Sobre los Operadores de Multiplicación y Composición en espacios Weak L p. Fabio Andrés Vallejo Narvaez

Transcripción

1 Sobre los Oeradores de Multilicación y Comosición en esacios Weak L Fabio Andrés Vallejo Narvaez Universidad Nacional de Colombia Deartamento de Matemáticas Bogotá Colombia 22

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3 Sobre los Oeradores de Multilicación y Comosición en esacios Weak L Fabio Andrés Vallejo Narvaez Tesis o trabajo de grado resentado como requisito arcial ara otar al título de: Magister en Ciencias Matemáticas Director: René Erlín Castillo PhD Línea de Investigación: Análisis Teoría de oeradores Esacio de funciones Universidad Nacional de Colombia Deartamento de Matemáticas Bogotá Colombia 22

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5 Agradecimientos Al rofesor René Erlín Castillo or su guía y constante motivación en este trabajo A mi familia en Bogotá or ser una comañía constante durante todo este roceso A mis adres y hermanos ues sin su aoyo esto no habría sido osible

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7 vii Resumen Enelresente trabajoseestudian losesacios WeakL enarticularseestablecen resultados de interolación y convergencia También se caracterizan la comacidad e invertibilidad del oerador multilicación y se enuncia una condición que establece la continuidad del oerador comosición definido sobre el esacio WeakL Palabras clave: Oerador Multilicación y Comosición Oerador Comacto función distribución Esacios WeakL Abstract In a self-contained resentation we discuss the Weak L saces Invertible and comact multilication oerators on Weak L are characterized Boundedness of the comosition oerator on WeakL is also characterized Keywords: Comact oerator multilication and comosition oerator distribution function WeakL saces

8 Contenido Agradecimientos Resumen V VII Introducción 2 2 Esacios Weak L 3 2 La función distribución y los esacios Weak L 3 22 Convergencia en medida 9 23 Un resultado de interolación 5 24 Normabilidad de WeakL ara > 25 3 Oeradores Multilicación y Comosición en WeakL 37 3 Oerador Multilicación Oerador Comosición 45 Aéndice 49 Bibliografía 5

9 Introducción Uno de los asectos relevantes de los esacios Weak L es que éste osee una estructura suficientemente concreta la cual lo hace atractivo ara el estudio de ciertos oeradores Los esacios WeakL son esacios de funciones estrechamente relacionados con los esacios L Es difícil establecer el origen exacto de los esacios WeakL al arecer surgieron alrededor del estudio cada vez más reiterado de los esacios L El libro de Colin Benett y Robert Sharley[BS88] incluye una buena resentación de los esacios Weak L sin embargo lo hacen a artir del conceto de función reordenamiento En el resente trabajo se estudian los esacios WeakL desde la conceción de función distribución Por esta razón el rimer caítulo de este trabajo contiene una detallada exosición de estos esacios de funciones en términos de la función distribución En el caítulo 2 del resente trabajo se establece en rinciio una caracterización de la continuidad del oerador multilicación M u en términos de la función u y se muestra que el conjunto de todos los oeradores multilicación sobre WeakL es una subálgebra maximal abeliana de B Weak L el álgebra de Banach de todos los oeradores lineales acotados sobre Weak L Usando este hecho se caracteriza la invertibilidad del oerador M u sobre WeakL Los oeradores multilicación comactos también se abordan en este caítulo Para un estudio sistemático del oerador multilicación sobre diferentes esacios véase [Abr78] [ADV6] [CT9] [Axl82] [KG] [SK77] [Tak93] En este caítulo también se enuncia una condición necesaria y suficiente ara la acotación del oerador comosición C T Para el estudio del oerador comosición en diferentes esacios de funciones véase [CHKM4] [Kum97] [KK5] [Nor78] [SK77] [SM93]

10 2 Esacios Weak L 2 La función distribución y los esacios Weak L Definición 2 Sea f una función medible definida en X la función distribución de la función f se denota or D f y se define sobre [ como sigue D f λ := µ {x X : fx > λ} 2 La función distribución D f rovee información acerca del tamaño de la función f ero no acerca del comortamiento de f en cercanias de un unto dado Por ejemlo una función definida en R n y cada una de sus traslaciones tienen la misma función distribución De la definición 2 se sigue que D f es una función decreciente de λ no necesariamente en el sentido estricto además de tener roiedades de subaditividad y monotonía tal y como se enuncia en el siguiente teorema: Teorema 2 Sea X µ un esacio de medida f y g funciones medibles sobre X µ Entonces D f goza de las siguientes roiedades Para todo λ λ 2 > : g f µ-ct imlica D g D f ; λ 2 D cf λ = D f ara todo c C/{}; c 3 D f+g λ +λ 2 D f λ +D g λ 2 ; 4 D fg λ λ 2 D f λ +D g λ 2 Demostración Véase [Gra8] A continuación fijemos un arámetro < < y consideremos el esacio de medida Xµ Definamos el esacio WeakL así { WeakL := f FXµ : µ {x X : fx > λ} } C λ { } C = f FXµ : D f λ λ

11 4 2 Esacios Weak L araalgunaconstantec > dondefxµeselconjuntodetodaslasfuncionesµ medibles Observe que WeakL = L En adelante se usará las notaciones L y WeakL ara referirnos al mismo esacio antes definido Dado R ositivo del teorema 2 se sigue que Weak L es un esacio vectorial sobre el conjunto de los números comlejos Incluso odemos hablar de esacio de Banach ara ciertos valores ositivos de tal y como se detalla más adelante Note que en la definición del esacio Weak L los valores de C estan siemre acotados inferiormente or or tanto el infimo de estos valores existe ara toda f WeakL Este hecho ermite definir una función que induce una estructura toológica en dicho esacio Definición 22 Para todo f Weak L se define la función L a valores reales no negativos así: { } C f L = ínf C > : D f λ λ El siguiente teorema resenta una exresión alternativa ara la función definida en 22 y que en adelante se seguirá usando Proosición 2 Sea f WeakL con < < entonces Demostración Definamos y Como f WeakL entonces f L = suλ D f λ λ = ínf / = suλ{d f λ} / { C > : D f α / B = suα D f α α> D f α ara algún C > luego { C > : D f α C α } C α C α > } α

