= da.cos θ dn = E.da n

Transcripción

1 TORMA D GAU Flujo del campo electrostático l flujo elemental dφ, del campo electrostático a través de un elemento de superficie, es, por definición: dφ = = cosθ De la definición anterior se deduce que el flujo elemental es una magnitud escalar que se obtiene multiplicando escalarmente el vector campo electrostático existente en los puntos del elemento de superficie considerado, por el vector superficie que lo representa. Conviene aclarar algunos aspectos relacionados con la definición anterior. l campo electrostático, como ya se ha indicado anteriormente, es el campo existente en los puntos del elemento de superficie, creado por una carga o una distribución de cargas situas en las proximides del elemento de superficie, que no aparecen representas para evitar confusiones.. θ r FIG O Puesto que el elemento de área es infinitamente pequeño, consideraremos que el campo eléctrico no varía al pasar de un punto a otro de dicho elemento. Por consiguiente, cuando nos referimos al campo existente en el elemento de superficie, suponemos que es el mismo en todos sus puntos. n cuanto al vector superficie, es un vector muy útil para especificar cuál es la orientación de un elemento de superficie en el espacio y se define como un vector con las siguientes características: * u módulo es igual al área del elemento que representa. * u dirección es la de la normal a dicho elemento, es decir, la de la perpendicular al plano tangente a dicho elemento. * u sentido, se toma, por convenio, de la siguiente forma: * i el elemento de superficie forma parte de una superficie cerra que delimita un cierto volumen, el sentido se toma siempre hacia afuera del volumen encerrado. * i el elemento de superficie forma parte de una superficie abierta para cuyo contorno se ha definido un cierto sentido de recorrido, el sentido del vector superficie es el de avance de un sacacorchos, o de un tornillo roscado a derechas, que gire en dicho sentido. * i el elemento de superficie forma parte de una superficie abierta para cuyo contorno no se ha definido ningún sentido de recorrido, el sentido es arbitrario, y, en general no influye en el cálculo del flujo. i el campo electrostático se representa por medio de sus líneas de fuerza, el flujo elemental se puede interpretar como el número dn de líneas de fuerza que atraviesan al elemento de superficie. Basta recorr que, por convenio, las líneas de fuerza se dibujan, uniformemente distribuis a partir de los puntos de un elemento de superfice normal a la dirección del vector campo, de forma que su número dn sea igual al producto del módulo del vector campo por la proyección normal del área de dicho elemento, n. Y como: n =.cos θ dn =. n =..cos θ = df l concepto de flujo puede aplicarse a cualquier campo vectorial. De hecho su nombre procede del campo de velocides que sirve para describir el movimiento de un fluido. n consecuencia, el flujo representa, en ese caso, el volumen de fluido que pasa o fluye por unid de tiempo a través del elemento de superficie. in embargo, en el caso del campo electrostático no representa ninguna propied física que esté fluyendo a través del elemento. implemente representa una magnitud física estática que depende del vector campo existente en los puntos de un elemento de superficie y de dicho elemento de superficie. e puede generalizar ahora el cálculo flujo para una superficie finita, abierta o cerra: Φ = dφ = = cos θ [] Teorema de Gauss amos a demostrar que el campo electrostático creado por una distribución de cargas en reposo, en el vacío, tiene la siguiente propied: l flujo Φ del campo electrostático a través de una superficie geométrica cerra, depende solamente de la carga neta conteni en el volumen limitado por dicha superficie, y es igual al producto de la constante /, por dicha carga neta [] Φ = Σ [3]

