Tema 4. Relatividad especial

Transcripción

1 Tema 4. Relaividad espeial Segunda pare: Cinemáia relaivisa. Prinipio de relaividad espeial Como nos demuesra nuesra experienia físia, odos los observadores ineriales deben ser equivalenes, no sólo respeo a la dinámia, omo ya desubrió Newon, sino ambién respeo a la propagaión de la luz. Eso implia que la veloidad de la luz debe ser la misma en odas direiones, independienemene del esado de movimieno del observador, probado que sea un observador inerial. Y eso nos lleva ineludiblemene al prinipio de relaividad de Einsein: odos los observadores ineriales son físiamene equivalenes, así que no puede realizarse ningún experimeno físio que disrimine de alguna forma los observadores ineriales enre sí. Una de las onseuenias del prinipio de relaividad es que el iempo deja de ser un onepo absoluo, ya que ada observador mide su iempo propio. La experienia diaria nos muesra que dos relojes sinronizados siempre mararán el mismo iempo, sea ual sea su movimieno relaivo. Pero esa experienia esá adquirida en un onexo muy reduido, uando la veloidad relaiva es pequeña frene a la veloidad de la luz. Manener que esa sinronizaión se produe inluso a veloidades relaivas eranas a la veloidad de la luz va en onra del prinipio de la onsania de la veloidad de la luz. Por ano, el iempo es una anidad relaiva, que depende del amino reorrido por el observador.. Proporionalidad enre inervalos de iempo Consideramos los dos observadores ineriales mosrados en la figura. Uno de ellos, O, se enuenra en reposo en la posiión x = 0 en odo insane de iempo. El oro, O, se mueve on veloidad onsane V a lo largo del eje x, y su posiión medida por el observador O es x= x0 + V. iempo O Señal luminosa τ O x 0 x

2 Debido a la uniformidad del movimieno enre los dos observadores ineriales y de la onsania de la veloidad de la luz, si uno de ellos emie señales luminosas a inervalos de iempo, el oro observador reibirá las señales a inervalos de iempo τ medidos en su propio sisema de referenia, omo muesra la figura. De esa manera se umple la llamada proporionalidad enre inervalos τ = K donde K es una onsane que depende sólo de la veloidad relaiva enre los dos observadores, y no de su posiión relaiva. Si la proporión es igual a la unidad, ambos observadores esán en reposo relaivo. Si es mayor que la unidad, los observadores se alejan enre sí, y si es menor que la unidad, los observadores se aeran enre sí. Además, si el observador en movimieno ambia el senido de su movimieno, la nueva onsane de proporionalidad será K = K Así, se omprueba que la propagaión de la luz es muy diferene de la propagaión del sonido, que enía en uena la veloidad del ransmisor y del reepor (efeo Doppler no relaivisa). En ese ema, la eoría de la relaividad se va a desarrollar pariendo del prinipio de relaividad y de la proporionalidad de inervalos emporales, ya que nos apora una visión más físia que el desarrollo formal de la relaividad espeial a parir de las fórmulas de ransformaión de Lorenz. La uilidad de la proporionalidad de inervalos radia en lo siguiene. En los ejemplos práios raados en relaividad, sólo es posible sinronizar los relojes de dos observadores en movimieno relaivo en el insane que ambos observadores se enuenren en el mismo puno del espaio, que omaremos omo origen de oordenadas. Así, según muesra la figura, la proporionalidad de los inervalos de iempo y τ iempo O Señal luminosa τ O es equivalene a la proporionalidad enre el insane de emisión de una señal medido por un observador inerial O, y el insane de reepión τ de esa señal por oro observador inerial O, medido por ese observador O. A parir de aquí, uilizamos el onepo de la proporionalidad de inervalos en ese senido. x

