VIII. Inducción Electromagnética. tica. ticos. Campos Electromagnéticos. Aplicaciones de la ley de inducción. Ingeniero de Telecomunicación

Transcripción

1 VIII. Inducción Electromgnétic tic Aplicciones de l ley de inducción Gbriel Cno Gómez, G 007/08 Dpto. Físic F Aplicd III (U. evill) Cmpos Electromgnéticos ticos Ingeniero de Telecomunicción

2 Gbriel Cno G Gómez, 07/08 Aplicciones de l ley de Frdy Ley de inducción constituye el fundmento teórico de múltiples plicciones tecnológics predice relciones cuntittivs entre mgnitudes físics permite diseñr sistems eléctricos y electromecánicos describe trnsformciones energétics Tipos de trnsformciones energí eléctric energí eléctric modificndo sus crcterístics trnsformdores energí mecánic energí eléctric generdores, trnsduc. mecno-eléctricos e. electromgnétic energí mecánic motores; frenos; trnsd. electro-mecánicos gen R E gen R I (t) I (t) R V L V M L L m M N F m v V V L M Idr' gen R E gen Cmpos Electromgnéticos ticos (I. Telecomunicción) n) VIII. Inducci ducción n electromgnétic tic

3 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic uperior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos EJERCICIO 8.3: Amperímetro de inducción (INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA) Un mperímetro de inducción consiste en un solenoide toroidl (de resistenci desprecible y utoinducción L), que se sitú en torno l corriente que se pretende medir. upóngse un toroide de rdio medio b ypequeñ sección cudrd de ldo ( << b), con N espirs conductors rrollds sobre un núcleo de permebilidd mgnétic μ (en este problem ello sólo supone cmbir μ 0 por μ). A I(t) 0 I0 cos( t) b () Clcúlese el coeficiente de ntoinducción de este solenoide, prtir del cmpo que se cre en su interior cundo por el solenoide circul un corriente I. upóngse que el cmpo de inducción mgnétic dentrodelsolenoideesdelformb(r) =B 0 u ϕ (ϕ),con B 0 uniforme. (b) El solenoide nterior se coloc concéntricmente con un hilo rectiĺıneo por el cuál circul un corriente I 0 cos(ωt). Clcúlese l f.e.m. que el hilo induce en el solenoide. (c) Hállese l mplitud de l intensidd de corriente que circul por él. (d) Est mplitud es proporcionl l corriente del hilo, cuánto vle l constnte de proporcionlidd pr un toroide de rdio medio b =cm,yldo =mm, con N = 300 espirs y con un núcleo de permebilidd μ =0 4 H/m. () Adoptmos el eje de simetrí del toroide como eje O, y ls coordends ciĺındrics pr determinr l posición de los puntos del espcio, P = P (ρ, ϕ, z). Considerremos que ls N espirs están enrollds sobre el núcleo toroidl de mner compct, por lo que cundo por el solenoide circul un intensidd de corriente I, en ls cutro crs del toroide se distribuye uniformemente un intensidd NI; est distribución estrá descrit por ls siguientes densiddes superficiles de corriente: K(r) = NI ± π(b /) u z = ±K V u z ; en ρ = b ± NI πρ u ρ(ϕ) =±K H (ρ) u ρ (ϕ ); en z = ± ( pr ) <z< ( pr b <ρ<b ) () Vemos cómo es el cmpo mgnético credo por l bobin rrolld sobre el núcleo. Pr ello consideremos que se retir el núcleo mnteniendo l disposición y form de l bobin (es decir, hcemos μ μ 0 ). El cmpo de intensidd mgnétic en todo el espcio