SERIES DE FOURIER RESPECTO DE SISTEMAS ORTOGONALES: ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA EN ESPACIOS DE LEBESGUE Y DE LORENTZ

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1 SERIES DE FOURIER RESPECTO DE SISTEMAS ORTOGONALES: ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA EN ESPACIOS DE LEBESGUE Y DE LORENTZ or Mario Pérez Riera Memoria resentada ara otar al grado de Doctor en Ciencias Matemáticas. Realizada bajo la dirección de los Dres. D. José Javier Guadalue Hernández y D. Francisco José Ruiz Blasco. Julio de 1989.

2 Esta tesis fue ublicada or la Universidad de Zaragoza: Publicaciones del Seminario Matemático García de Galdeano, sección 2, n o 24, Zaragoza, Lo que aquí aarece es una reedición hecha en LATEX, or lo que la aginación ha cambiado or comleto con resecto al original. Sin embargo, el contenido es exactamente el mismo y se ha mantenido el asecto siemre que ha sido osible, salvo que se han corregido varias erratas lingüísticas y actualizado dos referencias que en el momento de la ublicación de la tesis estaban endientes de aarecer. Además, es robable que con el cambio de formato (realizado, en arte, con la ayuda de rtf2latex2e y de Juan Luis Varona) se hayan introducido algunas erratas. Zaragoza, 31 de octubre de 24. Mario Pérez Riera Deartamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza 59 Zaragoza merez@unizar.es

3 SERIES DE FOURIER RESPECTO DE SISTEMAS ORTOGONALES: ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA EN ESPACIOS DE LEBESGUE Y DE LORENTZ Mario Pérez Riera Resumen: se estudia la convergencia en esacios L de las series de Fourier corresondientes a medidas que son suma de un eso conocido y una o varias deltas de Dirac, analizándose en articular el caso de los esos de Jacobi generalizados, Laguerre y Hermite generalizados. Asimismo, se aborda la acotación débil (o de L en L, ) y la acotación débil restringida (o de L,1 en L, ) de las series de Fourier relativas a los olinomios de Jacobi y al sistema de Bessel. En tercer lugar, se estudian roblemas relacionados con la convergencia en casi todo unto de la serie de Fourier, tanto ara sistemas articulares como ara el caso general. FOURIER SERIES WITH RESPECT TO ORTHOGONAL SYSTEMS: A STUDY OF THE CONVERGENCE IN LEBESGUE AND LORENTZ SPACES Abstract: we study the convergence in L saces of the Fourier series corresonding to measures which are sum of a known weight and one or more mass oints; in articular, the cases of generalized Jacobi, Laguerre and generalized Hermite weights are analysed. Also, we study the weak boundedness (or boundedness from L into L, ) and restricted weak boundedness (or boundedness from L,1 into L, ) of Fourier series relative to Jacobi olynomials and the Bessel system. Finally, we consider some roblems related to a.e. convergence of Fourier series, both for articular systems and for the general case. A.M.S. classification: 42C1, 33A65. Key words and hrases: orthogonal olynomials, mean convergence, weak convergence, a.e. convergence.

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5 El resente trabajo ha sido realizado en el Deartamento de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza, bajo la dirección de los Dres. D. José Javier Guadalue Hernández y D. Francisco José Ruiz Blasco, a quienes quiero manifestar mi sincero y rofundo agradecimiento or la ayuda que me han restado; sin ella, esta memoria no hubiera sido osible. Deseo exresar también mi gratitud hacia Juan Luis Varona Malumbres, or su ayuda y colaboración todos estos años. Quiero dar las gracias asimismo a quienes trataron de facilitar mi trabajo, en esecial a los comañeros del área de Análisis Matemático del Deartamento de Matemáticas.

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7 INTRODUCCIÓN Dado un esacio de medida (Ω, M, µ), se dice que un conjunto numerable {φ n } n contenido en L 2 (Ω, µ) (funciones de cuadrado integrable con valores en R o en C) es un sistema ortonormal si φ n φ m dµ = δ n,m n, m, Ω donde δ n,m = 1 si n = m y δ n,m = si n m. Por ejemlo, el sistema {e int } n Z es ortonormal sobre T, con la medida de Lebesgue: 2π e int e imt dt = δ n,m n, m Z. Dado un sistema ortonormal {φ n }, odemos asociar a cada función f L 2 (µ) la serie formal c k φ k, donde c k = fφ k dµ. k= El estudio de la convergencia a la función f de esta serie, denominada serie de Fourier de f en {φ n }, ha dado lugar a un amlio camo de investigación, dentro del cual se enmarca la resente memoria. El roblema se formula correctamente definiendo en L 2 (µ) los oeradores sumas arciales de la serie de Fourier, S n, dados or: n S n f = c k φ k. k= El esacio L 2 (µ) es de Hilbert; la teoría de esacios de Hilbert ermite demostrar fácilmente que S n f es la mejor aroximación en L 2 (µ) a la función f de todas las combinaciones lineales de {φ 1,..., φ n }. Si la clausura lineal de {φ n } es densa en L 2 (µ), se tiene entonces la convergencia de la serie de Fourier: S n f f en L 2 (µ), f L 2 (µ). Resuelto el roblema en L 2 (µ), odemos lantearlo en L (µ), 1 < < : si el sistema {φ n } es tal que φ n L (µ) L q (µ) (donde 1/+1/q = 1), tenemos definidos los oeradores S n en L (µ); en este caso, S n f f en L (µ), f L (µ)? Una condición natural revia es que el sistema {φ n } sea denso en L 2 (µ) (lo que imlica que lo es en L (µ) también). A diferencia del caso = 2, no existe solución general a esta cuestión. Uno de los rimeros resultados es que la convergencia en L (µ) de la serie de Fourier equivale a la acotación uniforme en L (µ) de los oeradores S n. Volviendo al ejemlo antes citado, {e int } n Z, la demostración de la convergencia de su serie de Fourier (que es la serie de Fourier clásica) ara 1 < < se debe vii Ω

8 viii Introducción a M. Riesz. En efecto, es una consecuencia de su célebre teorema que establece la acotación del oerador función conjugada: f L C f L. Otros sistemas ortonormales que han sido tratados frecuentemente son los formados or olinomios, relativos tanto a medidas sobre la circunferencia T como a medidas sobre R. Algunos sistemas articulares son los de Jacobi y Jacobi generalizados (ambos sobre el intervalo [ 1, 1]), los de Laguerre (sobre R + ) y los de Hermite y Hermite generalizados (sobre R). Para los sistemas de Jacobi, el estudio de la convergencia de la serie de Fourier fue realizado or Pollard ([P 1], [P 2]), Newman y Rudin ([NR]) y Muckenhout ([Mu 1]); este último demostró la convergencia de la serie de Fourier ara los sistemas de Laguerre y Hermite ([Mu 2], [Mu 3]). Para los sistemas de Jacobi generalizados, uede verse el trabajo de Badkov ([B]). Otro sistema ortonormal que odemos citar es el de Bessel (sobre el intervalo [, 1]), el cual no está formado or olinomios y ha sido estudiado or Benedek y Panzone ([BP 1], [BP 2]). Debemos recisar que en cado uno de estos casos la convergencia de la serie de Fourier no tiene lugar en todos los esacios L (µ), con 1 < <, sino en rangos menores de. Los métodos emleados ara demostrar la convergencia en media requieren, en la mayoría de los ejemlos citados, conocer diversas estimaciones de las funciones ortonormales, así como resultados sobre la acotación de diversos oeradores, algunos de ellos similares a la transformada de Hilbert. En relación con esto último, Varona ([V]) ha emleado la teoría de esos A ara obtener la convergencia en media de la serie de Fourier en los casos anteriores y en otros articulares, así como resultados más generales, esecialmente ara medidas sobre intervalos acotados en R. En el caso de una medida cualquiera y aun cuando el sistema ortonormal esté formado or olinomios, los avances son, naturalmente, de menor alcance. Existen algunos resultados sobre estimaciones de los olinomios, de sus coeficientes directores y de otros arámetros asociados, sobre todo ara medidas sobre la circunferencia unidad, T; muchos de ellos se han trasladado también a medidas sobre el intervalo [ 1, 1], ya que es osible relacionar sus resectivos sistemas de olinomios ortonormales. En cuanto a la convergencia en media de la serie de Fourier, odemos mencionar aenas los trabajos de Newman y Rudin ([NR]) y Máté, Nevai y Totik ([MNT 1]), que establecen condiciones necesarias ara dicha convergencia. En articular, el trabajo de los tres últimos autores es de esecial interés, ya que en todos los ejemlos conocidos a los que es alicable las condiciones necesarias que lantea coinciden también con las condiciones suficientes ara la convergencia en media. Ello ha suuesto el unto de artida de esta memoria en dos direcciones: or un lado, nos ha llevado a estudiar la convergencia débil de la serie de Fourier, con el fin de ver si las condiciones de Máté, Nevai y Totik son también necesarias ara esta convergencia, como en efecto se ha robado. Por otro, el hecho de que las condiciones se refieran tan sólo a la arte absolutamente continua de la medida lantea una regunta sobre el ael de la arte singular; en