3 3. Transformaión de Lorenz Un sueso relaivisa se define omo un aoneimieno que en el espaio-iempo iene una oordenada espaial y una oordenada emporal (se supone que el movimieno se resringe a una dimensión). La ransformaión de Lorenz es el onjuno de fórmulas que define la relaión x, de un sueso relaivisa medidas por un observador O en enre las oordenadas reposo, y las oordenadas ( x, ) uniforme on veloidad V. Se esriben en la forma x = γ x V medidas por un observador O en movimieno Vx = γ donde hemos inroduido el faor γ definido por γ = > V Para obener la relaión inversa basa susiuir las oordenadas primadas por las oordenadas sin prima y ambiar de signo a la veloidad relaiva, ya que el observador en reposo se mueve on veloidad V respeo al observador en movimieno. 4. Conraión de la longiud Una de las onseuenias del aráer relaivo del iempo es la onraión de la longiud. La disania medida por un observador en reposo depende del esado de movimieno del objeo medido. En pariular, la disania medida deree al aumenar la veloidad del objeo. Ese fenómeno puede esudiarse direamene a parir de la ransformaión de Lorenz. Imaginemos el movimieno uniforme on veloidad V de una barra homogénea. Cualquier observador unido a la barra mide una longiud propia L 0. Calulamos la longiud L de la barra medida por el observador O en reposo. Tomando inremenos en la ransformaión de Lorenz, obenemos x = γ x V Ahora enemos que idenifiar el signifiado de x, x, reordando la noión de sueso relaivisa. Así, x será la separaión espaial de dos suesos relaivisas ualesquiera que sirvan para medir la longiud de la barra desde el puno de visa del observador ligado a la barra. Por ejemplo, se pueden enviar sendas señales a los

4 exremos de la barra, y medir el iempo de reorno. Obviamene, x = L0. De forma análoga, x= L. Además será la diferenia de iempo enre los suesos relaivisas aneriores desde el puno de visa del observador en reposo. Es fáil ver que = 0 pueso que el observador en reposo onoe exaamene la longiud de la barra uando reibe simuláneamene las señales desde sus punos exremos. Por ano, hemos esableido que la longiud visa por el observador en reposo saisfae L0 = γ L En general, se esablee ese fenómeno en su signifiado inverso L= L0 < L0 γ Es deir, un observador en reposo siempre mide una longiud menor que la longiud medida por el observador en movimieno (ligado a la barra). 5. Dilaaión del iempo De forma análoga, el movimieno del observador produe una variaión en el iempo medido. De nuevo, ese fenómeno puede expliarse pariendo de la ransformaión de Lorenz Vx = γ Para ello, neesiamos preisar un poo más la noión de iempo, subrayando el aráer inrínseo que iene para ada observador individual. Hablamos de iempo propio de un observador omo el iempo medido para suesos que ourren en su sisema de referenia, respeo a los uales el observador esá en reposo. Relaionamos así el iempo propio τ medido por el observador en movimieno on el iempo propio medido por el observador en reposo. En la fórmula anerior, orresponde al iempo propio τ del observador en movimieno si los suesos ourren en su sisema de referenia. Respeo al observador en reposo, la posiión de ese sisema de referenia del observador en movimieno saisfae x= V. Por ano, = τ si x= V. Enones, la relaión enre los iempos propios queda esableida en la forma V V τ = γ γ = Inroduiendo el valor del faor γ, obenemos τ = < γ Es la dilaaión del iempo: para un observador en movimieno, el iempo ransurre más lenamene que para un observador en reposo.

5 6. Adiión relaivisa de veloidades Ese resulado es el análogo relaivisa al eorema de Galileo de adiión de veloidades, en la forma v = v + V. Para ello, imaginamos el movimieno uniforme de x, medidas por un observador un móvil uyas oordenadas espaio-emporales sean O en reposo, y ( x, ) medidas por un observador O en movimieno uniforme on veloidad V. Por ano, la veloidad (uniforme) del móvil respeo a ambos observadores será x v = x v = Ya que ambos observadores ienen un movimieno relaivo uniforme, las oordenadas espaio-emporales medidas respeo a ellos esán relaionadas por la ransformaión de Lorenz. Haiendo uso de ella, podemos obener el resulado x γ ( x V) x V v = = = Vx Vx γ Dividendo numerador y denominador por, e inroduiendo la veloidad del móvil respeo al observador en reposo, obenemos el eorema de adiión relaivisa de veloidades v V v = Vv que oinide on el resulado no relaivisa si las veloidades son muho menores que la veloidad de la luz. 7. Suesos propios e impropios Un sueso propio es el sueso relaivisa uyas oordenadas espaio-emporales para dos observadores en movimieno relaivo uniforme esán relaionadas mediane la ransformaión de Lorenz. Son los suesos para los uales no han variado las ondiiones exernas desde su omienzo hasa su finalizaión. En pariular, son suesos propios odos los suesos insanáneos, que duran un solo insane de iempo (salida de una nave, emisión de una señal). Un sueso impropio es el sueso relaivisa para el ual han variado las ondiiones exernas desde su omienzo hasa su finalizaión. Por ejemplo, la emisión desde la Tierra de una señal a una nave en movimieno y su reepión por la nave. La nave no se enuenra en la misma posiión en el insane de emisión que en el insane

6 de reepión. Eso implia que las ondiiones exernas han ambiado para la señal, desde su envío hasa su reepión. Para relaionar las oordenadas espaio-emporales respeo a observadores en movimieno relaivo de un sueso impropio no podemos haer uso de la ransformaión de Lorenz. Se debe resolver el problema apliando la proporionalidad de inervalos de iempo y la onsania de la veloidad de la luz. Problemas resuelos 4. Una anena emie ondas de radio on inervalos de iempo T. Los impulsos son reflejados por un auomóvil, y regresan a la anena on inervalos de iempo T. Calular la veloidad del auomóvil, suponiendo que es onsane. Nos fijamos en un deerminada onda de radio que se emie enre los insanes = 0 y = T. Si el primer frene de onda se refleja en el auomóvil en el insane uando ése se enuenra a una disania x de la anena, y el úlimo frene de onda se refleja en el insane uando el auomóvil se enuenra a una disania x de la anena, enones la veloidad del auomóvil, supuesa onsane, debe ser igual a la disania reorrida enre las dos reflexiones, dividida por el iempo ransurrido enre las dos reflexiones x x V = Según el prinipio de onsania de la veloidad de la luz, la onda se propaga on veloidad onsane. Enones, la disania de la anena al auomóvil debe ser igual a la disania reorrida por la onda desde su emisión hasa su reflexión. Obenemos así la relaión para el primer frene de onda x = x0 + y análogamene para el úlimo frene de onda x = x + T 0 siendo x 0 la posiión del auomóvil en el insane iniial respeo al origen de oordenadas loalizado en la anena. Además, ya que el movimieno de la onda es uniforme, debe ardar el mismo iempo en llegar al auomóvil que en volver a la anena después de la reflexión. Deduimos así el reorrido del primer frene de onda: se emie en = 0, se refleja en el iempo y regresa a la anena en el iempo. Análogamene, el úlimo frene de onda se emie en = T, se refleja en el iempo y regresa a la anena en el iempo T + ( ' T), después de la reflexión. Con eso, el período T on que reibe la anena la onda reflejada saisfae T = T + T