12 2 La función distribución y los esacios Weak L 5 De otro lado α D f α B así {α D f α : α > } está acotado sueriormente or B con B R Por lo tanto { C λ = ínf C > : D f α α > } B 22 α Ahora sea ǫ > entonces existe C tal que λ C < λ+ǫ y así luego D f λ C λ < λ+ǫ λ suλ D f λ < λ+ǫ / suλ D f λ λ B < λ 23 or 22 y 23 B = λ La roosición 2 es de gran relevancia ués ermite definir de manera rigurosa los esacios WeakL Definición 23 Sea < < El esacio L se define como el conjunto de todas las funciones µ medibles f tales que f L es finito donde WeakL = { } f FXµ : f L < / f L = suλ D f λ Dos funciónes se consideran iguales en L si son iguales µ ct Los esacios WeakL comrenden un terreno más vasto que los esacios L como se detalla a continuación

13 6 2 Esacios Weak L Proosición 22 Para todo < < y cualquier f L tenemos que f L f L y or tanto L L Esto es consecuencia de la desigualdad de Chebyshev Demostración Si f L entonces λ µ {x X : fx > λ} { f >λ} f du X f du = f L es decir µ {x X : fx > λ} f L 24 λ luego f L lo que significa que L L 25 A continuación de 24 tenemos que su / {λ D f λ} fl fl fl Observación 2 La inclusión 25 es estricta en efecto sea fx = x / definida en el esacio de medida m donde m es la medida de Lebesgue Note que { m x : luego f WeakL ero or tanto f / L } x > λ = m {x : x < λ } = 2λ / dx dx = x / x A continuación se establecen roiedades imortantes de la función L que sugieren una estructura de esacio normado ara L todas ellas son consecuencia del teorema 2

14 2 La función distribución y los esacios Weak L 7 Proosición 23 Sean fg L Entonces: cf L = c f L ara cualquier constante c 2 f f +gl 2 + L g / L 3 f L = si y sólo si f = µ-ct Demostración Para c > tenemos que µ {x X : cfx > λ} { = µ x X : fx > λ } c luego entonces y así cf L = su = = D cf λ = D f λ c su / λ D cf λ / λ λ D f c / su c w D f w = c cw> / su w D f w cw> 2 Note que {x X : fx+gx > λ} cf L = c f L { x X : fx > λ } { x X : gx > λ } 2 2 Por tanto µ {x X : fx+gx > λ} { µ x X : fx > λ } 2 { +µ x X : gx > λ } 2 luego λ D f+g λ λ D f λ 2 λ D f+g λ 2 [su / suλ D f+g λ 2 +λ D g λ 2 λ D f λ+suλ D g λ f L + g L / f +g L 2 f L + g L / ]

15 8 2 Esacios Weak L 3 Es claro que si f = µ-ct entonces f L = Suongamos que f L = entonces / suλ D f λ luego λ D f λ ara todo λ > or lo tanto esto imlica que f = µ-ct D f λ = ara todo λ > Esta roosición sugiere que la función L es una norma ara el esacio WeakL sin embargo no se cumle la desigualdad triángular En este caso hablamos de una cuasi-norma Definición 24 Una cuasi-norma sobre un esacio vectorial X es una alicación : X R tal que: i x ara todo x X ii x = si y solo si x = iii kx = k x ara k R y x X iv f +g C f + g ara todo x y X y C una constante indeendiente de x y Corolario 2 WeakL es un esacio vectorial cuasi-normado Demostración Consideremos la roiedad 2 de la roosición 23 note que si entonces de la roosición 23 se tiene f f +gl 2 + L g f 2 + gl L L / si < < entonces f +g L 2 f L + g L / [ f 2 2máx ] L g / L f = 2 + máx L gl f gl L Por tanto L no cumle la desigualdad triángular luego en virtud de la roiedades de la roosición 23 la función L constituye una cuasi-norma ara el esacio WeakL

16 22 Convergencia en medida 9 El siguiente resultado establece una interesante relación entre la norma L de los esacios L ylafuncióndistribución Estehecho sera degranutilidadaralademostracióndealgunas roiedades en los esacios WeakL dada la relación entre la cuasi-norma de este esacio con la función distribución Proosición 24 Sea f L con < < entonces: f L = λ D f λdλ Demostración En efecto f L = X = fx dµx fx λ dλdµx X = λ χ fx λdλdµx = X λ χ { x: fx >λ} xdµxdλ = X λ χ { x: fx >λ} xdµxdλ X {x } = λ µ : fx > λ dλ = λ D f λdλ En la cuarta línea se uso el teorema de Fubini 22 Convergencia en medida A continuación discutiremos algunas nociones de convergencia La siguiente noción es de imortancia en teoría de robabilidad

17 2 Esacios Weak L Definición 25 Sean f f n n = 23 funciones medibles definidas sobre el esacio de µ medida Xµ la sucesión {f n } n N converge en medida a f f n f si ara todo ǫ > existe n N tal que µ {x X : f n x fx > ǫ} < ǫ ara todo n n 26 Observación 22 La definición anterior es equivalente a la siguiente afirmación Para todo ǫ > lím µ {x X : f n x fx > ǫ} = 27 n Es claro que 27 imlica 26 La convergencia se tiene ya que ara un ǫ > cualquiera fijamos < δ < ǫ y alicamos 26 ara este δ Existe un n N tal que µ {x X : f n x fx > δ} < δ ara n n Como µ {x X : f n x fx > ǫ} Concluimos que µ {x X : f n x fx > δ} µ {x X : f n x fx > ǫ} < δ ara todo n n Dado que n se deduce que lím suµ {x X : f n x fx > ǫ} δ 28 n Como 28 se sigue ara todo < δ < ǫ 27 se tiene haciendo δ Observación 23 La convergencia en medida es una roiedad mas general que la convergencia en los esacios L o L con < < como indica la siguiente roosición Proosición 25 Sea < y f n f funciones en L Si f n f están en L y f n f en L entonces f n f en L 2 Si f n f en L entonces f n µ f Demostración Fijemos < < De la roosición 22 ara todo ǫ > tenemos que: µ {x X : f n x fx > ǫ} f ǫ n f dµ ǫ µ {x X : f n x fx > ǫ} f n f L suλ D fn fλ f n f L X

18 22 Convergencia en medida y así f n f L f n f L Esto muestra que la convergencia en L imlica convergencia en WeakL El caso = es trivial 2 Dado ǫ > hallamos un n N tal que ara todo n > n se tiene que / f n f L = suλ D fn fλ < ǫ tomando λ = ǫ concluimos que ǫ µ {x X : f n x fx > ǫ} < ǫ + + for n > n Por tanto µ {x X : f n x fx > ǫ} < ǫ ara n > n Ejemlo 2 Fijemos < < Sobre [] definamos las funciones f kj = k / χ j k j k k j k Considere la sucesión {f f 2 f 22 f 3 f 32 f 33 } Observe que m {x [] : f kj x > } = k or tanto esto es f kj m lím m {x [] : f kj x > } = k Igualmente note que fkjl = su su k / λ m {x [] : f kj x > λ} / k = k Lo que imlica que f kj no converge a en L

