Capítulo 4. Vibraciones de sistemas continuos

Transcripción

1 apíuo Vbraones de ssemas onnuos Hasa ahora hemos vso ssemas dsreos donde a masa rgdez amorguameno esaban onenrados en agunos eemenos. Ahora onsderemos e aso donde esas propedades esán dsrbudas onnuamene a o argo de ssema.. Vbraones ongudnaes bres en una barra. uerda vbrando ransversamene Supongamos una barra fja ongudnamene en ambos eremos omo se muesra en fgura. a a ua se e da una perurbaón aa na generando vbraones aaes en a vga. Se quere deermnar a euaón de movmeno de a barra en vbraones bres aaes. onsderemos que a barra es homogénea sorópa amemos: que sgue a e de Hooke. u Despazameno aa de a seón ransversa en respeo a su posón de equbro FIG... Vga vbrando aamene Suponemos que a seón ransversa de a vga permanee pana durane as vbraones propagaón de ondas panas. Eso es efevo s as dmensones de a seón ransversa son pequeñas respeo a su argo. a euaón de movmeno para e eemeno nfnesma d es:

2 Anáss de Ssemas Dnámos F m N N d N Ad u - Uzando a e de Hooke se obene: E u N EA N u EA - Reempazando euaón - en - se obene: Euaón de a onda en una dreón: u u - = / = Veodad de propagaón de a onda ongudna o de sondo en e maera. uerda vbrando ransversamene Supongamos una uerda fja en sus eremos a a que se e da una perurbaón na ransversa omo se nda en fgura.a generando vbraones ransversaes en a uerda. Se quere deermnar a euaón de movmeno de a uerda en vbraones bres ransversaes. S a defeón ransversa de a uerda es pequeña e ambo de a raón de a uerda on a defeón puede gnorarse. a euaón de movmeno es: F m T d T d T Inroduendo en a euaón aneror:

3 Anáss de Ssemas Dnámos a b FIG... a Despazameno ransversa na b Fuerzas auando en un eemeno ds de a uerda Se obene: - / = Veodad de propagaón de as ondas a o argo de a uerda. a souón genera de a euaón - o - es de a forma: u f f -5 donde f f son funones arbraras uas formas deben sasfaer as ondones níaes de borde verfar que euaón -5 sasfae as euaones dferenaes - -. Físamene e prmer érmno de a euaón -5 reprea una onda de forma f vajando en a dreón posva de on veodad e segundo érmno una onda de forma f vajando en a dreón negava de on veodad. esá de auerdo on esa afrmaón?

4 Anáss de Ssemas Dnámos Aunque a souón -5 es ú para esudar e movmeno rane onda progresva uando se forma a onda esaonara es más práo uzar e méodo de separaón de varabes para resover as euaones - o -. En ese méodo a souón de a euaón - se puede epresar: Y f -6 Reempazando en a euaón de a onda en una dreón se obene: d Y d f d f d Y d Y d f e Y d f d Sóo funón de Sóo funón de -7 Se obene de a euaón -7 dos euaones dferenaes: uas souones son: -8 Reempazando euaones -8 en -6 se obene: -9 os os f Y as onsanes as freuenas nauraes son deermnadas de as ondones de borde:

5 Anáss de Ssemas Dnámos Supongamos por ejempo una barra que se enuenra emporada en sus dos eremos. Para ese aso as ondones de borde son: Reempazándoas en a euaón - se obene: Esa úma euaón se sasfae para os vaores de dados por: Y por o ano: - para =... - a souón genera de una euaón dferena es a suma de odas sus souones ndependenes por o ano: os - Noe que as euaones - - reprean as freuenas nauraes modos de vbrar respevamene. En Fgura - se han grafado os prmeros dos modos de vbrar = Prmer modo de vbrar: Y normazando a =. = Segundo modo de vbrar: Y FIG. -. Prmeros dos modos de vbrar aamene de una barra emporada en sus dos eremos. as onsanes son deermnadas de as ondones níaes. 5