7 on lo ual la diferenia de los iempos de reflexión vale T+ T = y de aquí, la disania reorrida por el auomóvil enre las reflexiones del primer y úlimo frene de onda, es T T x x = ( T) = ( ) T = Por ano, la veloidad del auomóvil es x T T V = = T + T Si el auomóvil se aleja de la anena, V > 0, enones T > T, y la señal se rerasa. Si el auomóvil se aera a la anena, V < 0, enones T < T, y la señal se adelana. 4.7 Un reloj se mueve on veloidad V, respeo de un reloj en reposo. Se sinronizan ambos relojes en el insane iniial =0, uando el reloj en movimieno pasa por delane del reloj en reposo. En el insane se emie una señal desde el reloj en reposo, que llega al reloj en movimieno en un iempo propio τ. Hallar la relaión enre y τ, y el insane en el que la onda reflejada por el reloj en movimieno llega al reloj en reposo. La onda se envía en el insane, se refleja en el insane (insane τ en el reloj en movimieno), y llega de nuevo al reloj en reposo en el insane. Como el movimieno enre los relojes es uniforme, exise una proporionalidad enre los inervalos de iempo para los dos relojes. Y ya que los relojes esán sinronizados en el insane iniial, la proporionalidad se esablee enre los disinos insanes de iempo. Se saisfae τ = K = Kτ on lo ual, la onsane de proporionalidad K resula ser K = Esudiamos ahora la relaión enre el iempo de emisión, el iempo de reflexión, y el iempo de reepión. En virud del aráer uniforme del movimieno relaivo, y de la onsania de la veloidad de la luz, el iempo de reflexión es el iempo medio enre la emisión y la reepión + =

8 Por oro lado, para que se produza la reflexión en el insane deerminado, es neesario que la disania reorrida por la señal desde el reloj en reposo sea igual a la disania reorrida por el reloj en movimieno desde el insane iniial. Eso es V = ( ) on lo ual V = De forma análoga, obenemos la relaión enre el insane de reflexión y el insane de reepión V = + Una vez deerminada la relaión enre los iempos de emisión, reflexión y reepión, la onsane de proporionalidad K resula ser + V K = > V De aquí, obenemos el valor desonoido del insane de reepión en la forma + V = K = V Si el reloj en movimieno se aerara al reloj en reposo, la onsane de proporionalidad sería, on el ambio de V por V y la relaión de iempos quedaría V K = = + V K τ = K = K τ 4.8 Una esrella se aleja de la Tierra on veloidad V. Emie una radiaión on longiud de onda λ 0 medida en su sisema de referenia. Calular la longiud de onda λ de la radiaión reibida en el sisema de referenia de la Tierra, y su aproximaión en el aso no relaivisa V.

9 Sea T 0 el período de la radiaión emiida, medido en el sisema de referenia de la esrella. El período de la radiaión que inide en la Tierra se obiene de la proporionalidad de inervalos de iempo medidos en los dos sisemas. Si es el insane de la emisión del primer pulso de onda, medido en el sisema de referenia de la esrella, ese pulso llega a la Tierra en el insane erresre + V τ = K = V Si es el insane de emisión del úlimo pulso de onda, medido en el sisema de referenia de la esrella, ese pulso llega a la Tierra en el insane erresre + V τ = K = V Por ano, la relaión enre los períodos de la radiaión emiida por la esrella y reibida en la Tierra es + V T = τ τ = K( ) = KT = T V 0 0 Inroduiendo la longiud de onda de la radiaión λ = T, y en virud que la veloidad de la luz no depende del esado de movimieno del observador, obenemos la relaión enre las longiudes de onda + V λ = λ0 V Es el efeo Doppler relaivisa. Cuando la esrella se aleja de la Tierra, V > 0, λ > λ0, la radiaión reibida en la Tierra sufre un orrimieno del espero haia el rojo (longiudes de onda mayores). Si la esrella se aera a la Tierra, V < 0, λ < λ0, la radiaión reibida en la Tierra sufre un orrimieno del espero haia el azul (longiudes de onda menores). Cuando la veloidad de la esrella es muho menor que la veloidad de la luz, podemos haer la aproximaión on lo ual / V V + + / V V + + V 0 V 0 V λ = λ λ λ0 V + + y enemos el efeo Doppler no relaivisa, esudiado en la primera pare de ese apíulo.