19 2 2 Esacios Weak L Otra roiedad muy útil en el estudio de los esacios WeakL es que toda sucesión convergente en L tiene una subsucesión que converge untualmente µ ct al mismo límite Esto es consecuencia del siguiente resultado Teorema 22 Sea f n y f funciones medibles a valor comlejo definidas sobre el esacio µ de medida XAµ y suonga que f n f Entonces existe una subsucesión de f n que converge a f µ ct Demostración Para cada k = 2 elijamos inductivamente n k tal que µ {x X : f nk x fx > 2 k } < 2 k 29 con n < n 2 < < n k < Definamos ahora el conjunto } A k = {x X : f nk x fx > 2 k 29 imlica µ k=m A k µa k k=m 2 k = 2 m 2 ara cada m = 23 de 2 tenemos que µ A k < 2 k= A{ artir de 2 y 2 concluimos que la sucesión de medidas de los conjuntos } A k converge a k=m m N µ A k = 22 m= k=m Para finalizar la demostración observe que el conjunto de medida nula en 22 contiene al conjunto de todos los x X ara los cuales f nk no converge untualmente a f Observación 24 En muchas situaciones dada una sucesión de funciones será necesario obtener de ella una subsucesión convergente Esto uede lograrse vía el siguiente resultado que es una variante del teorema 22 Consideremos rimero la siguiente definición Definición 26 Unasucesión defuncionesmedibles{f n } n N definidasenel esacioxaµ es de Cauchy en medida si ara todo ǫ > existe n N tal que ara n m > n se tiene que k=m µ {x X : f n x f m x > ǫ} < ǫ

20 22 Convergencia en medida 3 Teorema 23 Sea XAµ un esacio de medida y {f n } n N una sucesión de funciones a valor comlejo definidas sobre X Si {f n } n N es una sucesión de Cauchy en medida entonces existe una subsucesión de f n que converge untualmente µ ct Demostración La demostración es similar a la del teorema 22 Para cada k = 23 elijamos inductivamente n k tal que µ {x X : f nk x f nk+ x > 2 k } < 2 k 23 y de tal manera que n < n 2 < n 3 < < n k < n k+ < Definamos el conjunto } A k = {x X : f nk x f nk+ x > 2 k Tal como en la demostración del teorema imlica µ A k = 24 Para x / k=m m= k=m A k y i j j m y j lo suficientemente grande se tiene que i f ni x f nj x f nl x f nl+ x l=j i 2 l 2 j 2 j c Esto imlica que la sucesión {f ni x} i N es de Cauchy ara todo x en el conjunto A k k=m y or lo tanto converge ara tales x Definiendo la función lím f n j x si x / A k j m= k=m fx = si x A k l=j m= k=m Concluimos que f nj f casi en todas artes Proosición 26 Si f Weak L y µ {x X : fx } < entonces f L q ara todo q < Por otra arte si f WeakL L entonces f L q ara todo q > Demostración Si < de la roosición 24 se tiene que X fx q dµ = q λ q D f λdλ = q λ q D f λdλ+q λ q D f λdλ 25

21 4 2 Esacios Weak L Note que Luego así de 25 ara q < se tiene que X µ {x X : fx > λ} µ {x X : fx } µ {x X : fx > λ} C ara todo λ fx q dµ qc λ q dλ+qc Concluimos que f L q siemre y cuando q < Si f WeakL L entonces X fx q dµ = q λ q D f λdλ = q M ] λ q dλ = C + qcλq < q λ q D f λdλ+q donde M = esssu fx Note que µ {x X : fx > λ} = ara λ > M como f WeakL L tenemos q M Luego ara q > se tiene X fx q dµ = q M λ q D f λdλ = y D f λ λ q D f λdλ q f L Concluimos que f L q siemre y cuando q > M M f L λ λ q dλ = λ q D f λdλ q f L M q q Proosición 27 Sea f WeakL WeakL con < < entonces f L < Demostración Elijamos x tal que D f x < y escribamos f de la siguiente manera f = fχ { f x } +fχ { f >x } = f +f 2 Observe que f f and f 2 f Como f WeakL WeakL en articular f WeakL y f 2 WeakL Es claro que f es acotada or otra arte µ {x X : f 2 x } = µ {x X : fx > x } = D f x < Por roosición 26 se tiene que f L y f 2 L Como L es un esacio vectorial concluimos que f L

22 23 Un resultado de interolación 5 23 Un resultado de interolación Un resultado clásico de interolación en L dice que toda función en el conjunto L Xµ L q Xµ ertenece al esacio L r Xµ ara todo < r < q El mismo resultado se tiene ara los esacios L La siguiente roosición es un mejoramiento de la roiedad de interolación en esacios WeakL Proosición 28 Sea < < q y f L L q Entonces f ertenece a L r ara todo < r < q y f r Lr r + r /r f r q q L q r f r q L q 26 Demostración Tomemos q < Sabemos que f Definamos D f λ mín B = f q L λ L q f L Estimemos ahora la norma L r de f Por se tiene que f r L r = r r = r B λ r D f λdλ λ r mín f q L q 27 λ q q 28 f L f q L q λ λ q λ r f L dλ+r = r f r q L B r + r q r r = r + r q r B dλ λ r q f q L q dλ 29 f q L q B r q f q r r q f q q L L q Observe que la integral converge ya que r > y r q < El caso q = no es comlicado Como D f λ = ara λ > f L sólo necesitamos la desigualdad D f λ λ f L

23 6 2 Esacios Weak L con λ f L en la estimación de la rimera integral en 29 Por tanto se tiene f r L r r f f r r L L que no es otra cosa que la desigualdad 26 cuando q = Esto comleta la demostración Note que 26 tendría constante si L y L q son reemlazados or L y L q resectivamente En muchas ocasiones es conveniente trabajar con funciones que ertenecen a L localmente o dicho de otra manera funciones localmente integrables Esto motiva la siguiente definición Definición 27 Para < < el esacio L loc Rn m o simlemente L loc Rn donde m denota la medida de Lebesgue es el conjunto de todas las funciones f Lebesgue-medibles definidas en R n que satisfacen fx dx < 22 K ara cualquier subconjunto comacto K de R n Funciones que satisfacen 22 con = se llaman funciones localmente integrables sobre R n La unión de todos los esacios L R n ara está contenida en L loc Rn Más aún ara < < q < tenemos lo siguiente: L q R n L q loc Rn L loc Rn FuncionesenL R n ara < < uedennoserlocalmenteintegrablesporejemloconsideremos la función fx = x α n χ {x: x } la cual ertenece a L R n cuando < n/n+α observe que f no es integrable sobre cualquier conjunto abierto en R n que contiene al origen En lo que sigue necesitaremos el siguiente resultado Proosición 29 Sea {a j } j N una sucesión de reales ositivos a θ a j a θ j ara θ Siemre que a θ j < θ b a θ j a j ara θ < Siemre que a j <