6 Anáss de Ssemas Dnámos Para as vbraones ongudnaes de una barra se pueden ener oras ondones de borde: S se ene un eremo bre de a barra en = enones as ondones de borde en ese eremo serán: N du N EAu / d. Vbraones bres en orsón de ejes ruares Supongamos un eje ruar omo se muesra en fgura. a a ua se e da una perurbaón anguar na generando vbraones orsonaes en e eje. Se quere deermnar a euaón de movmeno de eje en vbraones bres en orsón. FIG... Vbraones bres en orsón de un eje ruar onsderemos un eje homogéneo sorópo que sgue a e de Hooke. amemos: = ánguo de orsón de a seón ransversa en respeo a su posón de equbro. a euaón de movmeno para un segmeno dferena en orsón es: M I T T d T I - 6

7 Anáss de Ssemas Dnámos Para un eje ruar: I = J d donde: J= Momeno de Inera poar seón rasversa = densdad de maera de eje T J. Uzando: GJ T GJ T GJ - - en - se obene: -5 = G / Veodad de propagaón de a onda orsona.. Vbraones ransversaes en feón de barras prsmáas Para anazar e probema se uzan dos pos de vga: a vga de Euer-Bernou a vga de Tmoshenko Modeo de vga de Euer- Bernou Ese modeo es e más smpe pues desprea e efeo de: as deformaones por esfuerzo de ore. as neras a a roaón as euaones de movmeno para un eemeno de vga d de a fgura.5 son: F m -6 7

8 Anáss de Ssemas Dnámos 8 M M Vd M d p M z V M -7 FIG..5. Vga de Euer-Bernou someda a una arga dnáma reparda -7 en -6: Uzando a euaón de a eása: se obene: p A EI -8 S EI es onsane Modeo de vga de Tmoshenko Ese modeo oma en uena ano a deformaón por ore omo a nera a a roaón. Suponendo que a seón ransversa se manene pana se obene: A p V Ad dv V V p

9 Anáss de Ssemas Dnámos EI m EI p J p J m EI A J kag kag kag kag Souón vga Euer roaón Inera a a Deformaón anguar por ore Efeo ombnado de ore e nera a a roaón p.. Vbraones bres de vgas de Euer a souón de -8 para p= se puede obener uzando e méodo de separaón de varabes es der: f Y -9 reempazando euaón -9 en -8 se obene: EI A Y d Y d d f e f d - Se obene de a euaón - dos euaones dferenaes: a souón para a prmera euaón es: - a souón para a segunda euaón es de a forma: Y = A e r - reempazando - en a euaón on: - se obene a euaón araerísa: r r r r r j j - 9

10 Anáss de Ssemas Dnámos Por o ano a souón genera suma de as souones de euaón -: j j e e e e Y osh h os Y obenéndose: Bos A osh h os f Y -5 as onsanes os son deermnadas de as ondones de borde sguenes: V M en Eremo bre M en apoado Eremo en Eremo emporado Ejempo. Deermnar as freuenas nauraes modos de vbrar en feón de a vga smpemene apoada de a fgura.6 FIG..6. Vga de ejempo Apando as ondones de borde:

11 Anáss de Ssemas Dnámos osh h os osh h os h h h A EI EI A Y Fgura.7 muesra as dos prmeras freuenas modos de vbrar de a vga FIG..7. Dos prmeros modos de vbrar en feón de una vga apoada en sus eremos Ejempo Deermne as freuenas nauraes de una vga emporada en un eremo omo se muesra en fgura.8

12 Anáss de Ssemas Dnámos FIG..8. Vga emporada en un eremo Apando as ondones de borde: se obene un ssema de euaones homogéneas as uaes enen souón uando e deermnane de os oefenes =. Haendo e deermnane de os oefenes gua a ero se obene: os osh uas souones para resovendo e probema numéramene son : 875/ 696 / 785/ EI A on = se puede deermnar para ada e modo de vbrar de ssema de euaones. Noa: A gua que para as vbraones ongudnaes de as barras as onsanes A B son deermnadas de as ondones naes.