10 4.9 Un reloj se mueve on veloidad V, respeo de un reloj en reposo. Se sinronizan ambos relojes en el insane iniial =0. Calular el iempo τ que india el reloj en movimieno, si el reloj en reposo india un iempo. Para relaionar los iempos medidos en los dos sisemas de referenia podemos uilizar ualquier sueso relaivisa, que nos permia uilizar el prinipio de proporionalidad de inervalos y la onsania de la veloidad de la luz. Supongamos que enviamos una señal luminosa desde el reloj en reposo en el insane haia el reloj en movimieno. La señal se ve reflejada en el insane para el reloj en reposo, y en el insane τ para el reloj en movimieno. La señal reflejada llega de nuevo al reloj en reposo en el insane. Por ano, nuesro sueso relaivisa será la llegada de la señal al reloj en movimieno. Como el reloj en movimieno se mueve on veloidad onsane respeo del reloj en reposo, debe exisir una proporionalidad enre los inervalos de iempo medidos por el reloj en movimieno y los inervalos de iempo medidos por el reloj en reposo. Es deir, si el reloj en reposo envía una señal de período T, el reloj en movimieno reibe la señal on período KT, medido en su sisema de referenia. Apliamos ese onepo a la emisión de la onda en el insane. Por ano, para el reloj en reposo la onda se emiió en el inervalo de iempo enre = 0 y =. Por la proporionalidad de inervalos, la señal debe reibirse por el reloj en movimieno en el inervalo de iempo enre τ = 0 y τ = K. Como los relojes esán sinronizados en el iempo iniial, la proporionalidad de inervalos equivale a la proporionalidad enre los insanes de emisión por pare del reloj en reposo y reepión por pare del reloj en movimieno. Es deir, la señal se emie por el reloj en reposo en el insane, y se reibe por el reloj en movimieno en su insane τ = K. De forma análoga, la señal se refleja en el reloj en movimieno en el insane τ, y se reibe de vuela en el reloj en reposo en su insane = Kτ. Por ano, la relaión enre los iempos de emisión, reflexión y reepión es on lo ual τ = K = Kτ τ = Ese úlimo resulado puede ompararse on el iempo de la reflexión medido por el reloj en reposo + = Como ya vimos en el problema 4.7, los iempos, en funión del iempo medido por el reloj en reposo son

11 V = V = + Enones, la relaión enre los iempos medidos por ambos relojes es τ = V e inroduiendo el faor γ, obenemos el resulado final τ = < γ Hemos omprobado que el iempo medido por el reloj en movimieno es menor que el iempo medido por el reloj en reposo. Exise una dilaaión del iempo para un observador en movimieno, respeo a un observador en reposo. 4.0 Una barra de longiud L 0 en su sisema de referenia, se mueve on veloidad V en la direión de su eje, respeo a un reloj en reposo. Cuando su exremo rasero A pasa por el reloj en reposo, ése emie una señal luminosa haia un espejo fijado en el exremo delanero B. La señal se refleja, reorre de nuevo la barra y vuelve al reloj en reposo. Calular el insane T de reepión de la onda luminosa según el reloj en reposo, y de aquí obener la longiud de la barra en el sisema en reposo. En el sisema de referenia fijado a la barra, la señal luminosa arda un iempo τ en regresar al puno de parida A, dado por L τ = 0 De la proporionalidad enre los inervalos de iempo medidos en ambos sisemas, si pare del puno A en el insane τ, el insane de reepión en el sisema en reposo es T = Kτ = + V L 0 V Sea L la longiud de la barra medida en el sisema en reposo. La disania d reorrida por la señal luminosa en el sisema en reposo es d = T y debe ser igual al doble de la longiud de la barra, L, más la disania desde el exremo A al reloj en reposo VT, en el momeno T. Por ano, d = L+ VT De esas dos euaiones, despejamos la longi ud de la barra en el sisema en reposo L= ( V) T