9 Introducción ix la memoria estudiamos medidas que consisten en añadir a algunas de las citadas anteriormente varias deltas de Dirac y obtenemos los rangos de ara los cuales se verifica la convergencia en L (µ), rangos que coinciden en todos los casos con los de las medidas de artida. Otro tio de convergencia que se aborda con frecuencia en la literatura es la convergencia en casi todo unto. Podemos situar el origen de esta cuestión en la conjetura de Lusin (1915): la serie de Fourier trigonométrica (relativa al sistema {e int } sobre T) converge en casi todo unto a f ara toda f L 2. La demostración de esta conjetura se debe, como es sabido, a Carleson ([C]) y su extensión a L, 1 < <, a Hunt ([Hu 2]). El resultado demostrado or Carleson ara el sistema trigonométrico, y del cual se deduce no sólo la convergencia en casi todo unto sino también la convergencia en media, es que el oerador S f(x) = su S n f(x) n está acotado en L 2. En general, si el sistema ortonormal {φ n } es denso, la acotación del corresondiente S (oerador maximal de las sumas arciales de la serie de Fourier) en un L (µ) imlica la convergencia en casi todo unto de la serie de Fourier. Esta es la roiedad que utilizamos ara, basándonos es un trabajo de Gilbert ([G]), estudiar la convergencia en casi todo unto ara algunos sistemas articulares. La resente memoria está dividida en cuatro caítulos. El caítulo I tiene carácter básicamente introductorio, con alguna aortación nueva. En él, anunciamos los concetos y resultados que se necesitarán en el resto del trabajo. A exceción de unos ocos casos que se señalan exlícitamente, a lo largo de la memoria omitimos la demostración de las roiedades conocidas que se van a utilizar, indicando, dentro de lo osible, su origen. En este caítulo hacemos en rimer lugar un breve resumen de la teoría de sistemas ortonormales, incluido un catálogo de algunos sistemas concretos y sus roiedades más relevantes. En un segundo aartado, se resenta la definición y algunas roiedades elementales de los esacios L,r de Lorentz, fundamentalmente los teoremas de interolación de oeradores de tio fuerte, débil y débil restringido. Para terminar, se describen las clases de esos A de Muckenhout y su relación con la acotación del oerador maximal de Hardy-Littlewood y la transformada de Hilbert. Consideramos el caso articular de los esos radiales, con las caracterizaciones obtenidas or Varona ([V]) acerca de la ertenencia a una clase A, y resentamos en esquema cómo se alica esta teoría al estudio de la convergencia en media de la serie de Fourier. En el caítulo II se trata la acotación débil de la serie de Fourier. Encontramos condiciones necesarias ara dicha acotación ara sistemas bastante generales de olinomios ortonormales. En el segundo aartado, alicamos estos resultados a la serie de Fourier-Jacobi y estudiamos también la acotación débil restringida (que

10 x Introducción equivale a la acotación L,1 L, ). El estudio de la convergencia débil se analiza asimismo ara las series de Bessel. El caítulo III se dedica a la convergencia en media ara sistemas de olinomios relativos a medidas que son suma de una medida dada y varias deltas de Dirac. La motivación de este estudio reside en que la mayoría de los resultados generales sobre sistemas de olinomios ortonormales se demuestran imoniendo condiciones sobre la arte absolutamente continua de la medida. Por otra arte, no había sido estudiada hasta ahora la convergencia de la serie de Fourier con resecto a medidas no absolutamente continuas; el rimer ejemlo que conocemos se debe a Varona ([V]), que considera la medida (1 x) α (1 + x) β dx + Mδ 1 (x) + Nδ 1 (x). En este caítulo, obtenemos resultados que relacionan la convergencia de las series de Fourier corresondientes a una medida y a su modificada or deltas de Dirac. El último caítulo se aarta de los dos anteriores, ya que en él se hace un estudio de la convergencia en casi todo unto de la serie de Fourier. Por ello, incluimos una rimera arte de introducción esecífica a este tema. Tras ello, generalizamos un teorema de Gilbert ([G]) utilizando la teoría de esos A, lo que nos ermite lantear condiciones que garantizan la acotación del oerador maximal de las sumas arciales de la serie de Fourier y, or lo tanto, la convergencia en casi todo unto de la serie. Para terminar, se establecen condiciones necesarias ara la convergencia en casi todo unto, similares a las obtenidas ara la convergencia débil en el caítulo II y, or Máté, Nevai y Totik ([MNT 1]), ara la convergencia en media.

11 ÍNDICE INTRODUCCIÓN ÍNDICE VII XI CAPÍTULO I: Preliminares 1 1. Sistemas ortonormales Esacios de Lorentz Teoría de esos A CAPÍTULO II: Acotación débil de las series de Fourier Comortamiento débil de las series de Fourier-Jacobi Comortamiento débil de las series de Bessel CAPÍTULO III: Modificaciones de medidas or deltas de Dirac Caso general Pesos de Jacobi generalizados más deltas de Dirac Pesos de Laguerre y Hermite con una delta de Dirac CAPÍTULO IV: Convergencia en casi todo unto de la serie de Fourier Introducción Acotación del oerador maximal S Divergencia en casi todo unto de la serie de Fourier REFERENCIAS 153 xi

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13 CAPÍTULO I Preliminares 1. Sistemas ortonormales Sea un esacio de medida (Ω, M, µ), con µ una medida ositiva y σ-finita (todas las medidas que consideremos serán ositivas y σ-finitas, aunque no lo digamos exresamente). Dado [1, ), denotaremos or L (Ω, µ) o L (µ), como es habitual, al esacio de las funciones reales µ-medibles f tales que ( 1/ f L (µ) = f dµ) <. Ω Denotaremos or L (Ω, µ) o L (µ) al esacio de las funciones reales µ-medibles f esencialmente acotadas y escribiremos f L (µ) = su esn f(x). x Ω Con esta definición, L (µ) es una norma y L (µ) es un esacio de Banach, 1. Dado [1, ], llamaremos de ahora en adelante q al exonente conjugado de, es decir, al número q tal que 1/ + 1/q = 1, admitiendo que ara = 1 se tiene q = y viceversa. Es conocida entonces la desigualdad de Hölder: si f L (µ) y g L q (µ), fg dµ f L (µ) g L q (µ). Ω Si 1 <, L q (µ) es el esacio dual de L (µ). Se tiene: { } f L (µ) = su fg dµ ; g L q (µ) = 1. Ω A artir de ahora, suondremos siemre 1 < <, a menos que indiquemos lo contrario. De todos estos esacios, L 2 (µ) resulta ser un esacio de Hilbert, con el roducto f, g = fg dµ. Por lo tanto, odemos considerar en Ω L2 (µ) sistemas ortonormales {φ n } n, es decir, tales que φ n φ m dµ = δ n,m n, m. Ω A cada f L 2 (µ) odemos asociarle sus coeficientes de Fourier con resecto a {φ n }, c k (f) = fφ k dµ 1 Ω

