Ejercicios sobre Relaciones Constitutivas Criterios de Fluencia

Transcripción

1 Uniersidad Naional de Córdoba Faulad de Cienias Exaas, Físias, y Naurales Deparameno de Esruuras Cáedra de Meánia de las Esruuras Ejeriios sobre Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia Federio Pino 009

2 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia Ejeriio No. 8 Una probea de un maerial elásio se enuenra onfinada laeralmene y someida a un inremeno de ensión erial,. Deerminar el inremeno de ensión en direión horizonal. x x 3 x 1 Soluión: Figura 1. Ejeriio 8 Dado que exise resriión laeral, ε 11, ε 33 = 0. Considerando la euaión onsiuia orrespondiene a : E ν = = ε + ε + ε + ε 1+ ν 1 ν E ( 1 ν ) = = ε 1+ ν 1 ν Esribiendo las euaiones onsiuias para 11, 33 : E ν h = = ε + ε + ε + ε 1+ ν 1 ν E ν h = 33 = ε 1 + ν 1 ν Reemplazando ε en funión de : ( 1+ ν)( 1 ν) E E ν h = 1+ ν 1 ν 1 ν Simplifiando: ν h = 1 ν De esa manera, el inremeno de ensiones horizonales para un maerial elásio resringido laeralmene, es proporional al inremeno de ensiones eriales, siendo el faor de proporionalidad una funión del módulo de Poisson del maerial. 1/11

3 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia Un aso freuene en la práia ingenieril releane a ese ejeriio es el de los depósios de suelos de gran exensión, los uales suelen ser onsiderados onfinados laeralmene. La meánia de suelos radiional onsidera que las ensiones eriales y horizonales en reposos son proporionales, siendo el faor de proporionalidad, K 0. = K h0 0 0 Sin embargo, el faor K 0 es, para el aso de suelos granulares, una funión del ángulo de friión, ya que las ensiones se originan durane la formaión del depósio de suelos, mediane proesos generalmene inelásios. Sin embargo, para el rango de desarga (ejemplo, suelos sobreonsolidados por desarga), se puede onsiderar la relaión elásia para obener las ensiones en la masa de suelo omo: ν h = K00 1 ν O onsiderando la relaión de sobreonsilidaión de suelos, OCR: = = 0 OCR 0 ν h = KOCR OCR 1 ν 0 1 Dado que K 0 es generalmene mayor a ν/(1-ν), puede erse que la relaión de ensiones se e inremenada on el alor de OCR, fenómeno que es reonoido por la meánia de suelos. Ejeriio No. 9 Se iene un perno de aero del ipo A35, de 1/ de diámero someido a las fuerzas de la Figura (ignorar posible flexión). Considerando una disribuión uniforme de ensiones, se pide: a) Verifiar la ondiión de fluenia mediane el rierio de Von Mises. b) Verifiar la ondiión de fluenia mediane el rierio de Tresa x x 3 x Aero: y = 6500 /m Soluión: Figura. Ejeriio 9 /11

4 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia Las ensiones exisenes no nulas son: N T1 T 33 = 13 = 3 = A A A donde A = π m = m de esa manera: = =3157 = = 1184 = = m m 1.67m m 1.67m m a) En el aso de Von Mises, la ondiión de fluenia puede esribirse omo: ( ) ( ) ( ) ( ) y = m m m m m donde puede erse que el maerial no enra en fluenia, siendo el margen de un 40% para que se produza la misma. b) En el aso del rierio de Tresa, es oneniene rabajar en el plano que oniene a la resulane de T: x x 3 x Las ensiones no nulas resulan, enones: = =3157 = = m m 1.67m m /11

5 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia De esa manera, puede noarse que una de las ensiones prinipales es igual a ero, ya que sólo hay ensiones en el plano definido por la resulane de ore, T, y la fuerza normal, N. Las oras dos ensiones prinipales resulan de la onsruión del írulo de Mohr en el plano definido por T y N. Eso sólo es así uando no exisen ensiones fuera del plano onsiderado = 143 = m m m m = = = 143 = m m m m = + + De esa manera, el rierio de Tresa puede esribirse omo: y = m m m m donde puede erse que el maerial no enra en fluenia, siendo el margen de un 35% para que se produza la misma. Cabe desaar que el rierio de Von Mises india un mayor margen de seguridad debido a que pone menor énfasis en la influenia de las ensiones de ore. Para el aso de un ensayo de ore puro, las ondiiones de fluenia según Von Mises y Tresa son, respeiamene: Von Mises: 3 τ = = y y y 1 y y Tresa: τ = = y y y 1 y y Donde puede erse que el rierio de Von Mises arroja alores de ensión de ore admisible un 15.5% mayores que Tresa. Ejeriio No. 10 Una probea de hormigón ensayada a ompresión simple muesra una resisenia úlima de 40 /m. A fines de limiar el alor del ángulo de friión resulane, se onsidera una resisenia a la raión igual a 1/7 de la resisenia a la ompresión. Se pide deerminar: a) Parámeros para definir superfiie de fluenia de Mohr Coulomb b) Para una ensión de 300 /m, on un onfinamieno igual a 15 /m, deerminar si la probea se rompe. ) Deerminar la ensión úlima para un onfinamieno igual al 5% de la ensión prinipal menor (= máxima de ompresión). 4/11