24 23 Un resultado de interolación 7 c θ N a j N θ N a θ j cuando θ < d N a θ j θ N N θ a j cuando θ Demostración a Procediendo or inducción note que si θ entonces θ además a +a 2 a y a +a 2 a 2 de donde a +a 2 θ a θ y a +a 2 θ a θ 2 or lo tanto a a +a 2 θ a θ y a 2 a +a 2 θ a θ 2 Así a a +a 2 θ +a 2 a +a 2 θ a θ +aθ 2 luego tomando factor común en el lado izquierdo de la desigualdad anterior se tiene que a +a 2 θ a +a 2 a θ +aθ 2 a +a 2 θ a θ +a θ 2 Ahora suongamos verdadero que n θ a j n a θ j Como y se tiene que y n a j +a n+ a n+ n a j +a n+ n θ a j +a n+ n a j a θ n+ n θ n θ a j +a n+ a j

25 8 2 Esacios Weak L Por consiguiente n θ n n θ a j +a n+ a j +a n+ a θ n+ + a j n θ n θ a j +a n+ a θ n+ + a j n n+ a θ n+ + a θ j = a θ j En consecuencia si a θ j < tenemos que θ a j a θ j b Como a j < entonces lím j a j = lo cual imlica que existe n N tal que como θ < se tiene que < a j < if j n a θ j < a j ara cada j n Esto imlica que a θ j < Consideremos la sucesión {a θ j} j N con θ entonces < θ obtenemos θ a θ θ j = a j y así a θ j θ a θ j a j c Por la desigualdad de Hölder se tiene que alicando la arte a N N a j θ N a θ j θ = N θ θ N a θ j θ

26 23 Un resultado de interolación 9 Entonces N θ N a j N θ a θ j d Nuevamente or la desigualdad de Hölder N N θ a θ j N θ N θ a θ θ j = N θ a j Proosición 2 Sean f f N funciones en L entonces a N f j N N f j L ara < L b N f j N L N f j L ara < < Demostración Primero que todo note que ara α > y N f ++ f N f +f 2 ++f N > α α N Por consiguiente { } { x X : f +f 2 ++f N > α x X : f > α } { x X : f > α } { N N x X : f N > α } N Luego esto es Así µ {x X : f +f 2 ++f N > α} D f j α N N α D fj N { µ x X : f j > α } N N f j L = su α> α D f j α = = N N α su α>α D fj N suα D Nfj α α> N N Nf j L = N f j L

27 2 2 Esacios Weak L Por tanto N N f j N f j L L Por roosición 29 arte a con < N f j N L b En la arte a se obtuvo que N f j L N < se tiene que N f j L N fj L Ahora como < < entonces < alicando la roosición 29 c se tiene que N N f j N L fj L NN = N N N f L j fj L Proosición 2 Sea f una función medible definida en Xµ y λ > definamos f λ = fχ { f >λ} y f λ = f f λ = f λ = fχ { f λ} a Entonces D fλ α = { D f λα = { Df α si α > λ D f λ si α λ si α λ D f α D f λ si α < λ b Si f L Xµ entonces fλ L = f λ L = λ λ α D f αdα+λ D f λ α D f αdα λ D f λ λ< f δ δ f dµ = α D f αdα δ D f α+λ D f λ λ

28 23 Un resultado de interolación 2 c Si f ertenece a L entonces f λ ertenece a L q Xµ ara q > y f λ ertenece a L q Xµ ara q < Por lo tanto L L +L siemre que < < < Demostración a Note que D fλ α = µ {x : fx χ { f >λ} x > α} = µ {x : fx > α} {x : f > λ} si α > λ entonces {x : fx > α} {x : f > λ} luego D fλ α = µ {x : fx > α} {x : f > λ} = µ {x : fx > α} = D f α Si α λ se tiene que {x : fx > λ} {x : f > α} or tanto Y así D fλ α = µ {x : fx > α} {x : f > λ} = µ {x : fx > λ} = D f λ D fλ α = { Df α si α > λ D f λ si α λ 22 A continuación consideremos D f λα = µ {x : fx χ { f λ} x > α} = µ {x : fx > α} {x : fx λ} si α λ entonces {x : f > α} {x : fx λ} = or tanto D f λα = Si α < λ se tiene D f λα = µ {x : fx > α} {x : fx λ} = µ {x : fx > α} {x : fx > λ} c = µ {x : fx > α}\{x : fx > λ} = µ {x : fx > α} µ {x : fx > λ} = D f α D f λ or consiguiente { D f λα = si α λ D f α D f λ si α < λ 222

29 22 2 Esacios Weak L b Si f L Xµ entonces fλ L = Por 22 se tiene que Además λ fλ L = f λ L = λ α D fλ αdα = α D f λdα+ λ α D f λαdα = λ α D fλ αdα+ α D f αdα = λ D f λ+ α D f λαdα+ λ α D fλ αdα λ α D f αdα α D f λαdα or 222 se obtiene λ λ f λ L = α D λ f α D f λ dα = α D f αdα λ D f λ A continuación f dµ = f dµ f dµ λ< f δ f >λ = f >δ f χ { f >λ} dµ f χ { f >δ} dµ X = f λ dµ X f δ dµ = X λ = δ = λ X α D f αdα+λ D f λ λ α D f αdα δ α D f αdα δ D f α+λ D f λ δ α D f αdα δ D f δ α D f αdα +λ D f λ δ D f δ c Sabemos que D f α f L α

30 23 Un resultado de interolación 23 or tanto si q > λ f λ q L q = q q λ α q D f αdα λ q D f λ f α q L dα λ q D α f λ En consecuencia f λ L q siemre que q > Ahora si q < entonces = q f L λ q q λq D f λ q f L λ q q < f λ q L q = q Luego f λ L q siemre que q < λ q f L α q D f αdα+λ q D f λ λ α q dα+λ q D f λ = q λq f +λ q D q L f λ < Finalmente como f L y f = f λ +f λ donde f λ L si < y f λ L si < Entonces L L +L ara < < < Proosición 22 Sea X µ un esacio de medida y E un subconjunto de X tal que µe < Entonces a si < q < se tiene que fx q dµ [ ] q µe f q ara f L q L E b Si µx < y < q < entonces L Xµ L L q Xµ

