Tema 7: La función derivada. Técnicas de Derivación

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1 Matemáticas º Bacillerat CCNN Tema 7: La función erivaa. Técnicas e Derivación 0.- Intrucción.- Tasa e Variación Meia.- Derivaa e una función en un punt..- Derivaas Laterales...- Interpretación gemétrica e la erivaa..- Relación entre Cntinuia y Derivabilia 4.- Significa gráfic e la erivaa. 5.- La función erivaa Tabla e Derivaas Algebra e las Derivaas. 6.- Derivación Lgarítmica. 7.- Derivabilia en un interval. 8.- Derivaas Sucesivas. 9.- Ejercicis Resuelts. Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-

2 Matemáticas º Bacillerat CCNN Intrucción Ls rígenes el Cálcul estuviern mtivas pr el ese e reslver iverss prblemas vinculas al mvimient e ls cuerps, así cm prblemas e tip gemétric e imprtancia en Óptica y prblemas e cálcul e valres máims y mínims e una función aa. Simplifican, pems estacar s prblemas principales: Determinar la tangente a una curva en un punt (el prblema e las tangentes). Determinar el área encerraa pr una curva (el prblema e las cuaraturas). Sn ls cncepts e erivaa e integral, respectivamente, ls que permiten reslver satisfactriamente ics prblemas. Mientras que el cncept e integral tiene sus raíces en la antigüea clásica, la tra iea funamental el Cálcul, la erivaa, n se frmuló asta el sigl XVII. Fue el escubrimient efectua pr Sir Isaac Newtn (64-77) y Gttfrie Wilelm Leibniz (646-76) e la relación entre estas s ieas, tan ispares en apariencia, l que inició el magnífic esarrll el Cálcul. Si bien ls trabajs e Newtn y Leibniz sn ecisivs pr sus aprtacines e influencia, n ay que lviar que ells sn el punt culminante e un larg prces en el que an participa científics e la talla e Jannes Kepler (57-60), René Descartes ( ), Pierre e Fermat (60-665), Jn Wallis (66-70) e Isaac Barrw (60-677) entre trs Tasa e Variación Meia [T.V.M.] Cm vims el añ pasa, la tasa e variación meia e una función en un interval cerra [a,b] se calculaba meiante el cciente entre la variación el valr e la variable epeniente entre la variación e la variable inepeniente. f( b) f( a) T. V. M. [ ab, ] b a Y se crrespnía cn el valr e la peniente e la recta que une ls punts a y b Derivaa e una función en un punt el límite e Sea la función f efinia en un punt, ecims que la función f es erivable en el punt si eiste f( ) f( ) cuan la función tiene a. f erivable en lim f( ) f( ) Si la función es erivable en, al límite anterir se le llama erivaa e la función f en el punt, y se simbliza pr f ( ) pr f. f'( ) lim f( ) f( ) Si acems el cambi, y espejams : +, y reescribims el límite, encntrams tra frma e calcular la erivaa e una función en un punt: f( + ) f( ) f( ) f( ) f'( ) lim lim 0 Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-