14 2 Preliminares y, formalmente, su serie de Fourier: c k (f)φ k. k= Tomemos las sumas arciales de la serie de Fourier con resecto al sistema {φ n }, que odemos exresar de la siguiente manera: n S n f(x) = c k (f)φ k (x) = f(y)k n (x, y) dµ(y), k= donde K n (x, y) = n k= φ k(x)φ k (y). Llamaremos núcleos asociados a {φ n } a las funciones K n (x, y), n. Si el sistema {φ n } es comleto en L 2 (µ) (es decir, su clausura lineal es densa), entonces las sumas arciales S n f de la serie de Fourier de cualquier función f L 2 (µ) convergen a f: lím n S nf f L 2 (µ) =. Además, S n f es la combinación lineal de {φ 1,..., φ n } que mejor aroxima a f. Por otra arte, S n f L 2 (µ) f L 2 (µ). Es decir, los oeradores Ω S n : L 2 (µ) L 2 (µ) f S n f están uniformemente acotados (y S n 1 n). A la vista de lo que sucede en L 2 (µ), odemos reguntarnos si el comortamiento de las sumas arciales S n es el mismo en cualquier L (µ). Concretamente: f L (µ), S n f f en L (µ)? los oeradores S n : L (µ) L (µ) están uniformemente acotados? Un requisito revio que debe cumlir el sistema {φ n } ara que exista S n f y esté en L (µ) ara toda f L (µ) es: (1.1) φ n L (µ) L q (µ) n. Si además {φ n } es comleto en L (µ), las dos reguntas anteriores son una misma. Por su sencillez, damos la demostración de este resultado clásico: Teorema 1.1. Sea {φ n } un sistema ortonormal y comleto en L 2 (µ), 1 < <, 1/ + 1/q = 1, φ n L (µ) L q (µ) n. Entonces: S n f f en L (µ), f L (µ) C > tal que S n f L (µ) C f L (µ) f L (µ), n.

15 Sistemas ortonormales 3 Demostración: ) Sea f L (µ). Entonces, C f tal que S n f L (µ) C f n. Por el rinciio de acotación uniforme (teorema de Banach-Steinhaus), C > tal que S n f L (µ) C f L (µ) f L (µ), n. ) Si φ es una combinación lineal de {φ n }, es inmediato observar que S n φ = φ ara n suficientemente grande, con lo que S n f f L (µ) = S n (f φ) (f φ) L (µ) S n (f φ) L (µ) + f φ L (µ) (C + 1) f φ L (µ). Fijado ε >, basta tomar φ tal que f φ L (µ) < ε/(c + 1) y existe n N tal que S n f f L (µ) < ε n n. Notas: a) De ahora en adelante indicaremos con C una constante, ero osiblemente distinta cada vez que aarezca. b) Frecuentemente, escribiremos sólo S n f L (µ) C f L (µ) ara indicar que f L (µ) S n f L (µ) y S n f L (µ) C f L (µ) n, con una constante C indeendiente de f y de n. En virtud del teorema 1.1, hablaremos indistintamente de acotación o de convergencia en media de la serie de Fourier. Un segundo avance en el estudio de esta acotación es el siguiente: Teorema 1.2. a) Si 1 r < s y existe C > tal que S n f L (µ) C f L (µ) f L (µ), n, con = r, s, entonces también se verifica la desigualdad con (r, s). b) Si 1 < < y 1/ + 1/q = 1, entonces: C > tal que S n f L (µ) C f L (µ) f L (µ), n C > tal que S n f L q (µ) C f L q (µ) f L q (µ), n. La arte a) es consecuencia de la teoría de interolación de oeradores (véase [SW], caítulo V). La arte b) se debe a que S n es un oerador autoadjunto, or lo que está acotado en L (µ) si y sólo si lo está en L q (µ), y tiene la misma norma en ambos esacios.

16 4 Preliminares Según el teorema anterior, el conjunto de los ara los cuales las sumas arciales de la serie de Fourier están uniformemente acotadas es un intervalo. Le llamaremos intervalo de convergencia en media. Además, los extremos del intervalo son exonentes conjugados. En el caso general, oco más se uede decir sobre él. Los avances en esta dirección han sido generalmente acerca de sistemas concretos, algunos de los cuales veremos más adelante. Sea µ una medida y {φ n } un sistema ortonormal con resecto a µ. Si w es una función µ-medible, entonces {wφ n } es un sistema ortonormal con resecto a w 2 dµ: (wφ n )(wφ m )w 2 dµ = φ n φ m dµ = δ n,m. Ω Sean S n y S n los oeradores sumas arciales con resecto a {φ n } y {wφ n }, resectivamente. Entonces, S nf = n ( ) fwφ k w 2 dµ wφ k = w Ω k= Ω n ( ) w 1 fφ k dµ φ k = ws n (w 1 f). Ω De esta fórmula se deduce la siguiente relación entre la acotación de S n y la de S n: k= S nf L (w 2 dµ) C f L (w 2 dµ) f L (w 2 dµ) ws n (w 1 f) L (w 2 dµ) C f L (w 2 dµ) f L (w 2 dµ) S n (w 1 f) L (w 2 dµ) C w 1 f L (w 2 dµ) f L (w 2 dµ) S n g L (w 2 dµ) C g L (w 2 dµ) g L (w 2 dµ), este último aso haciendo el cambio de notación g = w 1 f. Esto nos lleva a estudiar acotaciones de las sumas arciales de la serie de Fourier con esos (funciones medibles y no negativas); es decir, del tio: S n f L (u dµ) C f L (u dµ) (escribimos u en lugar de u or conveniencia, como veremos en seguida). Otra razón ara estudiar esta clase de acotaciones es la osibilidad de amliar con ello el intervalo de convergencia en media, o sea, el intervalo de ara los cuales existe C > tal que se verifica la anterior desigualdad. Con más generalidad, odemos estudiar acotaciones con dos esos: (1.2) S n f L (u dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n. Haciendo g = vf, se ve que esto equivale a: us n (v 1 g) L (dµ) C g L (dµ) g L (dµ), n ;