31 24 2 Esacios Weak L Demostración Sea f L entonces f q dµ E = q λ q µ {x E : fx > λ} dλ q q = [ [ µe] f L µe] f L λ q µedλ+q λ q µedλ+q [ [µe ] f L qµe+ q q [ µe] f L µe] f L λ q D f λdλ λ q f L λ dλ [µe ] f L q f L = [ µe ] q f q L + q [ ] q µe f q L q = [ ] q µe f q L q Por consiguiente b Si µx < entonces En consecuencia E X f q dµ [ ] q µe f q q f q dµ [ ] q µx f q q L L L q L L

32 24 Normabilidad de WeakL ara > Normabilidad de WeakL ara > La cuasi-norma L constituye un imortante herramienta ara establecer varias roiedades inherentes al esacio WeakL tal y como se ha hecho en las secciones recedentes sin embargo L no ermite establecer de manera rigurosa la estructura de esacio normado ara WeakL ese a que lo sugiere En este sentido y con el fin de establecer si WeakL es un esacio vectorial normado consideremos lo siquiente Sea XAµ un esacio de medida y < < Fijemos < r < y definamos f [ ] Lr = su µe r + <µe< E r f r dµ 223 donde el suremo se toma sobre todos los subconjuntos medibles E de X de medida finita Proosición 23 Sea f L entonces fl f Lr r f r L Demostración Por roosición 22 arte a con q = r se tiene que [ ] f Lr = su µe r + <µe< De otro lado or definición E f r dµ [ ] su µe r + [ ] r µe f r <µe< r [ ] = su µe r + r [ ] µe <µe< r r = f r L r r L r fl [ µe ] r + f r dµ r f Lr ara todo E A tal que µe < Ahora consideremos A = E { } x : fx > α donde

33 26 2 Esacios Weak L f L Observe que µa < Entonces f L r [ µa ] r + [ D f α ] r + A A f r dµ α r dµ r r = [ D f α ] r + α [ D f α ] r = α D f α Esto es y or tanto α D f α f Lr suα D f α f Lr α> En 223 tomemos > y fijemos r = Ahora definamos f L := f L es decir [ ] f L + = su µe <µe< E De la roosición 23 se tiene que { WeakL = f F Xµ : } f L < f dµ 224 dondef Xµ esel esacio detodaslasfunciones medibles Conesta redefinición deweakl odemos enunciar y demostrar el resultado que se quiere Corolario 22 Para > WeakL L es un esacio vectorial normado Demostración Veamos que L es una norma Por la roosición 23 f si y sólo si f L = Por otra arte de la roosición 23 se tiene que < f L f L luego f si y sólo si f L =

34 24 Normabilidad de WeakL ara > 27 Para demostrar la desigualdad triángular y la roiedad de dilatación de la norma considere la función cf +g donde f g WeakL y c C entonces de 224 se tiene [ ] cf +g L + = su µe cf +g dµ <µe< E [ ] + su µe c f + g dµ <µe< [ ] + c su µe <µe< = c f L + g L E E [ ] f dµ+ + su µe <µe< E En consecuencia WeakL L es un esacio vectorial normado g dµ Nota: Más que un esacio normado Weak L es un esacio de Banach Para los detalles véase [Gra8] Finalmente se a establecido la estructura de esacio normado ara esacios WeakL todo gracias a la definición de la norma 224 Pese a su utilidad teórica La comlejidad de su definición hace que en la ráctica esta norma resulte oco ertinenete ara establecer resultados concretos en esacios Weak L no obstante de la roosición 23 se concluye que la toología generada or la quasi-norma y la norma son equivalentes Por lo tanto ara efectos de simlicidad se sigue trabajando con la cuasi-norma L uesto que se tiene un conocimiento más detallado de ésta que de la roia norma Lema 2 Fatou ara L Para toda sucesión de funciones medibles g n sobre X se tiene líminf g n n L C líminf gn L n ara alguna constante C que deende solamente de Demostración líminf n g n L líminf n g n L [ ] = su µe r + <µe< [ ] su µe r + <µe< E E r lím inf g n dµ n r lím inf g n r dµ n r

35 28 2 Esacios Weak L Por el lema de Fatou [ ] su µe r + <µe< líminf n líminf n = r lím inf n [ ] su µe r + <µe< r gn r L r líminf n g n L E E g n r dµ g n r dµ r r Finalmente líminf g n r n L líminf gnl r n El siguiente resultado mejora la desigualdad del lema 2 Lema 22 Para toda sucesión de funciones medibles g n sobre X se tiene líminf g n n L líminf gnl n Demostración Como entonces y or tanto D líminf n gn λ líminf n D g n λ { } { } C > : líminf D g n λ C C > : D n λ líminf gn λ C n λ líminf g n { } n L = ínf C > : D líminf gn λ C n λ { } ínf C > : líminf D g n λ C n λ } = líminf n = líminf n ínf {C > : D gn λ C λ gnl

36 24 Normabilidad de WeakL ara > 29 Una regunta natural que surge en este estudio más aún desues de demostrar que ara > Weak L es un esacio normado es si es osible o no obtener el mismo resultado ara < < En este caso la cuasi-norma se comorta de manera diferente que cuando > tal y como muestra la siguiente roosición En [Gra8] se rueba que en efecto ara < < Weak L no se uede dotar de una norma Sin embargo L si induce una métrica en este esacio Proosición 24 Sea XAµ un esacio de medida y los arámetros < < < s < a Sea f una función medible sobre X Entonces { f s} f dµ s f L b Sean f j j m funciones medibles sobre X Entonces máx f j m fj j m L y además L c f ++f m L m 2 m fj L Demostración a Por la roosición 2 arte b con = se tiene que f dµ = f χ { f s} dµ { f s} X = f s dµ = X s s D f αdα sd f s α D f α α f L s dα dα α = s f L

37 3 2 Esacios Weak L b Sea máx f jx = f k x ara k m entonces j k D máx fj α = µ {x : máx f jx > α} j m = µ {x : f k x > λ} = D fk α ara algún k m m D fj α Entonces y or tanto c Observe que esto imlica que entonces { } x : f ++ f m > α { } = x : f ++ f m > α Luego α D máx fj α m suα D fj α máx j m f j L m f j L máx f j f + f 2 ++ f m j m { } { } x : máx f jx > α x : f ++ f m > α j m D f ++f m α = µ {x : f ++f m > α} { } } x : máx f jx α { x : máx f jx > α j m j m µ {x : f ++ f m > α} µ {x : f ++ f m > α} {x : máx f jx α} j m +µ {x : máx f jx > α} j m { } = µ x {x : máx f jx α} : f ++ f m > α j m +µ {x : máx f jx > α} j m { = µ x : f ++ f m } χ {x:máx fj α} > α +µ {x : máx f jx > α} j m