3 Matemáticas º Bacillerat CCNN Ejempl : Hallar la erivaa e la función f : efinia pr f( ) en el punt a f( a + ) f( a) ( a + ) a a + + a a + a f '( a) lim lim lim lim lim + a a Derivaas laterales Cm acabams e ver la erivaa e una función es un límite, y sabems, pr el tema anterir, que para que eista el límite e una función efinia a trzs en un punt, an e eistir ls límites laterales y ambs eben e ser iguales, pr tant: La función f es erivable pr la izquiera si eiste el límite pr la izquiera e tiene a 0. La erivaa pr la izquiera se simbliza pr f (a - ). La función f es erivable pr la ereca si eiste el límite pr la ereca e la tiene a 0. La erivaa pr la ereca se simbliza pr f (a + ). f( a + ) f( a) f( a + ) f( a) cuan cuan Pr tant, la función f es erivable en si eisten ls límites pr la izquiera y pr la ereca y ambs cincien. + f( + ) f( ) f( + ) f( ) f( + ) f( ) f '( ) f '( ) f '( ) lim lim lim Ejempl : Estuiar la erivabilia en 0 y - e la función f : efinia pr: Derivabilia en - si f si sen si 0 ( ) 0 Para que una función sea erivable en un punt a e currir que eistan las erivaas laterales y éstas sean iguales: f( + ) f( ) [ ( + ) ] [ ( ) ] f '( ) lim lim lim + f f f'( ) lim lim lim Derivabilia en f'(- ) f'(- ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) f es erivable en - f(0 + ) f(0) ( ) sen(0) f'(0 ) lim lim lim lim( ) f'(0 ) f'(0 ) + f(0 + ) f(0) sen( ) sen(0) sen( ) f n es erivable en 0 f '(0 ) lim lim lim Interpretación gemétrica e la erivaa: La recta tangente en un punt El cálcul e la erivaa e una función en un punt a, ns permite escribir la ecuación e la recta tangente a la gráfica en el punt e abscisas a, utilizan la ecuación punt peniente: y m( a) + b Dne m es la peniente e la recta m f '( a) y b la renaa en el rigen. b f ( a) La recta nrmal a una gráfica en un punt, es la recta perpenicular a la recta peniente en ic punt. Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-

4 Matemáticas º Bacillerat CCNN Ejempl : Calcular la ecuación e la recta tangente a la gráfica e f() + en el punt e abscisa 0. Cm la ecuación e la recta tangente es: y y0 m( ) Necesitams y y l calculams sustituyen en la función: y f(0 + ) f(0) ( + ) f'(0) lim lim lim lim Así que cn ests ats escribims la ecuación e la recta tangente en 0. f(0) La ecuación e la recta tangente es: y - f '(0) 7..- Relación entre cntinuia y erivabilia Una función f es erivable en un punt, si f es cntinua en ic punt. f erivable en f cntinua en f n cntinua en f n erivable en Hay funcines cntinuas que n sn erivables, pr ejempl la función valr abslut. En general las funcines que tienen pics n sn erivables en ls pics Significa gráfic e la erivaa. Suavia Una función f es cntinua en un punt,, si su gráfica atraviesa ic punt. Una función f es erivable en un punt,, si su gráfica l atraviesa cn suavia, es ecir, la gráfica e f n presenta pics al atravesar. Una función n es erivable: En punts Angulss En punts e tangente vertical En punts e iscntinuia Función erivaa Si una función f() es erivable en su mini, es psible efinir una nueva función que ascie a caa númer real el mini la erivaa e la función en ese punt. Esta función se llama función erivaa simplemente erivaa. f( + ) f( ) f'( ) lim 0 Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-4

5 Matemáticas º Bacillerat CCNN Ejempl 4: Calcular la función erivaa e f() X f( + ) f( ) ( + ) ( ) f '( ) lim lim lim lim Las erivaas e tas las funcines que cncems, ya están calculaas y pems resumirlas en: Tabla e Derivaas Tips Frmas Función Simple Función Cmpuesta Cnstante ( K ) 0 a k u a u u ' a a a a Ptencial ( ) ( ) Raíz Cuaraa ( ) ( u ) ln lg a lna Lgarítmica ( ) ( ) u' u ' ' ( lnu) u ( lg u) u a u lna u Epnencial ( e ) e ( a ) a lna ( ) ( ) e u e u u ' a u a u u ' lna Sen sen ( ) cs( ) Csen cs( ) sen( ) + cs Tangente tg ( ) tg tg ( ) Secante Sec ( ) Sec ( ) tg ( ) Csecante Csec( ) Csec( ) Ctg ( ) Ctangente ctg( ) sen + ctg( ) c tg ( ) Csec ( ) Arc Sen Arcsen ( ) Arc Csen Arc cs( ) Arc Tangente Arctg ( ) Arc Ctangente + Arcctg( ) + sen ( u ) cs( u ) u ' cs( u) sen( u) u ' ( ) + ( ) ( ) ' tg u tg u u ' tg u u cs u Sec ( u ) Sec ( u ) tg ( u ) u ' Csec( u) Csec( u) Ctg ( u) u ' u' c tg( u) sen u ( c tg( u) ) + c tg ( u) u ' Csec ( u) u ' u' Arcsen ( u) u' Arc cs( u) u u u' Arctg ( u) + u u' Arcctg( u) + u Álgebra e Derivaas Sean f, g : S s funcines erivables en a y k. Entnces, se verifica: ) ( k f)'( a) k f '( a) ) La erivaa e la suma es la suma e las erivaas. ( g f)( a) g'( a) + f '( a) Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-5