6 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia Soluión: a) En el aso de maeriales friionales, ales omo suelos o granos, se realizan ensayos riaxiales a disinos onfinamienos, de los uales surgen direamene los parámeros resienes y φ. En el aso de los hormigones, generalmene se rabaja on la resisenia a la ompresión simple. Para el aso de hormigones, enones, se deerminan los parámeros y φ en funión de las resisenia a ompresión y raión de la siguiene manera: Compresión: = = 0 = Las ondiiones de fluenia son: ( ) os( φ) ( ( ) os( φ) ( ( ) os( φ) ( Para el aso de ompresión, la primera euaión se umple auomáiamene, mienras que las úlimas dos resulan idénias: ± os φ sin φ Considerando que =, ± os φ + sin φ El aso que onrola es uando: = os φ + sin φ Por lo que: os = 1 sin Traión: ( φ ) ( φ ) = = 0 = Las ondiiones de fluenia son: 5/11

7 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia ( ) os( φ) ( ( ) os( φ) ( ( ) os( φ) ( Para el aso de raión, la segunda euaión se umple auomáiamene, mienras que la primera y úlima resulan idénias: ± os φ sin φ Considerando que =, ± os φ sin φ El aso que onrola es uando: = os φ sin φ Por lo que: os = 1 + sin ( φ ) ( φ ) De esa manera, la relaión enre la resisenia a la raión y a la ompresión, deerminan el ángulo de friión: os φ 1+ sin φ 1+ sin φ = N = = 1 sin φ os φ 1 sin φ N 1 sin ( φ ) = N + 1 Para el aso en onsideraión: sin ( φ) = = φ = asin = 0.848rad = La ohesión puede obenerse por ualquiera de las euaiones de ompresión o raión: os( φ ) = 40 = = = 45.3 m 1 sin φ m Por lo ano, los parámeros de Mohr Coulomb que definen el omporamieno de la probea de hormigón son: o 6/11

8 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia o φ = 48.6 = 45.3 m b) Para el aso en que exise un onfinamieno de 15 /m y una ensión axial de 300 /m : = 300 m = = 15 m Las ondiiones de fluenia son: ( ) ( φ) ( ) ( φ) ( ) ( φ) ( ) ( φ) ( ) ( φ) ( ) ( φ) ± = 0 os + sin = 8.5 ± =± 85 os + sin = 96.3 ± =± 85 os + sin = 96.3 Como puede erse, las ondiiones se umplen, por lo que el maerial se maniene en el rango elásio. ) Para el aso de un ensayo de ompresión on onfinamieno igual al 5% de la ompresión mayor: = = = 0.05 Para que el maerial enre en fluenia, se debe umplir alguna de las siguienes ondiiones: ± ( ) = os( φ) ( + ± ( ) = os( φ) ( + ± = os φ + sin φ Reemplazando, y noando que las úlimas dos euaiones resulan iguales: ± 0 = m ± 0.95 = m El menor alor posiio de que erifia las ondiiones de fluenia (noar que ha sido definido posiio para ompresión ya que = ) resula de la segunda euaión: 7/11

9 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia Ejeriio No = = m m Por lo ano, se onluye que exise un imporane inremeno (54%) de la resisenia a la ompresión, aún uando el onfinamieno es sólo del 5%. Se onsidera una superfiie de hormigón, on las propiedades obenidas del ejeriio No. 10, sobre la ual se apoya una arga uniformemene disribuida en una zona irular de 30 m de radio. R q x x 1 x 3 Figura 3. Ejeriio 11 Considerando al hormigón omo un medio semi-infinio, on módulo de Poisson, ν = 0.18, la disribuión de ensiones bajo la línea enral de la zona argada esá dada por: 3 x 3 = q 1 x3 + R q 1 ( + ν ) x h = ( 1+ ν) + R x x 3 ( R + x3 ) siendo las resanes ensiones nulas. Considerando una arga q = 450 /m, se pide deerminar si se produe fluenia en el hormigón a profundidades de x 3 =0, 30, y 60 m. Soluión: Reemplazando en las euaiones de disribuión de ensiones, y noando que = y = h : z = h = - os(φ)-( + )sin(φ) Fluenia? [m] [/m ] [/m ] [/m ] [/m ] No nminene No 8/11

10 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia Puede noarse que hay fluenia inminene a una profundidad de 30 m, mienras que en el reso de los punos no se produe fluenia. Cabe desaar que el maerial se enuenra más próximo a la fluenia a profundidades de 30 y 60 m que a niel superfiial debido a la rápida disminuión del efeo de onfinamieno en profundidad. Se desaa, ambién, que la ensión apliada que produe fluenia inminene en algunos punos de la masa de hormigón es muy superior a la resisenia a la ompresión simple del maerial (450 s 40 /m ). Una forma de isualizar esos resulados en profundidad, es grafiando las ariables: 1 1 νν = + φ 1 ν s = ( ) os( φ) sin las uales represenan los punos de los írulos de Mohr más eranos a la línea de falla (er Figura 4), juno a la rea de fluenia definida por: = φ νs f νν f an Los resulados esán indiados en la Figura 5, donde puede erse que los punos más eranos a la línea de falla se enuenran por debajo de la superfiie ν s [/m] νν, νs νν [/m] Figura 4. Definiión de νν, νs 9/11

11 Meánia de las Esruuras 07/05/009 Relaiones Consiuias Crierios de Fluenia ν s [/m] x 3 > x 3 = 0 50 x 3 = 75 m νν [/m] Figura 5. Variaión de νν, νs en profundidad s. superfiie de fluenia 10/11