17 Sistemas ortonormales 5 de nuevo, or teoría de interolación, el conjunto de ara los cuales esta desigualdad se verifica es un intervalo, aunque ahora sus extremos no tienen or qué ser conjugados, como en el teorema 1.2. La condición que deben cumlir los esos u y v ara que esté definida S n f y esté en L (u dµ) ara toda f L (v dµ) y n es φ n L (u dµ) L q (v q dµ) n, que generaliza (1.1). Podemos reguntarnos si también ahora la acotación (1.2) equivale a la convergencia en media, es decir, a S n f f en L (u dµ) f L (v dµ). Necesitamos ara ello que L (v dµ) esté contenido en L (u dµ); esto se cumle si u Cv µ-a.e. ara alguna constante C >. Con esta condición adicional, el teorema 1.1 sigue siendo válido y su demostración es análoga: Teorema 1.3. Sea {φ n } un sistema ortonormal en L 2 (dµ), 1 < <, 1/+1/q = 1. Sean u y v dos esos tales que u Cv µ-a.e. ara alguna constante C ositiva, la clausura lineal de {φ n } es densa en L (v dµ) y f L (v dµ) S n f L (u dµ). Entonces: S n f f en L (u dµ), f L (v dµ) C > tal que S n f L (u dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n. También ara la acotación (1.2) la condición u Cv arece bastante natural y en algún caso se uede ver su necesidad, como demostramos a continuación: Teorema 1.4. Sea {φ n } un sistema ortonormal en L 2 (dµ), 1 < <, 1/ + 1/q = 1. Sea u un eso tal que la clausura lineal de {φ n } es densa en L (u dµ). Suongamos que f L (u dµ) S n f L (u dµ) y existe una constante C tal que S n f L (u dµ) C f L (u dµ) f L (u dµ), n. Si v es otro eso y existe una constante C tal que S n f L (u dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n, entonces existe C > tal que u Cv µ-a.e. Demostración: Según el teorema 1.3, S n f L (u dµ) f L (u dµ) f L (u dµ). Suongamos que no existe ninguna constante C tal que u Cv µ-a.e. Vamos a hallar una sucesión de funciones {f k } k tal que f k L (v dµ) C,

18 6 Preliminares ero su f k L (u dµ) = +. k Si conseguimos esto, tendremos: or una arte, y or otra, k, luego S n f k L (u dµ) C f k L (v dµ) C n, k. S n f k L (u dµ) f k L (u dµ), su S n f k L (u dµ) = +, n,k con lo que habremos llegado a una contradicción y el teorema estará robado. Sea, ara cada k, A k = {x; u(x) kv(x)}; entonces, χ Ak L (u dµ) >, ya que de lo contrario sería u µ-a.e. en A k y u kv µ-a.e. Podemos suoner también χ Ak L (u dµ) <, orque si no es así tomamos un subconjunto de A k que cumla estas dos condiciones (la medida, como siemre, es σ-finita). Definamos f k = k χ Ak. χ Ak L (u dµ) Está claro que f k L (u dµ) = k. Y como v k 1 u en A k, se tiene: f k L (v dµ) = k χ Ak L χ Ak (v dµ) 1 k. L (u dµ) Esta es la sucesión de funciones que buscamos, con lo que el teorema está robado. Para una situación general, Newman y Rudin ([NR]) demostraron la siguiente condición necesaria ara la acotación en media: Teorema 1.5. Sean {φ n } un sistema ortonormal en L 2 (µ), 1 < <, u y v dos esos. Si ara cada f L (v dµ) existen las sumas arciales S n f de la serie de Fourier de f con resecto a {φ n } y entonces S n f L (u dµ) C f L (v dµ) φ n L (u dµ) φ n L q (v q dµ) C. A continuación veremos una clase articular de sistemas ortonormales: la de los sistemas formados or olinomios. La mayor arte de los resultados que vamos a exoner ueden consultarse en [Sz 2], or ejemlo.

19 Sistemas ortonormales 7 SISTEMAS DE POLINOMIOS ORTOGONALES A artir de ahora, todas las medidas que consideremos serán, además de ositivas y σ-finitas, medidas de Borel sobre R y con soorte infinito. Llamaremos so dµ a su soorte y µ a su arte absolutamente continua. Si µ es una medida tal y ara cada n existen los momentos x n dµ(x) R, R es conocido que existe un único sistema ortonormal {P n } tal que ara cada n, P n es un olinomio de grado n y coeficiente director ositivo. Además, si el soorte de µ está acotado, del teorema de Weierstrass se sigue que la familia {P n } es comleta en L 2 (µ). Como veremos más adelante, la mayoría de los sistemas clásicos de olinomios se definen de manera que los P n no están normalizados; es decir: P n P m dµ = h n δ n,m. R Si esto es así, el sistema ortonormal es {h 1/2 n P n }. Si {P n } es un sistema ortonormal de olinomios, denotaremos or k n al coeficiente director de P n. Una consecuencia inmediata es: Proosición 1.6. Si R n (x) = r n x n +r n 1 x n 1 + +r es un olinomio, entonces P n R n dµ = r n. k n R En articular, R P nr dµ = si R es un olinomio de grado menor que n. Es conocido que la sucesión {P n } verifica una relación de recurrencia: (1.3) xp n (x) = a n+1 P n+1 (x) + b n P n (x) + a n P n 1 (x), lo que se deduce de oner xp n (x) como combinación lineal de {P 1,..., P n+1 } y alicar la ortonormalidad de {P n }. En articular, de la roosición anterior se deduce: a n = xp n (x)p n 1 (x) dµ(x), b n = xp n (x) 2 dµ(x). R Si µ es una medida ar, entonces se tiene b n =. Esta es una manera de demostrar la siguiente roiedad: Proosición 1.7. Si µ es una medida ar, los olinomios P 2n son ares y los olinomios P 2n+1 son imares. Sobre los coeficientes {a n } y {b n } de la relación de recurrencia se conoce su comortamiento, bajo ciertas condiciones ([R 1], ág. 212, o [MNT 2], teorema 1): R

20 8 Preliminares Teorema 1.8. Si so dµ = [ 1, 1] y µ > en casi todo unto de [ 1, 1], entonces lím n a n = 1/2 y lím n b n =. Si el sistema {P n } es un sistema de olinomios, también la sucesión {K n (x, y)} de los núcleos está formada or olinomios. Una caracterización que se rueba fácilmente es: Proosición 1.9. Sea n, y R. Entonces, ara todo olinomio R de grado menor o igual que n se cumle K n (x, y)r(x) dµ(x) = R(y). R Además, K n (x, y) es el único olinomio de grado n que verifica esta roiedad. Puesto que las sumas arciales de la serie de Fourier vienen dadas or S n f(x) = K n (x, y)f(y) dµ(y), R es imortante encontrar exresiones ara K n (x, y) distintas de la oco manejable K n (x, y) = n k= P n(x)p n (y). A artir de la relación de recurrencia (1.3) no es difícil demostrar, or inducción, la fórmula de Christoffel-Darboux: K n (x, y) = k n P n+1 (x)p n (y) P n (x)p n+1 (y) k n+1 x y Sin embargo, esta fórmula tamoco es útil, en muchas ocasiones. En 1948, Pollard (véase [P 1]) demostró la siguiente descomosición ara medidas µ con soorte en [ 1, 1]: K n (x, t) = r n T 1 (n, x, t) + s n T 2 (n, x, t) + s n T 3 (n, x, t) con y T 1 (n, x, t) = P n+1 (x)p n+1 (t), T 2 (n, x, t) = (1 t 2 ) P n+1(x)q n (t) x t T 3 (n, x, t) = T 2 (n, t, x) = (1 x 2 ) P n+1(t)q n (x) t x, donde {Q n } son los olinomios ortonormales con resecto a (1 x 2 ) dµ. Además, si so dµ = [ 1, 1] y µ > en casi todo unto, entonces se tiene: lím n r n = 1/2, lím n s n = 1/2 (véase [V], lema 3.1). Debido a esta descomosición, es fundamental conocer estimaciones de los olinomios {P n } (y de los {Q n }). A este resecto, merece destacarse el siguiente resultado, robado or Máté, Nevai y Totik ([MNT 1]):.