será H(r) =B(r)/μ 0.Portnto, A(r) = u z μ 0 4π K V Σ V r r d V 4π K H (ρ ) u ρ (ϕ ) Σ H r r ( ) A d H = H(r) =...donde Σ V : ρ = b ± (/) y Σ H : z = ±/. Lsegundintegrldelexpresión nterior se nul l integrr el vector unitrio u ρ (ϕ ) entre 0 y π. Por tnto, se obtendrá: ( ) A(r) A(ρ, z) A = u z = H(r) = = H(ρ, z) u ϕ (ϕ) () μ 0 μ 0 μ 0 Apliquemos l ley de Ampère en dos circunferencis distints: Culquier circunferenci C ext centrd en el eje O, cuyos puntos están fuer del toroide. Como no hy intensidd de corriente net cruzndo l superficie que se poy en est curv ĺınes, se tendrá: C ext H dr =πρh(ρ, z) =0 = H ext = 0 (3) μ 0

4 C. Electromgnéticos 07/08 (I. Telecomunicción) EJERCICIO 8.3: AMPERÍMETRO DE INDUCCIÓN Circunferenci C int centrd en el eje O, cuyos puntos están dentro del toroide. En este cso si hbrá un intensidd net cruzndo l superficie que se poy en l curv: es l intensidd de corriente que existe en l cr verticl interior del toroide, ρ = b (/), yquevleni: H dr =πρh(ρ, z) =NI = H int (r) = NI C int πρ u ϕ(ϕ) (4) C ext C int I Hint( r) El cmpo H depende exclusivmente de ls corrientes. Por tnto, (3) y (4) son tmbién ls expresiones de dicho cmpo cundo un intensidd de corriente I recorre ls N espirs enrollds sobre el toroide de mteril mgnético. Puede comprobrse que verific ls ecunciones y condiciones de slto pertinentes. El cmpo de inducción mgnétic en todo el espcio será: C ext B(r) = μh int (r) = μni πρ u ϕ(ϕ); si b <ρ<b μ 0 H ext = 0; si b <ρ<b y <z< ó <z< (P τ m ) (P / τ m ) (5) En el enuncido se indic que el cmpo en el interior del núcleo es uniforme (constnte). Efectivmente, si b>>se puede relizr l siguiente proximción: ( P τ m ; ρ = b δ ) b con δ b < b << = B int(r) = μni ( δ ) u ϕ (ϕ) μni πb b πb u ϕ(ϕ) (6) b I Pr determinr el coeficiente de utoinducción del solenoide clculmos el flujo del cmpo mgnético trvés de l superficie que se poy en el circuito Γ formdo por ls N espirs cudrds de ldo : Φ uto m = B int d μni πb d = μn πb I Φ Bint( r) uto m = LI = L μn πb... y si se clcul prtir del vlor excto del cmpo en el interior del solenoide... Φ uto m = B int d = μni π = L = μn π d ρ = μn I π / / dz b/ b/ dρ ρ = μn I π ln /b μn /b /b << πb ln b / b / = LI (7) Tmbién puede clculrse prtir de l energí mgnétic lmcend en el sistem cundo por el solenoide circul un intensidd de corriente I. i el solenoide toroidl se hll en el vcío y el núcleo mgnético es linel, de permebilidd mgnétic μ, ldensidddeenergí u m mgnétic es: u m (r) = B(r) H(r) = μ H int(r) = μ ( ) NI ; si P τ m πρ 0; si P / τ m

5 C. Electromgnéticos 07/08 (I. Telecomunicción) EJERCICIO 8.3: AMPERÍMETRO DE INDUCCIÓN...y l energí totl lmcend... U m = u m dτ = μ ( ) NI / dz IE 3 π / π 0 dϕ b/ b/ (/ρ ) ρdρ = μn I ( ) /b ln = 4π /b Φ mi i l únic fuente del cmpo es l corriente en el solenoide, el flujo mgnético trvés de Γ será Φ m =Φ uto m sustituido en l expresión nterior, permite obtener el mismo vlor de L que en (7). (b) L corriente rectiĺıne I 0 (t) en el eje O, cre en todo el espcio un cmpo mgnético: H(r,t)= I 0(t) πρ u ϕ(ϕ) u flujo trvés del solenoide será: Φ ind. m = B(r,t) d = μi 0(t)N π / / dz b/ b/ dρ ρ = μi 0N π ln ( ) /b cos(ωt) =Φ ind. m (t) /b = LI, que... y l f.e.m que induce en el circuito Γ del solenoide: E ind. (t) = dφind. m (t) = μi 0Nω π ln ( ) /b sen(ωt) /b (c) e I(t) l intensidd de corriente que recorre el circuito Γ, debido l nterior f.e.m. inducid. i l f.e.m. totl en este circuito es E T y su resistenci R Γ,lecución pr este circuito será: E T = R Γ I(t) Puesto que no hy generdores conectdos Γ, l f.e.m. totl será debidl vrición instntáne del flujo del cmpo mgnético totl trvés de ls N espirs. Por tnto, dich f.e.m. será igul l sum de l inducid por l corriente vrible I 0 (t) del conductor rectiĺıneo, más l utoinducid en el solenoide por l propi corriente I(t) que lo recorre. Teniendo en cuent que Γ no cmbi (de mner que L es constnte), se tendrá: E T = dφ m = dφind. m dφuto m = E ind. (t) L di(t) I(t) R ind( t) L Como l resistenci eléctric del solenoide es deprecible frente su utoinducción... E ind. (t) =L di(t) R Γ I(t) L di(t) 0 = E ind. (t) = μn ( ) /b π ln di0 (t) /b = L di(t)... lo que implic que l intensidd I(t) inducid en el solenoide Γ tiene un mplitud proporcionl l del hilo rectiĺıneo I 0 (t), si bien existirá un desfse entre mbs: I(t) = μn πl ln ( ) /b I 0 cos(ωt φ 0 )=Icos(ωt φ 0 ) = I bi 0 /b N ln ( ) /b /b Obsérvese quesiseutilizlexpresión exct de l utoinducción L dd en (7), o bien, en l expresión nterior se tom el ĺımite cundo <<b,seobtiene: I = I 0 N (8) 3

6 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic uperior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos EJERCICIO 8.9 0: Coeficientes de inducción Generdor (INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA) e tienen dos nillos metálicos, mbos centrdos en el punto O (origen de coordends). Uno tiene rdio b yestásitudo en el plno OXY ;elotrotienerdioyestáinclindo de mner que su norml n está inclindo un ángulo θ con respecto l vector unitrio u z () y (b) Determine el coeficiente de inducción mutu entre los dos nillos, u z prtir del flujo del cmpo credo por l corriente del nillo exterior n trvés del nillo interior, y prtir del flujo del cmpo credo por el nillo interior trvés del exterior. on igules los dos coeficientes? I I O b (c) Por el nillo exterior se hce circulr un corriente constnte I 0 yel nillo interior se hce girr en torno un diámetro común, de form que el ángulo θ vrí con velocidd ngulr constnte ω. Desprecindo los efectos de l utoinducción, hlle l corriente que circul por el nillo interior. (d) Clcule l energí disipd en dicho nillo durnte un período de revolución. De donde procede est energí? () y (b) egún se vio en el ejercicio 6.9, levlución del cmpo mgnético credo por un espir de corriente rbitrri en un punto P de espcio es muy complicd, slvo que dich evlución se hg en el puntos del eje perpendiculr l plno de l espir y que ps por su centro (eje O en nuestro cso). i en el sistem bjo estudio tenemos que b>>, podemos relizr l siguiente proximción: Φ = B (r) d B (O) d ; donde d = dn y B (O) = μ 0I b siendo éste el cmpo mgnético credo en el centro de mbos nillos por l intensidd I que recorre el nillo exterior. Por tnto, Φ = M I μ 0I b ( u z n) d = μ 0π I cos θ = M μ 0π cos θ () b b El cálculo del coeficiente recíproco