12 Inroduiendo el valor de T y el faor γ obenemos L0 + V L= ( V) = L0 < L0 V γ La longiud de un uerpo en movimieno medida en un sisema en reposo es menor que la longiud real, medida en el sisema de referenia ligado al uerpo. Exise una onraión de la longiud debida al movimieno de un uerpo. 4. La luz de una señal proedene del enro de una barra en reposo de longiud L 0, alanza sus exremos simuláneamene. Calular el iempo, medido en un reloj en reposo, si la barra se mueve on veloidad V según su eje. Sea L la longiud de la barra en el sisema en reposo. La disania enre la señal luminosa emiida y el exremo izquierdo de la barra disminuye una disania + V en ada segundo. El iempo que arda en llegar al exremo izquierdo es L iz = ( + V) desde el momeno del desello. La disania enre la señal emiida y el exremo dereho de la barra, disminuye V en ada segundo. El iempo que arda en llegar al exremo dereho es L d = ( V) El iempo de reraso es (la señal alanza el exremo izquierdo anes) L LV = d iz = V V = + V Debido a la onraión de la longiud, para el sisema en movimieno, la longiud de la barra es L= L0 γ on lo ual, el reraso emporal en la reepión de la onda luminosa es LV 0 = 0 γ V La onlusión es que la simulaneidad de suesos iene aráer relaivo, y depende del sisema de referenia. 4. Dos asronaves viajan on veloidad relaiva V. Pasado un iempo desde el enuenro de las dos naves, una de ellas A desubre que un aseroide se enuenra a una disania x. Calular las oordenadas ' y x' del aseroide, medidas por la ora nave B.

13 Para deear el aseroide, ambas naves deben emiir señales luminosas que se reflejen en el aseroide y regresen a ada nave. Sea el iempo de la emisión por la nave A, el iempo de reflexión por el aseroide y x la disania enre la nave A y el aseroide en el momeno de la reflexión. Sea el iempo de reepión por la nave B de la señal enviada por la nave A en el insane, el iempo de reflexión de la señal por el aseroide según la nave B y x la disania enre la nave B y el aseroide en el momeno de la reflexión. Se umple x = para la nave B, y x= para la nave A. Por la proporionalidad de los iempos medidos por A y por B, obenemos la relaión enre los insanes de emisión por la nave A y de reepión por la nave B = K on lo ual + V + V x = = V V Después de reflejarse en el aseroide, la señal vuelve a ada nave en los iempos x = + x = + Ahora se saisfae la relaión inversa de iempos = K on lo ual V V x = = + + V + V Ya que la veloidad de la luz es onsane en odo el proeso, el iempo y posiión del aseroide según la nave A saisfaen + = x = De aquí obenemos la ley de ransformaión de Lorenz, para el paso de oordenadas de espaio-iempo enre dos sisemas ineriales que se mueven on veloidad relaiva V. Para la variable emporal esribimos

14 Vx = γ donde hemos inroduido el faor γ definido por γ = y para la variable espaial V x = γ x V 4.3 Una asronave A pare de la Tierra on una veloidad V en el insane que sus relojes y los de la Tierra señalan el valor ero. Al abo de un iempo T según los relojes de la Tierra, pare una segunda nave B a una veloidad U. Suponiendo que U es mayor que V, deerminar el insane respeo de los relojes de la Tierra en el que la segunda asronave alanza a la primera. Deerminar el insane en el que B alanza a A medido por la Tierra, el insane en que parió la nave B de la Tierra, según el reloj en A, el insane en que B alanza a A, según los relojes de A, y la disania a la que se enonraba A de la Tierra uando parió B, en el sisema de referenia de A. Deduir enones la veloidad de B medida en A. Las dos naves se mueven on veloidad uniforme respeo a la Tierra. Enones, respeo a la Tierra, la nave B alanza a la nave A uando las disanias reorridas por ambas naves respeo de la Tierra sean iguales. El iempo de vuelo de A será a una veloidad V y el iempo de vuelo de B será T a una veloidad U. Por ano, U ( T) = V de donde obenemos UT = U V Tomamos un sisema de referenia S fijo en la Tierra, y un sisema S' móvil, fijo en A, que se mueve respeo de la Tierra on veloidad V. La ransformaión de Lorenz que liga las oordenadas espaio-emporales de ambos sisemas es Vx = γ y x = γ x V En =0, los relojes de la Tierra y de A esán sinronizados. Enones, si el reloj de la Tierra mara un iempo T, y la posiión de la Tierra en su sisema de referenia es x=0, el reloj en A mara el iempo