38 24 Normabilidad de WeakL ara > 3 Por desigualdad de Chebyshev D f ++f m α α f ++ f m dµ+d máx fj α = {x:máx f j α} m α m α {x:máx f j α} {x:máx f j α} f j dµ+d máx fj α máx f j dµ+d máx fj α j m Por la arte a se tiene m α {x:máx f j α} máx f j dµ+d máx fj α j m m α máx α f j + j m L m α máx f j + j m L Finalmente or la arte b se obtiene máx j m f j L m α máx j m f j L α m α D f ++f m α + máx f j j m m 2 = máx f j j m 2 m m f j L = m 2 m fj L L L Proosición 25 Desigualdad de Lyaunov ara Weak L Sea Xµ un esacio de medida Suonga que < < < < y = θ + θ ara algún θ [] Si f L L entonces f L y f L f θ L f θ L

39 32 2 Esacios Weak L Demostración Observe que α D f α = α θ+θ[ D f α ] = α θ α θ[ D f α ] θ + θ = α θ[ D f α ] θ α θ[ D f α ]θ Por tanto Finalmente = [ α D f α ] θ [α D f α ]θ [ ] θ [ α D f α suα D f α suα D f α α> α> [ f α D f α L ] θ [f ] θ L [ f ] θ suα D f α [f ] θ L α> L ] θ [ f f θ L f L f θ L L f θ L f θ L ] Teorema 24 Desigualdad de Hölder ara esacios Weak L Sea f j L j donde < j < y j k Sea = ++ k Entonces f f k L k j j k fjlj Demostración Consideremos fj Lj = con j k Sean x x n números reales ositivos tales que x x k = α

40 24 Normabilidad de WeakL ara > 33 entonces D f f k α = D f f k x x k D f +D f2 x x 2 ++D fk x k 225 como = j fj j su D L fj j j x j x j entonces j D fj x j x j or tanto D fj x j x j j for j k Luego odemos exresar 225 de la siguiente manera D f f k x x k x +x x k k A continuación definamos Fx x k = x +x x k k En lo que sigue usaremos multilicadores de Lagrange con el fin de obtener el mínimo valor de F sujeto a la restricción x x k = α Esto es fx x 2 x k = x +x x k k gx x 2 x k = x x 2 x k α Consideremos ahora Entonces se tiene F = λ g x = λx 2 x 3 x k 2 x 2 2 = λx x 3 x k j x j j = λx x 3 x k

41 34 2 Esacios Weak L or tanto Observe que x = λx x 2 x k 2 x 2 2 = λx x 2 x k j x j j = λx x 2 x k x x 2 x k = α 226 Por otro lado note que Ahora reemlazando 227 en 226 se obtiene x = j x j j ara 2 j k 227 ero x 2 = x 2 2 x x 3 3 k k k x k k x k = α 228 entonces odemos exresar 228 como sigue = 3 k k x k = α Y así Por tanto de aquí k x k k j j x = = α k [ k x = α j j α j j ]

42 24 Normabilidad de WeakL ara > 35 En consecuencia los x x k tal que [ x = α x j j = x j k j j ] 229 son los únicos untos críticos reales Para estos untos críticos reales usando 229 se obtiene x +x x k k = x + x ++ x 2 k = x [ ++ k ] = α [ k Por otro lado observe que odemos hacer que la función j j ] Fx x k = x ++x k k sujeta a la restricción x x 2 x k = α sea tan grande como se quiera En efecto si x = M α x 2 = M y x j = ara 3 j k tenemos que Fx x k = x +x x k k = M α M = M + +k 2 cuando M α M en consecuencia el unto crítico en 229 es un mínimo Por tanto

43 36 2 Esacios Weak L [ k D f f k α α ] j j así tenemos que [ k α D f f k α [ k α D f f k α j j ] j j ] uesto que fj Lj = f f k L k j j k fj Lj 23 En general si f j Lj donde j k hacemos g j = f j f j Lj y usamos 23

44 3 Oeradores Multilicación y Comosición en WeakL 3 Oerador Multilicación Sea FX el esacio de funciones a valor comlejo definidas sobre un conjunto no vacio X Sea u : X C una función tal que uf está en FX ara cada f FX entonces la tranformación f uf sobre FX se denota or M u En caso de que FX sea un esacio toológico y M u sea continua llamaremos a M u oerador multilicación inducido or u En esta sección caracterizaremos la continuidad e inversibilidad del oerador multilicación M u en términos de la acotación e inversibilidad de la función medible a valor comlejo u resectivamente Definición 3 Sea la función u : X C tal que u f es una función medible ara todo f WeakL entonces el oerador multilicación se denota or M u y se define sobre el conjunto de las funciones medibles como: M u f = u f Teorema 3 La transformación lineal M u : f uf sobre el esacio WeakL es acotada si y sólo si u es esencialmente acotada Más aún Mu = u Demostración Sea u L µ entonces se tiene que Mu f [ ] / L = suλ D Mufλ = suλ = suλ suλ [µ {x X : M u fx > λ} ] / [µ {x X : ufx > λ} ] / [ { µ x X : fx > λ u }] /

45 38 3 Oeradores Multilicación y Comosición en WeakL Note que { x X : ufx > λ } { x X : u fx > λ } Haciendo α = λ u se obtiene = { x X : fx > λ u } [ { }] / suλ µ x X : fx > λ u [ = suα u µ {x X : fx > α} ] / α> = u suα α> Por lo tanto hemos robado que = u f L [µ {x X : fx > α} ] / Mu f L u f L 3 Recírocamente suongamos que M u es un oerador acotado Si u no es esencialmente acotada entonces ara cada n N el conjunto E n = { x X : ux > n } tiene medida ositiva Por otra arte note que { x X : nχen x > λ } { x X : uχ En x > λ } luego Por lo tanto [ ] / suλ µ {x X : nχ En x > λ} [ / suλ µ {x X : uχ En x > λ}] n χen L Mu χ En L Esto es una contradicción ués M u es un oerador acotado Es claro que de 3 se tiene que Mu u 32 Luego ara ǫ > sea E = { } x X : ux > u ǫ Note que µe > Entonces { x X : u ǫ } { } χ E x > λ x X : uχ E x > λ