2 TORMA D GAU aletos La constante / forma parte de la constante de proporcionalid que ya se vio en la ley de Coulomb, y que, en el sistema internacional de unides vale: = 4πk = 4π.8, nw.m C - 4π nw.m C - n cuanto a Σ representa, como ya se ha indicado, la carga neta, es decir, la suma algebráica de las cargas, o carga total conteni en el volumen limitado por la superficie cerra. De forma que las cargas exteriores a dicha superficie no influyen en el valor del flujo. Para demostrar el teorema de Gauss, vamos a seguir los siguientes pasos: I.- Calcularemos flujo debido a una carga puntual conteni en el interior del volumen limitado por una superficie cerra. II.- Luego, generalizaremos el resultado para una serie de cargas puntuales interiores a, y, III.-Demostraremos que el flujo debido a cualquier carga exterior a es nulo. upongamos una carga puntual, en reposo, dentro del volumen vacío encerrado por una superficie cerra. Por razones de espacio, solamente se ha dibujado en la Fig., una porción de dicha superficie. dω FIG θ ' dφ = i upondremos que dicha superficie es inmaterial, es decir, meramente geométrica o intangible. obre dicha superficie consideraremos un elemento infinitesimal de área, representado por su vector superficie. l campo electrostático creado por la carga en los puntos del elemento de área, es: i = Y el flujo elemental dφ, a través de, es, por definición: = i cos θ = cos θ i imaginamos que desde el punto ocupado por la carga se trazan semirrectas que vayan contorneando el elemento de superficie, se formará una superficie cónica cuya sección recta no será, en general, circular. sta superficie cónica determinará, a su vez, sobre una superficie esférica con centro en, y radio unid, el ángulo sólido dω bajo el cual se subtiende el elemento de superficie, desde. Y, si se traza una superficie esférica con centro en el punto ocupado por, y radio, querá intercepta sobre la misma, por la superficie cónica anteriormente descrita, un elemento de superficie esférica, de área. Teniendo en cuenta que y dω son áreas de figuras semejantes, su razón será igual al cuadrado de la razón de semejanza, por la propied de las áreas de figuras semejantes, y, por tanto, igual a la razón de los cuadrados de sus respectivos radios. ' dω = = r i y de aquí, dω = ' n cuanto al elemento de superficie, por la forma en que se ha trazado, resulta ser la proyección de sobre la superficie esférica de centro y radio. Y como el ángulo formado por los elementos de superficie y es el mismo que el que forman sus respectivas normales: y, sustituyendo en la anterior expresión de dω: dω = ' =.cos θ cos θ = [6] con lo que el flujo elemental dφ, a través del elemento de superficie, toma la forma: dφ = i = i cos θ = cos θ = q cos θ i = dω n esta última expresión, el signo del ángulo sólido dω va ligado al convenio establecido para el sentido positivo del vector superficie, según el cual, el ángulo sólido dω será positivo cuando desde se vea la cara interna del elemento de superficie, y negativo en caso contrario. [4] [5] [7]

3 TORMA D GAU 3 l valor del flujo elemental dφ a través de un elemento de superficie, para una carga, depende, por tanto, del valor del ángulo sólido bajo el cual se subtiende dicho elemento desde la carga, y su signo depende tanto del signo de la carga como del signo del ángulo sólido. Finalmente, para hallar el flujo total del campo electrostático creado por a través de to la superficie basta integrar la expresión anterior del flujo elemental dφ: Φ = dφ = dω = dω = q 4πε i.4π = 0 Los flujos creados por las diferentes cargas puntuales contenis en el volumen encerrado por la superficie serán: [8] Φ = Φ + Φ + Φ n = ΣΦ i = Σ = Σ 9] Finalmente, vamos a demostrar que el flujo total a través de la superficie cerra debido a cualquier carga exterior q e es nulo, con lo cual querá definitivamente demostrado el teorema de Gauss. Consideremos una carga positiva q e en el exterior del volumen encerrado por la superficie, como indica la figura [3]. q e P FIG P Cualquier cono elemental con vértice en la carga exterior q e subtiende el mismo ángulo sólido dω para los elementos de superficie y, con lo cual el flujo elemental a través de ambos será el mismo, pero de signo contrario, ya que desde q e se ve la cara exterior de y la interior de bajo el mismo ángulo sólido, y en virtud del convenio de signos establecido anteriormente, el primero será negativo y el segundo, positivo. Al considerar el flujo total a través de todos los elementos de superficie: Φ e = dφ e = 0 ya que, al trazar las semirrectas que, partiendo de q e, van contorneando la superficie, ésta que dividi en dos partes a través de las cuales el flujo es el mismo, por quer subtendis desde q e bajo el mismo ángulo sólido, pero de signo contrario. Con lo que que demostrado el teorema de Gauss, que puede considerarse, como ya se indicó anteriormente, como la ecuación funmental de la lectrostática, ya que la base del mismo es la ley de Coulomb y el principio de superposición. s una de las ecuaciones más importantes y en forma diferencial constituye la primera de las cuatro ecuaciones de Maxwell de la teoría del campo electromagnético. l resultado obtenido anteriormente [9] para un conjunto de cargas puntuales se puede generalizar para una distribución continua de carga de densid volumínica ρ. Ca elemento de carga dq = ρdv se puede considerar como una carga puntual, en cuyo caso: Φ = ρdv [0] y como por otra parte, Φ = igualando los segundos miembros de las relaciones anteriores: = ρdv [] [] y aplicando ahora el teorema de la divergencia a la integral del primer miembro de la anterior = dv de donde, igualando los segundos miembros de [] y 3], y teniendo en cuenta que las dos integrales de los segundos miembros están referis al mismo volumen, se obtiene, [3]