15 V 0 τ γ = T = γt En el insane en que B alanza a A, los relojes de la Tierra maran el iempo, a una disania de la Tierra V. Ese sueso se produe respeo a A, en el insane dado por VV UT V τ = γ γ = U V y los relojes de A maran el iempo (de nuevo x=0, en la Tierra), V τ = γ = γut U V En el sisema de referenia de A, la disania x' a la Tierra, uando el reloj de la Tierra mara el iempo y el espaio x=0, esá dada por la ransformaión de Lorenz x = γvt Por ano, uando sale B, (el iempo es T), la nave A disa de la Tierra una disania D (en módulo) medida en A, D= γvt De los dos resulados aneriores, vemos que respeo al sisema de referenia de A, la nave B arda un iempo τ τ en alanzarla, y debe reorrer una disania D para ello. Por ano, deduimos que la veloidad (uniforme) de B, medida por A es D U V W = = τ VU τ que oinide on la fórmula relaivisa de adiión de veloidades. 4.4 Dos naves viajan on veloidades opuesas sobre una esaión espaial. Son esigos de dos aoneimienos A y B, que onforme a las observaiones de la nave, se produen durane el iempo, y onforme a las observaiones de la nave, durane el iempo pero en senido inverso (primero B luego A). Calular el iempo y el lugar de los suesos, según el sisema de referenia de la esaión espaial y omprobar si A y B ienen relaión de ausalidad. Supongamos que en el sisema de referenia de la esaión espaial, el sueso B uvo lugar a una disania x 0 del sueso A, después de un iempo 0. Para ello, uilizando la ransformaión de Lorenz enre la esaión espaial y las dos naves, se debe umplir

16 nave : Vx = γ 0 0 Vx0 nave : = γ 0 + De las dos euaiones aneriores despejamos el iempo medido en el sisema de referenia de la esaión espaial 0 = 0 y la posiión del sueso B en ese mismo sisema de referenia x0 = γv En el sisema de referenia de la esaión espaial, los dos suesos ourren simuláneamene en disinos punos del espaio. No pueden por ano ener una relaión de ausa-efeo. Son suesos independienes. 4.5 Una asronave de longiud L 0 en su sisema de referenia, pare de la Tierra on veloidad V. Más arde, se emie ras ella una señal luminosa que llega a la ola del ohee en el insane, según los relojes de la asronave y de la Tierra. Deerminar uándo llega la señal a la abeza del ohee, según los relojes del mismo y según los relojes de la Tierra. La señal se refleja en la abeza del ohee y se dirige a la ola del ohee. Deerminar uándo alanza la ola del ohee según los relojes de la nave y de la Tierra. Respeo al sisema ligado al ohee, la disania que debe reorrer para llegar a la abeza es L 0, maneniéndose el ohee en reposo respeo a su propio sisema de L0 oordenadas. El iempo neesario es τ =. Además, después de reflejarse, el iempo que arda la señal en volver a la ola es el mismo τ. Respeo al sisema de la Tierra, el ohee iene una longiud onraída L= L / γ 0. Cuando la señal se dirige haia la abeza del ohee su veloidad es y la abeza se aleja de la señal on veloidad V. Por ano, la veloidad relaiva enre la señal y la abeza del ohee es V. El iempo que arda en llegar a la abeza, medido por la Tierra, será L L0 = = V γ ( V) y de forma análoga para el viaje de la abeza a la ola, la veloidad relaiva es + V, y el iempo empleado es L L0 = = + V γ + V