21 Sistemas ortonormales 9 Lema 1.1. Sea so dµ = [ 1, 1] y µ > en casi todo unto de [ 1, 1]. Dados un número real c y un entero no negativo n, sea B c,n (dµ) = {x ( 1, 1); P n (x) 2 µ (x)(1 x 2 ) 1/2 c}. Entonces, ara cada c > 2/π, lím n B c,n (dµ) =, donde E denota la medida de Lebesgue del conjunto E. Además de esta acotación suerior ara los olinomios, en el mismo trabajo ([MNT 1], teorema 2) se demuestra una acotación inferior ara sus normas, que odemos formular de la siguiente manera: Teorema Sea dµ una medida sobre [ 1, 1] y µ > en casi todo unto. Sea <. Existe una constante C tal que, si g es una función medible Lebesgue en [ 1, 1], entonces: µ (x) 1/2 (1 x 2 ) 1/4 g(x) L (dx) C lim P n g L (dx). n En articular, si lim n P n g L (dx) =, entonces g = en casi todo unto. A artir de este teorema y del teorema 1.5, se obtienen las siguientes condiciones necesarias ara la convergencia en media de la serie de Fourier: Teorema Sea dµ una medida sobre [ 1, 1], µ > en casi todo unto y {P n } sus olinomios ortonormales. Sean u y v dos esos y 1 < <. Si ara cada f L (v dµ) existen las sumas arciales S n f de la serie de Fourier de f con resecto a {P n } y entonces: S n f L (u dµ) C f L (v dµ), u L (dµ), v 1 L q (dµ), µ (x) 1/2 (1 x 2 ) 1/4 u(x) L (µ ), µ (x) 1/2 (1 x 2 ) 1/4 v(x) 1 L q (µ ). Vamos a describir ahora algunos de los sistemas ortogonales más comunes. De cada uno de ellos exonemos brevemente algunas roiedades que nos serán útiles (rincialmente, acotaciones de las funciones que lo comonen), así como resultados sobre convergencia en media de la serie de Fourier.

22 1 Preliminares ALGUNOS SISTEMAS ORTOGONALES Polinomios de Jacobi. Sean α, β > 1 y dµ(x) = (1 x) α (1 + x) β dx sobre el intervalo [ 1, 1]. Los olinomios de Jacobi {Pn α,β } son ortogonales con resecto a dµ. De acuerdo con su definición clásica, no están normalizados, sino que con h α,β n = Por lo tanto, {(h α,β n 1 1 Pn α,β Pm α,β dµ = h α,β n δ n,m, 2 α+β+1 Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) (2n + α + β + 1)Γ(n + 1)Γ(n + α + β + 1). ) 1/2 Pn α,β } es el sistema de olinomios ortonormales con resecto a dµ. Por tratarse de una medida finita sobre un intervalo comacto, los olinomios son densos en L 2 (dµ) y el sistema es comleto. A artir de estimaciones conocidas (véase [Sz 2], caítulo VIII), Muckenhout demostró ([Mu 1]) que existe una constante ositiva C tal que n N, x [ 1, 1], (1.4) (h α,β n ) 1/2 Pn α,β (x) C(1 x + n 2 ) (2α+1)/4 (1 + x + n 2 ) (2β+1)/4. Cuando α, β 1/2, de esta se deduce otra acotación global (indeendiente de n): (h α,β n ) 1/2 Pn α,β (x) Cµ (x) 1/2 (1 x 2 ) 1/4 ; en este caso, con la notación del lema 1.1 resulta B c,n (dµ) =. Es fácil ver que en el caso general α, β > 1, B c,n (dµ) n 2. Basándose en esta cota, Muckenhout obtuvo en 1969 ([Mu 1]) el siguiente resultado: Teorema Sean α, β > 1, dµ(x) = (1 x) α (1 + x) β dx sobre el intervalo [ 1, 1] y {S n } las sumas arciales de la serie de Fourier relativa a los olinomios ortonormales con resecto a dµ. Sea 1 < < y u(x) = (1 x) a (1 + x) b. Entonces, existe una constante ositiva C tal que S n f L (u dµ) C f L (u dµ) f L (u dµ), n si y sólo si se cumlen las desigualdades: (1.5) a + (α + 1)( ) < 1 4, b + (β + 1)(1 1 2 ) < 1 4

23 Sistemas ortonormales 11 (1.6) a + (α + 1)( ) < α + 1, b + (β + 1)( ) < β (1.7) a + (α + 1)( ) > 1 4, b + (β + 1)(1 1 2 ) > 1 4 (1.8) a + (α + 1)( ) > α + 1, b + (β + 1)( ) > β Para el caso α, β 1/2 y a = b =, Pollard había demostrado en 1948 ([P 1]) que (1.5),..., (1.8) imlican la convergencia en media. En 1952, Newman y Rudin ([NR]) robaron que esas condiciones son necesarias ara la convergencia. Finalmente, Muckenhout extendió el resultado al caso general en el trabajo citado. Polinomios de Jacobi generalizados. Por un eso de Jacobi generalizado se entiende (véase, or ejemlo, [B] o [Nv], ág. 169) un eso w sobre [ 1, 1] de la forma: donde: w(x) = h(x)(1 x) α (1 + x) β N i=1 a) α, β, γ i > 1, t i ( 1, 1), t i t j i j; x t i γ i, x [ 1, 1], b) h es una función continua y ositiva en [ 1, 1] y ω(h, δ)δ 1 L 1 (, 2), siendo ω(h, δ) el módulo de continuidad de h. Llamaremos olinomios de Jacobi generalizados al sistema ortonormal de olinomios {P n } asociado a dµ = w(x) dx. Los olinomios de Jacobi son un caso articular, con γ i = i, h 1. Como en el caso de los olinomios de Jacobi, {P n } es un sistema comleto en L 2 (dµ), or ser [ 1, 1] comacto y dµ finita. Los olinomios {P n } satisfacen la acotación (véase [B]): N (1.9) P n (x) C(1 x+n 2 ) (2α+1)/4 (1+x+n 2 ) (2β+1)/4 ( x t i +n 1 ) γi/2, donde n N, x [ 1, 1] y C no deende de n ni de x. Para la sucesión {K n (x, y)} de los núcleos existen también estimaciones, una de las cuales es la que a continuación vemos. Antes necesitamos alguna notación, que nos será útil en toda esta memoria: i=1

24 12 Preliminares Notación: dadas dos funciones f, g : R k R y un subconjunto D de R k, diremos que f g en D si existen dos constantes K 1, K 2 > tales que x D, K 1 f(x) g(x) K 2 f(x). Con este convenio, se tiene la siguiente estimación ([Nv], ág. 12 y ág. 4): N (1.1) K n (x, x) n(1 x+n 2 ) (2α+1)/2 (1+x+n 2 ) (2β+1)/2 ( x t i +n 1 ) γ i ara x [ 1, 1] y n N. La acotación uniforme de los oeradores S n ha sido estudiada or Badkov ([B]) y Varona ([V]). El rimero consideró el caso de un solo eso: i=1 S n f L (u dµ) C f L (u dµ) donde u(x) = (1 x) a (1+x) b N i=1 x t i g i. Su método se basa en estimar directamente los núcleos K n (x, y). Además de esta acotación (y, or lo tanto, convergencia en media), Badkov analizó también la convergencia en casi todo unto de la serie de Fourier. La acotación con dos esos S n f L (u dµ) C f L (v dµ), donde y u(x) = (1 x) a (1 + x) b v(x) = (1 x) A (1 + x) B N i=1 N i=1 x t i g i x t i G i, ha sido estudiada or Varona ([V], corolario 3.11) en el caso γ i i, siguiendo otro método totalmente distinto, consistente en el uso de la teoría de esos A, que comentaremos más adelante. El resultado comleto uede enunciarse como sigue: Teorema Sean w(x) = h(x)(1 x) α (1+x) β N i=1 x t i γ i un eso de Jacobi generalizado, dµ(x) = w(x) dx sobre [ 1, 1], 1 < <, y u(x) = (1 x) a (1 + x) b v(x) = (1 x) A (1 + x) B N i=1 N i=1 x t i g i x t i G i.