lo podemos llevr cbo considerndo que el nillo interior es lo suficientemente pequeño como pr considerrlo un dipolo mgnético de momento dipolr m colocdo en el punto O, que en un punto P crerá los siguientes cmpos potencil vector y de inducción mgnétic: { } { I ; Γ m = I π n; O } = A (r) μ 0 4π... donde r = OP. En consecuenci: Φ = m r r 3 ; B (r) = A (r) μ 0 4π B (r) d, donde d = ρdρdϕ u z u z 3(m r)r r m r 5 () Hy que tener cuiddo con l superficie que se elij pr clculr este flujo, y que ls expresiones dds en () indicn que el cmpo B present un singulridd en el punto O. Est dificultd se evit fácilmente sin más que tener en cuent lo siguiente: ( ) Φ = B (r) d = A d = A dl =Γ Utilizndo l correspondiente expresión proximd dd en (), se obtiene: Φ = M I μ 0 (m r) 4π =Γ r 3 dl = μ 0 m 4π b 3 r dl = μ 0 =Γ b m u z = μ 0π I cos θ b Por tnto... M μ 0π b cos θ M = M = M μ 0π b cos θ = M 0 cos θ = M(θ) (3)

7 C. Electromgnéticos 07/08 (I. Telecomunicción) EJERCICIO 8.9 0: COEFICIENTE DE INDUCCIÓN GENERADOR (c) L espir Γ se hce girr con velocidd ngulr constnte ω lrededor de un diámetro. Este movimiento qued crcterizdo medinte l ley horri θ(t) yelvectorrotción instntáne ω,el cuál describe tnto l velocidd de rotción como l dirección del eje de giro y el sentido de éste: dθ = ω = θ(t) =ωt ω = ω uy I t ( ) u z n El flujo del cmpo mgnético trvés de l espir Γ se clcul teniendo en cuent que por l espir exterior circul un corriente constnte I = I 0 y que se desprecin los efectos de l utoinducción L : Φ = B d =Φ Φ = M(θ)I L I Φ (t) M[θ(t)] I = M 0 cos(ωt)i 0 Por tnto, l fuerz electromotriz inducid en el circuito interior Γ será: E ind. = dφ dφ M 0 I 0 ω sen(ωt) e E l fuerz electromotriz totl en l espir interior y R su resistenci eléctric. i no hy ningún generdor eléctrico conectdo Γ,setendráque: ( t) I= I0 Y X E = E ind. = R I (t) = I (t) R dφ = I (t) M 0I 0 ω R sen(ωt) = μ 0π I 0 ω br sen(ωt) (4) (d) L potenci instntáne disipd por efecto Joule en el nillo Γ es: P Joule = dw Joule = R I (t) (M 0I 0 ω) sen (ωt) = P Joule (M 0 I 0 ω) T sen (ωt) = M 0 I 0 ω (5) Γ R R T 0 R siendo P Joule ( = ΔW Joule Γ /T ) l potenci promedio disipd en un período T =π/ω. Pr determinr de dónde procede est energí, relizremos un blnce energético instntáneo en l espir Γ : dw Joule du m Γ Γ = dw gen. Γ = E gen. I (t) =0 = dw Joule = du m Γ Efectivmente puede comprobrse que, como no hy un generdor eléctrico conectdo l circuito Γ,lenergí disipd por efecto Joule en cd instnte v ser igul l disminución instntáne de l energí mgnétic. Pero, de dónde sle l energí mgnétic U m (t) que instntánemente se disip en form de clor? Obsérvese que l pequeñ espir Γ recorrid por l intensidd I (t) puede considerrse como un dipolo mgnético situdo en O, cuyomomentomgnético es m = π I (t)n. Por otr prte, este dipolo mgnético estrá sometido l intercción del cmpo B (O) credo por l espir Γ en el punto O. Dich intercción estrá crcterizd por el pr de fuerzs: M m O = m B (O) = μ 0I 0 I (t)π (n u z )= ωi 0 M 0 sen (ωt) u y (6) b R Ahor bien, si el vector rotción instntáne es constnte, el momento cinético de l espir interior, L 0 Γ = m ω, tmbién v ser constnte. En virtud