46 3 Oerador Multilicación 39 y or tanto En consecuencia así [ {x suλ µ X : u ǫ χ E x > λ }] / [ / suλ µ {x X : uχ En x > λ}] u ǫ χe Mu χ L E L u ǫ Mu χ E L χ E L Mu Por lo cual u M u 33 finalmente de 32 y 33 Mu = u Teorema 32 El conjunto de todos los oeradores de multilicación sobre WeakL es una subálgebra máximal abeliana del conjunto BWeakL el álgebra de todos los oeradores lineales acotados sobre WeakL Demostración Sea H = {M u : u L } y consideremos el roducto de oeradores M u M v = M uv donde M u M v H veamos que H es una álgebra Sea u v L entonces u u y v v or tanto uv v u esto imlica que el roducto definido es una oeración interna más aún el roducto usual de funciones es conmutativo asociativo y distributivo resecto a la suma al igual que el roducto or escalares Concluimos que H es una subálgebra de BWeakL Veamos que H es una subálgebra máximal es decir dado N BWeakL si N conmuta con H debemos demostrar que N H

47 4 3 Oeradores Multilicación y Comosición en WeakL Sealafunciónunidade : X Cdefinidacomoex = aratodox X yn BWeakL un oerador que conmuta con H y la función característica χ E del conjunto medible E Nχ E = N [M χe e] = M χe [Ne] = χ E Ne = Neχ E = M w χ E donde w = Ne De manera similar se tiene que Ns = M w s ara toda función simles 34 Veamos que w L razonando or contradicción suongamos que w / L or tanto el conjunto E n = { } x X : wx > n tiene medida ositiva ara cada n N Note que M w χ En x = wxχ En x nχ En x ara todo x X or el teorema 2 así D wχen λ D χen λ n λ suλ D wχen λ su λ D χen n haciendo α = λ n se tiene wχen L = su λ D wχen λ n suα D χen α α> = n χen L como χ En es una función simle entonces or 34 M w χ En = Nχ En se concluye que NχEn L n χen L or tanto el oerador N no es acotado contradicción En consecuencia w L y or el teorema 3 M w es acotado

48 3 Oerador Multilicación 4 Ahora bien dado f Weak L existe una sucesión creciente de funciones simles {s n } n N tales que lím n s n = f entonces or 34 se tiene Nf = N lím s n n = lím Ns n = lím n = M w M w s n n lím = M w f n s n Así Nf = M w f ara todo f WeakL concluimos que N H Corolario 3 El oerador multilicación M u es invertible si y sólo si u es invertible en L Demostración Sea M u invertible entonces existe N B WeakL tal que M u N = NM u = I 35 donde I reresenta el oerador identidad Veamos que N conmuta con H Sea M w H entonces alicando N a 36 y or 35 se sigue M w M u = M u M w 36 NM w M u N = NM u M w N NM w I = IM w N NM w = M w N se concluye que N conmuta con H y or el teorema 32 se tiene que N H en consecuencia existe g L tal que N = M g así M u M g = M g M u = I esto imlica que ug = gu = µ ct or lo cual u es invertible en L Suongamos ahora que u es invertible en L es decir u L or tanto M u M /u = M /u M u = M /uu en consecuencia M u es invertible en BWeakL = M = I

49 42 3 Oeradores Multilicación y Comosición en WeakL Lema 3 Suongamos que M u es un oerador comacto Para ǫ > definamos A ǫ u = { x X : ux ǫ } y WeakL [ Aǫ u ] = {fχ Aǫu : f WeakL } Entonces WeakL [ Aǫ u ] es un subesacio cerrado invariante de WeakL bajo M u Más aún es un oerador comacto M u WeakL[A ǫu] Demostración Sea h s WeakL [ Aǫ u ] y α β R Consideremos h = fχ Aǫu y s = gχ Aǫu donde fg WeakL entonces αh+βs = α fχ Aǫu +β gχaǫu = αf +βgχ Aǫu WeakL [ Aǫ u ] Lo cual significa que WeakL [ Aǫ u ] es un subesacio de WeakL Por otra arte ara todo h WeakL [ Aǫ u ] se tiene que M u h = uh = ufχ Aǫu = ufχ Aǫu donde uf WeakL Por lo tanto M u h WeakL [ Aǫ u ] es decir WeakL [ Aǫ u ] es un subesacio invariante de WeakL bajo M u Ahora mostremos que WeakL [ Aǫ u ] es un conjunto cerrado En efecto sea g una función erteneciente a la cerradura de Weak L [ Aǫ u ] entonces existe una sucesión {g n } n N en WeakL [ Aǫ u ] tal que g n g en WeakL Debemos demostrar que g ertenece a WeakL [ Aǫ u ] Note que g = gχ Aǫu +gχ A c ǫ u Veamos que gχ A c ǫ u = En efecto dado ǫ > existe n N tal que gχa c ǫ u L = g gn +g n χ A c ǫ u = g gn χ A c ǫ u L g gn L < ǫ L

50 3 Oerador Multilicación 43 En consecuencia gχ A c ǫ u = lo que significa que g = gχ Aǫu esto es g WeakL [ Aǫ u ] como se queria robar Para la demostración de que el oerador M u Weak L[A ǫu] del aéndice es comacto véase el teorema A Teorema 33 Sea M u BWeakL M u es comacto si y sólo si Weak L [ Aǫ u ] tiene dimensión finita ara todo ǫ > Demostración Si ux ǫ note que ufχaǫux ǫfχaǫux luego { } x X : ǫfχ Aǫux > λ {x X : } ufχaǫux > λ entonces Por tanto su D ufχaǫu λ D ǫfχaǫu λ λ [ D ufχaǫu λ ] / λ [ DǫfχAǫu λ] / λ [ D ufχaǫu λ ] / su λ [ D ǫfχaǫu λ] / ufχaǫu L ǫfχaǫu L = ǫ fχaǫu L M u fχ Aǫu L ǫ fχ Aǫu L 37 Ahora si M u es comacto entonces del lemma 3 se tiene que WeakL [ Aǫ u ] es un subesacio invariante cerrado de M u en consecuencia M u Weak L[A ǫu] Weak [ es un oerador comacto De 37 M u tiene rango cerrado en WeakL Aǫ u ] L[A ǫu] [ or tanto es invertible y en virtud de la comacidad se concluye que WeakL Aǫ u ] tiene dimensión finita [ Suongamos ahora que WeakL Aǫ u ] tiene dimensión finita ara cada ǫ > En articular ara todo n WeakL [A u] tiene dimensión finita entonces dado n se define n u n : X C