25 Sistemas ortonormales 13 Si se cumlen las desigualdades (1.11) A+(α+1)( ) < 1 4 ; B+(β+1)( ) < 1 4 ; G i+(γ i +1)( ) < 1 2 i; (1.12) A+(α+1)( ) < α+1 2 ; B+(β+1)( ) < β+1 2 ; G i+(γ i +1)( ) < γ i+1 2 i; (1.13) a + (α + 1)( 1 1) > 1; 2 4 b + (β + 1)( 1 1) > 1; 2 4 g i + (γ i + 1)( 1 1) > 1 i; 2 2 (1.14) a+(α+1)( ) > α+1 2 ; b+(β+1)( ) > β+1 2 ; g i+(γ i +1)( ) > γ i+1 2 i; (1.15) A a; B b; G i g i i; entonces C > tal que S n f L (u dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n N. Pero también el recíroco es cierto: Teorema Con la misma notación, si C > tal que S n f L (u dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n N, entonces se verifican las condiciones (1.11),..., (1.15). Demostración: Que las condiciones (1.11),..., (1.14) son necesarias se deduce del teorema 1.12, como uede verse en [V] (corolario 3.13). Sólo falta robar que también debe cumlirse (1.15): A a, B b, G i g i i. Suongamos, or ejemlo, que a < A (en los demás casos, se rocede de igual manera). Las desigualdades (1.11),..., (1.14) ueden onerse de esta manera: y sus análogas con β y γ i. Si definimos A < (α + 1)(1/2 1/) + 1/4, A < (α + 1)(1/2 1/) + (α + 1)/2, (α + 1)(1/2 1/) 1/4 < a, (α + 1)(1/2 1/) (α + 1)/2 < a m α = (α + 1)(1/2 1/) mín{1/4, (α + 1)/2},

26 14 Preliminares M α = (α + 1)(1/2 1/) + mín{1/4, (α + 1)/2}, m β = (β + 1)(1/2 1/) mín{1/4, (β + 1)/2}, M β = (β + 1)(1/2 1/) + mín{1/4, (β + 1)/2}, m i = (γ i + 1)(1/2 1/) mín{1/2, (γ i + 1)/2}, M i = (γ i + 1)(1/2 1/) + mín{1/2, (γ i + 1)/2}, entonces las condiciones (1.11),..., (1.14) son: (1.16) A < M α, m α < a (1.17) B < M β, m β < b (1.18) G i < M i, m i < g i i. Es inmediato comrobar que m α < M α, m β < M β, m i < M i. Si se tiene a < A, entonces m α < a < A < M α. Puesto que se cumlen (1.17) y (1.18), odemos tomar b, g i tales que: (1.19) m β < b < M β, m i < g i < M i, (1.19) B b, G i g i. Sea Como ũ(x) = (1 x) a (1 + x) e b N x t i eg i. i=1 m α < a < M α, m β < b < M β, m i < g i < M i, el eso ũ satisface las desigualdades (1.11),..., (1.15) corresondientes a él y, or el teorema 1.14, existe una constante C > tal que: (1.21) S n f L (eu dµ) C f L (eu dµ) f L (ũ dµ), n N. La condición análoga a (1.14) ara ũ significa que ũ dµ es una medida finita, or lo que los olinomios son densos en L (ũ dµ). Pero además, or ser a < A, no existe ninguna constante C ositiva tal que ũ Cv. El teorema 1.4 garantiza entonces que no existe ninguna constante C ositiva tal que (1.22) S n f L (eu dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n N.

27 Sistemas ortonormales 15 Sea ahora u (x) = (1 x) A (1 + x) e b N i=1 x t i eg i. El ar (u, v) cumle las condiciones análogas a (1.11),..., (1.15). Por el teorema 1.14, existe una constante C tal que (1.23) S n f L (u dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n N. Tomemos ε > tal que t i ( 1, 1 ε) i. De esta manera, u ũ en ( 1, 1 ε), luego S n f L (( 1,1 ε),eu dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n N. Dado que la acotación (1.22) no se cumle ara ninguna constante C, de esta última se deduce que tamoco se cumle la siguiente: S n f L ([1 ε,1),eu dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n N. Ahora bien, en [1 ε, 1) se tiene u ũ. Por lo tanto, no se uede cumlir la acotación S n f L ([1 ε,1),u dµ) C f L (v dµ) f L (v dµ), n N. Y esto contradice la hiótesis S n f L (u dµ) C f L (v dµ). Por lo tanto, se tiene que verificar la condición (1.15), que es lo que teníamos que demostrar. Polinomios de Laguerre. Los olinomios de Laguerre {L α n} de orden α son ortogonales con resecto a la medida dµ(x) = e x x α dx sobre [, + ), donde α > 1. De acuerdo con la definición clásica, no están normalizados, sino que L α n() = Γ(n + α + 1) n! Γ(α + 1) ; + L α n(x)l α m(x)e x x α dx = Γ(n + α + 1) n! δ n,m. En este caso, el soorte de la medida no es comacto, con lo que no odemos alicar el teorema de Weierstrass que garantiza la densidad de los olinomios en las funciones continuas y llegar así a que {L α n} es un sistema comleto en L 2 (dµ). Sin embargo, esto sigue siendo cierto (véase, or ejemlo, [Sz 2], teorema 5.7.1, ág. 18). ( ) 1/2 Si hacemos L α n(x) = Γ(n+α+1) n! L α n(x)e x/2 x α/2, entonces el sistema {L α n} es ortonormal con resecto a la medida de Lebesgue en [, + ). Para este sistema se tienen las siguientes acotaciones, obtenidas or Muckenhout ([Mu 3]) a artir

28 16 Preliminares de otras de Askey y Wainger ([AW]): existen constantes ositivas C y γ tales que n x 1/σ L α n(x) Cσ α/2 x α/2 ; 1/σ < x σ/2 L α n(x) Cσ 1/4 x 1/4 ; σ/2 x 3σ/2 L α n(x) Cσ 1/4 (σ 1/3 + x σ ) 1/4 ; 3σ/2 x L α n(x) Ce γx, donde σ = 4n + 2α + 2. La acotación en media de las sumas arciales de la serie de Fourier con resecto a los olinomios de Laguerre (normalizados) fue estudiada or Muckenhout en [Mu 2] y [Mu 3]. En el rimero de estos trabajos demostró que no es osible la acotación us n f L (dµ) C uf L (dµ) f, n, cuando 1 4/3 o 4, ara ningún eso u, a no ser que u sea cero en casi todo unto; en realidad, demostró que ni siquiera el término general de la serie uede estar acotado. En [Mu 3] se considera la acotación con dos esos, u y v, definidos de la siguiente manera (siendo w(x) = e x x α ): ( ) a x u(x) = w(x) 1/2 1/ (1 + x) b, x > 1 + x ( ) A x v(x) = w(x) 1/2 1/ (1 + x) B (1 + log + x) β, x > 1 + x donde log + x = máx{log x, } y { 1 si b = B y = 4 ó 4/3, β = en otro caso. En esta situación, se tiene us n f L (dµ) C vf L (dµ) f, n si se cumlen las condiciones: (1.24) a > 1 + máx{ α 2, 1 4 }; (1.25) A < 1 1 máx{ α 2, 1 4 }; (1.26) A a;

29 Sistemas ortonormales 17 (1.27) { b < 3 1, 4 b 7 1 ; 12 3 (1.29) (1.29) { B , B > ; b B b B, b B , 3 ; (1.3) si en (1.29) se da alguna igualdad, entonces no se da en (1.27) ni en (1.28). Además, todas las condiciones son necesarias, con la osible exceción de que en (1.28) se tenga la igualdad B = 1 1 cuando = 4 o = 4/3 y b = B. 4 Observación: Muckenhout escribe las condiciones (1.27), (1.28) y (1.29) algo distintas. Por ejemlo, en (1.27) escribe b < 3/4 1/ si 1 < 4 y Pero es fácil ver que b 7/12 1/(3) si 4 < <. 3/4 1/ 7/12 1/(3) 4, con lo que odemos oner simlemente (1.27). Lo mismo sucede con (1.28) y (1.29). Relacionadas con los olinomios de Laguerre, existen otras familias de olinomios, que son los de Hermite generalizados. Son olinomios ortogonales con resecto a la medida e x2 x 2α dx sobre R, donde α > 1/2. Según su definición clásica, se toman con coeficiente director 2 n ; no están normalizados. Satisfacen las siguientes igualdades: H α 2m(x) = ( 1) m 2 2m m! L α 1/2 m (x 2 ) H α 2m+1(x) = ( 1) m 2 2m+1 m! xl α+1/2 m (x 2 ) y a ellos nos referiremos más adelante. La convergencia en media de su serie de Fourier ha sido estudiada or Varona ([V], caítulo VI).

