos de la misma, y al mediano, la tercera parte. Qué fracción de la herencia le han dejado al hermano pequeño? La fracción que percibe el hermano pequeño es: = Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil que incluye la realización de llamadas a otros móviles durante 0 min a lo largo del mes. Si la primera semana consume tres cuartos del tiempo establecido, y la segunda semana, la tercera parte de lo que le quedaba, de cuántos minutos dispone aún Pilar según dicha tarifa? Pilar dispone de: 0 = 0 = 0 = 0 = 00 min Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.º ESO

4 Números racionales Números racionales Actividades Finales EJERCICIO RESUELTO } De un depósito lleno se ha extraído la mitad del agua que contenía y, posteriormente, las tres cuartas partes de lo que quedaba. Cuál es la capacidad del depósito si después de las extracciones aún quedan litros? Solución Tras la primera extracción, en el depósito ha quedado la mitad del agua. En la segunda extracción se saca: de = Luego, en el depósito queda: = = Si de la capacidad del depósito son L, entonces la capacidad total es = 0 L. Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer un lazo y con los tres cuartos del resto ha preparado un regalo para su amiga. Ha sobrado un trozo de cm. Cuánto medía la cinta? De los 0 m de una huerta, se dedican al cultivo de lechugas; de lo que queda se reserva para patatas, y en la superficie restante se han plantado coles. Cuántos metros cuadrados del huerto se dedican a las coles? Fracciones y números decimales 0 Expresa en forma decimal los siguientes números racionales e indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada caso. a) 00 b) e) Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se obtiene al expresar en forma decimal? Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala irreducible Factorización del denominador Tipo de decimal O O O O Exacto O O O O Halla la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal. a) 0,, b), e),,, Dados los números a =, y b =,, expresa como fracción irreducible los resultados de estas operaciones. a) a + b b) a b a b b a O El 0, de los habitantes de Villacastín se vacunaron de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron 0 la enfermedad de la población. Cuántos habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de 000 personas? En un quiosco se vende una octava parte de las revistas por la mañana, mientras que por la tarde se vende el 0,. Cuántas revistas había en total sabiendo que eran menos de 00? Números racionales e irracionales EJERCICIO RESUELTO } En la clase de Omar pasó el examen de Biología el 0, del total de alumnos, mientras que tres cuartas partes aprobaron el examen de inglés. Cuántos alumnos hay en la clase, sabiendo que son menos de 0? Solución La fracción generatriz correspondiente a 0, es. Si N es el número de alumnos de clase, podemos decir que los que aprobaron el examen de Biología son N, y este ha de ser un número entero por tratarse de un número de alumnos. Por tanto, N es múltiplo de. Análogamente, también debe ser entero el número de alumnos que pasó el examen de Inglés, que es N, lo que implica que N es múltiplo de. El único número menor que 0 que es múltiplo de y de es el. En consecuencia, en la clase de Omar hay alumnos. Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él estos números., π +, 0 Es un número racional la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden cm y cm? Razona tu respuesta. Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece el número. a) [, ], ) b) (, ) (,; ] Escribe dos intervalos abiertos a los que pertenezca el número,. Aproximaciones y errores Halla las aproximaciones por redondeo y por truncamiento a las centésimas del número 0,. Razona si se trata de aproximaciones por exceso o por defecto. Calcula el error absoluto cometido al emplear las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior. Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es de, kg cada una, quesos y jamones. Cada queso pesa kg, y cada jamón, kg. La cesta que quiere regalar no puede pesar más de kg. Cuál es la composición de la cesta que mejor se aproxima a dicho peso máximo? Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde. El primero estuvo en el cine y vio una película que duró min, mientras que Joaquín disfrutó de un espectáculo de magia de min de duración. Daniel les contó a los amigos que la película había durado una hora y media, mientras que Joaquín les dijo que el espectáculo al que él acudió se prolongó por espacio de tres cuartos de hora. Cuál de los dos dio una información más precisa? Por qué? Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una camiseta y un estuche. Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al llegar al colegio reparte dos tercios de la misma entre sus compañeros. De regreso a casa se encuentra con su primo, al que regala la cuarta parte de los caramelos que le quedaban. Cuántos contenía inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le quedan caramelos? Indica razonadamente si la expresión:, + 0, corresponde a un número entero. Haz lo mismo con la expresión:, + 0, En cuál de los dos productos ha conseguido un descuento mejor? Razona tu respuesta. Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer un lazo y con los tres cuartos restantes ha preparado un regalo para su amiga. Ha sobrado un trozo de cm. Cuánto medía la cinta? Fátima ha empleado: + = + = + = de la cinta Como le ha sobrado un trozo de cm, la cinta medía: : = cm De los 0 m de una huerta, se dedican al cultivo de lechugas; de lo que queda se reserva para patatas, y en la superficie restante se han plantado coles. Cuántos metros cuadrados del huerto se dedican a las coles? La fracción de huerto plantada con patatas es: = Luego la fracción destinada a las coles es: = Por tanto, el terreno dedicado a las coles mide: 0 = m Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al llegar al colegio reparte los dos tercios de la misma entre sus compañeros. De regreso a casa se encuentra con su primo, al que regala la cuarta parte de los caramelos que le quedaban. Cuántos contenía inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le quedan caramelos? Juan ha regalado: + = + = + = de los caramelos Así que Juan salió de casa con: : = caramelos 0 Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.º ESO

5 Expresa en forma decimal los siguientes números racionales e indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada caso. a) e) b) 00 a) 0, Número decimal exacto 0, Número decimal exacto b) 0, Número decimal periódico mixto e) 0, Número decimal periódico puro 0, Número decimal periódico puro 0,0 Número decimal periódico mixto 0 Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se obtiene al expresar en forma decimal? =, La trigésima cifra decimal es. Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala. irreducible Factorización del denominador Tipo de decimal Periódico mixto Exacto Periódico puro Periódico mixto Halla la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal. a) 0,, e), b),,, a) b) 0 e) 00 Dados los números a =, y b =,, expresa como fracción irreducible los resultados de estas operaciones. a) a + b b) a b a b b a a) + = b) = 0 = 00 : = 0 Indica razonadamente si la expresión:, + 0, corresponde a un número entero. Haz lo mismo con la expresión:, + 0,, + 0, = = 0 = =, Es un número decimal periódico mixto, no es un número entero., + 0, = + = =, Es un número decimal periódico puro, no es un número entero. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.º ESO

6 Números racionales El 0, de los habitantes de Villacastín se vacunaron de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron la enfermedad 0 de la población. Cuántos habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de 000 personas? La fracción generatriz correspondiente a 0, es. Si N es el número de habitantes de Villacastín, podemos decir que los que se vacunaron son N, y este ha de ser un número entero por tratarse de un número de personas. Por tanto, N es múltiplo de. Análogamente, también debe ser entero el número de enfermos, que es 0N, lo que implica que N es múltiplo de. El único número menor que 000 que es múltiplo de y de es el. Por tanto, en Villacastín hay habitantes. En un quiosco se vende una octava parte de las revistas por la mañana, mientras que por la tarde se vende 0,. Cuántas revistas había en total sabiendo que eran menos de 00? La fracción generatriz correspondiente a 0, es. Si N es el número de revistas, podemos decir que por la tarde se ven- dieron N revistas, y este ha de ser un número entero. Por tanto, N es múltiplo de. Análogamente, también debe ser entero el número de revistas que se vende por la mañana: N, lo que implica que N es múltiplo de. El único número menor que 00 que es múltiplo de y de es el. En consecuencia, había revistas. Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él estos números. N Z Q R, π +, +, /, π Es un número racional la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden cm y cm? Razona tu respuesta. Las semidiagonales del rombo miden cm y cm. Aplicando el teorema de Pitágoras, el lado del rombo mide: + = cm, que no es un número racional. Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece el número. a) [, ] b) (, ), ) (,; ] El número solo pertenece a los intervalos [, ] y, ). 0 Escribe dos intervalos a los que pertenezca el número,. Respuesta abierta, por ejemplo: El número, pertenece a los intervalos [, 0] y [, ]. Halla las aproximaciones por redondeo y por truncamiento a las centésimas del número 0,. Razona si se trata de aproximaciones por exceso o por defecto. La aproximación por truncamiento a las centésimas es 0,, y la aproximación por redondeo a las centésimas es 0,. La primera es una aproximación por defecto, pues: 0, < 0,, y la segunda es por exceso, porque 0, > 0,. Calcula el error absoluto cometido al emplear las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior. El error absoluto cometido al aproximar por truncamiento es: 0, 0, = 00 = 00 = 0,00 Mientras que el error cometido al aproximar por redondeo es: 0, 0, = 00 = 00 = 0,00 Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.º ESO

7 Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es de, kg cada una, quesos y jamones. Cada queso pesa kg, y cada jamón, kg. La cesta que quiere regalar no puede pesar más de kg. Cuál es la composición de la cesta que mejor se aproxima a dicho peso máximo? Si Elisa llenase la cesta con todos los productos de que dispone, su peso esta sería:, + + =, kg Ahora bien, como la cesta solo puede alcanzar un peso de kg, Elisa ha de retirar al menos:, =, kg La mejor aproximación por exceso a, kg que podemos realizar es: +, =, kg Por tanto, la cesta debe estar formada por botellas, quesos y un jamón, y pesa:, + + =, kg Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde. El primero estuvo en el cine y vio una película que duró min, mientras que Joaquín disfrutó de un espectáculo de magia de min de duración. Daniel les contó a los amigos que la película había durado una hora y media, mientras que Joaquín les dijo que el espectáculo al que él acudió se prolongó por espacio de tres cuartos de hora. Cuál de los dos dio una información más precisa? Por qué? Tanto Daniel como Joaquín cometieron el mismo error absoluto: min Pero mientras el error relativo cometido por Daniel es, el cometido por Joaquín es, que es mayor. Por tanto, la información de Daniel es más precisa. Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una camiseta y un estuche. En cuál de los dos productos ha conseguido un mejor precio? Razona tu respuesta. En el precio de la camiseta la rebaja relativa ha sido: 0,, = = 0,0 Mientras que en el estuche ha sido: 0,, = = 0, Como 0,0 < 0,, concluimos que Pedro ha conseguido un mejor precio al comprar el estuche. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.º ESO