Facultad de Ciencias Exactas &

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Eactas & Naturales Cálculo Semillero de Matemáticas Taller #8 Derivada. Henri Poincaré (Nancy, Francia, 1854-París, 1912) Matemático francés. Ingresó en el Polytechnique en 1873, continuó sus estudios en la Escuela de Minas bajo la tutela de C. Hermite, y se doctoró en matemáticas en Fue nombrado profesor de física matemática en La Sorbona (1881), puesto que mantuvo hasta su muerte. En 1895 publicó su Analysis situs, un tratado sistemático sobre topología. En el ámbito de las matemáticas aplicadas estudió numerosos problemas sobre óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, mecánica cuántica, teoría de la relatividad y cosmología. Ha sido descrito a menudo como el último universalista de la disciplina matemática. En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló, junto a A. Einstein y H. Lorentz, la teoría de la relatividad restringida. La conjetura de Poincaré es uno de los problemas no resueltos más desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias. Este trabajo tuvo poco interés hasta que empezó el estudio moderno de la dinámica caótica en En 1889 fue premiado por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos. Objetivos Generales 1. Formular el concepto de la derivada de una función. 2. Hallar la derivada de una función a partir de su definición. 3. Enunciar los teoremas de la derivada. 4. Hallar la derivada de una función aplicando los teoremas anteriores. 5. Enunciar el teorema de la regla de la cadena. 6. Hallar la derivada de una función compuesta, utilizando la regla de la cadena. 7. Encontrar la derivada de orden n de una función dada. 8. Hallar la derivada de una función aplicando el método de derivación implícita. 1

2 Marco Teórico. Definición de Derivada Sea f: R R una función, la derivadad de f es otra función que la simbolizamos por f y tal que el valor en cualquier punto de su dominio está dado por la epresión: siempre que este límite eista. f h f +h f h Si = 1 es un número en particular del dominio de f, entonces si este límite eiste. f 1 h f 1 +h f( 1 ) h, 1 f f( 1 ) 1, Notación Otros símbolos que utilizamos para denotar la derivada son los siguientes: D f() que se lee la derivada con respecto a de f D y que se lee la derivada con respecto a de y y que se lee la derivada de y dy d que se lee la derivada de y con respecto a Hallemos la derivada de la función f = Solución f f + f ( + ) = 2 5 f = 2 5 Hallemos la derivada de la función f =

3 Solución f f + f = ( 3) 3 = ( + 3) f = 3 2 Si una función f es diferenciable en 1, entonces f es continua en 1. Sea f la función valor absoluto definida por f =, hallemos f (0) Solución La gráfica de esta función se muestra en la figura 2. f f f(0) si 0 Dado que =. Entonces para que el si < 0 límite eista es necesario que los límites laterales eistan y sean iguales, entonces f = 1 f 0 = 1 Entonces f 0 NO EXISTE, porque f + 0 f 0. Por lo tanto f = no es diferenciable en = 0. 3

4 s sobre Diferenciación de Funciones Algebraicas y Derivadas de orden Superior Regla de diferenciación de una constante Si c es una constante y si f = c, entonces f = Si f = 5 entonces f = Si f = 7 entonces f = 0. Regla de diferenciación de una potencia Si n es un número real y si f = n, entonces f = n n Si f = 5 entonces f = Si f = 1/2 entonces f = 1 2 1/2 = 1 2 1/2. 3. Si f = 7 entonces f = Si f = 4/3 entonces f = 4 3 1/3. Regla de diferenciación para el producto de una función por una constante Si f es una función, c es una constante y g es una función definida por g = c f() y si f eiste, entonces g = cf (). Si f = 5 3, entonces f = = Regla de diferenciación para la suma de funciones Si f y g son funciones y h es una función definida por h = f + g() y si f y g eisten, entonces h = f + g (). 4

5 Si f = , entonces f = = Regla de diferenciación para el producto de funciones Si f y g son funciones y h es una función definida por h = f g() y si f y g eisten, entonces h = f()g + g()f (). Si f = (3 + 2), entonces f = f = f = Regla de diferenciación para el cociente de funciones Si f y g son funciones y h es una función definida por h = f g() y si f y g eisten, entonces h = g f f()g g() Si f = = 1 5, entonces f = 5 D 1 1D 5 = = = 54 = Si f = , entonces f = (3 2 ) Ejercicios = Hallar la derivada de las siguientes funciones por la deficición. a. f = b. f = 2 1 c. f = 4 2 =

6 2. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y la normal a cada una de las siguientes curvas, en los puntos indicados, usando la definición: a. y = 2 en P(a, a 2 ) b. 2 4y 2 = 9 en P(5, 2) c. y = en P(3, 36) 3. En los ejercicios del a). a m). obtenga la derivada de la función por medio de los teoremas de diferenciación. a) f = 7 5 b) = c) g = d) f = e) g = f) r = 4 3 πr3 g) f = h) g = i) = j) f s = 3 s 3 s 2 k) g = l) = m) f = En los ejercicios de a) a m), calcule la derivada aplicando los teoremas de diferenciación a) D b) D 2 +3 c) D d) D t 5t 1+2t 2 e) D f) D En los ejercicios de a) a d), encuentre una ecuación de la recta tangente o la recta normal, según lo indica, en el punto dado. Haciendo uso de los teoremas de diferenciación. a) La recta tangente a la curva y = 3 4 en el punto (2.,4). b) La recta tangente a la curva y = 8 en el punto (2.,1) c) La recta normal a la curva y = 10 en el punto (4., ) d) La recta normal a la curva y = en el punto (1., 4). Bibliografía [1] Leithold, L., Cálculo, 7 ed.,1999 [2] Uribe, J., Matemáticas una propuesta curricular, Bedout Editores,