6 Matemáticas º Bacillerat CCNN ) La erivaa el pruct, es la erivaa el primer pr el segun sin erivar, más la primera sin erivar pr la erivaa e la seguna. ( ) f g '( a) f '( a) g( a) + f( a) g'( a) Si aemás g(a) 0, entnces y f f g sn erivables en a. 4) La erivaa el cciente, es la erivaa el primer pr el segun sin erivar, más la primera sin erivar pr la erivaa e la seguna, ivii pr la seguna al cuara. ' g'( a) () a f ga () g ga () ' f f '( a) g( a) f( a) g '( a) () a 5) Regla e la Caena: Si g erivable en a y f erivable en g(a) f g es erivable en a ( ) ( f g)'( a) f g( a) ' f ' g( a) g'( a) Ejempl 5: Calcula la erivaa e la función: f( ) e ( + 5 ) sen Si marcams cn clres iferentes caa una e las tres funcines, pems ir erivan una tras tra sn e ( 5) sen( 5) f( ) e + f '( ) e + cs + 5 (6 ) e frma que la erivaa es el pruct e tas ellas. ( ) Derivación Lgarítmica Cuan tenems una función elevaa a tra, la frma e calcular su erivaa es un pc especial. Para calcularla seguirems ls siguientes pass: f( ) g( ) Sea ( ) a) Aplicams lgaritms en ambs las e la iguala: f g ( ) g ln ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) b) Después erivams: f '( ) g '( ) '( ) ln g( ) + ( ) f( ) g( ) c) Despejams f (): g'( ) f '( ) f( ) '( ) ln g( ) + ( ) g ( ) ) Pr últim sustituims f() pr su valr: ( ) g'( ) f '( ) g( ) '( ) ln g( ) + ( ) g ( ) Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-6

7 Matemáticas º Bacillerat CCNN Ejempl 6: Calcula la erivaa e la función f ( ) + Aplicams lgaritms: ln[ f ( )] ( + ) ln Derivams: Despejams: f '( ) ( ) ln + + f ( ) ( + ) f '( ) f ( ) ln + Y pr últim sustituims: + + f '( ) ln Derivabilia e una función en un interval Decims que f : a, b es una función erivable en (a,b), si es erivable en t punt e (a,b). Decims que f : a, b es una función erivable en [a,b], si es erivable en t punt e (a,b) y es erivable en a pr la ereca y en b pr la izquiera Derivaas sucesivas Se llama erivaa seguna e f cn respect a, y se simbliza f () ó e la función f(), a la erivaa e f (). f, a la erivaa e la erivaa Pems calcular la erivaa tercera, erivan e nuev la seguna. Y así sucesivamente t l que querams. Ejempl 7: Calcular la erivaa tercera e la función f() 4 De frma más general, se llama erivaa n-ésima ( erivaa e ren n) e f y se simbliza pr f (n ó n f n a la erivaa e la función f (n-. Para calcularla se utiliza la emstración pr inucción, veams un ejempl. Ejempl 8: Calcular la erivaa n-ésima e la función f( ) e Empezams calculan la primera erivaa: f '( ) e Calculams la seguna: Calculams la tercera: f ''( ) e e f '''( ) e e Pr l tant, cabe esperar que la erivaa n-ésima sea: Vams a emstrarl pr inucción: f ( ) e n ) n Sea n) n f ( ) e, entnces su siguiente erivaa será: f ( ) f ( ) e e e n+ ) n) n n n+ n+ ) n+ f ( ) e, vams a ver: Pr tant, quea emstra que: f ( ) e n ) n Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-7