4 4 TORMA D GAU aletos = ρ [4] La expresión anterior suele denominarse forma diferencial de la ley de Gauss Aplicaciones del teorema de Gauss l teorema de Gauss se utiliza funmentalmente para calcular el campo electrostático creado en un punto del espacio por cargas, o distribuciones de carga, que presentan una cierta simetría, y que, en algunos casos, sería muy complicado o imposible de obtener por cálculo integral. sto no significa que el teorema de Gauss resuelva todos los problemas de cálculo de campos electrostáticos. La aplicación se basa en el hecho de que el flujo Φ a través de una superficie cerra se puede expresar, en virtud del teorema de Gauss, en la forma: Φ = Σ = donde Σ se ha sustituido por la integral de volumen que, de una forma general, representa igualmente la carga neta o total, cualquiera que sea la forma en que aparezca distribui dentro del volumen encerrado por la superficie gaussiana. s decir, ρ puede representar una distribución lineal de carga, λ, una distribución superficial, σ, una distribución volumínica propiamente dicha, ρ, o simplemente, una o varias cargas puntuales, o una combinación cualquiera de las cargas mencionas. Igualando las dos expresiones anteriores del flujo Φ: ρdv Φ = cos θ = ρdv i las cargas contenis dentro del volumen encerrado por la superficie gaussiana están repartis según una cierta simetría, central, axial o especular, y se puede escoger la superficie gaussiana que pasa por el punto en el que se desea calcular el campo, de forma que tenga esa misma simetría, el módulo del campo electrostático tendrá el mismo valor en todos sus puntos, y, por consiguiente, podrá salir fuera de la integral, [5] [6] cos θ = ρdv [7] A partir de aquí se puede despejar el módulo del campo electrostático,, ya que en los casos en los que es factible aplicar el razonamiento anterior, el cálculo del primero y segundo miembros de la iguald es, en general, muy sencillo Campo electrostático creado por un conductor esférico de radio a uniformemente cargado upongamos que en una región de un espacio vacío tenemos un conductor esférico, de radio a, con una carga +, en equilibrio. i este conductor es el único que está presente, su carga, por simetría, estará reparti uniformemente sobre su superficie. Fig. [4]. abemos que el potencial en todos los puntos del conductor es el mismo, y por tanto, su superficie es una superficie equipotencial. l campo electrostático en los puntos interiores del conductor es nulo, y en los puntos de su superficie, las líneas de fuerza del campo son normales a la misma, alejándose radialmente del conductor puesto que su carga es positiva. i imaginamos traza una superficie esférica cerra, de radio r, que envuelva al conductor y concéntrica con él, las líneas de fuerza del campo atravesarán normalmente a dicha superficie en ca uno de sus puntos, y, por simetría, el módulo del campo electrostático será el mismo en todos ellos. i tomamos en un punto cualquiera de dicha superficie un elemento de área,, el vector que la representa será asimismo normal a dicha superficie y su sentido estará dirigido hacia afuera, por el convenio establecido. De modo que el vector y el vector área serán, en todo punto de la superficie gaussiana, de igual dirección y sentido, y por tanto, el ángulo formado por dichos vectores será nulo. i calculamos el flujo del campo electrostático a través de la superficie gaussiana, obtenemos: a O FIG r

5 TORMA D GAU 5 Φ = dφ = = cos 0 = = =.4πr y por otra parte, si aplicamos el teorema de Gauss a la misma superficie, Φ = Σ = De modo que igualando los segundos miembros, se tiene:.4πr = de donde, finalmente: = r i se compara esta última expresión con la del campo creado a una distancia r, por una carga puntual en reposo, situa en el vacío, = se observa que la relación matemática es la misma, lo que nos lleva a enunciar la siguiente propied: l campo electrostático creado en un punto exterior por un conductor esférico uniformemente cargado, situado en reposo, en el vacío, es el mismo que el que produciría su carga, supuesta concentra en su centro, como si fuera una carga puntual. sta propied es sumamente útil en la resolución de problemas y en algunas consideraciones de tipo teórico. No debe olvirse que esta propied es váli solamente si la carga del conductor esférico está uniformemente reparti sobre su superficie. s decir, si hubiese coloca otra u otras cargas en las proximides del conductor esférico, que diesen lugar a una distribución no uniforme de su carga, todo lo anterior no tendría validez. i se desea obtener la expresión del vector campo electrostático, basta multiplicar su módulo por un vector unitario que tenga, en ca punto, la misma dirección y sentido que aquél. Y, puesto que el campo es radial en ca punto del espacio: q r [8] = r r 3 [9]