Unidad 7: FUNCIONES. Intuitivamente, una función real de variable real asigna a cada elemento x de D un elemento y de, y solo uno.

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1 . CONCEPTO DE FUNCIÓN Unidad 7: FUNCIONES Las unciones son las herramientas para la descripción matemática de una situación real. De hecho, todas las órmulas de la Física no son más que unciones, que epresan cómo ciertas magnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura la presión). Una unción real de variable real es una aplicación de un conjunto D en el conjunto de los números reales, es decir, una le que a cada valor del conjunto D asigna un único número real. Intuitivamente, una unción real de variable real asigna a cada elemento de D un elemento de, solo uno. Además, es importante tener en cuenta que una unción queda determinada siempre que conozcamos la manera de asociar a cada elemento de D un único elemento de, esto es, no es necesario que eista una órmula matemática que relacione dichos elementos, de hecho, una unción se puede dar mediante una epresión algebraica, una tabla de valores, una gráica La unción de D en se simboliza así: : D : El conjunto recibe el nombre de dominio de la unción, se representa por Dom, el conjunto de los transormados mediante recibe el nombre de recorrido o imagen de la unción (conjunto de valores que toma la unción), se representa por Img o por Rec : Dom : tiene sentido Las unciones también se suelen escribir en la orma, se dice que es la variable independiente e la variable dependiente o unción. Una unción puede venir dada en orma eplícita o en orma implícita. Una unción dada en orma eplícita tiene la orma: a que permite calcular directamente el valor de dado el valor de. Por el contrario una unción está en orma implícita si la variable dependiente no está eplicitada respecto a la variable independiente, epresándose de la orma: Ejemplo:, Las unciones sen, e están dadas en orma eplícita, mientras que las 5 unciones están dadas en orma implícita. D D Img Rec / eiste al menos un :

2 Ejercicio:. Indica en cadaa caso si la unción estáá epresada en orma implícita o eplícita, pasa de una orma a otra: a) 3 d) b) 3 e) c) ) Dos unciones Dom. g son iguales, g, cuando Dom Dom g g Geométricamente, una correspondencia ess una unción cuando corta a cada recta vertical en un único punto. la gráica de la correspondencia Corresponden ncia que es unción Correspondencia quee no es unciónn Ejercicios:. Indica en cadaa una de las siguientes gráicas cuáles no: cuáles son representaciones de unciones

3 3. De las siguientes parejas de unciones, indica cuáles son iguales cuáles no: a) ; 33 3 b) ; c) ; 33 3 si si d) ; si si si si e) ; si si 4. Calcula el dominio de las siguientes unciones: a) 3 k) l) b) c) m) 3 5 d) 5 n) e) 5 9 ) log g) h) si si 3 si si o) p) 3 q) r) i) s) 4 j) t). FUNCIONES ALGEBRAICAS polinómicas Son del tipo A es un polinomio. Dom donde n n A a a... a a n n racionales 3

4 Son de la orma A B donde A B Dom : B : B son polinomios. irracionales Son unciones en las que normalmente su epresión algebraica viene dada por una raíz. Si k g Dom g deinidas a trozos Cuando una unción se deine utilizando más de una epresión algebraica, se dice que está deinida a trozos. Su dominio variará dependiendo de las epresiones algebraicas de los trozos. : g si el índice de la raíz es par Dom si el índice de la raíz es impar La imagen o recorrido de una unción la estudiaremos teniendo en cuenta su representación gráica. Recorrido Dominio Ejercicio: 5. Dibuja una gráica que cumpla las condiciones dadas en cada uno de los siguientes casos: a) Dom e Img, b) Dom {3} e Img c) Dom,, e Img, d) Dom e Img 3. OPERACIONES CON FUNCIONES Función suma g g Dom Dom g Función producto Función cociente g g Dom Dom g g : g g 4