8 Matemáticas º Bacillerat CCNN Ejercicis Resuelts.- A partir e la efinición e erivaa e una función en un punt, calcular la erivaa e las funcines f(x)x, en, y g( ) 5 en 9. f( ) f() ( ) f '() lim lim lim lim f( ) f(9) 5 5 ( 5 ) ( 5 + ) f '(9) lim lim lim lim ( 9)( 5 + ) 9 lim lim 9 9 ( 9)( 5 + ) Estuiar la cntinuia y la erivabilia e la función L primer es estuiar la cntinuia: si 0 f ( ) + e 0 si 0 en 0. 0 f(0)0; lim e 0 lim 0, pr tant la función es cntinua en 0. + e 0 Veams ara si es erivable: f( ) f(0) lim lim + e lim 0 + e f( ) f(0) lim lim + e lim + e Vems que las erivaas laterales en 0 n cincien, pr tant, la función f() n es erivable en este punt. Así que la función es cntinua en cer, per n es erivable..- Sea k un númer real y f una función real efinia sbre R, meiante sen + k si 0 f ( ) 0 si 0 a) Calcular la erivaa e f en el punt 0 b) Calcular la función erivaa a) sen + k 0 sen + k f( ) f(0) f '(0) lim lim lim lim sen + k k b) f'( ) k si 0 sen + cs + k si k 0 sen cs + k si k 0 f'( ) k si 0 Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-8

9 Matemáticas º Bacillerat CCNN Estuiar la erivabilia e la función f ( ) + si - si si - Para que una función sea erivable en un punt, antes a e ser cntinua, vems a simple vista que la función f() es cntinua en - prque sus límites laterales cincien y ambs cincien cn el valr e la función en el -, veams si es erivable en este punt: f( ) f( ) + 5 ( + ) f '( ) lim lim lim f( ) f( ) 0 0 f '( ) lim lim lim Inetermina Pr tant la función n es erivable en - Veams en, Veams a simple vista que ls límites laterales n cincien, pr la izquiera es y pr la ereca es -, pr tant, la función n es cntinua, y pr tant tampc es erivable en. Así que pems ecir que la función n es erivable ni en -, ni en. En ls restantes punts e cntinua y erivable, pr ser una función efinia a trzs cn tres ramas ambas plinómicas. si es 5.- Calcular a y b para que la función f ( ) a si - + b si - sea erivable. Cm ya sabems, para que una función sea erivable, a e ser cntinua, pr tant: Para que sea cntinua, ab + lim f( ) lim 0 lim f( ) lim a b a b + + Veams si es erivable: Vams a calcular las erivaas laterales en -: f( ) f( ) a + b ( + )( ) f '( ) lim lim lim lim ( ) f( ) f( ) a + b a + b a( + )( ) + b( + ) f '( ) lim lim lim lim a( ) + b a + b Y para que sea erivable ambas erivaas an e ser iguales. Pr tant: a b a + b ab- Pr tant f es erivable para ab- 6.- Calcular las erivaas e las funcines: 4 f( ) g( ) tg ( ) I( ) Arcsen sen + ( ) cs ( sen ) sen cs sen sen( ) f'( ) sen sen 4 4 g '( ) tg tg tg tg + + Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-9

10 Matemáticas º Bacillerat CCNN '( ) Para la última aplicarems erivación lgarítmica: Derivams: cs Arcsen ln I( ) ln( ) ln I( ) Cs ln( Arcsen ) I'( ) cs ln( ) + cs I( ) arcsen sen arcsen Operams y espejams I(): De ne: I '( ) I( ) sen ln( arcsen) + arcsen cs cs cs I '( ) ( Arcsen) sen ln( arcsen) + arcsen 7.- Derivar y simplificar: + f( ) Arctg Arctg g( ) Arcsen ( ) + ( + ) f'( ) + ( ) + ( + ) + ( + + ) ( ) ( + ) ( ) g '( ) arcsen ( ) ( ) + ( ) arcsen + + arcsen + arcsen Calcular la erivaa n-ésima e la función f( ) e Empezams calculan la primera erivaa: Calculams la seguna: Calculams la tercera: f '( ) e f ''( ) e e f '''( ) e e Pr l tant cabe esperar que la erivaa n-ésima sea: Vams a emstrarl pr inucción: f ( ) e n ) n Sea n) n f ( ) e, entnces n+ ) n+ f ( ) e, vams a ver: Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-0