30 18 Preliminares Sistema de Bessel. El último sistema ortogonal que vamos a describir es el de Bessel, que, a diferencia de los anteriores, no está formado or olinomios. Sea J α la función de Bessel de orden α > 1. Un amlio estudio de estas funciones es desarrollado en el libro de Watson ([W]), donde uede verse que, fijada α > 1, J α tiene un conjunto numerable de ceros en (, + ), todos ellos simles y cuyo único unto de acumulación es +. Si {α n } es esta sucesión de ceros, en orden creciente, entonces 1 J α (α n x)j α (α m x)x dx = J α+1(α n ) 2 δ n,m, 2 de donde las funciones j n (x) = 2 J J α+1 (α n) α(α n x) forman un sistema ortonormal en L 2 ((, 1), x dx), que además es comleto. Son conocidas las siguientes estimaciones asintóticas de las funciones de Bessel: J α (z) = z α J α (z) = 2 α Γ(α + 1) + O(zα+2 ) cuando z ; 2 π z 1/2 cos(z απ 2 π 4 ) + O(z 3/2 ) cuando z. En el caso α 1/2 se deduce inmediatamente una acotación global: J α (z) Cz 1/2. Además, uede robarse que 2 J α+1 (α n ) [πα n] 1/2 n 1. Es decir: (1.31) j n (x) = C n J α (α n x), con lím n C n [πα n ] 1/2 = 1. La convergencia en media de la serie de Fourier con resecto al sistema de Bessel (serie de Fourier-Bessel) ha sido estudiada or Wing ([Wi]) y Benedek y Panzone (véase [BP 1], [BP 2]), quienes demostraron la siguiente descomosición de los núcleos {K n (x, y)} asociados a {j n }: M n K n (x, y) = J α (M n x)j α+1 (M n y) 2(y x) + M n +J α (M n y)j α+1 (M n x) 2(x y) +

31 Sistemas ortonormales 19 M n +J α (M n x)j α+1 (M n y) 2(y + x) + M n +J α (M n y)j α+1 (M n x) 2(x + y) + O(1) (xy) 1/2 2 x y + O(1)(xy)α, siendo M n = (α n + α n+1 )/2 y las O(1) uniformemente acotadas con resecto a n, x e y. Para este sistema existe un resultado similar al teorema 1.11 de Máté, Nevai y Totik (que se refiere a sistemas de olinomios). Enunciaremos más adelante esta roiedad, demostrada or Varona (véase [V], teorema 5.15). Basándose en ella y en la teoría de esos A, Varona ([V], corolario 5.17) demostró: Teorema Sean α > 1, 1 < < y los esos u(x) = x a (1 x) b m k=1 m x x k b k, v(x) = x A (1 x) B x x k B k, con < x 1 <... < x m < 1, A a, B b, B k b k. Entonces, existe una constante ositiva C tal que k=1 S n f L (u x dx) C f L (v x dx) f L (v x dx), n si y sólo si se cumlen las desigualdades: a 4 + A 4 < a A 4 + mín{ 1 4, α + 1 }, 2 b > 1, B < 1, b k > 1, B k < 1 k.

32 2. Esacios de Lorentz Sea dµ una medida y, r [1, ]. Diremos que un oerador T es de tio (, r)-fuerte (o de tio (, r) sólo) cuando T : L (dµ) L r (dµ) sea un oerador acotado. Uno de los rimeros resultados que hemos visto acerca de la serie de Fourier es que el conjunto de los ara los cuales S n es de tio (, )-fuerte uniformemente es un intervalo. Como hemos comentado, es una consecuencia inmediata de un teorema de interolación de M. Riesz (véase [Hu 1] y [SW], V.2, ara los resultados que vamos a exoner en este aartado): Teorema Sea T un oerador lineal de tio (, r ) y ( 1, r 1 ), con normas k y k 1, resectivamente. Entonces T es de tio ( t, r t ) con norma k t k 1 t k1, t si t [, 1] y 1 = 1 t + t t 1 y 1 = 1 t + t. r t r r 1 Este teorema admite una generalización a oeradores de tio (, r)-débil. Como es conocido, dada una medida dµ y 1 <, se define L (dµ) como el esacio de las funciones medibles tales que: Se toma entonces f L (dµ) = su y> su y µ({x; f(x) > y}) <. y> y [µ({x; f(x) > y})] 1/ = su yχ {x; f(x) >y} L (dµ). y> Un oerador T se dice de tio (, r)-débil si T : L (dµ) L r (dµ) está acotado, es decir: si existe una constante C tal que: T f L r (dµ) C f L (dµ) f L (dµ). Observación: tal como se ha definido, L (dµ) no es una norma, ya que no se cumle la desigualdad de Minkowski, sino sólo: f + g L (dµ) 2 f L (dµ) + 2 g L (dµ). No obstante, uede definirse una norma equivalente a L (dµ). Por comodidad, nos referiremos a f L (dµ) como la norma débil de f. La generalización de la que hemos hablado es el siguiente teorema de interolación de Marcinkiewicz: 2

33 Esacios de Lorentz 21 Teorema Si T es un oerador subaditivo de tio (, r )-débil y ( 1, r 1 )-débil, con 1 i r i y r r 1, entonces T es de tio ( t, r t )-fuerte, si t (, 1) y 1 = 1 t + t t 1 y 1 = 1 t + t. r t r r 1 Además, en este teorema la norma ( t, r t )-fuerte se uede acotar or una constante que deende sólo de las dos normas débiles y de t. Como consecuencia, si las sumas arciales S n de la serie de Fourier con resecto a un sistema ortonormal son uniformemente de tio (, )-débil y ( 1, 1 )-débil, con 1 < 1, entonces son uniformemente de tio (, )-fuerte ara todo (, 1 ). Por consiguiente, sólo ueden ser uniformemente de tio (, )-débil en los extremos del intervalo de convergencia, aarte del intervalo mismo. Estudiaremos esta osibilidad en los siguientes caítulos. Pero el teorema 1.18 uede extenderse a una clase más amlia de esacios: los esacios de Lorentz, L,r, que vamos a describir a continuación. Si µ es una medida y f es una función µ-medible, su función de distribución λ se define ara y como λ(y) = µ({x; f(x) > y}). Entonces, f L (dµ) = su yλ(y) 1/. y> Pues bien, si denotamos or f el reordenamiento no creciente de f, es decir: f (t) = ínf{s; λ(s) t} (t > ), f resulta tener la misma λ como función de distribución. Se cumle: f L (dµ) = f L (R +,dt) (1 ) (omitiremos en adelante R +, or comodidad en la notación). Además, uede verse que Es decir: su y> yλ(y) 1/ = su t 1/ f (t). t> f L (dµ) = t 1/ f (t) L (dt). Si observamos que estas dos igualdades ueden onerse de la siguiente manera: f L (dµ) = t 1/ f (t) L (t 1 dt), f L (dµ) = t 1/ f (t) L (t 1 dt),