del teorem del momento cinético, el pr de fuerzs totl plicdo dich espir debe ser nulo, por lo que deber existir un pr mecánico plicdo M mec O que nule l de l intercción mgnétic: dl O = 0 = M m O Mmec O = M mec O = Mm O = ωi 0 M 0 sen (ωt) u y Γ R El trbjo que por unidd de tiempo (potenci instntáne) reliz este pr mecánico es: dw mec = M mec O ω = ω I0 M0 sen (ωt) = du m = dw R Γ (7) Γ Este mismo resultdo se obtiene si hcemos un blnce energético en un período T.Eltrbjototlrelizdoporelpr mecánico y por el cmpo mgnético de l espir Γ deber ser nulo, y que l espir Γ tiene energí mecánic (cinétic y potencil) constnte. Ahor bien, el trbjo relizdo por B sobre l espir dipolo interior, será igul l disminución de energí mgnétic de l espir exterior Γ.Perocomolcbodeunperíodo ls corrientes vuelven ser ls misms, se tendrá quelvrición de energí mgnétic totl debe ser nul. En consecuenci, tod l energí mecánic introducid en el sistem se cb disipndo por efecto Joule en l resistenci eléctricdelespirintern: ΔW mec ΔU m Γ =0 = ΔU m Γ ΔU m Γ ΔW mec =ΔU m Γ = ΔU m Γ =ΔWΓ Joule =0 Joule Γ

8 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic uperior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos EJERCICIO 8.4: Generdor linel freno mgnético (INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA) B 0 v L figur represent un crril metálico superconductor por el cul puede deslizrse un vrill superconductor. Est vrill está inmers en un cmpo uniforme B 0 y ce por l cción de l grvedd. Inicilmente se encuentr en reposo y no circul intensidd por el circuito. En ese momento se suelt. Determine l ecución del movimiento y l posición de l vrill en función del tiempo si el circuito está cerrdo por: Y () Un resistenci R. (b) Un condensdor C. X g (c) Un utoinducción L. Estudie en cd cso el blnce energético del sistem. Pr describir nĺıticmente el sistem tomremos un sistem de referenci OXY en el cuál l vrill AB se encuentr siempre prlel l eje OX en un plno z =cte. Cundo l vrill se mueve en l dirección de l verticl grvittori (g = g u y ), todos sus puntos tienen igul coordend y = y(t) vrible en el tiempo, de mner que l velocidd de l vrill será v = dy(t) = v(t) u y El cmpo mgnético B 0 = B 0 u z es uniforme y constnte en el tiempo; sin embrgo, l espir Γ formd por los crriles, l impednci y l vrill Y móvil AB tiene form vrible, de mner que l superficie que delimit y, en consecuenci, el flujomgnético trvés de ell, vn ser función del tiempo: Φ m = B 0 d = B 0 y(t) =Φ 0 (t) () X (t) B 0 F m B I(t) d y(t) g _ donde es l distnci entre los crriles y Γ=. Nótese que l tomr como diferencil de superficie d = dxdy u z en el sentido positivo del eje O, estmos considerndo que el sentido positivo de l corriente eléctric es el ntihorrio, lo cuál condicion tmbién l disposición de ls fuerzs electromotrices en el circuito. Obsérvese que un flujo mgnético vrible en el tiempo induce un fuerz electromotriz en el circuito cerrdo Γ,lcuál d lugr l prición de un intensidd de corriente I(t) que, su vez, será fuente de un cmpo mgnético vrible en el tiempo y que se superpondrá l cmpo uniforme B 0. En consecuenci, el flujo mgnético totl serí Φ m =Φ 0 L Γ I(t), siendo L Γ l utoinducción de l espir Γ. En primer proximción podemos considerr que ést es muy pequeñ, de mner que el término correspondiente l utoinducción es desprecible frente l flujo Φ 0 del cmpo mgnético uniforme. L fuerz electromotriz inducid se deberá csi exclusivmente l movimiento de l vrill en el seno del dicho cmpo uniforme: Φ m =Φ 0 (t)l Γ I(t) Φ 0 (t) = E ind E0 ind = dφ 0 = B 0 dy = B 0v(t) () Obtengmos l fuerz electromotriz totl en el circuito. Pr ello clculmos el trbjo en un ciclo y por unidd de crg de tods ls fuerzs que pueden mover crgs; es decir, l circulción cerrd del cmpo electrico y de l fuerz mgnétic por unidd de crg socid l movimiento de l vrill en el cmpo: ( ) ( ) E fem = E v B dr = E dr v B0 dr (3) L circulción cerrd del cmpo E lo lrgo del circuito Γ es nul y que... Γ Γ AB V (t) z A

9 C. Electromgnéticos 07/08 (I. Telecomunicción) EJERCICIO 8.4: GENERADOR LINEAL FRENO MAGNÉTICO E = B t B 0 = 0 = ( E) d = E dr 0 t =Γ obvimente esto está directmente relciondo con el hecho de considerr que l espir tiene un utoinducción desprecible. Por otr prte, en l integrl del segundo término de (3) se tiene v B 0 = B 0 v(y) u x y dr = dl u x (con dl > 0): ( ) E fem v B0 dr = B0 v(t) dl = B 0 v(t) =E0 ind (4) AB i plicmos hor l segund ley de Kirchoff en l espir considerndo que no hy más fuerzs electromotrices que l de inducción electromgnétic debid l flujo del cmpo uniforme trvés de l espir vrible, se obtiene: E fem = E0 ind = B 0 v(t) =V z (t)r Γ I(t) L di(t) (5) 0 0 donde se h tenido en cuent que l resistenci eléctric R de l vrill y los crriles es nul por ser superconductores. Es decir, l fuerz electromotriz tensión V z están determinds por l velocidd instntáne de l vrill. Pr conocer cómo evolucion ést debemos obtener su ley de movimiento plicndo l segund ley de Newton. 0 L V (t) z I(t) R fem () t En el problem propuesto l vrill está sometid dos fuerzs ctivs : l grvittori F g ylfuerzmgnétic F m ejercid por el cmpo B 0 sobre l corriente eléctricquerecorrelvrillab: F g = mg = mg u y ; F m = Idr B 0 = B 0 I(t) dl( u x u z )=B 0 I(t) u y e m l ms de l vrill; se tendrá... AB 0 m dv = i F i = F g F m m dv(t) = mg B 0 I(t) (6) Est ecución, junto con (5), constituye el sistem de ecuciones del cuál se extre l ecución de movimiento de l vrill. Pr ello es necesrio conocer demás l relción entre l tensión V z (t) y l intensidd que circul por el circuito I(t) estblecid por el dispositivo de impednci : V z (t) =B 0 v(t); I(t) = m B 0 ( ) dv g Hgmos un blnce energético nlizndo cómo son y cómo se relcionn ls potencis puests en juego. L potenci suministrd por el generdor es igul l que se disipe o lmcene en el dispositivo y que, l desprecir el vlor de l utoinducción de l espir, se está considerndo que tmbién es nul l potenci mgnétic puest en juego en el circuito l estblecer l corriente I(t). Por otr prte, puesto que el generdor es l vrill en movimiento en el cmpo B 0 l energí eléctric que suministrd proviene de l trnsformción de l energí mecánic de l vrill: (7) de mec = de gen = E fem I(t) = de mec = V z (t)i(t) (8) Por otr prte, l energí mecánic de l vrill se define como l sum de ls energís cinétic (T ) y potencil grvittori (U g ): E mec = T U g = mv (t)mgy(t) de mec = dt du ( g = mv(t) g dv ) (9) Puede comprobrse que este mismo resultdo se obtiene si en (8) se sustituyen ls expresiones de V z (t) e I(t) que se muestrn en (7). Cso () El dispositivo es un resistenci eléctric R loclizd; l ecución de movimiento es: V z (t) =RI(t) = dv(t) = B 0 mr v(t) g (0) Existirán demás ls fuerzs de rección vinculr plicds por los crriles y que oblign l vrill moverse sólo en l dirección verticl

10 C. Electromgnéticos 07/08 (I. Telecomunicción) EJERCICIO 8.4: GENERADOR LINEAL FRENO MAGNÉTICO... que un vez resuelt con l condición inicil v(t =0)=0, llev ls soluciones: v(t) = gmr ) ( B0 e λt = V z(t) = R I(t) donde λ = B0 () B 0 B 0 mr Es decir, l vrill ce con un velocidd cuyo módulo crece exponencilmente hst un vlor constnte v = gmr/ B0. Tmbién l intensidd y l tensión en crecen exponencilmente desde 0 hst sendos vlores constntes. i el dispositivo es un resistenci, ést disiprá por efecto Joule l energí que suministr el generdor: de mec = dt du g = RI (t) = dw Joule Es decir, l energí que se disip por efecto Joule en cd instnte de tiempo es cost de l disminución de l energí mecánic del sistem. Cso (b) El dispositivo es un condensdor de cpcidd C: C dv z(t) = I(t) =... que un vez resuelt con l condición inicil v(t =0)=0, llev ls soluciones: () ( B0 C ) dv(t) = g, (3) m gm v(t) = m B0 C t = g t = V z(t) I = g B 0 C,cte. (4) B 0 Es decir, l vrill ce con un celerción constnte g cuyo vlor es menor que el de l grvedd g. En consecuenci, l tensión en el condensdor crece linelmente en el tiempo, por lo que l energí lĺı lmcend crece según l ley... U cond (t) = CV z (t) = B 0Cv (t) = du cond = B 0 Cv(t)dv = B 0 C(g ) t Por su prte, plicndo l expresión de l vrición de l energí mecánic de l vrill (9) y sustituyendo lĺı elresultdo (3), se obtiene: de mec = V z (t)i(t) = B 0 C(g ) t = du cond Es decir, l energí mecánic que se pierde durnte l cíd de l vrill con celerción constnte g <g,selmcen como energí eléctric en el condensdor. Cso (c) El dispositivo es un bobin de utoinducción L: V z (t) =L di(t) = d v(t) = B0 v(t), (6) ml L ecución de movimiento es un l ecución diferencil de segundo orden crcterístic de ls oscilciones lineles. Por tnto, l solución es de l form v(t) =A sen(ωt ϕ), donde ω = B0/mL; ls constntes A y ϕ se determinn prtir de ls condiciones iniciles: v(t =0)=A sen(ϕ) =0 dv = Aω cos(ϕ) =g t=0 = v(t) = g sen(ωt) = ω V z (t) = B 0g ω sen(ωt) I(t) = B 0g Lω [ cos(ωt) ] Tmbién en estecsoson válidslsexpresiones generlesobtenids en (7) y (9), de mner que l vrición de l energí mecánic por unidd de tiempo y en cd instnte será: ( de mec = mv(t) g dv ) = V z (t)i(t) = B0 g Lω 3 sen(ωt) [ cos(ωt) ] (8) Pr ver en qué se trnsform est energí mecánic durnte ls oscilciones de l vrill clculmos l energí mgnétic que se lmcen en l bobin cundo por ell circul l intensidd I(t): (5) (7) U m (t) = LI (t) du m = LI(t) di(t) = V z (t)i(t) = de mec (9) 3

11 C. Electromgnéticos 07/08 (I. Telecomunicción) EJERCICIO 8.4: GENERADOR LINEAL FRENO MAGNÉTICO v(t)= Vz( t)/ B0 cso (c) v -g cso () -g t cso (b) It () I 0 I cso (b) cso ( c) cso () t 4