51 44 3 Oeradores Multilicación y Comosición en WeakL como Note que ux si ux n u n x = si ux < n M un f M u f = u n uf u n u f así { } { } x X : u n ufx > λ x X : u n u fx > λ or tanto en consecuencia Mun f M u f L u n u f L Mun f M u f L < f L n esto imlica que M un converge uniformemente a M u Como WeakL [A ǫ u] tiene dimensión finita entonces M un es un oerador de rango finito Por lo tanto M un es comacto ara cada n y así M u es un oerador comacto Teorema 34 Sea M u BWeakL M u tiene rango cerrado si y sólo si existe un δ > tal que ux δ µ ct en S = { x X : ux } donde S es el soorte de u Demostración Sea δ > tal que ux δ ae[µ] en S entonces ara todo f WeakL se tiene que {x X : } δfχ S x > λ {x X : } ufχ S x > λ y así D ufχs λ D δfχs λ Por tanto Mu fχ S L δ fχs L En consecuencia M u tiene rango cerrado Suongamos ahora que M u tiene rango cerrado entonces existe un ǫ > tal que ara todo f WeakL donde Sea E = { x S : ux < ǫ/2 } Mu f L ǫ f L WeakL S = { fχ S : f WeakL }

52 32 Oerador Comosición 45 SiµE > entoncesesosiblehallarunconjuntomedible F E talqueχ F WeakL S Por tanto ara λ > se tiene { x X : uχ F x } { > λ x X : ǫ χ 2 Fx } > λ luego En consecuencia D uχf λ Dǫ 2 χ F λ M u χ L F ǫ χ L 2 F lo cual es una contradicción se concluye que µe = Esto comleta la demostración 32 Oerador Comosición Sea XAµ un esacio de medida y la transformación T : X X tal que T A A ara cada A A Si µ T A = ara todo A A con µa = entonces T se llama una transformación no singular Sea Y un subconjunto medible de X y T : Y X una transformación medible entonces definimos la alicación lineal C T que va desde Weak L al esacio de todas las funciones medibles sobre X a valor comlejo asi: ara todo f WeakL CT f f Tx si x Y x = en otro caso Si C T es acotado con rango en WeakL decimos que C T es el oerador comosición sobre WeakL inducido or T En esta sección se enuncia una condición necesaria y suficiente ara la continuidad del oerador comosición C T definido en el esacio WeakL Teorema 35 Sea T : X X una transformación medible no singular Entonces la alicación C T : f f T inducida or T es acotada sobre Weak L si y sólo si existe una constante M > tal que µ T E MµE ara todo E A

53 46 3 Oeradores Multilicación y Comosición en WeakL Más aún CT = su <µe< E A µ T E / µe Demostración Suongamos que existe una constante M > tal que µ T E MµE ara todo E A Entonces Por lo tanto CT f L = suλ [µ {x X : ] / f Tx > λ} = suλ M suλ [ µ T {x X : fx > λ} ] / = M f L [µ {x X : fx > λ} ] / CT f L M f L Recírocamente suongamos que C T es acotado y sea E A si µe = entonces el resultado se tiene trivialmente Suongamos que µe < y consideremos la función característica χ T E entonces [ µ T E ] / su = suλ λ [µ {x X : χ T Ex > λ} ] / [µ {x X : χ E T x > λ} ] / = χe T L = CT χ E L como C T es acotado entonces existe M tal que CT χ E L M / χe L or tanto = M /[ µe ] / [ µ T E ] / M / [ µe ] / En consecuencia µ T E MµE ara todo E WeakL

54 32 Oerador Comosición 47 Ahora demostremos que µ En efecto sea N = su <µe< E A CT = su <µe< E A T E µe µ T E / µe / entonces µ T E / N ara todo E A µe µe or tanto µ T E N µe ara todo E A Ahora or la rimera arte de este teorema se tiene que CT f L N f L ara todo f WeakL En consecuencia luego CT f CT L = su f fl N CT su <µe< E A µ T E / 38 µe Por otra arte sea Entonces CT f L M = CT f CT L = su f Weak L fl f f L M ara todo f WeakL f En articular ara f = χ E tal que < µe < E A se tiene que f = χ E WeakL y CT χ E L χe L = µ T E / M µe

55 48 3 Oeradores Multilicación y Comosición en WeakL or lo tanto su <µe< E A µ T E / M = CT 39 µe Finalmente de 38 and 39 se obtiene CT = su <µe< E A µ T E / µe

56 Aéndice Sea X un esacio normado y T : X X un oerador Un subesacio V de X se dice invariante bajo T o simlemente T invariante si TV V Teorema A Sea T : X X un oerador comacto Si M es un subesacio de X cerrado e invariante bajo T entonces el oerador T la restricción de T a M es comacto M Demostración Sea {x n } n N una sucesión en M X entonces {x n } n N X Por tanto existe una subsucesión {x nk } k N de {x n } n N tal que Tx nk converge in X Como {x nk } M entonces Tx nk TM or tanto Tx nk converge en TM Por otra arte M es cerrado e invariante bajo T or tanto se tiene: TM M = M luego Tx nk converge en M en consecuencia T es comacto M

57 Bibliografía [Abr78] MB Abrahamese Lecture notes in Math Multilication oerators volume 693 Sringer Verlag New York 978 [ADV6] SC Arora G Datt and S Verma Multilication oerators on lorentz saces Indian Journal of Mathematics [Axl82] A Axler Multilication oerators on bergman sace Reine Angew Math [BS88] C Bennett and R Sharley Interolation of oerators Pure and alied math volume 29 Academic Press Inc New York 988 [CHKM4] Y Cui H Hudzik R Kumar and L Maligranda Comosition oerators in orlicz saces Austral Math Soc [CT9] [Gra8] [KG] [KK5] RE Castillo and E Trousselot Multilication oerator on l q saces Panamer Math 9 29 L Grafakos Classical Fourier Analysis Second edition volume 249 Sringer New York 28 BS Komal and S Guta Multilication oerators between orlicz saces Integral Equations and Oerator Theory 4 2 Rajev Kumar and Romesh Kumar Comact comosition oerators on lorentz saces math Vesnik [Kum97] R Kumar Comosition oerators on orlicz saces Integral Equations and Oerator Theory [Nor78] [SK77] E Nordgren Comosition oerators on Hilbert saces Lecture notes in Math volume 693 Sringer Verlag New York 978 RK Singh and A Kumar Multilication and comosition oerators with closed ranges Bull Aust Math Soc 6 977

58 Bibliografía 5 [SM93] [Tak93] RK Singh and JS Manhas Comosition oerators on function saces volume 79 North Holland Math Stud and Elsevier Science Publications Amsterdam New York 993 H Takagi Fredholm weighted comosition oerators Integral Equations and Oerator Theory 6 993