5 Ejercicios: Dom Dom Dom g : g g 6. Calcula g, Dom g g 5 a) g 5 b) si,5 8 en cada uno de los siguientes casos: g 7. Dadas las unciones 9 g g la unción g. 4, comprueba si eiste la unción 8. Halla las unciones g g si si 4 si 4 4, siendo: g si si 9. Considera las unciones 3, g h a) g h c) g b) g h d) Dom g, calcula:. Dadas g a) Halla g b) Determina Dom g : c) Es cierta la igualdad g?. Calcula: 3 g, siendo si si g si. 3 4 si. Dadas las unciones halla: si si a) g c) g 3 b) Dom g d) g g si 3 4 si 5

6 3. Sabiendo que g g b) Dom g a) 4 calcula: g c) 3 Función compuesta g g (se lee g compuesta con ) Para determinar el dominio de g ha que determinar los valores de que cumplen:. Domg. Dom g En general, g g Ejercicios: 4. Dadas g, determina: a) g b) g c) Dom g 5. Si 3 g, halla g g, calcula: 6. Dadas g a) g g b) Dom 7. Considera las unciones determina: g., g a) b) g h Propiedad: Elemento simétrico: se representa por veriica h 3, está deinido por donde I es la unción identidad está deinida por I. La unción recibe el nombre de unción inversa de. I Se lee al revés de cómo se escribe, a que primero aplicamos g luego. Alerta! (la unción recibe el nombre de unción recíproca de, aunque también es usual en la bibliograía que llamen unción recíproca a ) 6

7 Funciónn inversa o Cálculo de la unción inversa: i a) Epresar la variable en unción de la variable. b) Despejar la variable de la igualdad anterior con el in de hallar la epresión de en unción de. c) Intercambiar las variables, aa que cualquier unción se suele e epresar siempre a partir de la variable. d) Realizar la comprobación. Geométricamente, si eiste la unción inversa, su gráica se obtiene tomando la simétrica de la gráica de la unción respecto de la bisectriz del primer tercer cuadrantes. Ejercicios: 8. Halla la unción inversa de las siguientes unciones: a) 3 ) 3 b) g) 3 c) h) 3 d) i) 5 con 5 e) j) con 3 9. Sabiendo que si si halla, si es posible,. 4. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES 4.. MONOTONÍA (crecimiento, decrecimiento), máimos mínimos relativos. Sea : D e I D un intervalo abierto. Se dice que es: a) estrictamente creciente en I sii s, I : se tiene que b) creciente en I sii, I : se tiene que c) estrictamente decreciente en I sii, I : se tiene que d) decreciente en I sii, I : se tiene que 7

8 e) constante en I sii I : se tiene que, Estrictamente creciente Estrictamente decreciente Función constante Una unción es estrictamente monótona sii es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, es monótona si es creciente o decreciente. Diremos que tiene un máimo relativo enn que D E. D siii eiste un entorno e abierto 3 de, E tal M Diremos que tiene un mínimo relativo enn que DE. D sii eiste un entorno abierto de, E tal m Geométricamente una unción (continua)( tiene un máimo relativo cuando en ese punto la unciónn pasa de ser creciente a ser decreciente tiene un mínimo relativo cuando pasa de ser decreciente a ser creciente. 4.. SIMETRÍAS (unciones pares e impares) Sea : D una unción.. Se dice que es a) par o simétrica respecto del eje OY cuando D D 3 Un entornoo abierto de es un intervalo de la orma, E o E, si necesitamos precisar el radio,, que tiene. paraa algún. Lo representaremos por 8

9 b) impar o simétrica respecto del origen de coordenadas sii D D Función par Función impar Geométricamente una unción es: a) par si al doblar la gráica respectoo del eje OY las ramas positiva coinciden. b) es impar si al girarla 8º vuelve a coincidir con ella misma. negativa de la unciónn Ejercicio:. Estudia la simetría de las siguientes unciones: a) 5 b) c) PERIODICIDADD Una unción condiciones: : D ess periódica de períodoo ) T D ) T es el menor de los númeross que cumple ). T sii se cumplen las siguientes dos Se estudiaran con trigonométricas. más detalle en la unidad eponenciales, logarítmicas 4.4. CONTINUIDADD (unciones continuas) Deiniciónn no rigurosa 4 : Diremoss que una unción : D es continua en un punto D sii en un entorno de dicho punto los puntoss próimos a tienenn imágenes próimas a en otro entorno de dicho punto. En el caso de que sea continua en todos continua en S. los puntos de un subconjunto S D, se dice que es Cuando una unción no sea continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto. 4 En la unidad de Límites Continuidadd daremos unaa deinición rigurosa de unción continua, que involucra límites. 9

10 4.5. ACOTACIÓN (unciones acotadas). Máimo mínimo absoluto. Una unción : D está: a) acotada sii M : M D b) c) acotada superiormentee sii acotada ineriormente sii K k : K D :k D Función acotada Función acotada superiormente Función acotada ineriormente Como consecuencia de lo anterior se tiene laa siguiente caracteriza ación: acotada acotada superior e ineriormente Geométricamente, el hecho de que una unción esté acotada (por un número que su gráica está entre las rectas M e M M M ), se traduce en a b M Si está acotada superiormente, el número M recibe el nombre dee cota superior. A la menor de las cotas superiores se le llama supremo de en D. Si el supremo es alcanzado por la unciónn, es decir, D : es el supremo, entonces el número recibe el e nombre de máimo absoluto de en D. Si está acotada ineriormente el número m recibe el nombre dee cota inerior. A la maor de las cotas ineriores se le llama ínimo de en D. Si el ínimo es alcanzado por la unción, es decir, D : es el ínimo, entonces el número recibe el nombre dee mínimo absoluto de en D. Teorema de Weierstrass: Si : ab, es continua, entonces absolutos, es decir,, ab, : ab, tiene máimo mínimo Este resultado lo que nos dice ess que la unción tiene etremos absolutos, a pero no nos dice dónde están ni cómo calcularlos.

11 4.6. CURVATURA (unciones conveas cóncavas). Puntos dee inleión Daremos una deinición 5 basada en la interpretación geométrica: Una unción : I, donde I es unn intervalo, es conveaa sii para cualesquiera a, b I con a b la gráica de restringida al intervalo ab, se halla situada por debajo del segmento de etremos a a,, b, b. Así, una unción es convea cuando el recinto del plano que queda por encima de su gráica es un conjunto conveo (visto de arribaa hacia abajo), esto es, cuando las rectas tangentes a la gráica de la unción quedan por debajo de ésta. Diremos que : I, donde I es unn intervalo, es cóncavaa cuando sea convea. Una unción tiene un punto de inleión, cuando en dicho punto la unción pasa de serr convea a ser cóncava o viceversa. En el primer caso se habla de punto de inleión conveocóncavo en el segundo de punto de inleión cóncavoconveo. Ejercicio:. Indica las característicass (dominio,, imagen, monotonía, acotación) de las siguientes unciones: simetrías, etremos relativos 4.7. TENDENCIAS Asíntotas verticales Decir que cuando a, signiica que cuando tiende a a (se acerca cada vez más al punto a), con a, toma valores cada vez maores. Análogamente, decir que cuando a, signiica que cuando tiende a a, con a, toma valores cada vez máss pequeños.. Llamamos asíntotas de una unción a las rectas que se aproima la unción en el ininito. 5 Ojo!! Al consultar la bibliograía es posible encontrar libros donde llaman unción cóncava a lo que nosotross llamamos unción convea. También se usa la nomenclatura cóncava haciaa arriba para las unciones conveas cóncava hacia abajo para las cóncavas. Lo importante no es el nombre que se le l dé, sino el concepto. Pero lo cierto es que no he encontrado un solo libro que no sea de Bachillerato donde la parábolaa sea cóncava.

12 La recta = a es una asíntota vertical de si se da alguna de las siguientes situaciones: cuando a cuando a cuando a Asíntotas Decir que unción horizontales b cuando, signiica que cuando se hace tan grande como queramos, la toma valores cadaa vez más próimos al número b. Análogamente, decir que b cuando, signiica que cuando se hace tan pequeño como queramos, la unción toma valores cada vez más próimos al número b. La recta = k es una asíntota horizontal dee k cuando o si se da alguna de las siguientes situaciones: k cuando Ejercicios:. Indica las características de la siguiente unción: Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: Creciente: Decreciente: Máimos relativos: Mínimos relativos: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: Acotación: Cotas, supremo (ínimo) etremos absolutos en,: Curvatura:

13 Tendencias: Cóncava: Convea: Cuando 3. Indica las características de la siguiente unción: Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: Creciente: Decreciente: Máimos relativos: Mínimos relativos: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: Acotación: Cotas, supremo (ínimo) etremos absolutos: Curvatura: Tendencias: Cóncava: Convea: Cuando 4. Indica las características de la siguiente unción: 3

14 Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: Creciente: Decreciente: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: Máimos relativos: Mínimos relativos: Acotación: Cotas, supremo (ínimo) etremos absolutos: Curvatura: Tendencias: Cóncava: Convea: Cuando 5. Indica las características de la siguiente unción: Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: Creciente: 3 3 4

15 Decreciente: Máimos relativos: Mínimos relativos: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: Acotación: Cotas, supremo (ínimo) etremos absolutos: Curvatura: Tendencias: Cóncava: Convea: Cuando 6. Indica las características de la siguiente unción: Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: Creciente: Decreciente: 5

16 Simetrías: Continuidad: Periodicidad: Máimos relativos: Mínimos relativos: Acotación: Cotas, supremo (ínimo) etremos absolutos: Curvatura: Cóncava: Tendencias: Convea: Cuando 7. Una determinada empresa nos ormula la siguiente oerta para conectarnos a Internet: Cuota mensual de abono: 6 Cada hora de coneión: a) Encuentra la unción que nos indique el precio a pagar mensualmente, según las horas que se haa establecido coneión. b) Representa gráicamente esta unción. c) La empresa carga un 8 % de IVA. Cómo aecta esto a la unción anterior a su gráica? 8. Queremos encuadernar todos los libros de la biblioteca de nuestro centro nos cobran 7 por cada libro si el número de páginas no supera las. A partir de páginas, por cada página más se incrementa el precio en,. Responde a las siguientes cuestiones: a) Encuentra la unción que nos da el precio a pagar por la encuadernación de un libro dependiendo del número de páginas de este. b) Representa gráicamente esta unción. c) Es continua dicha unción? 9. Los costes de producción (en euros) de una empresa vienen dados por: Cq 4 q q donde q es el número de unidades producidas. El precio de venta de cada unidad producida es de 5 euros. a) Epresa en unción de q el beneicio de la empresa represéntalo gráicamente. b) Cuántas unidades ha que producir para que el beneicio sea máimo? Indicaciones: () Recuerda que para representar una parábola a b c, ha b b que calcular el vértice ( V, a a los puntos de corte con el eje OX, si los tiene, o construir una tabla de valores con dos valores a la izquierda del vértice otros dos a la derecha del mismo. 6

17 () Las unciones cuadráticas alcanzan su máimo o su mínimo en el vértice. 3. La dosis de un ármaco comienza con mg cada día debe aumentar mg hasta llegar a mg. Debe seguir 5 días con esa cantidadd a partir de entonces ir disminuendo 4 mg cada día. a) Representa gráicamente la unción que describe el enunciado determina su epresión algebraica. b) Indica su dominio su recorrido.. 3. De un cuadrado de 4 cm de lado, see cortan en las esquinas triánguloss rectángulos isósceless cuos lados iguales miden. a) Escribe el área del octógono que resulta en unción de. b) Cuál es el dominio de esa unción? Y su recorrido? 3. Una empresa abrica envases con orma de prisma de dimensiones, cm. a) Escribe la unción que da el volumen del envase en unción de. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. c) Cuál es su recorrido? 4.8. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS Una unción : D es inectiva siii, D si o equivalentemente, D si. Es decir, si elementos distintos de D tienen imágenes distintas en. Geométricamente, una unción es inectiva si cualquier recta paralela p al eje OX sólo corta a la gráica de la unción en un único punto. Algunas propiedades importantes son las siguientes: ) Si : D es estrictamente monótona, entoncess es inectiva. ) Si : D es inectiva, entonces : D D. 3) Si : D es continua e inectiva, entonces es estrictamente monótona. Una unción : D R es sobreectiva sii R D tal que, es decir, cuando Img R. Es decir, si todo elemento de R es imagen dee alguno dee D. Diremos que : D es biectiva sii es inectiva sobreectiva. 7