34 22 Preliminares resulta natural definir, ara una función µ-medible f, ( r + f,r = [t 1/ f (t)] r dt t si 1 <, 1 r < y si 1. f, = su t 1/ f (t) t> ) 1/r Observación 1.19: la constante r/ se introduce ara lograr ara todo r. χ E,r = {µ(e)} 1/ = χ E L (dµ) Definición 1.2. Se llama esacio de Lorentz a Según lo que acabamos de ver, L,r (dµ) = {f; f,r < }. L, (dµ) = L (dµ), f, = f L (dµ), (1.32) L, (dµ) = L (dµ), f, = f L (dµ). En general,,r no es una norma, orque no cumle la desigualdad de Minkowski, como hemos comentado ara f L (dµ). Pero también en este caso existe una norma equivalente,,r. Dotados con esta norma, los esacios L,r (dµ) son esacios de Banach, si 1 <. Los esacios de Lorentz están ordenados: Teorema Si r 1 r 2, entonces L,r 1 (dµ) L,r 2 (dµ) y f,r 2 f,r 1. De acuerdo con esto, si fijamos, el menor de los esacios L,r (dµ) es L,1 (dµ). En los casos límite en que los oeradores S n no estén acotados en L (dµ) = L, (dµ), odemos reguntarnos si lo estarán en L,1 (dµ). El siguiente resultado (caso articular del teorema 3.13, [SW]) afirma que ara estudiar esta acotación, basta fijarse en la acción de los oeradores sobre las funciones características: Teorema Sea T un oerador lineal definido sobre las funciones características χ E de conjuntos E de medida finita. Si existe una constante C tal que: (1.33) T χ E L (dµ) C χ E,1 = C χ E L (dµ) entonces existe otra constante C, que sólo deende de la anterior, tal que Como es evidente, el recíroco es cierto. T f L (dµ) C f,1 f L,1 (dµ).

35 Esacios de Lorentz 23 Diremos que un oerador que cumle (1.33) es de tio (, )-débil restringido (se uede definir el tio (, r)-débil restringido, de manera obvia). Todo oerador de tio (, )-débil es de tio (, )-débil restringido. El teorema 1.18 de interolación de Marcinkiewicz sigue siendo válido con la hiótesis menos exigente del tio débil restringido. Lo enunciamos sólo ara oeradores de tio (, ): Teorema Sea T un oerador subaditivo de tio (, )-débil restringido y ( 1, 1 )-débil restringido, con < 1. Entonces, T es de tio (, )-fuerte ara cada (, 1 ). Además, existe una constante C que sólo deende de y de las normas ( i, i )-débiles restringidas de T, tal que T f L (dµ) C f L (dµ). En conclusión, la acotación débil restringida uniforme de los oeradores S n sólo es osible en los extremos del intervalo de convergencia en media, aarte del roio intervalo. Esto mismo sucede, como hemos visto antes, con la acotación débil. Algo análogo se uede decir sobre la acotación con esos de S n. Recordemos que la acotación débil restringida equivale a la acotación or el teorema 1.22 y (1.32). Como L,1 (dµ) L, (dµ), L,1 (dµ) L,r (dµ) L, (dµ) r (1, ), esto es lo máximo que odemos debilitar la acotación L (dµ) L (dµ). En los siguientes caítulos examinaremos la acotación débil y la débil restringida de algunos sistemas ortonormales.

36 3. Teoría de esos A En este aartado describiremos brevemente algunas roiedades de cierta clase de esos: los esos A. Estos esos caracterizan la acotación de dos oeradores que aarecerán frecuentemente en esta memoria: la transformada de Hilbert y la maximal de Hardy-Littlewood, que definimos a continuación. Definición La transformada de Hilbert (en R) es el oerador H que a cada función medible f asocia la función f(y) Hf(x) = v.. x y dy, donde v.. significa valor rincial. A artir de ahora, no escribiremos v.. delante de la integral. Podemos definir igualmente la transformada de Hilbert sobre un intervalo contenido en R; emlearemos fundamentalmente la transformada de Hilbert sobre los intervalos ( 1, 1) y (, 1). Definición Se llama oerador maximal de Hardy-Littlewood al oerador M que a cada función medible asocia la función { } 1 Mf(x) = su f(y) dy; x I R, I intervalo. I I I También odemos definir la maximal de Hardy-Littlewood sobre un intervalo contenido en R, tomando el suremo en los I contenidos en dicho intervalo. Utilizaremos este oerador en el caítulo IV. En cuanto a la transformada de Hilbert, se comrende su imortancia en el estudio de la convergencia en media si recordamos la descomosición de Pollard ara medidas sobre el intervalo [ 1, 1], que hemos visto en la rimera arte de este caítulo: con y K n (x, t) = r n T 1 (n, x, t) + s n T 2 (n, x, t) + s n T 3 (n, x, t) T 1 (n, x, t) = P n+1 (x)p n+1 (t), T 2 (n, x, t) = (1 t 2 ) P n+1(x)q n (t) x t T 3 (n, x, t) = T 2 (n, t, x) = (1 x 2 ) P n+1(t)q n (x). t x Si descomonemos S n en los tres oeradores W i,n dados or W i,n f(x) = 1 1 R f(t)t i (n, x, t) dµ(t), 24

37 Teoría de esos A 25 entonces ara i = 2, 3 resultan sendas transformadas de Hilbert; la acotación de estos oeradores se traduce en la acotación de la transformada de Hilbert sobre el intervalo [ 1, 1] con esos distintos; y no sólo con esos distintos, sino con sucesiones {u n, v n } de esos. Es natural entonces reguntarse or los esos ara los cuales se tiene Hf L (u dµ) C f L (v dµ). La clase A de esos es recisamente la que roorciona la resuesta más satisfactoria a esta cuestión. Un estudio detallado de esta clase y de sus alicaciones uede verse en [GR]. Definición Sean (a, b) un intervalo ( a < b ) y 1 < <. Diremos que un eso w ertenece a la clase A ((a, b)) cuando exista una constante ositiva C tal que, ara todo intervalo I (a, b), ( I ) ( 1 w(x) dx w(x) dx) 1/( 1) C I. I A la menor constante C que verifica esta desigualdad la llamaremos constante A del eso w. Si hacemos 1/ + 1/q = 1, entonces /q = 1 y la condición anterior uede onerse de esta manera: ( I ) ( /q w(x) dx w(x) dx) q/ C I. I Es fácil comrobar entonces que w A ((a, b)) w q/ A q ((a, b)). Otra consecuencia de la definición es que w y w q/ deben ser localmente integrables. La clase A 1 ((a, b)) se define como la de los esos w tales que, ara alguna constante C, Mw Cw en casi todo unto. Dos roiedades útiles son: Teorema A ((a, b)) = r< A r ((a, b)). Teorema Sea w un eso en un intervalo (a, b). Entonces, w A ((a, b)) w 1, w 2 A 1 ((a, b)) tales que w = w 1 w 1 2. Este último resultado es el llamado teorema de factorización de P. Jones (véase [J], [CJR]). El resultado fundamental ara nuestros roósitos es este, demostrado or Muckenhout ([Mu 4]) ara la maximal de Hardy-Littlewood y or Hunt, Muckenhout y Wheeden ([HMW]) ara la transformada de Hilbert: Teorema Sea T uno de los oeradores H o M y 1 < <. Son equivalentes: