QUÉ SE PRETENDE MOSTRAR? El diseño del panal de abejas natural es la forma óptima de almacenar miel con el mínimo consumo de cera.

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1 NOMBRE DEL EXPERIMENO: La Geometría Fascinante de Pana de Mie. UORES: Federico Muñiz onso y Caros Espinosa Sánchez Profesores de Matemáticas de I.E.S. rcipreste de Hita, zuqueca, Guadaajara. CEGORÍ: Laboratorio de Matemáticas. PLBRS CLVE: Minimización. Poígonos. QUÉ SE PREENDE MOSRR? E diseño de pana de abejas natura es a forma óptima de amacenar mie con e mínimo consumo de cera. DIRIGIDO : Gran Púbico, Primaria, Secundaria y Universidad. MERILES NECESRIOS: Cartuinas amarias, cedas patrón (se adjuntan), pegamento, panchas de pástico de -4 mm de espesor, siicona, varios itros de té íquido. Panaes de mie naturaes (sirven fragmentos). DESCRIPCIÓN: Comenzamos construyendo en pástico cuatro modeos diferentes de cedas capaces de formar mosaico. Las tres primeras son prismas rectos reguares de bases trianguar, cuadrada y hexagona. La cuarta es una variación de a hexagona, cambiando su base por un fondo quebrado a tres aguas, formado por tres rombos iguaes.

2 Las cuatro deben contener e mismo voumen de íquido. Para eo, e triánguo, e cuadrado y e hexágono tendrán igua superficie, y as caras ateraes a misma atura. Como se ha dicho, a cuarta ceda es una variación de a hexagona. Las caras ateraes se transforman en trapecios aargados, cuya base mayor debe coincidir con a atura de as otras tres cedas. eniendo eso en cuenta, y tomando como referencia e modeo de ceda de pana que se adjunta, se pueden trazar os tres rombos que compondrán a base quebrada y os ánguos que formarán as caras ateraes en sus aristas comunes con e fondo. Sugerencias para construir as cedas con aumnos. Es aconsejabe utiizar e aer de ecnoogía. Cada ceda puede hacera un grupo de 4-5 personas. Se agiiza e trabajo si e profesor confecciona en cartuina os patrones para todas as caras y os distribuye a os grupos. Consejo: cacuar as dimensiones de as cedas para que contengan un voumen aproximado de 5 itros. Las caras se rotuan sobre as panchas de pástico y se cortan con sierra de arco. Es muy conveniente ayudarse de un banco de mesa para fijar as panchas a serrar. puir as irreguaridades debe procurarse no aterar as siuetas. Para unir as caras por as aristas puede usarse siicona, pero se pierde mucha soidez en a construcción. Es preferibe empear pegamento termofusibe que se apica con pistoa. Una vez unidas as aristas, se van reenando as cedas con agua para detectar fugas y poros, que pueden cubrirse con siicona. hora ya puede mostrarse a púbico que tienen a misma capacidad. E té tiene un coor simiar a a mie. Su uso hace a demostración más atractiva que con agua. Reenamos a ceda de base trianguar hasta un nive determinado y marcado. rasvasamos e íquido a a

3 ceda de base cuadrada y comprobamos que ega a mismo nive. Lo mismo ocurre con as otras dos cedas (por cierto: hay que sujetar a de fondo quebrado durante e enado). Conviene fijar e nive de enado unos cms. por debajo de borde superior, y marcaro con una tira visibe de cinta aisante. Las cuatro pueden formar mosaicos. Las cuatro amacenan a misma cantidad de mie. Cuá es a óptima? La que tenga menor superficie. Por simpe comparación se evidencia que en a ceda más compeja as caras ateraes presentan un área menor que en e resto. Paraeamente, habremos construido un mosaico de dos caras utiizando as cedas pequeñas hechas en cartuina de acuerdo a modeo suministrado. Viéndoo, se pone de manifiesto que cada pared pertenece a dos caras. Incuso e fondo es compartido. res cedas de una cara unidas componen e sueo de una ceda de a cara contraria. La demostración conjunta es muy vistosa, y se redondea mostrando os panaes de mie naturaes, que aparecen a trasuz como dos mosaicos hexagonaes imbricados, dejando ver os fondos quebrados de as cedias.

4 RIESGOS: parecen resatados en rojo en e texto anterior. REFERENCIS BIBLIOGRÁFICS: Nociones de naítica y Cácuo, de D. Pedro Puig dam, perteneciente a a coección Bibioteca Matemática Rey Pastor Puig dam, editado en 94. PR SBER MÁS: La experiencia anterior se dirige a gran púbico y a desarroan aumnos de primer cico de ESO, que utiizan por tanto nivees eementaes de geometría. Pero este tema admite una hermosa profundización cuando buscamos qué ánguo de incinación de os rombos de sueo quebrado minimiza a superficie de a ceda, panteando a cuestión como un probema de máximos y mínimos ocaes de funciones. Lo adjuntamos a continuación. Cuando contempamos un pana de abejas, aparece ante nosotros una mutitud de hexágonos ordenados y apretujados en una forma que nos resuta famiiar a fuerza de vera repetida en estampados, tarros de mie o maas metáicas, por citar sóo agunos ejempos cotidianos. Por qué esa forma? Como veremos a continuación, ese modo pecuiar que tienen as abejas de construir sus panaes no se debe a a casuaidad. Muy a contrario, representa a manera más eficaz de ahorrar cera sin perder capacidad de amacenamiento. Para empezar, a disposición en mosaico permite que cada pared pertenezca a dos cedas. Y qué poígonos reguares pueden formar mosaico? Pues e triánguo, e cuadrado y e hexágono. Si consideramos iniciamente que as cedias son prismas rectos, y pensamos en un triánguo, un cuadrado y un hexágono que tengan a misma superficie, habrá que buscar e que tenga menor perímetro para que así a ongitud y superficie de as paredes que se evanten sobre é también sea a menor posibe. Pues bien: si as áreas son iguaes, e menor perímetro corresponde a hexágono. He ahí a causa de esa forma hexagona! (Por cierto, existen mosaicos cuyo entramado está compuesto por poígonos irreguares. Lo que sucede es que de todos os poígonos con e mismo número de ados y a misma área, e que tiene menor perímetro es e reguar)

5 Pero as abejas todavía han egado más ejos en su intento de ahorrar cera en a construcción de su pana. Han conseguido minimizar a superficie modificando e fondo de a ceda con un refinamiento sorprendente. Cómo? Partamos de sueo hexagona pano de una ceda cuaquiera y dividámoso en tres rombos como muestran as íneas continuas de a figura : / B / O Figura R S C Consideremos uno de esos tres rombos. Su superficie será e dobe de área de un triánguo equiátero de ado, esto es: S Imaginemos ahora que os tres rombos de a figura rotan igeramente entorno a os ejes B, C y BC, hundiendo e centro O y diatando as diagonaes O, ORyOS. Ese pequeño giro comporta un aumento en a superficie de cada rombo. Vaoremos ese aumento para un ánguo de giro α. O α O ' ' O cos α Figura O BO BO ' ' BO Sinicia S fina cos α cos α

6 Con o que e incremento de cada superficie será: S cos α [sec α ] hora bien, esta rotación no atera e voumen tota de a ceda, pero sí modifica sustanciamente a forma y superficie de as caras ateraes. De qué manera? Cara Inicia Cara Fina Figura ' tgα (véase fig. ) Vemos entonces que cada giro comporta una disminución en as caras ateraes equivaente a as superficies de dos triánguos rectánguos como e sombreado, que será: tgα tgα Esa disminución supera e incremento de área de rombo y provoca a su vez una disminución en a superficie tota de a ceda que vadrá: tgα ( α ) [ (sec α )] ( tgα secα + ) Podemos preguntarnos qué vaor de α maximizará (α), haciendo que a ceda tenga una superficie tota mínima. ' ( α ) 0 sec α senα sec α 0 sec α 0 senα senα La primera iguadad no conduce a soución aguna, pero a segunda nos da un vaor: senα α 5 5' 5,8' '

7 En a práctica, as cedas de un pana típico son minúscuas. Se aprecia bien a forma de fondo, pero es muy difíci medir directamente esa incinación. Lo que sí puede hacerse es cacuar y medir os ánguos y segmentos de rombo, que quedarán: γ β B Figura 4 B O O ' ' cos α cos α O ' ' tgγ B β γ 70 O ' 4,6' ' senα cos α γ 5 5' 5,8' ' α!! Por o que respecta a as caras ateraes: Figura 5 φ tgϕ ' tgα tgα ϕ 9 8' 6,4' ' ϑ 90 ϕ 70 ' 4,6' ' ϑ β!!

8 Por extraordinario que parezca, a eficiencia de este diseño no acaba aquí. Una vez que as cedas se disponen en mosaico, as oquedades de reieve formado permiten abergar exactamente a misma disposición de cedas en oposición, de forma que cada uno de os rombos se aprovecha para formar e fondo de dos cedias. Los centros de os fondos de as cedias de una cara son vértices en os fondos de as cedias de a cara opuesta. Cuando se contempa un pana a trasuz, as dos caras se superponen e imbrican ofreciendo una imagen muy hermosa, de gran pureza geométrica. Las abejas han acanzado una enorme precisión en a construcción de sus panaes, ajustando os ánguos reaes a os teóricos con una precisión de pocos minutos de arco. En tanto en cuanto consiguen minimizar a producción de cera, ahorran energía y aumentan sus probabiidades de supervivencia en épocas de carestía de aimento. Otras abejas no tan eficientes en e diseño de pana se habrán ido extinguiendo, y tras mies y mies de años se han seeccionado sóo aquéas que genéticamente tiendan a utiizar esta técnica. ctuamente contempamos e resutado de ese proceso de seección natura. Este probema aparece tratado y resueto en e ibro Nociones de naítica y Cácuo, de D. Pedro Puig dam, perteneciente a a coección Bibioteca Matemática Rey Pastor Puig dam, editado en 94. Esa coección es un compendio magnífico de obras donde a matemática se presenta de una manera muy cara, sencia y atractiva, apoyada por ejempos tan sugerentes y hermosos como e que acabamos de tratar, y todo eo sin renunciar a rigor ni a a profundidad forma que requieren estos nivees. Deseamos que estas hojas sirvan de modesto homenaje a este maestro y profesor, y a su manera comprometida de entender a educación. OBSERVCIONES y SUGERENCIS: La pantia para confeccionar as cedas que se adjunta a principio sigue con bastante fideidad os vaores de os ánguos obtenidos aquí. Un pana manipuado por muchas personas se deteriora con rapidez. Sugerimos exponero en una caja de pástico construida a ta efecto. Esta experiencia supone una buena ocasión para mostrar a mismo tiempo otros ejempos expícitos de a matemática en a naturaeza, ofreciendo una visión interdiscipinar, contextuaizada y divugativa de nuestra materia.

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