11 Matemáticas º Bacillerat CCNN f ( ) f ( ) e e e n+ ) n) n n n+ Pr tant, quea emstra que: f ( ) e n ) n 9.- Hallar un punt el interval [0,], ne la tangente a la curva eje e abscisas. f( ) +, sea paralela al Si la recta tangente es paralela al eje e abscisas, es prque su peniente es cer, entnces en ese punt la erivaa es cer: f'( c ) 0 Calculams la erivaa f(): f '( c) c Y tiene que ser igual a cer. f'( c ) 0 c 0 C Vems que el punt ne la curva e f() tiene una tangente e peniente cer, paralela al eje OX, es en el 0,5, que pr supuest pertenece al interval [0,]. 0.- Hallar ls punts en ls que la tangente a la curva a) Paralela el eje OX b) Paralela a la recta: g( ) 5 + c) Perpenicular a la recta: ( ) + f( ) + sea: a) Si la recta tangente es paralela al eje OX, entnces su peniente es cer. m0. f'( c) 0 f '( c) c c c c c 0 c c Entnces la curva e f() tiene rectas tangentes paralelas al eje O en ls punts - y. Así que: b) Si la recta tangente es paralela a tra, entnces su peniente es la misma que la e esta tra recta. Pr tant aquí m5. f'( c) 5 c f '( c) c c c 5 c c 8 0 c 4 c Entnces la curva e f() tiene rectas tangentes paralelas a la recta y5+ ls punts - y 4. c) Si la recta tangente es perpenicular a tra recta, entnces su peniente es la puesta e la inversa, es ecir: Si cm en este cas la peniente e la recta es m, l que acems es invertirla: m ', y espués le cambiams el sign: m ''. Pr tant: f'( c) c 0 c c c c 0 f '( c) c c c Entnces la curva e f() tiene rectas tangentes perpeniculares a la recta + en ls punts 0 y. Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-

12 Matemáticas º Bacillerat CCNN.- Halla el punt e la curva f ( ) ln( ) trazaa pr el punt e abscisa. En este ejercici l primer es calcular la recta tangente en el punt. + en el que la tangente es perpenicular a la tangente Calculams f (): f'( ) + f '(), pr tant la peniente e la recta tangente en es m. Cm icen que es perpenicular, la invertims y le cambiams el sign: m ' Así que: f'( c) f'( c) c + c c + c c c c + c+ 0 ( c + ) 0 c Entnces la curva e f() tiene una recta tangente perpenicular a la recta tangente trazaa en el punt en el punt e abscisa -..- Sea f la función efinia pr f( ) 4 a) Halla las ecuacines e la recta nrmal y e la recta tangente a la gráfica e f en el punt e abscisa. b) Determina el punt e la gráfica en el que la recta tangente es perpenicular a la recta r : + y 0 a) Las ecuacines e la recta nrmal y e la recta tangente a una gráfica en un punt a, vienen aas pr: Recta Tangente ( ) '( ) ( ) y f a f a a Recta Nrmal y f a a f'( a) ( ) ( ) Pr tant, cm: f()0; f ()-; f ()-4, tenems: 0 4 ( ) 8 4 ( ) y y y 0 4y 0 4 b) En el punt e la gráfica en el que la recta tg es perpenicular a la recta aa, cm la peniente e la tangente es: m-/, la peniente e la perpenicular será: m Pr tant, la erivaa en ic punt a e ser -, erivams la función: f '( ) f '( ) Así que calculams f(-) y ya tenems el punt pei: (-,) Raúl Gnzález Meina 08 La Función Derivaa. Técnicas e Derivación VII-